Pour une page de son livre privé, Léa compose un exercice avec trois cases nommées A, B et C. Maud voudrait pouvoir commencer par celle qui lui plaît, puis remettre une disposition où aucune case n’attend encore un geste. Léa accepte cette liberté de départ, mais veut savoir ce qu’elle change réellement. Les jetons et les cases sont fictifs. Nous ne décrivons ni un rangement effectué dans une maison, ni une matière dont l’écoulement aurait été observé.
Une notice du Met classe une œuvre parmi les livres.
Une autre notice du Met classe une œuvre parmi les dessins.
Une troisième notice du Met classe une œuvre parmi les dessins.
Les notices attestent ces catégories seulement. Cases, seuils et gestes sont créés ; aucun procédé des œuvres ne les détermine.
Les cases suivent la ligne A–B–C. Un geste est permis dans une case contenant au moins deux jetons. Il en retire exactement deux : dans B, un rejoint A et l’autre C ; dans A, un rejoint B et l’autre sort définitivement de la ligne ; dans C, un rejoint B et l’autre sort. On n’ajoute aucun jeton pendant une première exécution. Un état est stable lorsque chacune des trois cases contient zéro ou un. Les nombres seront écrits dans l’ordre A, B, C.
Deux chemins légaux aboutissent au même relevé
Léa donne le départ (3,2,3). Maud choisit A : elle obtient (1,3,3), avec un jeton sorti. Puis B donne (2,1,4), sans nouvelle sortie. Elle poursuit par A et B, atteignant (0,2,4) puis (1,0,5). C peut alors agir deux fois : (1,1,3), puis (1,2,1). B donne (2,0,2), A donne (0,1,2), C donne (0,2,0) et B termine sur (1,0,1). Chaque case choisie possédait au moins deux avant son geste. Maud inscrit dix gestes et la stabilité finale, sans arrêter au premier zéro apparu au milieu du parcours.
Léa prépare un autre trajet depuis le même départ. Elle commence par C puis B : (3,3,1), puis (4,1,2). C et B donnent ensuite (4,2,0), puis (5,0,1). Deux gestes dans A conduisent à (3,1,1), puis (1,2,1). Elle termine par B, C, A et B, passant par (2,0,2), (2,1,0), (0,2,0) et enfin (1,0,1). Le trajet a réellement montré C actif avant A, contrairement au relevé de Maud. Léa peut conserver cette différence dans le récit, tout en remettant la même disposition finale. Le premier geste n’a donc pas choisi entre deux fins dans cet exemple.
Maud compte aussi les gestes par case. Dans chacune des deux listes, A agit trois fois, B quatre et C trois. Les six gestes des extrémités ont chacun fait sortir un jeton ; les quatre de B n’ont changé que leur répartition intérieure. Le départ totalisait huit jetons et la fin deux : les six sorties retrouvent exactement cette différence. Dix ne doit pas être inscrit comme nombre de jetons disparus. Léa garde les deux colonnes, gestes par case et sorties, parce que les opérations du milieu peuvent être nombreuses sans retirer un jeton de la ligne.
Prouver que la procédure doit s’arrêter
Léa cherche d’abord un contrôle qui ne dépende pas du premier geste. Elle donne un poids de trois à chaque jeton dans A ou C et de quatre à chaque jeton dans B. Son compte pondéré vaut donc 3a+4b+3c pour un état (a,b,c). Un geste dans A retire six de ce compte et lui rend quatre dans B : il baisse de deux. Un geste dans B retire huit et rend trois dans chacune des extrémités : il baisse encore de deux. C reproduit le calcul de A. La baisse est la même pour toute case effectivement choisie.
Le compte demeure positif ou nul, car les gestes légaux ne donnent jamais un nombre négatif de jetons. Depuis (3,2,3), il part de vingt-six. Aucun trajet légal ne peut donc effectuer quatorze gestes : après treize, le compte serait déjà nul, et un quatorzième demanderait moins deux. Maud obtient ici dix, dont le compte final vaut six, mais Léa ne confond pas cette réalisation avec la borne treize. Celle-ci suffisait avant le choix d’un ordre à exclure une suite infinie. Tant qu’une case possède deux jetons, un geste reste disponible ; une exécution poursuivie jusqu’au bout finit donc stable.
Maud propose de remplacer les poids par le nombre total de jetons. Léa refuse ce certificat précis : un geste de B conserve ce total. Deux états différents d’un même total peuvent donc se suivre sans que ce compte ait diminué. Le total contrôle les sorties, mais ne borne pas à lui seul le nombre des gestes intérieurs. La pondération choisie traite justement ce que le relevé des pertes ne voyait pas. Léa conserve la preuve par trois, quatre, trois pour garantir l’arrêt et le bilan ordinaire pour expliquer les six sorties ; elle n’attribue pas aux deux comptes la même fonction.
Les mêmes comptes imposent la même fin
Maud voudrait maintenant transformer les deux trajets concordants en garantie pour tous les ordres légaux. Léa note uA, uB et uC comme nombres de gestes déjà effectués. Depuis (a,b,c), les nombres présents sont a−2uA+uB dans A, b+uA−2uB+uC dans B, et c+uB−2uC dans C. Ces expressions ne gardent pas l’ordre des gestes : chaque geste possède toujours le même effet numérique. Elles permettent de retrouver une fin à partir des trois comptes. Elles ne prouvent pas encore que tous les trajets complets donnent les mêmes comptes, car des listes différentes pourraient avoir des totaux différents.
Léa compare un trajet légal en cours à une proposition vA,vB,vC, trois entiers positifs ou nuls dont les effets cumulés laisseraient chaque case à un au plus. Supposons qu’un trajet légal dépasse pour la première fois le compte proposé dans une case. Juste avant ce geste, son compte dans cette case égale celui de v ; les comptes des autres ne dépassent pas leurs valeurs de v. Si la case est B, ses jetons valent b+uA−2vB+uC, donc au plus b+vA−2vB+vC. Ce dernier nombre est au plus un par la condition de stabilité de la proposition. B ne pourrait pas agir légalement à cet instant.
Le même contrôle fonctionne à une extrémité. Juste avant un premier dépassement dans A, son nombre serait a−2vA+uB, au plus a−2vA+vB, donc au plus un. C donne de même c+uB−2vC, au plus un. Aucune des trois cases ne peut être la première à dépasser la proposition. Léa a ainsi borné, case par case, tout trajet légal par tout triplet stabilisant de ce type. Elle n’a pas demandé de deviner à quelle étape les deux trajets seraient synchronisés : ils peuvent posséder des états intermédiaires différents sans perdre cette comparaison de comptes.
Prenons deux trajets légaux poursuivis jusqu’à la stabilité, de comptes u et v. Le premier ne peut dépasser v dans aucune case ; le second ne peut dépasser u. Les deux inégalités donnent uA=vA, uB=vB et uC=vC. Les expressions des nombres présents fournissent alors la même fin. Léa peut maintenant autoriser Maud à choisir n’importe quelle case disponible jusqu’à l’arrêt, pour le départ reçu. Le certificat ne promet pas le même état après chaque geste. Il promet les mêmes comptes cumulés et la même disposition stable. La durée en nombre de gestes coïncide également, comme somme de ces trois comptes.
Une équation stable ne constitue pas une exécution permise
Léa présente une tentative depuis (1,0,1), déjà stable. Maud voudrait agir une fois dans B, puis A et C. Les nombres deviendraient (2,−2,2), puis (0,−1,2), puis (0,0,0). Les trois effets cumulés conduisent bien à des entiers finaux stables et positifs ou nuls. Pourtant le premier geste n’était pas autorisé : B possédait zéro, pas deux. Léa refuse la tentative complète. La non-négativité finale n’a pas rendu légal le passage par moins deux. Sans geste depuis ce départ, l’exécution permise se termine immédiatement sur (1,0,1), et non sur le vide.
Cette tentative ne contredit pas la comparaison précédente. Le triplet proposé vaut un dans chaque case ; le trajet légal immédiat vaut zéro dans chacune, qui ne le dépasse effectivement pas. Mais il n’existe aucun trajet légal complet de triplet un auquel appliquer la comparaison inverse. Léa retire donc cette seconde moitié du prétendu raisonnement de Maud. Deux triplets donnant algébriquement des états stables ne reçoivent pas automatiquement deux certificats d’exécution. Pour obtenir l’égalité des comptes, elle avait utilisé deux trajets légaux, chacun soumis au contrôle du premier dépassement.
Depuis (3,2,3), les comptes trois, quatre, trois sont ainsi les plus petits, case par case, parmi les triplets positifs ou nuls qui stabilisent algébriquement. Ajouter un à chacun donne quatre, cinq, quatre ; les expressions finales deviennent (0,0,0), encore stables. Cette proposition demanderait treize gestes et ferait sortir huit jetons. Elle satisfait la borne d’arrêt et le bilan final, mais ne peut être un second trajet légal complet : la comparaison inverse avec trois, quatre, trois l’interdirait. Léa montre ici pourquoi même deux contrôles corrects, borne de durée et compte des sorties, n’étaient pas suffisants pour certifier une liste de gestes admissible.
Ajouter en deux temps conserve le résultat, avec ses gestes supplémentaires
Léa ouvre une nouvelle commande : un jeton doit être ajouté dans A et un dans C, depuis le départ vide. Si les deux ajouts précèdent les gestes, elle reçoit (1,0,1), déjà stable. S’ils sont séparés par une stabilisation, le premier donne (1,0,0), stable, puis le second (1,0,1), stable également. Aucune redistribution n’a été nécessaire. Elle garde ce petit cas comme préparation de la règle d’ajout, mais ne l’utilise pas comme preuve que deux ajouts seraient toujours sans effet intérieur. Leur effet dépend encore de l’état qu’ils rencontrent.
Maud applique la même commande depuis (1,1,1). Ajouter d’abord dans A donne (2,1,1). Les gestes A, B, C conduisent à (0,2,1), puis (1,0,2), puis (1,1,0). Elle ajoute maintenant dans C et retrouve (1,1,1), stable, sans autre geste. Avec les deux ajouts faits ensemble, le départ serait (2,1,2) ; A, B puis C donnent (0,2,2), (1,0,3), puis (1,1,1). Dans les deux préparations, chacune des trois cases agit une fois. Léa remet les deux histoires avec les états qu’elles ont réellement traversés, pas seulement une égalité de trois nombres finaux.
Pour expliquer cette égalité au-delà du cas, Léa examine une liste légale qui stabilise après le premier ajout. Si le second jeton était déjà présent, cette même liste resterait légale : chaque état intermédiaire possède les anciens nombres plus ce jeton dans sa case d’ajout. Aucun geste ancien ne manque donc de ses deux jetons requis. Une fois cette liste effectuée, on retrouve exactement l’état stable ancien augmenté du second jeton. On peut alors poursuivre par la seconde liste légale. La concaténation est ainsi un trajet légal complet pour les deux ajouts faits dès le départ, auquel s’applique l’unicité déjà prouvée.
Les comptes des gestes de la première et de la seconde phase s’additionnent donc aux comptes de la stabilisation commune. Il ne suffit pas de dire que les deux ajouts donnent le même total de jetons : la concaténation a aussi justifié les permissions à chaque étape. En inversant les deux ajouts, Léa obtient une autre concaténation légale pour ce même départ augmenté ; elle possède encore la même fin et les mêmes comptes totaux. Maud peut choisir de raconter la remise par A avant celle par C, mais ce choix n’autorisera pas un autre résultat stable sous ces règles.
Un test de retour sépare deux familles de dispositions stables
Il existe huit dispositions stables, puisque chacune des trois cases possède zéro ou un. Léa veut choisir une page qui retrouve exactement sa disposition après l’ajout d’un jeton dans chaque extrémité, suivi de la stabilisation. Elle examine cette commande sur les huit, sans annoncer qu’être stable suffirait. (0,0,0) devient (1,0,1), sans geste ; (0,1,0) devient (1,1,1), également sans geste. Depuis (0,0,1), elle obtient (1,0,2), puis (1,1,0) par C. Depuis (1,0,0), le geste A conduit de (2,0,1) à (0,1,1). Ces quatre départs stables ne retrouvent donc pas leur page initiale.
Les quatre autres la retrouvent : (0,1,1), (1,0,1), (1,1,0) et (1,1,1). Pour chacun, les trois cases agissent une fois. Par exemple, (1,0,1) reçoit les ajouts et devient (2,0,2) ; A donne (0,1,2), C donne (0,2,0), puis B rend (1,0,1). Les deux jetons ajoutés ressortent, un à chaque extrémité, après les trois gestes. Léa choisit cette page pour sa commande de retour. Elle n’utilise pas la simple absence d’un geste disponible au départ comme certificat de ce retour après ajout.
On peut vérifier pourquoi les comptes d’un retour doivent ici être exactement un, un, un. Si u désigne ces comptes, retrouver le départ après l’ajout (1,0,1) impose 2uA−uB=1, −uA+2uB−uC=0 et −uB+2uC=1. La première et la dernière donnent uA=uC ; la relation centrale donne alors uB=uA. Les trois valent donc un. Cette obligation ne prouve pas encore que chaque départ autorise la liste : le vide avait déjà refusé le retour. L’énumération des huit départs fournit précisément les quatre pour lesquels une exécution légale réalise ces comptes nécessaires.
Léa change ensuite la commande en ajoutant un seul jeton dans A. Sur les quatre pages retenues, puis stabilisées, elle obtient le cycle (0,1,1) vers (1,1,1), vers (1,1,0), vers (1,0,1), puis retour à (0,1,1). Elle peut retrouver la page précédente à partir de la page reçue si elle sait qu’elle appartenait à cette famille et que cette commande seule a été effectuée. Les quatre résultats y sont distincts. La répétition de quatre commandes ramène le départ. Ce nouveau relevé porte sur les pages stables successives, pas sur quatre gestes locaux identiques dans A.
Cette récupération ne vaut pas sur les huit pages stables réunies. Ajouter dans A à (0,0,1) donne directement (1,0,1). Ajouter dans A à (1,1,0) donne (2,1,0), puis les gestes A et B rendent aussi (1,0,1). Les deux pages différentes ont donc le même résultat sous cette commande, avec zéro geste d’un côté et deux de l’autre. Maud ne peut pas retrouver laquelle a précédé si le relevé conserve seulement la fin. Léa joint alors soit l’hypothèse d’appartenance aux quatre pages, soit les comptes des gestes. Dans ce cas, les comptes distinguent les deux origines que la disposition seule avait confondues.
Remettre une page avec les permissions qu’elle utilise
Léa conserve pour l’ouverture du livre le départ (3,2,3), les deux trajets légaux et la fin (1,0,1). Le chapitre suivant présente l’ajout aux extrémités et son retour, puis la commande dans A qui distingue une famille à quatre pages d’une famille à huit. Elle ne fait pas passer le triplet stabilisant quatre, cinq, quatre pour une troisième histoire légale du premier départ. Ses expressions numériques restent exactes, tandis que la permission de chacun de ses gestes n’a pas été établie.
Aucun livre ou dessin cité ne fournit ce système de redistribution ni les choix de Léa. La page du récit garde des nombres et des gestes créés, avec leurs conditions explicites.
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