Lucie compose une page entièrement inventée pour un livre privé. Trois repères nommés A, B et C doivent permettre d'attribuer un nom à chaque emplacement de la page. Le lecteur ne reçoit pas seulement trois marques : il doit pouvoir retrouver le nom choisi pour un emplacement donné, puis comprendre pourquoi la règle le choisit. Lucie commence par la proximité, mais son frère propose ensuite un coût supplémentaire et une condition de marge. Ces demandes successives produisent des pages distinctes, dont elle conserve les décisions effectivement remises.
Les trois notices servent ici aux seules catégories. Aucun contour, emplacement ou calcul ne provient des œuvres.
Le Met classe cette notice parmi les dessins.
Le Met classe cette notice parmi les dessins.
Le Met classe cette notice parmi les dessins.
La page est le carré défini par zéro à quatre sur chaque axe, frontière comprise. A est en (0,0), B en (4,0), C en (0,4). Les lettres sont des repères créés, sans personne évaluée ni adresse réelle. Pour un emplacement X=(x,y), nous calculons les carrés des distances à ces repères. La plus petite valeur gagne. Une égalité est départagée dans l'ordre A, B, C. Cette priorité est posée avant les essais ; elle ne change pas les valeurs calculées. Aucun emplacement situé hors du carré n'est demandé dans le projet initial.
Une comparaison entre deux repères ne suffit pas à choisir parmi trois
Le carré de distance à A vaut x²+y² ; celui vers B vaut (x−4)²+y². En retranchant le premier du second, Lucie obtient 16−8x. B est donc plus proche que A lorsque x dépasse deux ; A gagne leur comparaison lorsque x est inférieur à deux. Sur la verticale x=2, ils sont à égalité. Les termes en y disparaissent de cette différence, même si les deux distances séparées dépendent encore de y. Lucie trace cette verticale comme une frontière de comparaison entre A et B, sans lui faire déjà répartir toute la page entre les trois noms.
La comparaison entre A et C donne de même 16−8y pour la distance à C moins celle à A. Elle est séparée par l'horizontale y=2. Enfin, la distance à B moins celle à C vaut 8(y−x), donc B l'emporte sur C quand x est plus grand que y. Leur frontière est la diagonale y=x. Lucie remet ces trois différences avec les trois paires : la diagonale ne remplace pas l'horizontale ou la verticale. Chaque nom doit gagner ses deux comparaisons pour être le premier parmi les trois.
Pour attribuer A, il faut que x soit au plus deux et y au plus deux. Ces deux conditions assurent que A ne coûte davantage ni que B ni que C ; sa priorité lui accorde les égalités. Sa zone est donc le petit carré inférieur gauche, d'aire quatre. Une proposition de nommer A partout sous l'horizontale y=2 échoue par exemple en (3,1) : A y a pour carré de distance dix, B deux et C dix-huit. Lucie retire cette partie de la proposition. Elle avait utilisé une seule comparaison favorable à A sans vérifier l'autre.
B reçoit les emplacements où x dépasse deux et où x est au moins y. La première inégalité est stricte parce que A gagne leur égalité ; la seconde peut inclure l'égalité, puisque B précède C. C reçoit les emplacements où y dépasse deux et y dépasse x. Lucie peut maintenant attribuer (3,1) à B et (1,3) à C. En (3,3), B et C ont chacun un carré de distance dix, contre dix-huit pour A : B gagne leur départage. En (2,2), les trois valeurs sont huit, et A gagne. Elle conserve ces deux essais d'égalité, qui ne mettent pas en jeu les mêmes repères concurrents.
Les trois frontières infinies ne sont pas toutes des frontières finales de zones nommées. Sur la verticale x=2 avec y supérieur à deux, A et B sont égaux, mais C est moins loin que tous deux. Lucie n'y place donc pas une ligne active séparant A de B. Leur séparation utile ne monte que de zéro à deux. L'horizontale de A avec C s'arrête également au point (2,2), puis la diagonale de B avec C continue vers (4,4). Elle supprime les prolongements sans effet de son dessin final, en laissant les comparaisons algébriques entières dans le dossier de préparation.
La zone de B a pour sommets de contour (2,0), (4,0), (4,4) et (2,2), indépendamment des côtés attribués par priorité. Pour chaque x entre deux et quatre, sa hauteur est x ; son aire vaut donc six. La zone de C possède la même aire par échange des deux axes. Quatre, six et six retrouvent seize, l'aire de la page. Les segments de départage ont une aire nulle et ne modifient pas ces comptes. Lucie garde cependant leurs propriétaires sur la fiche : ne pas changer une aire ne permet pas de laisser sans réponse les emplacements qui tombent exactement sur ces segments.
Un coût ajouté déplace des frontières sans déplacer les repères
Le frère demande une autre page : B doit maintenant recevoir huit points supplémentaires dans son coût, tandis que A et C ne reçoivent aucun supplément. Nous additionnons ces nombres aux carrés des distances, sans les traiter comme des longueurs. Le nom de B, sa position et l'unité de la page restent les mêmes. Lucie accepte ce critère avant de recalculer les zones. Elle ne dessine pas B plus loin pour suggérer que le supplément aurait matériellement changé la place du repère. La règle et les positions sont deux données distinctes de cette préparation.
Le coût de B moins celui de A est désormais 24−8x. Leur égalité passe donc à x=3. Le coût de B moins celui de C devient 8(y−x+1), ce qui déplace leur frontière sur x−y=1. Celle entre A et C reste y=2. Lucie vérifie un emplacement qui change réellement de nom : en (5/2,1), les anciens coûts étaient 29/4 pour A, 13/4 pour B et 61/4 pour C. Avec le supplément, B passe à 45/4, au-dessus de A. Le nom remis est maintenant A, malgré une distance géométrique toujours plus petite vers B.
A reçoit désormais x au plus trois et y au plus deux. B reçoit x supérieur à trois et x au moins y+1. C reçoit y supérieur à deux et y supérieur à x−1. La zone de A est un rectangle d'aire six. Pour B, les hauteurs vont de deux à trois lorsque x va de trois à quatre ; l'aire est donc cinq demis. C occupe les quinze demis restants. Lucie remet ces trois zones recalculées, avec les coûts de (5/2,1), plutôt que de conserver six comme aire de B parce que son repère est resté à la même position.
Sur cette page, les égalités de A avec B et de A avec C se rejoignent en (3,2). Les trois coûts y sont treize. La nouvelle frontière entre B et C part de ce point et rejoint (4,3) sur le bord droit. La portion de la droite x−y=1 située plus bas n'est pas une séparation active de ces deux zones, puisque A y peut encore coûter moins. Lucie montre ce point commun sur la feuille remise : les trois comparaisons ne sont pas trois traits dessinés arbitrairement et raccordés après coup, mais les conséquences des trois fonctions qui ont déterminé chaque nom.
Le frère propose d'ajouter cinq aux trois coûts en même temps. Lucie calcule leurs nouvelles différences et retrouve exactement les anciennes. Ajouter le même nombre à chaque candidat ne modifie ni la petite valeur choisie ni les égalités. Elle conserve donc les zones de cette préparation. Les valeurs écrites sur la fiche de contrôle changent, mais pas les noms remis. Ce constat n'autorise pas à annuler le huit particulier de B : une modification commune et une modification d'un seul candidat ne produisent pas les mêmes différences entre les fonctions.
Un repère nommé peut ne recevoir aucun emplacement de la page
Une troisième page conserve les positions, mais donne à B un supplément de quarante au lieu de huit. Le coût de B moins celui de A vaut alors 56−8x. Dans le carré, x ne dépasse jamais quatre ; cette différence est donc au moins vingt-quatre, strictement positive. A bat B pour tous les emplacements permis, quel que soit leur y. C peut encore battre A ailleurs, mais B ne peut plus être le moins cher des trois. Lucie laisse sa zone vide dans cette page. Ce résultat porte sur la fenêtre entière, pas seulement sur quelques essais choisis.
Même à la position B=(4,0), le coût de B est quarante et celui de A seize. Le repère ne possède donc pas nécessairement l'emplacement où son nom est inscrit. Lucie retire une attribution automatique de ce point à B que son frère avait ajoutée pour sauver une présence visible. Elle maintient le nom dans la liste des candidats et donne A comme réponse au point (4,0). La liste explique quelles fonctions ont été comparées ; elle ne garantit pas une zone non vide à chacune. Aucun quatrième repère ou emplacement extérieur n'est inventé pour compléter trois cases de couleur.
La fenêtre est ici une condition du certificat. Si l'on quittait la page vers x supérieur à sept, la différence 56−8x deviendrait négative et B pourrait battre A. Lucie ne déclare donc pas que B est partout impossible dans le plan entier. Elle donne le carré autorisé avec la conclusion de zone vide. Une autre demande sur une fenêtre agrandie exigerait une nouvelle comparaison avec C. Le constat précis de la page suffit à sa remise actuelle ; il n'est pas une propriété absolue du nom ou de la fonction, indépendante des emplacements permis.
Trois frontières demandées peuvent se contredire
Le frère revient aux trois repères et demande maintenant des frontières choisies avant les coûts : A avec B sur x=3, A avec C sur y=3 et B avec C sur x−y=1. Lucie note les suppléments inconnus a, b et c, qui seront ajoutés aux trois carrés de distance. Il ne lui demande pas de déplacer les repères. Elle doit établir si des constantes peuvent produire ces trois égalités ensemble, avant de leur attribuer des valeurs et de dessiner la page. Les trois traits souhaités constituent une demande, pas encore une partition réellement obtenue.
La frontière x=3 impose b−a=8, puisque 16−8×3+b−a doit s'annuler. Celle y=3 impose c−a=8. En retranchant ces deux conditions, Lucie obtient b−c=0. Or la frontière x−y=1 imposerait b−c=8 : dans la différence de B avec C, le terme de distance vaut moins huit sur cette droite. Les conditions se contredisent. Lucie refuse donc les trois frontières sous ce modèle de coûts ajoutés. Le refus n'est pas le manque d'un nombre commode : aucune constante a, b ou c ne peut satisfaire simultanément zéro et huit pour la même différence.
Elle donne au frère les deux possibilités de révision. Garder les deux premières frontières conduira à une diagonale B-C sur x=y. Garder x=3 et x−y=1 conduira à laisser la frontière A-C sur y=2. Le frère choisit expressément la première proposition. Lucie fixe a=0, b=8 et c=8, puis retrouve les trois égalités désormais compatibles. Les régions finales sont A pour x et y au plus trois ; B pour x supérieur à trois et x au moins y ; C pour y supérieur à trois et y supérieur à x. Leur point commun est (3,3), avec un départage en faveur de A.
Le frère reçoit cette page et barre la diagonale décalée x−y=1 de son ancienne demande. Lucie ne la laisse pas sous la nouvelle partition comme un trait décoratif portant encore les deux noms B et C. Cette frontière donnerait des réponses différentes du calcul accepté. La modification reçoit ainsi un effet visible dans le livre construit : la page contient la proposition révisée, avec le choix explicite qui a rendu les coûts possibles. L'ancienne demande reste dans le dossier comme état refusé, au lieu d'être annoncée satisfaite par une autre diagonale.
Une marge demandée peut laisser un emplacement sans nom
La dernière règle reprend d'abord les coûts sans supplément, mais exige que le gagnant devance chacun des deux autres d'au moins huit. Le frère veut laisser l'emplacement non attribué lorsque cette condition manque. La priorité A,B,C ne ferme pas ce manque : elle réglait une égalité, alors que la nouvelle demande exige une séparation positive des valeurs. Lucie compare donc le meilleur coût aux deux coûts restants avant de remettre un nom. Un emplacement possède toujours un coût minimal, mais ce minimum ne produit plus automatiquement une attribution sous la règle acceptée.
Pour A, les deux écarts rivaux sont 16−8x et 16−8y. Les exiger au moins égaux à huit donne x au plus un et y au plus un. La zone sûre de A est le petit carré d'aire un. À (3/2,1), A reste le gagnant nominal avec un coût 13/4 ; B vaut 29/4 et C 45/4. Le premier écart n'est que quatre. Lucie laisse cet emplacement sans nom sur la nouvelle page, même si son ancienne page l'attribuait sans ambiguïté à A. Aucun coût ne change dans cet essai ; c'est l'exigence de remise qui a changé.
Pour B, le coût de A moins celui de B vaut 8x−16, et celui de C moins celui de B vaut 8(x−y). La marge impose donc x au moins trois et x−y au moins un. La zone sûre de C satisfait de même y au moins trois et y−x au moins un. Lucie choisit les emplacements (3,2) et (2,3) comme contrôles remplis : ils sont attribués respectivement à B et C, avec un écart de huit face à chacun de leurs rivaux. La limite égale à huit est admise par la demande « au moins », sans la remplacer silencieusement par un seuil strict.
Les zones sûres de B et C ont chacune une aire cinq demis. Avec l'aire un de A, elles occupent six des seize unités d'aire de la page ; dix restent non attribuées. Lucie ne partage pas ces dix entre les trois noms pour retrouver un coloriage intégral. En (2,2), les trois coûts sont toujours huit ; la priorité aurait donné A, mais la marge vaut zéro. Elle retire donc A de cet emplacement sur la page à marge. Les zones laissées ouvertes ne sont pas des calculs oubliés : elles sont les réponses explicites aux emplacements qui ne remplissent pas l'exigence.
Le frère réintroduit ensuite le supplément huit de B, tout en gardant la marge huit. Pour attribuer B, l'écart favorable contre A doit satisfaire 8x−24 au moins égal à huit, donc x au moins quatre. La fenêtre impose x au plus quatre : il reste seulement x=4. Contre C, l'écart favorable vaut 8(x−y−1) ; la marge exige x−y au moins deux. Les emplacements admis pour B forment ainsi le segment x=4, avec y entre zéro et deux. Lucie l'inscrit malgré son aire nulle. La marge et le supplément ont presque fermé la zone de B, mais ne l'ont pas rendue vide.
Elle vérifie le point (4,1) sur ce segment. Les coûts sont dix-sept pour A, neuf pour B et vingt-cinq pour C. B devance donc A de huit et C de seize : le nom B est effectivement remis. Lucie retire la phrase « B n'existe plus sur cette page » que le frère avait déduite de son aire nulle. Le cas du supplément quarante avait produit une impossibilité pour tous les emplacements ; celui du supplément huit avec marge conserve un ensemble précis de réponses. Un compte d'aire et une recherche d'existence ne répondent pas à la même question, même lorsque le dessin de la zone paraît presque disparaître.
Deux noms peuvent avoir exactement la même fonction sur une zone entière
Une proposition séparée reprend les distances sans supplément ni marge, mais ajoute un quatrième repère D. Il est d'abord placé en (1/2,0). La priorité nouvelle est A, D, B, C ; le carré reste la même page. Le frère veut ensuite rapprocher D de A et propose d'arrondir sa position à (0,0). Lucie distingue la position exacte de cet arrondi avant de donner une réponse. Les quatre noms représentent quatre repères du modèle ; ils ne désignent pas quatre personnes ni quatre images à identifier. Le rapprochement demandé ne retire pas D de cette liste.
À la position exacte (1/2,0), la distance au carré vers D moins celle vers A vaut 1/4−x. A gagne donc cette comparaison seulement lorsque x est au plus un quart. Pour gagner contre C, il lui faut encore y au plus deux ; la condition contre B est alors déjà remplie. Sa zone a une largeur un quart et une hauteur deux, soit une aire un demi. À (1,1), D coûte cinq quarts et A deux : Lucie remet D. Elle donne cette réponse avec la position non arrondie. Le fait que D soit proche de A n'autorise pas à utiliser leur priorité de départage pour effacer une différence de coût strictement positive.
Si D est effectivement remplacé par (0,0), ses distances deviennent identiques à celles de A pour tous les emplacements. A le précède et gagne désormais cette égalité partout où leur coût commun est le meilleur. Sa zone redevient le carré x au plus deux, y au plus deux, d'aire quatre ; D ne reçoit aucun emplacement. En (1,1), la réponse passe donc de D à A. Cette égalité ne se limite pas à un segment d'aire nulle : les deux fonctions sont identiques sur tout le plan. Lucie refuse d'appliquer à ce cas son ancien commentaire sur les frontières entre trois positions distinctes. La coïncidence change précisément l'hypothèse qui rendait ces frontières linéaires et minces.
Le frère accepte de conserver (1/2,0) dans cette proposition et de ne pas l'arrondir. Lucie maintient l'aire un demi pour A et le nom D au point de contrôle. Elle conserve à côté la proposition arrondie, avec l'aire quatre, comme autre donnée non retenue. Le choix ne demande pas une nouvelle règle de préférence : la priorité A avant D était la même dans les deux calculs. Il demande de respecter la position utilisée par les fonctions avant de chercher leurs égalités. La page remise possède ainsi un contrôle qui détecterait l'arrondi proposé, plutôt que seulement une liste de coordonnées abrégées.
Les pages gardent leurs repères, leurs coûts et les permissions propres à chaque préparation. Lucie transmet la fenêtre avec les réponses choisies et les emplacements volontairement laissés sans nom. Le livre construit peut retrouver pourquoi un emplacement change de nom, demeure sur un segment d'aire nulle ou appartient à une zone entière d'égalité. Les feuilles antérieures restent des décisions sous leurs règles propres, sans être recoloriées après coup pour ressembler à la dernière remise.
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