Une page de jeu peut donner trois tableaux de chances impeccables et ne décrire aucun paquet que l’on puisse réellement préparer. Dans le livre fictif de Jeanne, une carte possède trois cases A, B et C, chacune marquée oui ou non. Jeanne veut définir un seul tirage de carte, puis permettre au lecteur d’en regarder deux cases à la fois. Malo lui apporte trois tableaux, un pour A et B, un pour A et C, un pour B et C. Le livre doit préciser si ces tableaux peuvent appartenir au même jeu.
Les cartes, les signes et leurs chances sont des données créées. Aucun comportement familial ni fréquence observée n’est interprété. Une carte est tirée selon les poids stipulés ; lire une case ne la modifie pas. Les petits modèles de probabilité sont classiques, sans invention revendiquée. Ils ne donnent aucune méthode pour diagnostiquer des personnes.
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Ces catégories donnent des repères à la page ; aucune règle de tirage ne provient des œuvres, dont les images ne sont pas examinées.
Trois tableaux valides, mais aucun paquet commun
Jeanne exige que chaque case ait une chance un demi de porter oui. Malo ajoute que deux cases portent ensemble oui avec une chance trois vingtièmes, pour chacune des trois paires. Le tableau A–B porte donc trois vingtièmes pour oui–oui, sept vingtièmes pour oui–non, sept vingtièmes pour non–oui et trois vingtièmes pour non–non. Les quatre parts sont positives et leur somme vaut un. Les tableaux A–C et B–C ont ces mêmes parts. Chacun des trois, considéré seul, définit donc bien un tirage de deux signes.
Malo propose un paquet de vingt cartes pour A et B : trois portent deux oui, sept seulement A, sept seulement B et trois aucun oui. Il en prépare un autre pour A et C, puis un autre pour B et C. Jeanne conserve ces réalisations séparées, mais refuse de les coller sous la mention « le paquet aux trois cases ». Les cartes du deuxième paquet ne sont pas encore les cartes du premier. Donner vingt cartes à chaque paire n’a pas donné leurs huit types possibles aux trois cases ensemble. Elle cherche les poids de ces huit types, au lieu de présumer une correspondance entre les cartes de trois réalisations différentes.
Elle appelle t la chance de oui sur les trois cases. La chance de oui seulement sur A et B serait trois vingtièmes moins t ; il en va de même pour A et C seulement et pour B et C seulement. Pour retrouver un demi sur A, il faut ensuite ajouter sa case oui solitaire. Son poids vaut un demi moins les deux chances communes trois vingtièmes, puis plus t : un cinquième plus t. Les cases B seule et C seule ont le même poids. Jeanne n’a donc pas encore choisi un couplage arbitraire : les six informations reçues expriment les sept types non vides à partir du seul t manquant.
Le huitième type, sans aucun oui, ferme la somme à un. Son poids vaut un moins trois demis, plus trois fois trois vingtièmes, moins t : moins un vingtième moins t. Mais t est lui-même une chance et doit être positif ou nul. Le poids du type vide serait donc toujours négatif. Jeanne refuse la préparation des cartes à trois cases, même en laissant t complètement libre. Le défaut ne vient pas d’une mauvaise sélection de ce dernier nombre : aucune de ses valeurs permises ne peut rendre le huitième poids admissible. Les trois paquets de deux cases restent possibles séparément ; leur promesse de paquet commun est retirée.
Jeanne peut aussi présenter le défaut sans choisir les noms des huit types. Sur une carte, si K compte les oui, l’expression un moins K plus le nombre de paires de oui vaut un pour K zéro, zéro pour K un, zéro pour K deux et un pour K trois. Elle ne peut donc jamais être négative. Sa moyenne devrait pourtant valoir un moins trois demis plus neuf vingtièmes, soit moins un vingtième sous les tableaux reçus. Cette contradiction donne un test rempli portant sur un même tirage. Il ne suffit pas que chaque tableau ait séparément évité des chances négatives.
Une vérification des variations peut elle aussi passer trop tôt
Malo propose un autre certificat. Il code oui par un et non par zéro, puis regarde les variations autour de la moyenne un demi. Chaque case aurait une variance un quart. Pour deux cases, le produit moyen vaut trois vingtièmes ; après retrait du produit des moyennes, leur covariance vaut moins un dixième. Malo construit ainsi une matrice dont les trois valeurs diagonales sont un quart et les six autres moins un dixième. Il souhaite y chercher un signe de contradiction avant de renoncer au paquet.
Pour trois poids réels u, v et w, la variation calculée à partir de cette matrice serait sept vingtièmes fois la somme de leurs carrés, moins un dixième fois le carré de leur somme. Or le carré de leur somme ne dépasse pas trois fois la somme de leurs carrés. La variation obtenue reste donc au moins un vingtième fois cette somme de carrés, toujours positive sauf si les trois poids sont nuls. Jeanne vérifie ce certificat : aucune combinaison linéaire de cases ne reçoit une variance négative dans ce calcul. L’échec du paquet commun n’apparaît pas dans ce test, qui passe réellement.
Malo avait annoncé « la matrice valide donc les trois cases ». Jeanne retire cette conclusion en conservant les deux résultats côte à côte. La matrice a répondu à une exigence sur les variations de combinaisons linéaires. Elle n’a pas rempli huit chances non négatives pour des cases qui prennent uniquement zéro ou un. Leur type vide demandait toujours moins un vingtième moins t. Ce n’est pas un arrondi que la matrice aurait corrigé : même calculées exactement, ses variations positives ne produisent aucune chance admissible pour ce type. Jeanne utilise donc le test des huit masses pour la commande binaire, plutôt que le certificat de variations comme un substitut suffisant.
Cette séparation ne dit pas que toute matrice de covariance est sans intérêt. Si une combinaison recevait une variance négative, le tirage serait déjà impossible. Mais le passage de cette condition nécessaire à une garantie sur les cases binaires était le geste erroné de Malo. Jeanne lui rend la matrice exacte avec sa portée limitée. Elle refuse le paquet, avec le type vide et le test sur K qui prouvent l’impossibilité ; elle n’ajoute pas un défaut fictif au calcul de covariance pour faire coïncider tous ses contrôles.
Corriger une chance commune sans changer les marges
Malo reçoit une nouvelle permission : il peut modifier ensemble les trois chances de oui–oui, en gardant un demi pour chaque case. Il veut la plus petite chance commune q qui permette un paquet. Jeanne ne fait pas disparaître les trois vingtièmes du refus précédent ; elle inscrit une nouvelle commande où q peut augmenter. Les cases restent binaires, et chaque paire doit employer la même valeur q. Aucun poids supplémentaire n’est reçu pour le type à trois oui.
Le calcul du type vide donne maintenant moins un demi plus trois q moins t. Comme il doit être positif ou nul et que t l’est également, trois q doit valoir au moins un demi. Jeanne obtient q au moins un sixième. Cette borne refuse encore les trois vingtièmes initiaux, inférieurs à un sixième d’un soixantième. Malo proposait un petit supplément d’un centième ; il atteindrait quatre vingt-cinquièmes, encore inférieur à un sixième. Jeanne ne certifie donc pas cette correction sur le seul mot « augmenté ». Elle garde la valeur minimale nécessaire et demande une réalisation qui l’atteigne.
À q un sixième, le type vide vaut moins t. Les deux poids ne peuvent être non négatifs que si t vaut zéro ; ils sont alors tous deux nuls. Chacun des trois types avec exactement deux oui vaut un sixième. Chacun des trois types avec exactement un oui vaut également un sixième. Jeanne construit six cartes, portant respectivement A seul, B seul, C seul, A et B, A et C, B et C, et les tire uniformément. Chaque case apparaît sur trois cartes sur six ; chaque paire apparaît sur une sur six. La borne un sixième est donc atteinte, et le tirage ne produit ni zéro ni trois oui.
Jeanne remet ce paquet avec un résultat plus précis que les seuls tableaux de deux cases. Les informations à la frontière ont forcé les huit poids : six égaux à un sixième, deux nuls. Malo avait proposé d’ajouter une carte aux trois oui pour que « toutes les combinaisons existent ». Elle n’appartiendrait plus à ce paquet sous les mêmes chances, puisqu’un t positif rendrait la chance du type vide négative. Jeanne retire cette proposition. Le manque de deux types n’est pas une lacune de décoration à combler ; il est une conséquence de la commande conservant les trois marges et le minimum q.
Pour vérifier que cette correction ne dépend pas seulement du seuil choisi, elle écrit les contraintes pour un q quelconque. Les types solitaires exigent t au moins deux q moins un demi ; les types doubles exigent t au plus q ; le type vide exige t au plus trois q moins un demi ; le type triple exige t au moins zéro. Il faut donc que le plus grand de zéro et de deux q moins un demi ne dépasse pas le plus petit de q et de trois q moins un demi. Entre un sixième et un demi, cet intervalle existe. En dehors, la demande symétrique aux marges un demi n’a pas de tirage. Jeanne conserve cette plage pour les commandes possibles, avec leurs huit poids effectivement renseignés par q et t.
Deux cases indépendantes ne ferment pas la troisième
Une nouvelle commande fixe q à un quart. Pour chaque paire, les quatre combinaisons ont alors chacune une chance un quart. Jeanne peut donc annoncer l’indépendance de deux cases à la fois : la chance de oui–oui retrouve le produit des deux chances un demi, et il en va de même pour les autres combinaisons de cette paire. Malo souhaite prolonger automatiquement ce calcul en annonçant une chance un huitième de trois oui. Jeanne lui demande quel poids complet justifie cette multiplication de trois facteurs, au lieu d’employer comme acquis une propriété vérifiée seulement deux cases à la fois.
Les huit types montrent ce qui reste ouvert. La chance de trois oui vaut t ; chacun des trois types à un seul oui vaut également t. Chacun des trois types à deux oui vaut un quart moins t, comme le type sans aucun oui. Toutes ces masses sont admissibles pour t entre zéro et un quart. Elles donnent exactement les mêmes trois tableaux de paires, alors que le type triple varie sur cet intervalle entier. Jeanne ne confond pas cette liberté avec celle du premier relevé impossible : ici de vrais paquets existent, et l’information à trois cases manque seulement pour les départager.
Elle construit un premier paquet de quatre cartes : aucune case oui, A et B oui, A et C oui, B et C oui. Tirées uniformément, elles donnent t zéro. Elle construit séparément un second paquet : A seul, B seul, C seul et les trois oui. Il donne t un quart. Pour A et B, chacun des deux paquets possède exactement une carte oui–oui, une oui–non, une non–oui et une non–non ; la même vérification vaut pour les deux autres paires. Pourtant le premier paquet ne peut jamais donner trois oui et le second le fait une fois sur quatre. Jeanne conserve les deux réalisations et refuse de déduire le triple de leurs tableaux identiques.
Dans le premier paquet, si les deux cases A et B sont oui, C est nécessairement non : la carte correspondante porte seulement A et B. Dans le second paquet, A et B oui oblige au contraire C oui. La connaissance de deux cases ensemble peut donc décider complètement la troisième, même quand chaque case prise seule était indépendante de chacune des deux autres prises seules. Jeanne remplace l’intitulé « aucune lecture ne renseigne une autre case » par les indépendances de paires effectivement vérifiées. La dépendance après deux lectures n’avait pas disparu sous les quatre quarts des tableaux ; elle avait seulement échappé à ce niveau de contrôle.
Malo propose de mélanger ces deux paquets en les choisissant d’abord à chances égales, puis en tirant uniformément une de leurs quatre cartes. Les huit types apparaissent maintenant chacun avec une chance un huitième. Jeanne peut cette fois vérifier l’indépendance des trois signes : chaque combinaison reçoit le produit des trois facteurs un demi. La chance triple un huitième devient une conséquence de ce mélange précisément construit. Elle n’est pas rétrospectivement attribuée aux deux paquets pris séparément. Jeanne remet donc trois jeux différents, dont les tableaux de paires sont identiques, avec les tirages qui expliquent leurs trois chances triples.
La commande suivante demande une chance un dixième de trois oui, sans changer les marges ni les tableaux q un quart. Jeanne choisit le premier paquet avec une chance trois cinquièmes et le second avec deux cinquièmes. Le triple n’existe que dans le second, sur une carte sur quatre ; sa chance vaut donc deux cinquièmes fois un quart, soit un dixième. Le mélange conserve les quatre quarts de chaque tableau, puisque les deux paquets les possédaient déjà. Cette réalisation montre que le triple ne se limite pas aux trois valeurs zéro, un quart et un huitième illustrées auparavant : les poids de sélection du paquet permettent de remplir l’intervalle admissible.
Demander un renseignement qui porte sur les trois cases
Une personne remet seulement les tableaux q un quart et souhaite publier la chance que C soit oui après avoir lu A et B oui. Jeanne conserve cette condition : l’événement A et B oui a toujours une chance un quart. La chance de C sous cette condition vaut donc t divisé par un quart, soit quatre t. Tant que t peut varier de zéro à un quart, la chance conditionnelle peut varier de zéro à un. Les trois tableaux, même tous exacts, ne fournissent aucune valeur plus précise pour cette question. Jeanne refuse de compléter la case par un demi au motif que la marge de C était un demi.
Elle demande alors un relevé sur l’événement à trois oui, et reçoit expressément sa chance un huitième dans le scénario. Ce renseignement fixe t. Les sept autres types sont déjà exprimés à partir de lui ; chacun devient un huitième. Jeanne remet la chance conditionnelle un demi, avec cette nouvelle donnée et les huit masses qui en résultent. Le résultat numérique ressemble à la marge de C, mais le pouvoir de l’affirmer ici vient du renseignement triple reçu. Sans celui-ci, les paquets à zéro et à un quart resteraient deux réponses admissibles donnant des chances conditionnelles opposées.
Jeanne conserve enfin les trois issues du livre : refus du relevé aux intersections trois vingtièmes, paquet de six cartes à la correction minimale un sixième, puis famille de paquets aux paires indépendantes un quart. Une matrice de variations positive n’a pas remplacé les masses binaires ; une correction minimale a fermé un tirage ; des indépendances de paires ont laissé le troisième signe encore ouvert. Les pages présentent les chances et les protocoles créés qui les réalisent. Elles n’inventent ni une fréquence familiale observée, ni une lecture capable de garantir plus que les renseignements effectivement reçus.
Trois cartes distinctes ne sont pas trois lectures d’une même carte
Jeanne reprend le paquet de quatre cartes portant aucun oui, A et B, A et C, B et C. Elle autorise maintenant trois tirages successifs uniformes sans remise. Seule A est lue sur la première carte, seule B sur la deuxième et seule C sur la troisième. Les trois résultats composent la réponse du nouveau jeu. Une carte retirée ne revient pas avant la fin ; le paquet initial n’est pas modifié.
Il existe quatre fois trois fois deux, soit vingt-quatre suites de cartes distinctes équiprobables. Pour obtenir trois oui, la première doit être la carte A–B ou A–C, la deuxième A–B ou B–C, la troisième A–C ou B–C. Jeanne impose ensuite leurs identités distinctes. Si elle commence par A–B, la deuxième ne peut plus être A–B : elle doit être B–C, laissant A–C pour la troisième. Si elle commence par A–C, la troisième doit être B–C ; la deuxième doit donc être A–B. Deux suites seulement donnent trois oui. Jeanne remet la chance un douzième, plutôt que le zéro du paquet lu sur une seule carte ou le un huitième de trois lectures supposées indépendantes. Le nouveau résultat ne vient pas d’un choix arbitraire de t : les cartes disponibles après chaque retrait ont déterminé ses deux réalisations sur vingt-quatre.
Les tableaux de paires conservent pourtant leurs quatre quarts. Pour A et B oui sur deux cartes distinctes, les quatre associations entre les deux cartes positives pour A et les deux positives pour B contiennent une association interdite : A–B serait reprise deux fois. Il reste trois couples sur douze couples ordonnés, soit un quart ; chacun peut être complété par deux troisièmes cartes. Les autres paires suivent le même décompte. Chaque lecture seule garde une chance un demi de oui, car chaque place de la suite reçoit chacune des quatre cartes aussi souvent. Jeanne conserve donc l’indépendance par paires pour ce nouveau jeu, mais retire l’indépendance des trois lectures. Si les cartes étaient remises après chaque lecture, les soixante-quatre suites seraient possibles et huit donneraient trois oui, soit un huitième. Elle choisit la règle sans remise, avec un douzième, et garde cette règle auprès des tableaux inchangés qui ne suffisaient pas à distinguer ces expériences.
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