Pour une page de son livre privé, Léa prépare une bande de signes zéro et un. Maud doit pouvoir y lire chacun des huit mots possibles de trois signes consécutifs. Elle voudrait une bande courte, dont le début et la fin seront réellement écrits. Nous ne cherchons pas des mots dans un document reçu : nous composons la bande qui devra tous les contenir. Aucun texte, ruban ou appareil réel n’est utilisé. Les signes, les permissions de lecture et les décisions appartiennent à cet exercice créé.
Une notice du Met classe une œuvre parmi les dessins.
Une autre notice du Met classe une œuvre parmi les dessins.
Une troisième notice du Met classe une œuvre parmi les dessins.
Les notices identifient des dessins seulement. Signes, catalogue et contraintes sont créés ; aucune méthode des œuvres ne les détermine.
Le catalogue demandé est 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 et 111. Une occurrence utilise exactement trois positions voisines, dans cet ordre. Deux occurrences peuvent partager des positions ; on ne découpe pas la bande en groupes disjoints. Dans la première commande, la lecture s’arrête au dernier signe et ne revient pas au début. Une seconde commande autorisera expressément une jonction de la fin au commencement. Le caractère ouvert ou fermé sera donc une donnée de la feuille, pas une propriété que Maud ajoutera pour sauver une longueur.
Dix signes suffisent sur une bande ouverte
Une bande ouverte de longueur L possède L−2 départs possibles pour un mot de trois signes : le premier est à la position un, le dernier à L−2. Il faut au moins huit de ces fenêtres pour que huit mots distincts puissent être présents. La longueur est donc au moins dix. Ce compte n’a pas encore construit une bande : huit fenêtres pourraient répéter un même mot et en manquer d’autres. Léa conserve la borne avant de choisir ses signes, puis exige un relevé qui montre chaque mot réellement obtenu à chaque départ.
Maud propose 0001011100, de dix signes. En avançant le début d’une position à la fois, Léa lit 000, 001, 010, 101, 011, 111, 110 puis 100. Les huit fenêtres sont différentes et retrouvent exactement le catalogue. La proposition atteint la borne dix ; Maud peut la remettre comme une bande de longueur minimale sous la lecture ouverte. Elle ne compte pas vingt-quatre signes parce que huit mots comportent chacun trois positions : leurs chevauchements ont permis de conserver ensemble plusieurs fins et commencements. Aucune des huit fenêtres n’a besoin de franchir la fin de cette bande.
Une autre proposition, 0001110100, donne 000, 001, 011, 111, 110, 101, 010 et 100. Elle a aussi dix signes et remplit la commande. Maud choisit la première pour sa page, mais ne présente pas son ordre comme imposé par la borne. Les deux bandes possèdent les mêmes huit mots, pas le même ordre de fenêtres. Léa remet donc une réalisation minimale, avec son relevé, plutôt qu’une phrase disant que le catalogue déciderait à lui seul du prochain signe après chaque paire. Ce prochain signe devra encore être choisi pendant la construction.
Une jonction autorisée change les fenêtres disponibles
Léa ouvre maintenant une feuille où la fin rejoint le début. Chaque position y devient le départ d’un mot de trois signes, en suivant le sens choisi et en franchissant la jonction si nécessaire. Une bande fermée de huit signes fournit huit fenêtres ; moins de huit n’en fournirait pas assez. Maud garde seulement 00010111, les huit premiers signes de la première réalisation. Les fenêtres qui commencent aux six premières positions donnent 000, 001, 010, 101, 011 et 111. Les deux dernières franchissent la jonction : le un de la position sept, celui de huit et le zéro de un donnent 110 ; celui de huit puis les deux zéros initiaux donnent 100.
Ces deux fenêtres ne sont pas présentes sur la bande ouverte 00010111. La couper et laisser ses huit signes en ligne ne ferait donc pas une réponse de même longueur à la première demande : elle perdrait 110 et 100. Maud ajoute alors les deux premiers zéros à la fin de la ligne et retrouve 0001011100. La copie de ces deux signes matérialise les deux fenêtres de jonction pour une lecture désormais arrêtée au dernier signe. Léa conserve huit sur la feuille fermée et dix sur la feuille ouverte. Ce ne sont pas deux comptes concurrents d’un support soumis à la même règle.
Léa contrôle aussi le nombre de signes de chaque type sur la feuille fermée. Les huit mots du catalogue ont ensemble douze occurrences de zéro et douze de un. Chaque position de la bande intervient dans trois fenêtres circulaires : comme premier, deuxième puis troisième signe. Le relevé des douze zéros impose donc quatre positions zéro, et de même quatre positions un. La bande de Maud vérifie ce contrôle. Il ne suffit toutefois pas à la reconstruire : une bande alternant quatre zéros et quatre uns ne montrerait que 010 et 101. Léa garde l’équilibre comme conséquence nécessaire de la couverture exacte, sans en faire une construction suffisante.
Garder deux signes pour choisir le troisième
Maud voudrait obtenir la bande sans essayer toutes les suites. Léa lui propose quatre noms de positions de travail : 00, 01, 10 et 11. Ils désignent les deux derniers signes gardés. Ajouter un signe forme un mot de trois signes, puis laisse sa paire finale comme nouvelle position. Ainsi 001 passe de 00 à 01 ; 010 de 01 à 10 ; 101 de 10 à 01. Le mot 000 passe de 00 à 00, et 111 de 11 à 11. Les huit mots deviennent huit passages dirigés entre ces quatre paires.
Cette correspondance conserve exactement ce que la commande exige. À partir d’une paire écrite, parcourir un passage ajoute seulement le dernier signe de son mot. Pour passer de 001 à 010, on garde la fin 01 de 001 puis on ajoute zéro, au lieu de juxtaposer les deux mots en six positions. Inversement, chaque fenêtre de trois signes d’une bande ouverte fournit un passage entre sa paire initiale et sa paire finale. Un parcours de huit passages écrit donc les deux signes de départ plus huit ajouts, soit dix signes. Maud peut reconstruire la bande depuis la liste des passages, et retrouver cette liste depuis ses fenêtres.
La liste correspondant à 0001011100 commence en 00 : 000 y reste, 001 mène à 01, 010 à 10, 101 revient à 01, 011 mène à 11, 111 y reste, 110 mène à 10 et 100 termine en 00. Revenir dans une paire ne constitue pas à lui seul une répétition d’un mot. Le passage 010 vers 10 et le passage 011 vers 11 partaient tous deux de 01, mais sont deux mots différents. Maud conserve dans son relevé les mots déjà utilisés, pas seulement les paires déjà rencontrées ; sinon elle interdirait une partie de la couverture avant de l’avoir accomplie.
Un arrêt prématuré peut laisser un petit circuit à insérer
Maud essaie une règle locale : depuis la paire courante, elle préfère ajouter zéro si cela forme un mot encore inutilisé, sinon un. En partant de 00, elle prend 000, puis 001, puis 010, puis 100. Sa ligne vaut alors 000100 et finit en 00. Les deux passages quittant 00, 000 et 001, ont déjà servi. Elle ne peut plus prolonger directement sans répéter un mot. Pourtant seuls quatre des huit sont couverts : 011, 111, 110 et 101 manquent. Léa refuse d’appeler ce retour une couverture complète et garde le point exact où l’essai s’est arrêté.
Les quatre mots manquants forment justement une boucle depuis 01 : 011 mène à 11, 111 reste en 11, 110 conduit à 10 et 101 ramène à 01. La paire 01 figurait sur l’ancien parcours, après 001. Léa insère cette boucle à cet endroit, avant l’ancien 010. La liste devient 000, 001, 011, 111, 110, 101, 010, 100. En ajoutant les derniers signes depuis 00, Maud écrit 0001110100. Les deux morceaux se raccordent à 01, sans effacer un ancien passage ni en utiliser un deux fois. Le retour intermédiaire a reçu la partie manquante qui pouvait réellement y commencer et y finir.
L’insertion ne consiste pas à coller la chaîne de trois signes de chaque mot manquant au milieu de la ligne. Elle agit sur le parcours des paires, puis celui-ci réécrit les ajouts. Les premiers signes de la boucle sont déjà ceux de la paire 01 où l’on se trouve ; les recopier comme une nouvelle entrée créerait des fenêtres supplémentaires. Maud remet la nouvelle ligne avec ses huit départs vérifiés. L’essai court demeure visible, avec son relevé de quatre mots. Léa ne le présente pas comme une bande minimale à laquelle un commentaire « autres mots présents » aurait suffi.
Le raccord repose sur une identité précise de paires, pas sur une ressemblance d’un signe. Une boucle qui commencerait en 11 ne pourrait pas être insérée après 001 en gardant les mêmes transitions, puisque cette dernière finit en 01. Ici, le cycle des quatre mots commence et finit bien en 01. Maud conserve ce nom aux deux bouts de son morceau avant d’autoriser l’insertion. Les deux petites boucles 000 et 111 montrent par ailleurs qu’une répétition de paire peut ajouter une fenêtre nouvelle : rester dans le même état ne signifie pas rester avec les mêmes mots déjà utilisés.
Un préfixe reçu peut obliger à dépasser le minimum initial
Une destinataire impose maintenant les cinq premiers signes 01010. Maud ne peut ni déplacer leur commencement ni remplacer un signe déjà donné. Ce préfixe fournit trois fenêtres : 010, 101, puis 010 de nouveau. Si elle garde la demande de voir chaque mot au moins une fois, cette répétition n’est pas interdite ; elle utilise toutefois déjà deux départs pour le même mot. Avec seulement dix signes, il y aurait huit fenêtres en tout, dont au moins deux identiques : au plus sept mots différents pourraient être présents. Dix ne peut donc plus remplir le catalogue sous ce préfixe.
Léa doit obtenir au moins neuf fenêtres, donc onze signes. Elle fournit 01010001110. Ses neuf fenêtres sont 010, 101, 010, 100, 000, 001, 011, 111 et 110. Les huit mots du catalogue sont présents, et seule la répétition reçue de 010 est ajoutée à leur nombre. Onze atteint donc la nouvelle borne. Maud garde le préfixe intact et accepte ce signe supplémentaire, plutôt que de promettre dix sur une feuille qui aurait discrètement changé son début. La demande « chaque mot exactement une fois » serait, elle, impossible avec ce préfixe déjà fixé, quelle que soit la longueur ajoutée.
Pour préparer la suite, Léa termine le préfixe dans la paire 10. Les passages encore à utiliser sont 100, 000, 001, 011, 111 et 110. Elle les parcourt dans cet ordre : 10 vers 00, boucle en 00, vers 01, vers 11, boucle en 11 puis retour à 10. Les six signes ajoutés sont 001110, ceux qui prolongent effectivement les cinq reçus. La fermeture du parcours de ces passages restants ne rend pas la bande entière circulaire : ses premières paires étaient celles du préfixe, et sa lecture continue de s’arrêter au dernier zéro de la réalisation.
Maud vérifie aussi les deux bouts des neuf passages du résultat. La paire de départ est 01, celle d’arrivée 10. Dans le catalogue complet, chacune des quatre paires possédait deux passages entrants et deux sortants. La seconde occurrence de 010 ajoute une sortie en 01 et une entrée en 10. Ces deux déséquilibres correspondent exactement aux bouts du parcours ouvert. La répétition n’est donc pas un ajout que l’on pourrait déplacer vers n’importe quel autre mot en conservant gratuitement le préfixe et les deux paires finales. Léa garde 010 comme répétition acquise dans le relevé, avec la permission « au moins une fois » qui l’a rendue admissible.
Retirer un mot ne retire pas toujours un signe au cercle
La nouvelle commande repart d’une feuille vide et interdit cette fois le mot 010 partout. Elle demande de couvrir les sept autres mots. Sur une bande ouverte, sept fenêtres donnent une borne de neuf signes. Maud réalise 100011101 : elle y lit 100, 000, 001, 011, 111, 110 et 101. Aucun 010 n’apparaît. La première paire est 10, la dernière 01. Léa accepte neuf pour la ligne et garde les deux bouts dans le relevé. Elle ne cherche pas à supprimer un signe de l’ancienne bande de dix sans refaire ses fenêtres : un signe retiré change aussi les voisinages des deux signes qu’il rapproche.
Sur une feuille fermée, sept signes fourniraient sept fenêtres, ce qui semble d’abord la même économie. Léa contrôle les paires. Retirer le passage 010, de 01 à 10, laisse 01 avec une seule sortie mais deux entrées ; 10 possède deux sorties mais une seule entrée. Dans un parcours fermé, chaque arrivée dans une paire doit avoir une sortie, et inversement. Couvrir chacun des sept passages restants exactement une fois ne peut donc produire un cercle. La liste ouverte de Maud était possible précisément parce qu’elle commençait en 10 et terminait en 01, les deux déséquilibres nécessaires à ce parcours.
La destinataire autorise désormais de répéter des mots restants, mais maintient l’interdiction de 010. Un cercle de huit signes donnerait huit fenêtres : il ne pourrait ajouter qu’une occurrence aux sept obligatoires. Pour rétablir les comptes, cette occurrence devrait partir de 01 et arriver en 10. Le seul mot de trois signes qui effectue ce passage est précisément 010, toujours interdit. Un huitième signe ne suffit donc pas. Maud ne remplace pas ce mot par un autre dont les signes seraient presque identiques : ses paires de départ et d’arrivée déterminent l’effet qu’il manque au relevé fermé.
Deux occurrences supplémentaires peuvent en revanche suivre 01 vers 11 par 011, puis 11 vers 10 par 110. Leurs effets intérieurs à 11 se compensent ; elles corrigent exactement les deux comptes déséquilibrés. Léa construit le cercle 000111011, de neuf signes. Ses neuf fenêtres, en incluant la jonction, sont 000, 001, 011, 111, 110, 101, 011, 110 et 100. Tous les mots autorisés sont présents ; 011 et 110 figurent deux fois, 010 zéro fois. Le cercle atteint la borne neuf établie après le refus de sept puis de huit, sans rouvrir le mot interdit.
Maud compare cette réponse aux neuf signes de la bande ouverte 100011101. Les longueurs sont égales, mais la ligne avait sept fenêtres distinctes tandis que le cercle en possède neuf, dont deux répétées. Elle ne fournit donc pas un relevé unique « neuf signes, sept mots » pour les deux supports. Elle écrit l’ordre des fenêtres et leur multiplicité avec la jonction choisie. Si la commande exigeait chaque mot autorisé exactement une fois sur le cercle, la correction par deux répétitions serait encore refusée. Sa permission nouvelle porte sur les répétitions autorisées, pas sur une suppression de l’interdiction de 010.
La bande remise conserve son catalogue et ses bouts
Léa choisit 0001011100 pour la première page ouverte du livre. Elle joint ses huit fenêtres et sa longueur minimale dix. La feuille au préfixe reçu garde onze signes et la seconde occurrence de 010 ; la feuille au mot interdit garde la ligne à neuf et, séparément, le cercle à neuf avec 011 et 110 doublés. Ces propositions ne sont pas réunies dans une seule bande supposée remplir toutes les commandes : l’une possède le mot que l’autre interdit, et leur début n’est pas le même.
Aucun dessin cité ne fournit ces signes, ces passages ou leurs règles. Les bandes composées gardent leurs contraintes propres, sans application d’un procédé des œuvres.
Deux bandes indépendantes ne possèdent pas les mêmes raccords
Une nouvelle remise distribue le catalogue entre deux pages. Chacune porte une bande ouverte avec au moins un mot de trois signes ; les fenêtres ne passent jamais d’une page à l’autre. Réunir leurs deux relevés doit retrouver les huit mots. Sans commencement imposé, Maud peut donner 000101 à la première et 011100 à la seconde. Chacune possède six signes et quatre fenêtres : 000, 001, 010, 101 d’un côté ; 011, 111, 110, 100 de l’autre. Douze signes suffisent ensemble, et huit fenêtres exigent au moins huit plus deux signes initiaux pour chacune des deux pages, donc douze. La destinataire ajoute toutefois une condition nouvelle : chacune des deux bandes doit commencer par 00 et ne pas dépasser six signes.
Sous cette condition, douze signes ne suffisent plus à livrer les deux pages demandées. Chaque bande fournit au plus quatre fenêtres ; couvrir huit mots exige donc exactement quatre sur chacune, sans aucune répétition entre elles. Regardons les deux parcours de paires : ils commencent tous deux en 00. L’ensemble des huit passages possède autant d’entrées que de sorties en chaque paire. Dans leur réunion, les deux départs en 00 doivent donc être compensés par deux arrivées en 00. Chacun des deux parcours doit s’y terminer. Or un parcours fermé partant de 00, s’il utilise autre chose que la boucle 000, doit prendre 001 pour quitter cette paire et 100 pour y revenir. Ces deux mots ne peuvent appartenir qu’à un des parcours, puisque nous les utilisons chacun une fois. L’autre parcours ne peut contenir que 000 : il possède un passage et trois signes. Le premier reçoit les sept passages restants, donc neuf signes. Il dépasserait six. Maud refuse ainsi la paire sous les deux plafonds, même si douze était un minimum correct lorsque les débuts restaient libres.
La destinataire autorise alors sept signes par page, mais garde les deux commencements 00. Maud remet 000101, six signes, avec 000, 001, 010, 101 ; puis 0011100, sept signes, avec 001, 011, 111, 110, 100. Le catalogue entier est présent et seule 001 se répète entre les relevés. Treize signes est le minimum sous ces nouvelles conditions : douze aurait encore imposé huit fenêtres distinctes, donc les deux parcours fermés et la répartition de longueurs trois et neuf déjà refusée par le plafond sept. La répétition donne maintenant une sortie supplémentaire de 00 vers 01. La première bande finit justement en 01, la seconde en 00 ; leurs bouts rendent compte de ce changement au lieu de dissimuler une fenêtre commune. Maud choisit cette paire et joint les deux relevés séparés. Elle ne recolle pas leurs signes pour compter des mots qui traverseraient la frontière : sa nouvelle remise a deux commencements reçus et deux fins effectives, pas un morceau unique lu avec une mémoire conservée à la coupure.
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