Dans le cahier qu’elle prépare pour Luc, Sophie dessine trois cases et deux boutons fictifs. Une marque occupe une seule case, mais le lecteur ne sait pas laquelle au début. Sophie voudrait lui remettre une suite de boutons qui finisse toujours dans la même case. Elle ne demande pas de retrouver l’emplacement initial. Elle cherche au contraire une opération qui efface cette différence dans le résultat final, sans modifier rétroactivement le départ. Les pages suivantes remplissent ce problème sur papier ; aucun appareil réel, essai auprès d’un lecteur ou procédure matérielle n’est présenté comme ayant été observé.
La notice 338504 du Met classe l’œuvre parmi les estampes.
La notice 338505 du Met indique également cette catégorie.
La notice 338506 du Met indique aussi une estampe.
Ces textes attestent des catégories seulement. Les états et commandes sont créés ; aucun procédé des œuvres n’est appliqué.
Les cases s’appellent A, B et C. Un bouton a fait avancer la marque dans l’ordre A vers B, B vers C, C vers A. Un bouton b laisse A en A et B en B, mais envoie C vers A. Les pressions s’exécutent de gauche à droite dans la suite écrite. Nous supposons d’abord chaque règle déterministe, connue et disponible dans chacune des trois cases. Sophie veut une suite fixée avant toute pression, sans lecture de la marque entre deux boutons. Ce départ inconnu est l’unique incertitude du premier modèle : il n’y a ni erreur de transmission ni choix aléatoire du bouton.
Sophie sépare alors deux questions sur sa feuille. Si la marque est connue en B, deux pressions de a la conduisent en A ; si elle est connue en C, une pression suffit ; si elle est déjà en A, rien n’est nécessaire. Ces trois instructions atteignent chacune A. Elles ne forment pourtant pas une instruction commune : le nombre de pressions dépend précisément du renseignement absent. Répéter la première ligne à tous les départs donnerait, après deux a, C depuis A, A depuis B et B depuis C. Sophie retire donc cette ligne du cadre intitulé « sans connaître le départ », tout en la gardant auprès des trois cas connus.
Pour calculer sans choisir un départ favorable, elle écrit un ensemble de possibilités. Au début, cet ensemble est A, B, C. Après une commande, elle remplace chaque élément par son arrivée et garde les arrivées différentes. Une même arrivée écrite deux fois ne correspond pas à deux marques réelles : elle signifie que deux départs encore compatibles ont désormais la même conséquence. La commande a conserve les trois possibilités, simplement déplacées. La commande b donne A, B : le départ C et le départ A conduisent tous deux en A, tandis que B reste B. Sophie inscrit cette première réunion directement dans sa trace.
Cette réunion ne lui révèle pas d’où venait la marque. Après b, voir A ne permettrait pas de départager les deux départs A et C. La réduction de l’ensemble n’est donc pas une connaissance plus précise du passé. Elle concerne les arrivées encore possibles maintenant. Sophie garde les trois lignes de départ dans une table séparée et construit la suite depuis l’ensemble A, B. Elle ne supprime pas l’ancienne ligne C pour annoncer qu’elle aurait connu A depuis le début. La prochaine commande doit fonctionner aussi bien pour l’arrivée A que pour l’arrivée B, quels que soient les deux départs qui ont rejoint A.
Quatre pressions réunissent les trois départs
Sophie essaie b, a, a, b. Les ensembles successifs sont A-B-C, puis A-B, puis B-C, puis C-A, enfin A seul. La dernière pression de b est utile parce qu’à cet instant les deux possibilités sont précisément C et A, que b réunit. La première pression ne pouvait pas accomplir cette réunion complète : B y avait survécu. Entre les deux b, les deux rotations ont changé la paire restante. Sophie recopie les trois trajectoires : A passe par A, B, C, A ; B passe par B, C, A, A ; C passe par A, B, C, A. Le dernier A est commun, même si les lignes intermédiaires diffèrent.
Luc propose de raccourcir la suite en supprimant un des deux a. Avec b, a, b, l’ensemble A-B obtenu au premier bouton devient B-C, puis B-A. Il reste deux arrivées. Ce refus est rempli dans la table : le départ B arrive en A, mais le départ A arrive en B. Sophie n’évalue pas le raccourci en suivant seulement C, qui arrive lui aussi en B et pourrait rendre deux lignes semblables. Elle conserve le deuxième a parce qu’il amène la paire B-C à la paire C-A. La position de la réunion, plutôt que le simple nombre de rotations visibles, décide du succès.
Pour vérifier qu’aucune autre suite de trois boutons ne réussit, Sophie considère la première pression qui réduit le nombre de possibilités. Une suite composée seulement de a reste une permutation des trois cases. La première réduction doit donc être un b ; les a placés avant lui laissent encore les trois possibilités et n’aident pas à réduire sa longueur minimale. Après ce b, il reste A-B. Avec une pression supplémentaire, on obtient encore A-B par b ou B-C par a. Avec deux, les possibilités sont A-B, B-C ou C-A. Aucun de ces ensembles n’est une case unique. Il faut une quatrième pression, et la suite déjà écrite l’atteint.
Cette preuve fait également apparaître le seul raccourcissement possible à la dernière étape minimale. Parmi les trois paires, b conserve A-B, envoie B-C sur A-B et réunit C-A en A. Pour arriver à C-A après trois pressions depuis l’ensemble complet, il faut b puis a puis a. La dernière pression doit être b, puisque a conserve toujours la taille d’un ensemble. Sophie n’a donc pas seulement trouvé un mot de quatre lettres : elle a vérifié que b-a-a-b est le seul de cette longueur qui réunisse les départs. Elle conserve cette singularité dans le contrôle, sans en faire une affirmation générale sur toutes les autres tables de boutons.
Une seconde demande veut maintenant finir en B, et pas seulement finir ensemble. Après la réunion en A, Sophie ajoute a et obtient b-a-a-b-a. Elle vérifie que cinq pressions sont nécessaires. La première réunion de plusieurs possibilités en une seule ne peut venir de a, qui est bijectif. Elle doit venir de b sur C-A, et son résultat est A ; b n’envoie que B sur B et ne pourrait donc y réunir deux états différents. Une première réunion en B à la quatrième pression est impossible. Il faut d’abord la réunion minimale en A, puis un déplacement. La fiche distingue ainsi une arrivée commune quelconque d’une arrivée commune imposée.
Réunir une paire ne suffit pas à remettre la même instruction
Sophie examine les paires pour construire la suite autrement. La paire A-C est réunie par b immédiatement. Pour A-B, elle emploie a-a-b : A-B devient B-C, puis C-A, puis A. Pour B-C, elle emploie a-b : B-C devient C-A, puis A. Ces petits mots ne sont pas interchangeables. Appliquer à A-B la ligne a-b destinée à B-C donnerait B-C puis B-A, encore deux possibilités. Sophie écrit la paire de départ à côté de chaque petit mot. Elle ne transforme pas l’existence de trois mots différents en l’existence d’un mot unique qui les ferait tous réussir simultanément.
Elle peut pourtant les composer lorsqu’elle suit les arrivées après chaque étape. Partant de A-B-C, elle choisit b parce qu’il réunit A-C ; il reste A-B. À cette nouvelle paire elle applique précisément a-a-b, le mot calculé pour A-B. Elle obtient le mot commun b-a-a-b sans devoir savoir quel départ était réel. La composition n’est pas une consultation du lecteur entre les boutons : la paire restante a été calculée d’avance sur la table entière. Sophie remet la suite complète sur une seule ligne. La réunion d’une paire fournit ici une étape de construction, à condition de recalculer la paire produite avant de choisir l’étape suivante.
Elle vérifie aussi pourquoi les rotations seules ne pourraient produire cet effet, même après de nombreuses pressions. Pour deux départs différents, chaque a donne deux arrivées différentes, et la même propriété vaut pour toute répétition de a. Une suite de rotations conserve donc les trois lignes distinctes. Ajouter des rotations peut changer la paire sur laquelle b sera utile, comme entre les deux b de la suite retenue ; les rotations ne constituent pas elles-mêmes la réunion. Sophie garde ces rôles séparés dans son dessin : déplacement des différences, puis effacement de la différence restante. Elle ne décrit pas la réunion comme une rotation simplement mieux choisie.
Une commande partielle demande une condition sur toutes les possibilités
Sophie ajoute à une nouvelle fiche un bouton c. Il envoie A sur A et B sur A ; en C, aucune action n’est définie. Il ne s’agit pas d’un bouton qui resterait sans effet en C : la fiche ne donne aucune arrivée pour ce cas. Sophie impose donc une permission précise, différente de la première fiche : elle ne peut presser c que si aucune arrivée encore possible n’est C. Une commande autorisée doit être définie pour chaque état compatible avec ce qu’elle sait à cet instant. Elle conserve les deux anciens boutons et leurs règles ; l’ajout de c ouvre un autre problème, sans réduire rétroactivement la longueur minimale du premier alphabet.
Dès le départ A-B-C, c n’est pas autorisé. Après b, les possibilités deviennent A-B, et c est défini sur chacune : b-c réunit alors tout en A en deux pressions. Ce gain ne vient pas d’un nouveau mot de deux lettres composé des anciens boutons. Il vient de la commande supplémentaire, disponible seulement après avoir retiré C des arrivées possibles. Sophie vérifie les deux points dans l’ordre : b est permis au départ, puis son image entière se trouve dans le domaine de c. Elle n’essaie pas c sur A seulement pour annoncer qu’un essai réussi aurait confirmé la permission depuis un départ encore inconnu.
Luc remplit une ligne en laissant vide l’arrivée de C sous c, puis ne conserve que les arrivées A obtenues depuis A et B. Sa ligne semblerait montrer une réunion immédiate. Sophie la refuse parce qu’elle a retiré un départ possible, et non calculé son arrivée. Elle remet le signe « non défini » en face de C et marque la commande initiale interdite. Le vide dans cette table n’est pas l’ensemble vide d’arrivées après une opération exécutée ; il est l’absence de règle qui empêche cette opération. La permission universelle sur les possibilités se contrôle avant la réduction de l’ensemble, pas après avoir ignoré les cases gênantes.
Elle vérifie enfin une proposition qui inverse b et a avant c. Après a au départ, les trois possibilités sont toujours présentes, donc c reste interdit. Après b-a, les possibilités sont B-C : c reste encore interdit à cause de C. La présence d’un b quelque part dans le mot ne donne donc pas une permission permanente d’employer c. Un bouton ultérieur peut ramener C parmi les arrivées possibles. Sophie conserve la condition de domaine attachée à l’ensemble courant et supprime la proposition b-a-c, même si son premier bouton avait provisoirement rendu c utilisable. La fiche b-c tient cette permission jusqu’à l’usage effectif du bouton.
Une arrivée incertaine peut empêcher toute suite fixée
Sur une autre fiche, le bouton b reçoit deux arrivées possibles en C : A ou C. En A et B, il conserve toujours la case. Sophie ne donne pas de probabilité à ce choix. Elle demande une réunion garantie pour toutes les arrivées autorisées à chaque pression, et non une réunion lorsqu’un choix favorable se réalise. Elle suit donc l’union de ces arrivées. Au départ complet A-B-C, b peut encore produire A-B-C, puisque C peut rester C. La trace b-a-a-b ne démontre plus une réunion ; chaque pression doit maintenant inclure la possibilité qui n’a pas quitté C sous b.
Sophie prouve même qu’aucun mot fixé avec a et ce b incertain ne garantit la réunion. À chaque occurrence de b, elle considère le choix autorisé qui laisse C en C. Ce choix rend b identique sur les trois états. Il peut être retenu à chaque pression, sans violer la fiche. Dans cette réalisation, tout mot est seulement une répétition de rotations a, entrecoupée d’identités. Il conserve trois arrivées différentes depuis les trois départs. Puisque cette réalisation reste autorisée, aucun mot ne peut garantir une arrivée commune pour toutes les réalisations. Sophie écrit l’impossibilité sur la fiche incertaine, sans l’étendre au bouton déterministe de la première fiche.
Répéter b davantage ne retire pas ce contre-exemple : le même choix de rester en C est toujours permis. Sophie ne remplace donc pas la garantie par l’espoir qu’une pression finira par envoyer C sur A. Aucun taux de réussite ni indépendance entre les pressions n’avait été donné. Elle laisse la première suite dans la partie déterministe et ne propose pas une durée arbitrairement longue comme réparation de la deuxième fiche. La différence tient à la quantification sur toutes les arrivées autorisées. Le contre-exemple conserve une réalisation entière, pression après pression ; il ne se contente pas de pointer une incertitude initiale qui disparaîtrait nécessairement ensuite.
Une observation autorise une politique, pas le même mot pour tous
Sophie revient aux boutons déterministes a et b, avec le bouton partiel c. Elle ajoute une observation autorisée avant toute pression : elle indique seulement « C » ou « A ou B ». Elle ne révèle pas la distinction entre A et B. Si la réponse est A ou B, Sophie peut immédiatement presser c et finit en A. Si la réponse est C, elle presse a, qui conduit C en A, puis c, défini en A. Les deux branches terminent en A, avec une ou deux pressions. Sophie remet une fiche à deux lignes qui commence par l’observation, plutôt qu’une suite de deux boutons qu’elle présenterait comme identique pour tous les départs.
Le renseignement donné modifie la permission d’employer c. Dans la branche A ou B, son domaine couvre les deux possibilités sans les départager. Dans la branche C, c reste interdit avant le déplacement par a ; il devient permis après celui-ci. L’observation ne rend donc pas toutes les commandes possibles immédiatement. Sophie contrôle les domaines à chaque branche, puis à chaque bouton de cette branche. Elle garde C-a-A-c-A comme trajectoire complète de la seconde ligne. Elle ne recopie pas c seul depuis la première ligne en supposant que le fait d’avoir observé C aurait supprimé l’obstacle qu’il représente pour cette commande.
La réussite de cette politique ne contredit pas la longueur quatre du mot commun initial. L’alphabet a changé par l’ajout de c, puis le protocole a changé par l’observation autorisée. La ligne exécutée dépend maintenant de la réponse. Sophie conserve trois objets distincts dans son livre : b-a-a-b sur les anciens boutons sans observation ; b-c avec la commande partielle ajoutée, mais toujours sans observation ; enfin les branches c ou a-c après le renseignement. Elle les remet avec leurs permissions propres. Luc peut suivre chaque fiche sans devoir deviner quel résultat favorable avait servi à la construire ni quelle commande supplémentaire était tacitement devenue disponible.
Ces notices d’estampes n’attestent aucune commande, arrivée ou observation du modèle. Les catégories restent leur seule contribution ; les preuves concernent les tables créées ici.
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