Camille crée pour une page de livre privé une fenêtre carrée, avec des coordonnées x et y comprises entre zéro et un. Ses quatre coins nommés sont O(0,0), A(1,0), C(1,1) et B(0,1), dans cet ordre autour du bord. Nora veut comparer ce carré à un dessin obtenu par une formule donnée, sans attribuer à cette formule une prise de vue ou une opération sur un objet réel. Les points, les demandes et les essais sont inventés. Il faudra vérifier les noms et les domaines, plutôt que conserver seulement une impression de ressemblance entre deux fenêtres.
Une notice du Met classe une œuvre parmi les dessins.
Une autre notice du Met classe une œuvre parmi les dessins.
Une troisième notice du Met classe une œuvre parmi les dessins.
Ces notices ont été lues pour leurs catégories. Aucune image ni méthode artistique n'est reprise ; les coordonnées et la formule sont stipulées ici.
La transformation T donne X égal à 2x/(1+x) et Y égal à 2y/(1+x). Le même dénominateur dépend donc de la première coordonnée. Sur la fenêtre initiale, il est toujours compris entre un et deux et ne s'annule pas. Camille garde des fractions exactes pour les points intermédiaires. La formule n'est pas présentée comme une recommandation de correction photographique : elle définit seulement le dessin de cet exercice, dont Nora choisira les propriétés utiles à sa page.
Le quatrième coin peut refuser une formule qui retrouve les trois autres
Camille transforme les quatre coins. O reste (0,0). A devient (1,0), C devient (1,1), tandis que B devient (0,2). Le haut du dessin rejoint donc (0,2) à gauche et (1,1) à droite ; son bas reste entre (0,0) et (1,0). Nora ne conserve pas B en (0,1) parce que le mot carré apparaissait dans sa première fiche. Elle inscrit les quatre destinations dans la version transformée et retire ce maintien erroné de B. Les deux coins de droite sont restés identiques à leurs anciennes positions, mais cette concordance partielle n'a pas immobilisé toute la fenêtre.
Nora avait proposé une transformation affine déterminée seulement par O, A et B. Leurs destinations imposent ici la formule (x,2y) : l'origine reste l'origine, une unité horizontale reste une unité horizontale, une unité verticale devient deux unités verticales. Cette formule envoie pourtant C en (1,2), et non en (1,1). Camille rejette donc cette candidate pour la commande portant sur les quatre coins. Les trois premiers accords ne sont pas des mesures approximatives à corriger ; ils déterminent bien la formule affine proposée, dont le quatrième résultat manque ensuite une destination expressément donnée.
Camille conserve la transformation fractionnaire T qui satisfait les quatre destinations, plutôt que modifier le quatrième coin pour sauver l'hypothèse affine. Sa première coordonnée n'est pas x : au point dont x vaut un demi, elle donne deux tiers. La seconde coordonnée n'est pas uniformément doublée non plus : lorsque x vaut un, le dénominateur deux lui laisse sa valeur y. Nora distingue alors la candidate affine refusée et la formule effectivement choisie. Elle ne lui donne pas une règle différente pour chaque coin ; T reste une même expression applicable à tous les points autorisés de la fenêtre.
Le centre des diagonales ne se retrouve pas en moyennant les images des coins
Le centre initial M est (un demi,un demi). En appliquant T, Camille obtient (deux tiers,deux tiers). Nora avait pris la moyenne des quatre coins transformés et placé une marque en (un demi,trois quarts) : leurs premières coordonnées totalisent deux, leurs secondes trois. Cette marque n'est pas l'image de M. Camille la retire de la légende qui la nommait centre transformé, tout en gardant son calcul comme moyenne des quatre destinations. Les opérations « transformer le point initial » et « faire une moyenne des points déjà transformés » ont donc donné deux résultats différents dans ce cas rempli.
Nora demande une construction du point transformé qui utilise les diagonales plutôt que cette moyenne. O et C donnent dans l'image la droite Y égal à X. A(1,0) et B(0,2) donnent la droite Y égal à 2−2X. Leur intersection satisfait 3X égal à deux ; elle vaut bien (deux tiers,deux tiers). Camille place la marque à cette intersection et lui remet les deux équations qui la situent. M était l'intersection des diagonales initiales et sa destination demeure l'intersection de leurs images. La décision conserve une relation d'incidence, sans conserver la manière dont les diagonales se partageaient en moitiés sur la première fenêtre.
Camille examine la diagonale O-C. Son milieu initial était M, mais son image se trouve aux deux tiers de chacune des coordonnées entre O(0,0) et C(1,1), au lieu de leur demi. Nora refuse donc la consigne « transformer les deux bouts puis prendre leur milieu » pour cette marque. Cette consigne aurait donné (un demi,un demi), une troisième position. La moyenne des quatre coins, le milieu des deux bouts transformés et l'image du centre initial sont trois calculs effectivement remplis ; seul le dernier répond à la demande de suivre M. Nora conserve les noms de ces trois constructions au lieu de les réunir sous un unique mot centre.
Les droites restent des droites, mais deux parallèles peuvent se rejoindre
Pour retrouver les relations du dessin, Camille calcule d'abord la formule inverse sur ses points autorisés. Depuis X égal à 2x/(1+x), elle obtient x égal à X/(2−X). La deuxième formule donne alors y égal à Y/(2−X). Une droite initiale y égal à mx+n devient donc Y égal à (m−n)X+2n. Camille n'a pas vérifié seulement trois points isolés de cette droite : elle a remplacé les coordonnées dans son équation et obtenu une autre équation de droite. Une verticale x égal à k donne séparément la verticale X égal à 2k/(1+k), lorsque k appartient au domaine considéré.
Nora utilise ce calcul sur la diagonale A-B du carré initial, où y vaut 1−x. Avec m égal à moins un et n égal à un, l'image vérifie Y égal à 2−2X. Cette équation rejoint les deux destinations déjà calculées. La diagonale O-C, où y vaut x, donne Y égal à X. Camille conserve donc les deux segments droits dans sa page et leur intersection en deux tiers, deux tiers. Elle refuse un brouillon qui courbait le premier segment pour passer par les destinations de trois points : ces destinations appartiennent à la même droite démontrée, et aucune courbe supplémentaire n'était demandée.
Le bas du carré initial, y égal à zéro, devient Y égal à zéro. Son haut, y égal à un, devient Y égal à 2−X. Ces deux droites étaient parallèles dans la première fenêtre ; leurs images ne le sont plus. Leurs prolongements se rencontrent en (2,0). Nora corrige la phrase « toutes les directions parallèles sont conservées » sur son dessin transformé. Elle ne déplace pas le coin C jusqu'à (1,2) pour rendre le haut horizontal : cette modification reviendrait au résultat de la candidate affine écartée. Les bords transformés restent ceux de T, avec leurs directions différentes.
Le point (2,0) de rencontre n'appartient toutefois pas à la fenêtre transformée. Les abscisses de celle-ci vont seulement de zéro à un. Nora avait voulu faire arriver le haut et le bas l'un contre l'autre sur la page pour montrer leur rencontre ; Camille retire ce raccord du contour de la fenêtre. Leurs segments visibles ne se croisent pas. Nora peut donner leurs deux équations et nommer l'intersection de leurs prolongements dans le plan, sans présenter cet autre point comme un coin supplémentaire de la région livrée. Le changement de parallélisme n'a pas supprimé la séparation des deux bords dans le domaine choisi.
La formule inverse ne suffit pas à accepter n'importe quelle destination
Camille détermine maintenant la région entière qui peut être remise. X égal à 2x/(1+x) augmente de zéro à un lorsque x va de zéro à un. Pour une telle valeur X, le facteur 2−X est positif. Puisque y reste entre zéro et un, Y égal à y(2−X) reste entre zéro et 2−X. La région transformée est donc définie par 0 au plus égal à X au plus égal à un, puis 0 au plus égal à Y au plus égal à 2−X. Le coin supérieur gauche peut atteindre deux, tandis que le supérieur droit atteint seulement un ; Camille garde ces limites dans le domaine annoncé.
Nora donne la destination (un demi,trois demis) à retrouver dans le carré initial. L'inverse fournit x égal à un tiers et y égal à un. Ce point appartient au bord supérieur initial. Camille reprend T et vérifie X égal à un demi, Y égal à trois demis. Nora accepte cette destination, avec sa provenance sur le haut du carré. Il ne suffisait pas d'observer qu'elle se trouve au-dessus de la hauteur un : la nouvelle région permet cette hauteur à cette abscisse. Camille n'a donc pas rogné Y à un pour la faire entrer artificiellement dans les limites de l'ancienne fenêtre.
Une proposition différente demande (un demi,sept quarts). L'expression inverse existe encore et donne x égal à un tiers, y égal à sept sixièmes. La seconde coordonnée dépasse le un autorisé dans le carré initial. Camille refuse cette destination pour la région qu'elle devait transformer, même si elle a obtenu deux fractions parfaitement définies. Nora avait préparé le mot « sans antécédent » ; elle le remplace par « antécédent hors du domaine choisi ». Un point du plan plus grand que le carré fournirait cette destination avec la même expression, mais il n'appartient pas à la liste continue de points que sa commande a autorisée.
La demande X égal à deux est d'une autre nature. L'égalité 2 égal à 2x/(1+x), avec un dénominateur non nul, donnerait 2+2x égal à 2x, ce qui est impossible. Aucun x fini où T est définie ne peut donc fournir cette abscisse. L'inverse annoncerait de son côté une division par zéro. Nora refuse de choisir un très grand x puis de le nommer exactement deux dans l'image : les valeurs peuvent s'en approcher, mais ne l'atteignent pas. Elle conserve deux diagnostics différents, le point précédent hors du domaine choisi et cette abscisse qui ne possède pas d'antécédent fini sous la formule.
Camille vérifie également le départ x égal à moins un. La formule T y possède un dénominateur nul, quelle que soit la valeur de y. Il ne devient pas un point utilisable parce que Nora aurait élargi la fenêtre vers la gauche. Nora garde donc l'exclusion de cette droite dans toute branche qui emploierait T sur un domaine élargi. Dans le carré initial, la difficulté n'apparaissait pas parce que x restait positif ou nul. La vérification du dénominateur ne remplace pas le contrôle des bornes, et le contrôle des bornes n'efface pas une division par zéro dans une autre commande.
Un rapport de quatre points peut rester exact sans conserver trois intervalles égaux
Nora place sur le bord inférieur quatre repères d'abscisses zéro, un tiers, deux tiers et un. Les trois écarts voisins valent chacun un tiers. Camille transforme les quatre repères et obtient zéro, un demi, quatre cinquièmes et un. Les nouveaux écarts valent un demi, trois dixièmes et un cinquième. Nora retire une légende qui annonçait trois parties égales dans l'image. Elle garde les noms des quatre repères à leurs destinations calculées, plutôt que replacer artificiellement les deux repères intérieurs aux tiers pour retrouver une propriété perdue. Le bord demeure droit, mais son partage uniforme n'est pas conservé.
Pour comparer ces quatre points autrement, Camille donne un rapport expressément défini : pour des abscisses a, b, c et d distinctes, elle calcule (a−c)(b−d)/((a−d)(b−c)). Sur zéro, un tiers, deux tiers et un, le numérateur vaut quatre neuvièmes et le dénominateur un tiers ; le rapport vaut quatre tiers. Sur les images zéro, un demi, quatre cinquièmes et un, le numérateur vaut deux cinquièmes et le dénominateur trois dixièmes ; elle retrouve quatre tiers. Nora conserve ce rapport dans la fiche comparant les quatre repères. Cette égalité nouvelle n'est pas présentée comme un rétablissement des trois longueurs égales, dont elle vient de vérifier les valeurs différentes.
Camille explique la conservation du rapport depuis la première coordonnée f(x) égale à 2x/(1+x). Pour deux abscisses u et v où les expressions sont définies, la différence f(u)−f(v) vaut 2(u−v)/((1+u)(1+v)). Dans le rapport de quatre différences, les quatre facteurs deux s'annulent entre numérateur et dénominateur ; les facteurs 1+a, 1+b, 1+c et 1+d s'annulent également. Il reste le rapport des différences initiales. Nora peut donc garder cette identité sur quatre points distincts du domaine, au lieu de croire que la seule réussite de ses quatre nombres prouvait une invariance pour n'importe quelle formule.
Nora compare pourtant une consigne qui conserverait seulement le rapport des deux premiers écarts voisins. Au départ, ce rapport vaut un : les deux tiers consécutifs ont la même longueur. Dans l'image, il vaut un demi divisé par trois dixièmes, soit cinq tiers. Camille refuse cette autre consigne. Elle ne retire pas un repère du rapport à quatre points en espérant que la propriété survive avec une formule plus courte. Le calcul gardé utilisait les différences entre a et c, b et d, a et d, b et c ; il ne parlait pas des seules deux distances consécutives. Nora donne la formule complète sur la fiche remise pour maintenir cette différence de demande.
Les quatre coins peuvent imposer une aire incompatible avec une autre demande
Nora ajoute au dessin transformé une demande d'aire égale à celle du carré initial, soit un, en gardant les quatre destinations et les bords droits. Camille calcule l'aire du quadrilatère donné : il contient le rectangle de largeur un et de hauteur un, puis au-dessus un triangle de largeur un et de hauteur un. Les deux aires donnent un plus un demi, soit trois demis. Les quatre coins et les quatre segments imposent ce contour. La demande d'aire un ne peut pas être satisfaite par une autre formule qui garderait exactement le même contour de destination. Nora doit changer l'une de ses exigences plutôt que modifier seulement le nombre écrit sous la figure.
Camille propose une branche qui multiplie les deuxièmes coordonnées des destinations par deux tiers. Le contour a alors pour coins (0,0), (1,0), (1,deux tiers), (0,quatre tiers) ; son aire devient un. Nora refuse cette branche tant qu'elle veut les destinations C(1,1) et B(0,2) de la première commande. Elle accepte ensuite expressément d'abandonner ces deux hauteurs pour une page différente, dont l'aire un devient la priorité. Camille remet le contour comprimé avec ses nouvelles coordonnées et garde le contour à trois demis dans la première page. L'accord sur une aire ne permet pas de laisser des coins anciens sur une figure qui ne les atteint plus.
Deux extrémités définies ne certifient pas le segment qui les relie
Une dernière branche élargit le départ à un segment horizontal qui va de L(−2,0) à R(0,0). Nora souhaite employer la même formule et relier les images des deux extrémités par un trait continu. Cette branche n'est pas une portion du carré initial : Camille conserve ce changement de domaine dans la nouvelle demande. Les deux extrémités possèdent bien des images finies. L devient (4,0), R reste (0,0). Nora avait donc préparé un segment allant de quatre à zéro dans l'image, sans encore vérifier les points intermédiaires du départ.
Camille paramètre le segment initial par x égal à moins deux plus deux t, avec t entre zéro et un. Le dénominateur 1+x vaut moins un plus deux t ; il s'annule au paramètre un demi. Le point central du segment n'a donc pas d'image. Pour la partie de x allant de moins deux vers moins un sans l'atteindre, la première coordonnée transformée part de quatre et augmente sans borne. De l'autre côté, quand x va de juste au-dessus de moins un jusqu'à zéro, elle vient de valeurs négatives sans borne et atteint zéro. L'ensemble des images est ainsi formé de deux morceaux sur la même droite : X au moins égal à quatre et X au plus égal à zéro. Le segment préparé par Nora, entre zéro et quatre, ne décrit ni l'un ni l'autre. Il contient même X égal à deux, abscisse dont Camille a prouvé l'absence d'antécédent fini.
Nora retire le trait continu et choisit deux portions de départ fermées qui évitent le point interdit : de x égal à moins deux jusqu'à moins trois demis, puis de moins un demi jusqu'à zéro, toujours avec y nul. Leurs images sont respectivement les segments d'abscisses quatre à six et moins deux à zéro. Camille calcule chaque nouvelle extrémité et lui remet les deux traits séparés avec leurs portions de départ. Nora abandonne expressément le milieu du segment initial et ne présente plus la remise comme sa transformation entière. Conserver la droite horizontale comme support n'obligeait pas les images à former un intervalle continu entre celles des deux anciennes extrémités. La nouvelle page montre deux portions entièrement définies, plutôt qu'un raccord inventé pour cacher la rupture de la formule dans le domaine élargi.
La première fenêtre conserve finalement T et ses quatre destinations, l'image du centre à l'intersection des diagonales, ainsi que ses bornes de domaine. La seconde page conserve la compression choisie pour l'aire. Nora ne les rassemble pas dans un seul dessin qui promettrait les milieux, les parallèles, les coins et les surfaces à la fois. Les calculs qui ont refusé certaines demandes restent attachés à leurs données. Camille peut ainsi montrer les relations effectivement conservées par une formule, puis les demandes qui exigent une autre remise, sans réduire toute la comparaison à une ressemblance de contours.
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