Nora prépare une page de livre privé où figure le nombre 1,41. Dans notre cas entièrement créé, ce nombre provient d'un arrondi ; aucune mesure, photographie ou archive familiale n'est examinée. Camille doit proposer une fraction qui pourrait donner cet affichage, avec le plus petit dénominateur possible. Nora lui demandera ensuite une autre garantie : rester assez proche de toutes les valeurs que cet affichage laisse ouvertes. Les deux commandes ne retiendront pas la même fraction.
Une notice du Met classe une œuvre parmi les dessins.
Une autre notice du Met classe une œuvre parmi les dessins.
Une troisième notice du Met classe une œuvre parmi les estampes.
Ces notices ont été lues pour leurs catégories. Aucun sujet ou procédé artistique n'est repris ; les nombres, règles et décisions sont créés ici.
Nous ne cherchons pas une fraction historiquement employée par quelqu'un. Notre choix sera celui d'un exercice composé pour la page. Les numérateurs et dénominateurs sont des entiers positifs ; une fraction est écrite sous sa forme irréductible. Ainsi, 48/34 et 24/17 constituent ici un même choix, dont le dénominateur retenu est dix-sept. La petitesse de ce dénominateur sera notre critère, sans jugement esthétique sur les écritures.
L'affichage laisse un intervalle, pas une valeur unique
Nora donne une convention précise pour les nombres positifs : arrondir au centième le plus proche et, à mi-chemin, choisir le centième supérieur. Les valeurs donnant 1,41 vont donc de 1,405 inclus à 1,415 exclu. En fractions exactes, notre intervalle commence à 281/200 et s'arrête avant 283/200. Camille conserve ces deux bornes comme données de sa recherche. La valeur 141/100 y figure, mais l'affichage ne l'a pas désignée comme valeur antérieure exacte.
Camille propose pourtant d'abord 141/100, en recopiant simplement les chiffres affichés. Cette fraction convient : elle redonne bien 1,41. Nora lui demande cependant de vérifier le critère du dénominateur. Camille trouve ensuite 24/17, soit environ 1,411765. Pour comparer exactement aux bornes, elle multiplie les deux côtés par les dénominateurs positifs : 24 fois 200 vaut 4 800, entre 281 fois 17, soit 4 777, et 283 fois 17, soit 4 811. Nora garde donc cette seconde candidate compatible, dont dix-sept est inférieur à cent.
Nora refuse aussi 7/5 comme résultat de cette recherche. La fraction vaut exactement 1,4, et son dénominateur cinq serait avantageux si elle appartenait à l'intervalle. Mais elle se trouve au-dessous de 1,405. Camille ne lui attribue pas un arrondi à 1,41 en ajoutant un centième après coup. La feuille retire donc 7/5 des candidates remises, tout en la conservant comme une borne qui servira à prouver pourquoi les petites fractions manquent l'intervalle.
Additionner les termes permet de resserrer les bornes
Camille commence avec les fractions 1/1 et 2/1, qui encadrent l'intervalle demandé. Elle crée une fraction intermédiaire en additionnant leurs numérateurs puis leurs dénominateurs : 3/2. Cette fraction vaut 1,5, au-dessus de la borne supérieure. Elle remplace donc 2/1 par 3/2. Le nouvel encadrement reste 1/1 à gauche et 3/2 à droite. La fraction intermédiaire suivante, 4/3, vaut environ 1,333 et se situe sous la borne inférieure ; elle remplace alors 1/1. Chaque remplacement garde tout l'intervalle recherché entre les deux fractions conservées.
Avec 4/3 et 3/2, l'addition donne 7/5. Cette fois encore, la fraction est trop basse. Les bornes deviennent 7/5 et 3/2, puis leur nouvelle fraction intermédiaire vaut 10/7. Elle est trop haute, puisque 10 fois 200 dépasse 283 fois sept. Camille garde donc 7/5 et 10/7. Leur somme des termes donne ensuite 17/12, encore au-dessus de 1,415 : 17 fois 200 vaut 3 400, tandis que 283 fois douze vaut 3 396. Elle conserve finalement 7/5 et 17/12 comme les deux bornes immédiatement utilisées pour son certificat.
La fraction intermédiaire suivante est 24/17. Nora retrouve la candidate compatible déjà vérifiée. Cette procédure a évité de commencer par tous les dénominateurs un, deux, trois, puis de continuer jusqu'à cent. Elle a produit une suite de bornes en décidant à chaque étape si la nouvelle fraction est trop basse, trop haute ou dans l'intervalle. Camille remet les comparaisons exactes de chaque remplacement, et non une liste de décimales arrondies une seconde fois. La dernière décision a comparé 4 800 à 4 777 et 4 811, ce qui ferme réellement la recherche de cette candidate.
Nora avait appelé cette opération « prendre la moyenne ». Camille vérifie cette annotation avant de la garder. La moyenne ordinaire de 7/5 et 17/12 vaut 169/120, alors que l'addition des termes donne 24/17. Leur différence est positive : 24/17 moins 169/120 vaut sept sur 2 040. Les deux valeurs sont entre les bornes, mais elles ne sont pas identiques. Nora remplace donc son annotation par « additionner les numérateurs et les dénominateurs ». Le calcul qu'elle vient d'utiliser repose précisément sur cette seconde opération, souvent appelée médiant.
Un certificat exclut tous les dénominateurs plus petits
Pour prouver que dix-sept est minimal, Camille observe d'abord l'égalité 17 fois cinq moins sept fois douze égale à un. Elle prend une fraction p/q strictement entre 7/5 et 17/12. Les deux entiers u égal à 17q moins 12p, et v égal à 5p moins 7q, sont alors positifs. Leur positivité vient des deux comparaisons strictes, puisque q est positif. Aucun des deux ne peut être une petite fraction entre zéro et un : ce sont des entiers, donc chacun vaut au moins un.
Camille reconstruit ensuite les termes de p/q depuis ces deux entiers. Sept fois u plus dix-sept fois v redonne p ; cinq fois u plus douze fois v redonne q. Elle développe la seconde identité : 85q moins 60p, plus 60p moins 84q, laisse exactement q. Ainsi, q vaut 5u+12v et ne peut être inférieur à dix-sept. Toute fraction compatible avec l'affichage est strictement entre les deux bornes utilisées. Nora dispose donc d'une exclusion portant sur toutes les candidates de dénominateur inférieur à dix-sept, pas seulement sur les premières que Camille avait essayées.
L'égalité q égal à dix-sept oblige u et v à valoir chacun un. La première identité donne alors p égal à vingt-quatre. Nora retient donc 24/17 comme l'unique fraction de dénominateur minimal dans cette commande. Camille n'a pas seulement donné une candidate meilleure que 141/100 ; elle a prouvé qu'aucune fraction plus petite selon le critère déclaré ne pouvait convenir. Le certificat reste auprès de la fraction choisie, avec la convention d'arrondi qui avait fourni l'intervalle.
Le même calcul ferme aussi la liste sous un plafond de vingt. Si u dépasse un, q atteint au moins vingt-deux ; si v dépasse un, q atteint au moins vingt-neuf. Il ne reste donc que u=v=1 pour les dénominateurs dix-sept à vingt. Nora reçoit une seule candidate sous ce plafond. Cette unicité a une autre portée que la minimalité : elle concerne tous les choix autorisés jusqu'à vingt, même ceux que la commande aurait pu garder sans exiger le plus petit. La preuve donne ici les deux conclusions avec leurs domaines propres.
Un plafond plus large rend plusieurs fractions compatibles
Nora autorise maintenant des dénominateurs jusqu'à quarante, sans demander qu'ils soient minimaux. Camille utilise encore q=5u+12v, avec u et v positifs. Elle énumère les paires donnant q au plus égal à quarante, reconstruit p=7u+17v, puis vérifie l'intervalle exact et l'irréductibilité. Cette dernière vérification retire notamment u=v=2 : la fraction 48/34 correspond encore à 24/17. Copier cette écriture dans une nouvelle ligne n'ajouterait pas une seconde valeur compatible.
La liste conservée contient exactement sept fractions : 24/17, 31/22, 38/27, 41/29, 45/32, 52/37 et 55/39. Camille les remet dans l'ordre de leurs dénominateurs, avec leurs deux comparaisons aux bornes. Par exemple, 31 fois 200 vaut 6 200, entre 281 fois vingt-deux, soit 6 182, et 283 fois vingt-deux, soit 6 226. Pour 55/39, le produit 11 000 se trouve entre 10 959 et 11 037. Nora peut donc refaire l'appartenance de ces lignes sans devoir lire une chaîne de décimales approchées.
Nora retire alors le titre « la fraction retrouvée » de la page au plafond quarante. Sa commande initiale avait choisi 24/17 par une préférence explicite de dénominateur. La nouvelle liste ne donne pas cette préférence et contient sept valeurs différentes. Elle décide d'imprimer les sept lignes comme possibilités du modèle, plutôt que présenter celle située en tête comme origine renseignée. La feuille de la première commande conserve son choix unique ; la seconde conserve une pluralité exactement énumérée. Le nombre affiché est resté 1,41 pendant ce changement de remise.
Deux termes impairs imposent un autre minimum
Camille prépare une autre branche où le numérateur et le dénominateur doivent tous deux être impairs. Cette condition concerne l'écriture irréductible de la fraction. Nora ne peut donc pas rendre 24/17 admissible en multipliant ses deux termes : son numérateur demeure pair après une multiplication impaire, et une multiplication paire rendrait aussi son dénominateur pair. Elles reprennent la recherche sous la nouvelle condition, sans déplacer les bornes d'arrondi.
Les identités donnent maintenant une preuve courte du nouveau minimum. Comme q=5u+12v est impair, u doit être impair. Comme p=7u+17v doit aussi être impair, u+v doit être impair ; v est donc pair. Les deux entiers demeurent positifs. Le plus petit choix possible est u=1 et v=2, d'où q=29 et p=41. Camille vérifie que 41/29 appartient bien à l'intervalle : 8 200 est entre 8 149 et 8 207. La candidate atteint donc la borne inférieure de dénominateur que la parité vient d'imposer.
Nora demande pourquoi 31/22, qui apparaît plus tôt dans la liste, n'a pas été retenue. Camille montre que son numérateur est impair mais son dénominateur pair. Une commande portant seulement sur le numérateur aurait pu la garder ; la commande présente porte sur les deux termes. Nora choisit 41/29 avec cette condition inscrite. Elle n'appelle pas vingt-neuf une meilleure approximation en général : le nouveau minimum répond à la restriction effectivement ajoutée, et l'ancienne candidate 24/17 demeure le minimum sans cette restriction.
Être compatible ne garantit pas une erreur uniforme
Pour la dernière préparation, Nora abandonne la condition de parité. Elle exige qu'une fraction choisie reste à une distance au plus égale à 3/500 de chaque valeur qui pourrait avoir donné 1,41. Il ne suffit plus que la fraction appartienne elle-même à l'intervalle. Camille calcule les écarts aux deux bornes : pour 24/17, la différence avec 281/200 vaut 23/3 400, supérieure à 3/500. La borne inférieure est incluse ; elle fournit donc une valeur effectivement permise qui fait échouer la nouvelle garantie. Nora retire 24/17 de cette remise.
Pour satisfaire toutes les valeurs de l'intervalle, la fraction doit être au moins égale à sa borne supérieure moins 3/500, et au plus égale à sa borne inférieure plus 3/500. Ces limites valent respectivement 1,409 et 1,411, soit 1 409/1 000 et 1 411/1 000. L'exclusion de la borne supérieure originale ne permet pas d'affaiblir la première inégalité : les valeurs autorisées peuvent s'en approcher autant que l'on veut. Une fraction en dessous de 1,409 dépasserait donc la tolérance sur certaines de ces valeurs. Camille recherche maintenant dans ce nouvel intervalle fermé.
La fraction 31/22 vaut environ 1,409091 et appartient à la nouvelle plage. Ses écarts aux bornes originales sont neuf sur 2 200 à gauche et treize sur 2 200 à droite. Le second est le plus grand et reste inférieur à 3/500. Nora reçoit ainsi une fraction qui satisfait vraiment la garantie uniforme. Pour prouver que son dénominateur vingt-deux est minimal, Camille reprend le certificat : dans l'intervalle original, toute fraction de dénominateur inférieur à vingt-deux serait 24/17, puisque u≥2 impose déjà vingt-deux et v≥2 impose vingt-neuf. Or cette seule candidate vient d'échouer. Vingt-deux est donc atteint et minimal sous le nouveau critère.
Nora retient 31/22 pour cette dernière feuille, même si son dénominateur est plus grand que celui du premier choix. Camille ne compare pas uniquement la distance au nombre central 141/100 pour justifier la remise : la demande concernait toutes les valeurs compatibles avec l'affichage. Elle conserve la plage fermée de 1,409 à 1,411 et la borne d'écart treize sur 2 200. La décision a ainsi changé la propriété demandée à une même candidate, puis effectivement remplacé cette candidate par une autre qui possède la propriété.
Nora essaie enfin une tolérance uniforme plus étroite, égale à 1/200, la moitié de la largeur de l'intervalle original. Les mêmes deux conditions se rejoignent cette fois en un seul nombre, 141/100. Toute candidate plus petite échouerait près de la borne supérieure ; toute candidate plus grande échouerait sur la borne inférieure incluse. Le centre atteint la tolérance à gauche et s'en approche à droite sans la dépasser. Comme 141 et cent sont premiers entre eux, aucun dénominateur inférieur à cent ne représente cette valeur. Sous un plafond quarante, Nora refuse donc la remise plutôt que conserver 31/22 avec une garantie devenue fausse.
Deux affichages doivent parfois partager le même dénominateur
Camille ajoute une seconde colonne à une commande séparée. Elle affiche 0,58 selon la même convention, donc représente une valeur entre 115/200 inclus et 117/200 exclu. Nora demande maintenant deux fractions a/q et b/q ayant un même dénominateur entier q. Elles sont données comme deux rapports abstraits sur une même base ; aucune population réelle n'est comptée. Contrairement aux recherches précédentes, q désigne la base commune avant réduction éventuelle des deux fractions. La possibilité de réduire séparément a/q ne permet pas de remplacer q dans la seconde colonne.
Camille aurait pu garder 24/17 pour la première colonne et choisir 7/12 pour la seconde. Cette dernière vaut environ 0,583333 et appartient à son intervalle. En imposant ces deux fractions déjà choisies, la plus petite base commune serait le plus petit multiple commun de dix-sept et douze, soit 204 : les deux numérateurs deviendraient 288 et 119. Nora refuse cependant d'en faire immédiatement le minimum de sa nouvelle commande. Celle-ci permet encore de choisir les deux fractions dans leurs intervalles ; fixer d'abord leurs valeurs séparées retire une liberté avant de chercher la base commune.
Camille cherche donc simultanément a et b pour chaque q. La première colonne n'admet, sous cinquante-neuf, que les bases dix-sept, vingt-deux, vingt-sept, vingt-neuf, trente-deux, trente-quatre, trente-sept, trente-neuf, quarante et un, quarante-quatre, quarante-six, quarante-neuf, cinquante et un, cinquante-quatre, cinquante-six et cinquante-huit. Les bases trente-quatre et cinquante et un restent examinées : elles donnent une première fraction réductible, mais q peut encore servir à l'autre colonne. Pour chacune des seize bases, l'intervalle de b, de 115q/200 inclus à 117q/200 exclu, ne contient aucun entier. Avec q=34, il va de 19,55 à 19,89 ; avec q=58, de 33,35 à 33,93. Aucune seconde valeur entière ne ferme ces deux essais.
La base cinquante-neuf fournit enfin a=83 et b=34. Pour la première colonne, 83 fois 200 vaut 16 600, entre 281 fois cinquante-neuf, soit 16 579, et 283 fois cinquante-neuf, soit 16 697. Pour la seconde, 34 fois 200 vaut 6 800, entre 115 fois cinquante-neuf, soit 6 785, et 117 fois cinquante-neuf, soit 6 903. Les deux fractions satisfont donc ensemble leurs arrondis. Nora retient cette base cinquante-neuf avec les deux numérateurs, et retire 204 de la rubrique minimum. L'énumération de toutes les bases inférieures a exclu une solution plus petite ; choisir les fractions ensemble a effectivement changé la remise par rapport à leur fixation séparée.
Les trois premières feuilles portent 24/17 pour le plus petit dénominateur compatible, 41/29 avec deux termes impairs, puis 31/22 pour la tolérance uniforme 3/500 sans parité. La dernière commande à deux colonnes porte 83/59 et 34/59 sur une même base. Ces choix ne retrouvent aucune proportion familiale effectivement observée. Ils donnent au lecteur les règles et les certificats qui permettent de refaire leurs conséquences, en conservant la différence entre une possibilité sélectionnée et une garantie portant sur toutes les valeurs encore ouvertes.
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