Nora prépare une région abstraite pour une page privée. Camille veut y placer des marques aux intersections d'un quadrillage, une marque par intersection autorisée. Elle propose d'abord de choisir la région selon sa seule surface. Nora lui demande de compter les places, puis de préciser si les marques peuvent toucher le contour. Leurs dessins, les coordonnées et les demandes de capacité sont entièrement créés.
Une notice du Met présente un dessin.
Une autre notice du Met présente un dessin.
Une troisième notice du Met présente un dessin.
Ces notices identifient seulement une catégorie. Aucune forme, grille ou méthode des œuvres ne fournit les régions ni les règles de comptage suivantes.
Une place correspond ici à un couple de coordonnées entières x et y. La marque est un point de taille nulle ; nous ne fabriquons ni étiquette ni pièce dont la largeur modifierait les places. Dans une région fermée, le contour appartient d'abord aux positions permises. Dans une commande intérieure, il sera entièrement interdit. Les unités de longueur et de surface n'ont pas de dimension matérielle donnée. Les calculs de ce modèle ne certifient aucune mise en page imprimée ou installation réelle.
Deux surfaces de douze ne donnent pas les mêmes places
Nora donne un triangle aux sommets (0,0), (6,0), (0,4). Son aire vaut douze : base six fois hauteur quatre, divisées par deux. Sur le quadrillage, une position autorisée satisfait x et y positifs ou nuls, avec 2x+3y au plus égal à douze. Camille peut donc vérifier les places ligne par ligne. Elle garde cette inégalité auprès du contour, au lieu de décider qu'une marque est présente parce qu'elle paraît proche d'un sommet.
Sur la ligne y=0, les abscisses vont de zéro à six : sept places. À y=1, elles vont de zéro à quatre, soit cinq. À y=2, zéro à trois donne quatre places ; à y=3, zéro et un en donnent deux ; à y=4, il ne reste que zéro. Le total vaut dix-neuf. Camille inscrit ces cinq listes séparées pour permettre de retrouver chaque position une seule fois. Elle ne compte pas les lignes de quadrillage à la place des points qu'elles portent : cinq hauteurs autorisées ne signifiaient pas cinq marques.
Nora propose aussi le rectangle allant de zéro à quatre en x, de zéro à trois en y. Son aire vaut également douze. Il offre cinq abscisses et quatre hauteurs entières, donc vingt places lorsque le contour est permis. Camille doit préparer vingt marques distinctes. Elle retient le rectangle et écarte le triangle pour cette demande, malgré leur aire commune. Une unité de surface n'était pas une place entière, et les deux contours n'ont pas réparti de la même manière leurs intersections avec le quadrillage.
Une nouvelle commande réclame seulement des places strictement intérieures. Dans le triangle, la ligne y=1 donne x de un à quatre, soit quatre places ; y=2 donne un et deux, soit deux ; y=3 donne un, soit une. Les autres lignes sont sur le contour. Il reste sept positions. Dans le rectangle, x peut valoir un, deux ou trois et y un ou deux, ce qui donne six. Pour sept marques intérieures, Camille retient donc cette fois le triangle. Le choix précédent a été renversé par la permission de bord, sans changer ni l'aire ni les deux formes.
Compter le bord demande ses pas entiers
Camille avait voulu appeler « bord » les trois sommets du triangle. Nora lui montre le segment horizontal : il porte déjà sept points entiers, pas seulement ses deux extrémités. Sur le segment oblique de (6,0) à (0,4), les déplacements totaux sont moins six et quatre. Leur plus grand diviseur commun vaut deux. Les deux pas entiers primitifs sont donc moins trois et deux ; les points sont (6,0), (3,2) et (0,4). La longueur oblique n'est pas le nombre de places et ne doit pas être arrondie pour les compter.
Sur un segment à extrémités entières, un déplacement total (a,b) possède d+1 points entiers, avec d le plus grand diviseur commun des valeurs absolues de a et b. Diviser les deux déplacements par d fournit le pas entier qui les relie. Camille utilise ce pas sur chacun des trois côtés. La base donne sept points, la verticale cinq et l'oblique trois, soit quinze avant correction. Chaque sommet a été compté deux fois. En retirant les trois répétitions, elle trouve douze points distincts sur le bord. Dix-neuf au total moins douze sur le bord redonne les sept places intérieures déjà listées.
Le rectangle possède quatorze points de bord : les côtés contribuent quatre, trois, quatre et trois pas entiers lorsque chaque dernier sommet est réservé au côté suivant. Ses vingt places se répartissent donc en quatorze sur le bord et six à l'intérieur. Nora retrouve les deux comptages directs. Elle retire la fiche de Camille qui indiquait seulement quatre coins comme places de contour : elle aurait transformé dix autres places de bord en positions intérieures. La demande de sept marques n'aurait alors pas été contrôlée contre la permission réellement choisie.
Couper une région ne crée pas des positions supplémentaires
Camille partage le rectangle en deux rectangles fermés, à la verticale x=2. Le premier utilise x de zéro à deux, le second de deux à quatre ; chacun conserve y de zéro à trois. Chacun possède douze places et elle annonce vingt-quatre pour la région réunie. Nora lui fait isoler la couture : (2,0), (2,1), (2,2), (2,3) appartiennent aux deux morceaux. La réunion possède donc douze plus douze moins quatre places, soit les vingt du rectangle original. Le partage a ajouté des descriptions de positions présentes, sans en ajouter dans la page.
Pour la commande intérieure du grand rectangle, les deux points (2,1) et (2,2) de la couture sont autorisés. Ils étaient pourtant sur le bord de chaque petit rectangle, donc exclus de leurs intérieurs pris séparément. Camille avait additionné les deux places intérieures de chacun et obtenu quatre. Nora ajoute les deux places de couture devenues intérieures à la réunion ; le résultat est six. Les extrémités (2,0) et (2,3) restent sur le bord extérieur et ne sont pas ajoutées. La permission doit être évaluée sur la région finale, pas transférée du statut qu'un point avait dans chaque morceau.
Nora choisit de remettre le grand rectangle fermé et une liste unique de vingt coordonnées. Si Camille conserve les deux morceaux pour organiser sa feuille de travail, elle donne les quatre coordonnées de couture dans une seule colonne commune. Elle n'emploie pas deux identifiants de marque pour un même couple (2,1). Pour l'autre commande, elle extrait ensuite les six positions intérieures du contour réuni. Les deux remises ont ainsi un ensemble de places vérifiable, même lorsque la préparation utilise une décomposition différente de celle visible dans la page.
Un trou change le statut de son propre contour
Nora ouvre une autre région : le carré fermé de zéro à six dans les deux coordonnées, dont elle retire seulement l'intérieur du petit carré de deux à quatre. Le contour du petit carré reste donc présent dans la région autorisée. La surface est trente-six moins quatre, soit trente-deux. Pour compter les positions entières, Camille part des sept fois sept, quarante-neuf places du grand carré. L'intérieur du petit carré contient un seul point entier, (3,3). La région fermée restante offre donc quarante-huit places ; enlever quatre unités de surface n'avait pas enlevé quatre places du quadrillage.
La commande intérieure de cette région interdit aussi bien le contour extérieur que le contour du trou. Le grand carré offrait vingt-cinq places strictement intérieures. Camille doit leur retirer les neuf points du petit carré fermé : trois abscisses et trois hauteurs de deux à quatre. Il reste seize places strictement intérieures à la région trouée. Les huit autres points du petit carré étaient sur le bord du trou et non dans son intérieur ; ils doivent néanmoins quitter la commande intérieure. Camille ne conserve donc pas vingt-quatre en retirant seulement (3,3) aux vingt-cinq initiales.
Le bord extérieur possède vingt-quatre points entiers et le bord du trou huit. Ils ne se touchent pas ; les trente-deux points de contour, ajoutés aux seize strictement intérieurs, redonnent quarante-huit. Camille peut vérifier la partition sans assimiler les coins intérieurs à des points isolés de la région. Dans les exemples simples du triangle et du rectangle, l'aire était égale au nombre intérieur plus la moitié du nombre de bord moins un. Reprendre cette même expression sur le cadre donnerait seize plus seize moins un, soit trente et un, alors que la surface calculée est trente-deux. Nora refuse cette extension sans condition à une région possédant un trou.
Dans une branche différente, Nora interdit également le contour du petit carré. Il faut alors retirer ses neuf places au grand carré fermé, et la capacité devient quarante, pas quarante-huit. La surface reste trente-deux, puisque le contour retiré n'avait aucune aire dans leur modèle. Camille doit maintenant préparer quarante-cinq marques. Elle retient la première région qui garde les huit points du contour intérieur et refuse la seconde. Elle inscrit expressément cette permission sur la fiche : les deux dessins de surface égale ne sont pas interchangeables pour la nouvelle quantité de points.
Agrandir une région entière ajoute aussi une contribution de bord
Camille revient au triangle initial et multiplie toutes ses coordonnées par un entier positif m. Les nouveaux sommets sont (0,0), (6m,0), (0,4m). Elle voudrait multiplier dix-neuf par m² pour compter les places. Nora demande un nouveau comptage sur le quadrillage fixe. À m=2, la région comporte soixante et une places fermées, plutôt que soixante-seize. Les anciens points ont bien été déplacés, mais les places entières entre leurs images ne sont pas obtenues en remplaçant chaque marque ancienne par un carré de m² marques.
La condition devient 2x+3y au plus égale à 12m. Pour les lignes paires y=2j, avec j de zéro à 2m, le nombre de places vaut 6m−3j+1. Leur somme est (2m+1)(3m+1), soit 6m²+5m+1. Pour les lignes impaires y=2j+1, avec j de zéro à 2m−1, le plus grand x entier est 6m−3j−2. Le nombre de places y vaut donc 6m−3j−1 ; sa somme est 6m²+m. Camille additionne les deux contributions et retrouve 12m²+6m+1 places fermées. L'aire fournit le terme quadratique, sans fournir seule le terme linéaire et le point constant.
Le bord possède 12m places, puisque les trois déplacements entiers des côtés ont été multipliés par m. La capacité strictement intérieure vaut donc 12m²−6m+1. Pour m=2, Camille obtient trente-sept places intérieures ; pour m=3, quatre-vingt-onze. Nora veut soixante marques et autorise d'abord le bord : elle choisit m=2, dont les soixante et une places suffisent. Si le bord devient interdit, elle doit choisir m=3. L'agrandissement retenu passe alors d'une aire quarante-huit à cent huit. Camille ne conserve pas m=2 au motif que la région avait déjà offert plus de soixante places sous l'ancienne permission.
Camille vérifie que ce choix n'a pas sauté un agrandissement autorisé. À m=1, les capacités étaient dix-neuf et sept ; à m=2, soixante et une et trente-sept. Les différences successives des deux expressions sont positives pour tout entier m au moins égal à un. Nora peut donc appeler deux le plus petit entier suffisant pour la commande fermée, et trois pour la commande intérieure. Elle ne cherche pas un nombre fractionnaire entre deux et trois dans cette branche, car l'agrandissement y est expressément entier. Une autre permission aurait demandé un autre contrôle des points.
Déplacer le dessin et déplacer le quadrillage sont deux opérations
Nora transforme ensuite le triangle par X=x+y et Y=y, en laissant le quadrillage fixé. Chaque position entière initiale devient encore entière. Inversement, une position entière dans le triangle transformé revient à x=X−Y et y=Y, encore entiers. Cette correspondance fonctionne dans les deux sens et conserve l'intérieur comme le bord. Camille retrouve donc dix-neuf places fermées et sept intérieures dans le triangle de sommets (0,0), (6,0), (4,4). Le dessin est incliné, mais le changement choisi est une bijection du quadrillage entier ; elle n'utilise pas la seule aire comme justification du compte.
Camille essaie maintenant une translation d'un demi vers la droite, sans déplacer le quadrillage. Les sommets deviennent (1/2,0), (13/2,0), (1/2,4). Sur les cinq lignes entières y de zéro à quatre, les places sont respectivement six, cinq, trois, deux et zéro : seize au total. Le dernier sommet ne fournit aucune place, puisque sa première coordonnée n'est pas entière. L'aire reste douze. Nora retire donc la promesse de dix-neuf fondée sur la seule conservation de la forme par translation. L'opération précédente conservait le quadrillage dans les deux sens ; celle-ci ne le conserve pas.
Si Nora déplace aussi le quadrillage d'un demi vers la droite, les intersections autorisées deviennent les couples dont x est un entier plus un demi et y un entier. Le triangle déplacé retrouve alors les images de ses dix-neuf positions initiales. Camille remet cette autre grille avec la région, plutôt que lui attribuer les seize du quadrillage resté fixe. Nora choisit la grille entière fixe pour sa page actuelle et conserve seize. Les deux nombres décrivent deux permissions précises sur le même triangle déplacé : un contour sans définition des places autorisées n'aurait pas suffi à choisir entre eux.
Un sommet demi-entier fait dépendre le compte de la parité
Une dernière région possède les sommets (0,0), (1,0), (0,1/2). Après un agrandissement entier m, ses places fermées satisfont x+2y au plus égal à m, avec x et y entiers positifs ou nuls. Camille énumère d'abord les petites tailles : une place à m=0, deux à un, quatre à deux, six à trois, neuf à quatre et douze à cinq. Le cas zéro est une région effondrée sur un point, non un triangle d'aire positive. Nora le garde comme contrôle de la règle de places, sans lui demander une capacité strictement intérieure calculée comme dans les triangles précédents.
Pour m pair égal à 2r, les hauteurs vont de zéro à r. Chaque ligne y porte 2r−2y+1 places. La somme des nombres impairs de un à 2r+1 vaut (r+1)². Pour m impair égal à 2r+1, les mêmes hauteurs portent 2r−2y+2 places ; leur somme vaut (r+1)(r+2). Camille retrouve ainsi quatre à m=2 et six à m=3, puis neuf à quatre et douze à cinq. Les deux expressions sont exactes sur leurs parités respectives, et non des estimations issues des six premières tailles seulement.
Camille ajuste une expression unique à partir des seules tailles paires : m²/4+m+1. Elle donne correctement une, quatre et neuf pour zéro, deux et quatre, mais produit neuf quarts à m=1, alors que deux positions entières seulement sont autorisées. Nora refuse ce nombre fractionnaire comme capacité. Pour un m impair, la bonne expression est m²/4+m+3/4 ; l'expression issue des pairs dépasse donc le compte impair d'un quart. La définition de la grille n'a pas changé : la dernière hauteur disponible et le nombre de places de chaque ligne suivent la parité de l'agrandissement.
Nora veut dix marques dans cette dernière région, contour permis. Camille choisit m=5 : douze places, tandis que m=4 n'en offrait que neuf. Les régions agrandies sont emboîtées parce que leurs inégalités utilisent le même membre x+2y et des bornes croissantes ; les plus petites tailles ne pouvaient donc pas avoir caché une capacité suffisante. Elle remet cinq comme plus petit entier admissible, avec les deux formules de parité et la liste des places. Elle ne réutilise pas la formule du premier triangle : ses sommets étaient entiers dans le quadrillage fixé, et les lignes ont été comptées sous une autre inégalité.
Remettre la région avec sa permission de places
Pour la commande de soixante marques, Nora garde le premier triangle agrandi par deux et autorise le contour. Pour les commandes qui retirent le bord, percent un trou ou déplacent la grille, Camille conserve leurs listes séparées. La page privée peut montrer une surface et un ensemble de positions sans confondre leurs mesures. Le choix remis possède un contour, un quadrillage et une permission explicite ; c'est leur rencontre, déjà calculée, qui détermine combien de marques le dessin peut recevoir.
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