Pour une feuille de son livre privé, Léa veut représenter une suite de quatre mentions par quelques signes binaires. Maud devra retrouver la suite entière. Cette fois, elles ne donnent pas un petit code séparé à chaque nom : elles rétrécissent un intervalle au fil des mentions, puis choisissent un intervalle binaire qui tient entièrement dans le résultat. Les noms, les fractions et les règles sont créés pour cette page. Aucun texte familial réel n'est encodé, aucun logiciel essayé et aucune protection de données promise. Ce modèle classique sert à remplir une remise précise, sans invention de méthode revendiquée.
La notice 351001 du Met classe l'objet parmi les livres.
La notice 351002 du Met indique également cette catégorie.
La notice 351003 du Met indique aussi un livre.
Ces notices attestent des catégories seulement. Symboles, fractions et lecture sont créés ; aucun procédé des ouvrages n'est appliqué.
Léa utilise les noms A et B. Dans tout intervalle reçu, A occupe les trois premiers quarts et B le dernier quart. Ce partage est une convention fixe, pas une fréquence mesurée. Chaque intervalle contient sa borne gauche et exclut sa borne droite. Le départ est zéro inclus, un exclu. Après chaque mention, on conserve seulement le morceau qui lui correspond et on le partage de nouveau suivant la même règle. La première commande porte sur quatre mentions exactement. Maud reçoit cette longueur avec la règle ; elle ne doit pas deviner quand terminer sa lecture.
Construire le morceau qui appartient à la suite
Pour B-A-A-A, Léa choisit d'abord le dernier quart, donc de trois quarts à un. Ce morceau a une largeur d'un quart. Le premier A garde ses trois premiers quarts : de trois quarts à quinze seizièmes. Le deuxième A garde encore les trois premiers quarts de cette nouvelle largeur, donnant de trois quarts à cinquante-sept soixante-quatrièmes. Le troisième donne finalement de trois quarts à deux cent dix-neuf deux cent cinquante-sixièmes. Léa conserve les quatre bornes droites successives auprès des quatre mentions, au lieu de multiplier seulement des poids sans retrouver l'emplacement. La largeur finale vaut vingt-sept deux cent cinquante-sixièmes, et la borne gauche est restée trois quarts pendant les trois A.
Maud essaie A-B-A-A sur une autre ligne. A donne de zéro à trois quarts ; B en conserve le dernier quart, de neuf seizièmes à trois quarts. Les deux A suivants donnent successivement de neuf seizièmes à quarante-cinq soixante-quatrièmes, puis de neuf seizièmes à cent soixante et onze deux cent cinquante-sixièmes. La largeur vaut encore vingt-sept deux cent cinquante-sixièmes. Les deux lignes contiennent trois A et un B, donc multiplient les mêmes quatre fractions. Elles n'occupent pourtant pas le même morceau du départ. Léa retire une proposition qui envoyait seulement cette largeur commune : elle ne permettrait pas de savoir si B avait été la première ou la deuxième mention.
Léa vérifie ce qui rend les morceaux utilisables pour retrouver l'ordre. Après une même histoire déjà lue, les continuations A et B partagent le morceau parent sans se recouvrir : la frontière appartient au second, pas au premier. Deux suites de quatre mentions qui diffèrent à une position quittent donc le même morceau parent vers deux morceaux disjoints à cette position. Les subdivisions suivantes restent à l'intérieur de ceux-ci. Elles ne pourront pas se rejoindre à la fin. Maud peut ainsi attribuer tout nombre contenu dans le morceau final à une seule des seize suites de quatre mentions, sans demander au nombre de A et de B de faire cette identification.
Un commencement binaire représente tout un morceau
La remise binaire ajoute une convention. Une suite de m signes représente tous les nombres de l'intervalle correspondant à ce commencement, de k divisé par deux puissance m à k plus un divisé par cette même puissance. La borne droite reste exclue. Ainsi 11 représente de trois quarts à un, tandis que 1100 représente de douze seizièmes à treize seizièmes. Les signes après ceux reçus ne sont pas présumés nuls. Léa choisit donc un commencement dont tout le morceau tient dans l'intervalle de B-A-A-A. Elle ne se contente pas d'en vérifier un point favorable.
Le morceau de 1100 commence précisément à trois quarts et finit à treize seizièmes, soit deux cent huit deux cent cinquante-sixièmes. Cette borne est inférieure à deux cent dix-neuf deux cent cinquante-sixièmes. Toute la plage donnée par les quatre signes tient donc dans le morceau de B-A-A-A. Léa inscrit 1100 sur la fiche de cette suite. Elle conserve la règle des commencements auprès de ces signes : ils ne sont ni quatre codes de mentions successives ni le nombre entier douze utilisé sans échelle. Douze seizièmes est seulement la borne gauche du morceau qu'ils désignent dans cette convention.
Maud propose de retirer les deux derniers zéros et d'envoyer 11. Sa borne gauche reste trois quarts, qui appartient bien au morceau voulu. Mais son autre contenu dépasse ce morceau. Léa lui donne deux nombres ayant ce même commencement : trois quarts appartient à B-A-A-A, tandis que sept huitièmes appartient à B-A-A-B. Ce second nombre est supérieur à deux cent dix-neuf deux cent cinquante-sixièmes et inférieur à cinquante-sept soixante-quatrièmes. La même remise 11 autoriserait donc deux quatrièmes mentions différentes. Maud garde les quatre signes et retire cette économie de deux, au lieu d'assimiler une borne exacte au morceau entier reçu par le lecteur.
Léa établit aussi qu'on ne peut pas faire mieux que quatre signes sous cette convention. Le morceau de B-A-A-A possède une largeur de vingt-sept deux cent cinquante-sixièmes, plus petite qu'un huitième, qui en vaudrait trente-deux. Tout commencement de trois signes décrit exactement un huitième ; ceux de deux, un ou zéro signe décrivent des morceaux encore plus larges. Aucun ne peut tenir entièrement dans le résultat. Le commencement de quatre signes déjà choisi y tient réellement. La borne inférieure et la fiche remplie donnent donc le même minimum de quatre pour cette suite, sans annoncer que quatre serait le minimum de toutes les autres suites.
Refaire une lecture sans changer la convention
Maud choisit vingt-cinq trente-deuxièmes à l'intérieur du morceau de 1100 pour contrôler une lecture concrète. Ce nombre est dans le dernier quart du départ : elle lit B. Pour poursuivre dans ce quart remis à l'échelle zéro-un, elle retire trois quarts puis divise par un quart, obtenant un huitième. Ce nombre est dans les trois premiers quarts : elle lit A, puis le divise par trois quarts et obtient un sixième. Les deux lectures suivantes donnent encore A, car un sixième puis deux neuvièmes restent inférieurs à trois quarts. Elle a maintenant lu quatre mentions et s'arrête avec B-A-A-A.
Ce choix d'un point ne remplace pas la vérification de toute la plage. Maud pourrait choisir un autre nombre de l'intervalle de 1100 ; la construction a déjà établi que cet intervalle entier reste dans le morceau final de B-A-A-A. Toutes les branches traversées sont donc les mêmes. Elle garde le calcul sur vingt-cinq trente-deuxièmes comme trace de lecture, et l'inclusion de la plage comme justification de la remise. Une ancienne fiche ne montrait que la réussite du point trois quarts après deux signes. Léa la conserve comme calcul de borne, mais la retire du dossier qui prétendait garantir la lecture à partir de tout commencement 11.
La fiche A-B-A-A reçoit un autre commencement de quatre signes, 1001. Il donne de neuf seizièmes à dix seizièmes, soit de cent quarante-quatre à cent soixante deux cent cinquante-sixièmes. Ce morceau tient entre les bornes cent quarante-quatre et cent soixante et onze de sa suite. Maud peut donc distinguer les deux remises de même largeur et de même longueur binaire. Léa garde 1001 pour la seconde, 1100 pour la première. Elle ne transfère pas seulement la mention « quatre signes » entre leurs fiches : ce nombre décrit un coût, tandis que la suite précise de signes choisit effectivement le morceau à lire.
La frontière droite appartient à une autre fin
Léa reçoit maintenant le nombre exact deux cent dix-neuf deux cent cinquante-sixièmes. Maud souhaite encore annoncer B-A-A-A parce qu'il figure comme borne sur sa fiche. Elles reprennent la lecture. Le premier B transforme le nombre en vingt-sept soixante-quatrièmes ; le premier A en neuf seizièmes ; le deuxième A en trois quarts. À cette dernière étape, trois quarts appartient au morceau B, puisque A exclut sa borne droite. La lecture donne donc B-A-A-B. Léa remplace le dernier A de la fiche de ce nombre par B et conserve l'ancienne borne comme frontière, pas comme nombre admis dans la première suite.
La distinction subsiste même si l'on garde les bornes sous forme de fractions plutôt que de décimales. Fermer les deux côtés de chaque morceau donnerait ce nombre à deux suites voisines. Ouvrir les deux côtés le donnerait à aucune. Léa applique la convention gauche incluse, droite exclue à chaque subdivision, et pas seulement à l'intervalle initial. Maud contrôle la frontière où le calcul a atteint trois quarts après les premières mentions ; c'est exactement là que la convention tranche la dernière lettre. Elle ne choisit pas la suite la plus courte ou la plus familière pour départager deux réponses que la règle aurait laissées ambiguës.
Pour une autre fiche, A-A-B-B occupe de cent trente-cinq deux cent cinquante-sixièmes à neuf seizièmes. Le commencement 10001 donne de dix-sept trente-deuxièmes à neuf seizièmes. Sa borne droite peut donc être égale à celle du morceau final sans introduire un nombre de la suite suivante : elle est exclue des deux. Léa accepte cette égalité de bornes, au lieu d'exiger un espace vide entre les morceaux. Neuf seizièmes lui-même appartient à A-B-A-A, dont il est la borne gauche. Maud conserve ainsi deux fiches adjacentes correctement lisibles, sans déplacer leur frontière pour fabriquer une marge inexistante.
Le coût porte sur toute la suite
La suite A-A-A-A occupe de zéro à quatre-vingt-un deux cent cinquante-sixièmes. Le commencement 00, de zéro à un quart, y tient entièrement. Un seul signe décrirait une moitié, trop large ; deux suffisent donc dans cette branche. Pour B-B-B-B, les bornes finales sont deux cent cinquante-cinq deux cent cinquante-sixièmes et un. Le morceau a une largeur d'un deux cent cinquante-sixième : il reçoit exactement les huit signes 11111111. Aucun commencement de sept signes, large d'un cent vingt-huitième, ne tient dedans. Maud conserve deux et huit auprès de ces deux suites de même longueur en mentions.
Elle compare une feuille qui donnait simplement zéro à A et un à B, puis quatre signes pour les quatre mentions. Cette autre règle lirait immédiatement chaque mention, avec quatre signes dans tous les cas. La représentation par intervalle économise deux signes pour les quatre A mais en demande quatre supplémentaires pour les quatre B. Léa choisit 00 pour la première remise, sans l'annoncer comme une réduction certaine pour toutes les pages. Elle retire également une légende qui assimilait le nombre de signes à une taille de fichier réellement observée : ici ni stockage, ni en-tête matériel, ni outil ne sont mesurés. Les longueurs comparent seulement les deux conventions remplies sur papier.
Retirer la longueur laisse la fin indéterminée
Maud reçoit ensuite 00 avec la règle initiale, mais la ligne indiquant quatre mentions a disparu. Tout le morceau de zéro à un quart tient aussi dans celui de A seul, de zéro à trois quarts. Il tient dans celui de A-A, de zéro à neuf seizièmes, et dans celui de A-A-A, de zéro à vingt-sept soixante-quatrièmes. Ces fins différentes sont donc compatibles avec les mêmes signes reçus. La subdivision indique le prochain nom, mais ne dit pas combien de noms Léa voulait remettre. Maud refuse d'annoncer quatre A seulement parce que c'était la longueur de l'ancien exemple.
Léa rétablit quatre comme donnée extérieure de cette remise. Maud refait alors les quatre subdivisions puis termine, retrouvant A-A-A-A depuis tout le morceau de 00. Si la demande extérieure avait indiqué trois, elle aurait annoncé A-A-A ; la règle de fractions et les deux signes n'auraient pas changé. Léa ne répare donc pas cette omission en inventant un dernier zéro dans le commencement. Elle remet la longueur avec les signes, comme le prévoit la commande initiale. Le dossier distingue une représentation qui identifie la suite à longueur fixée d'une représentation capable d'annoncer elle-même la fin.
Donner à la fin sa propre branche change la règle
Une nouvelle commande refuse toute longueur extérieure. Léa ajoute alors un troisième symbole, nommé fin, qui termine la lecture dès son apparition. Elle définit une autre subdivision : A occupe la première moitié, B le quart suivant et fin le dernier quart. Aucune mention ne suit fin. Les anciens trois quarts pour A ne sont pas conservés dans cette branche, car les trois parts doivent remplir ensemble le morceau parent. Maud reçoit cette nouvelle table avant les signes ; elle ne cherche pas à relire ses anciennes remises comme si le symbole supplémentaire avait été ajouté sans déplacer aucune frontière.
Pour deux A suivis de fin, les deux premières subdivisions gardent de zéro à un quart. Fin en garde le dernier quart, de trois seizièmes à un quart. Le commencement 0011 décrit exactement ce morceau. Maud peut le lire sans longueur extérieure : tout nombre reçu est d'abord dans A, puis dans A du morceau suivant, puis dans fin. En prenant la borne gauche trois seizièmes, les remises à l'échelle donnent trois huitièmes, puis trois quarts. La troisième subdivision rencontre donc précisément la branche fin, avec sa borne gauche incluse. Maud annonce deux A et termine ; elle ne traite pas fin comme une troisième mention familiale.
Elle vérifie aussi une suite qui commence par B. B garde de un demi à trois quarts ; A y garde de un demi à cinq huitièmes. Fin choisit ensuite de dix-neuf trente-deuxièmes à cinq huitièmes. Le commencement 10011 tient exactement dans ce dernier morceau. Maud annonce B, puis A, puis termine avec la troisième branche. Léa conserve cinq signes pour cette remise et quatre pour A-A-fin. Les signes n'ont pas reçu un code fixe de fin ajouté à la suite initiale : ils décrivent le morceau obtenu après toutes les subdivisions de la nouvelle table, y compris celle qui termine la lecture.
Une ancienne copie de la table revient pourtant auprès de 0011. Sous la règle A trois quarts, B un quart et longueur quatre, tout son morceau appartient à A-A-A-A ; Maud lirait quatre A. Sous la nouvelle règle avec fin, elle doit lire deux A puis terminer. Léa retire donc l'ancienne table du paquet de cette nouvelle remise. Les signes sont identiques, mais la branche finale et les frontières ne le sont plus. Elle garde les deux résultats auprès de leurs conventions respectives, sans appeler l'une de ces lectures une corruption du message sous la bonne table. Le défaut concret était d'avoir remis les signes d'une construction avec la table de l'autre.
Les notices de livres ne fournissent aucun partage, symbole ou règle de fin. Leur catégorie reste leur seule contribution au cas créé.
Émettre un début n'annonce pas que la suite est terminée
Une autre remise conserve la première règle et les quatre mentions B-A-A-A, mais Léa doit transmettre les signes au fil de sa préparation. Après B puis A, son morceau est de trois quarts à quinze seizièmes. Tout ce morceau se trouve dans celui du commencement 11, de trois quarts à un. Elle peut donc transmettre ces deux signes dès cet instant : les subdivisions futures resteront dans le morceau actuel et garderont ce commencement. Elle ne prétend pas pour autant que 11 suffit comme remise finale. Le sens de l'inclusion a changé : pour émettre un début sûr, le morceau actuel tient dans le morceau binaire ; pour terminer avec un code suffisant, le morceau binaire doit tenir dans le morceau final. Maud retire une note qui utilisait la première inclusion pour déclarer la fin. La lecture B-A n'a encore rempli que deux des quatre mentions.
Après avoir émis 11, Léa retire trois quarts aux bornes de son morceau et multiplie par quatre. La plage restante devient de zéro à trois quarts. Les deux A encore à traiter la réduisent à zéro jusqu'à neuf seizièmes, puis zéro jusqu'à vingt-sept soixante-quatrièmes. Ce dernier morceau est entièrement dans la première moitié ; Léa peut transmettre un zéro et remettre la plage à l'échelle en multipliant par deux. Elle obtient alors de zéro à vingt-sept trente-deuxièmes. Pour terminer, un commencement zéro, décrivant la première moitié de cette plage normalisée, tient entièrement dans le morceau reçu. Elle transmet ce dernier zéro comme choix final. La concaténation des signes émis est bien 11, puis 0, puis 0 : 1100. La préparation progressive retrouve donc le code déjà vérifié, avec deux justifications distinctes pour les signes communs émis et pour le signe final choisi.
Maud voulait au contraire poursuivre les deux A dans le morceau zéro-un entier, en gardant seulement la note « 11 déjà envoyé ». Ce calcul aurait perdu la borne trois quarts du reste normalisé après B-A. Léa lui remet cette plage, et pas seulement les signes transmis, comme état de la préparation à poursuivre. Elle garde également deux mentions restantes : les bornes résiduelles n'indiquent pas ce nombre. La reprise reçue peut alors compléter exactement la même remise. Un envoi précoce n'a donc pas autorisé à repartir d'un problème neuf après chaque groupe de signes ; les signes retirés fixent une transformation des bornes qui doit être conservée pour les subdivisions suivantes.
Faire évoluer les parts exige de garder leur état
Une dernière commande change expressément les parts au fil des mentions. Léa commence avec un compte un pour A et un pour B. À chaque étape, la part de A est son compte divisé par la somme des deux comptes ; B prend le reste. Après avoir gardé le morceau de la mention, elle augmente d'un son compte. Ce sont des règles créées pour cette branche, sans estimation d'une langue ou d'une archive. Les bornes de la suite A-B-A-A deviennent successivement zéro jusqu'à un demi, un tiers jusqu'à un demi, un tiers jusqu'à cinq douzièmes, puis un tiers jusqu'à vingt-trois soixantièmes. La deuxième étape a utilisé deux tiers pour A parce que le premier A avait porté les comptes à deux et un. La dernière a utilisé trois cinquièmes, après deux A et un B réellement traités.
Léa reçoit cette suite en deux morceaux de texte, A puis B-A-A. Maud propose de recommencer les comptes à un et un au début du second morceau tout en conservant l'intervalle obtenu pour le premier. Elles remplissent cette proposition : après le premier A, zéro jusqu'à un demi ; avec les comptes remis à un et un, B garde un quart jusqu'à un demi ; le A suivant garde un quart jusqu'à un tiers ; le dernier garde un quart jusqu'à sept vingt-quatrièmes. Ce résultat est disjoint du morceau un tiers jusqu'à vingt-trois soixantièmes de la préparation continue. La simple frontière de réception a donc changé la construction, sans changer aucune mention. Léa retire le redémarrage : le second morceau doit recevoir les comptes deux et un, en même temps que les bornes zéro et un demi.
Maud reprend B-A-A avec cet état complet. B conserve le dernier tiers de zéro jusqu'à un demi, retrouvant un tiers jusqu'à un demi ; les comptes deviennent deux et deux. Le A suivant en garde la première moitié, jusqu'à cinq douzièmes, puis porte les comptes à trois et deux. Le dernier A garde les trois cinquièmes de cette largeur, retrouvant vingt-trois soixantièmes comme borne droite. Léa remet cette trace avec la branche continue, au lieu de déclarer les deux résultats également valables sous une même règle. Une remise autorisant réellement le redémarrage pourrait garder l'autre morceau, mais elle aurait une autre convention. Ici, les parts évoluent après les mentions ; une séparation du texte reçu n'est pas une mention et ne modifie pas ces comptes.
Les Éditions privées donnent une forme aux voix, aux archives et aux histoires que vous souhaitez transmettre.
Découvrir Codex de Maison →