Nora reçoit cinq fiches nommées A, B, C, D et E, portant respectivement les entiers 6, 10, 15, 21 et 35. Elle doit choisir un ensemble non vide de fiches, chacune au plus une fois, dont le produit soit le carré d'un entier. Les nombres sont stipulés ; ils ne représentent ni des mesures ni des quantités alimentaires. Camille demandera ensuite la sélection la plus courte, puis une sélection moins coûteuse sous des points abstraits. Deux autres branches changeront les signes ou donneront réellement une seconde fiche portant quinze.
Les références suivantes fournissent seulement leurs catégories textuelles. Aucune image n'est examinée et aucun procédé artistique ne fournit les nombres ou les choix de cet exercice.
P1 — https://www.metmuseum.org/art/collection/search/338390 : Books.
P2 — https://www.metmuseum.org/art/collection/search/338400 : Drawings.
P3 — https://www.metmuseum.org/art/collection/search/338410 : Drawings.
Les factorisations des cinq valeurs sont données avec la préparation : six vaut deux fois trois ; dix, deux fois cinq ; quinze, trois fois cinq ; vingt et un, trois fois sept ; trente-cinq, cinq fois sept. Nous ne proposons pas une méthode pour découvrir les facteurs de grands entiers. Les règles de produits et de carrés sont classiques. La question nouvelle de notre fiche est de choisir ensemble des valeurs connues en respectant les permissions, puis de comparer les remises qui satisfont exactement cette demande.
Les facteurs doivent se fermer ensemble
Nora inscrit quatre lignes de contrôle, pour deux, trois, cinq et sept. A contribue une occurrence de deux et une de trois ; B une de deux et une de cinq ; C une de trois et une de cinq ; D une de trois et une de sept ; E une de cinq et une de sept. Choisir A et B ferme le facteur deux, qui apparaît deux fois, mais laisse trois et cinq chacun une fois. Le produit soixante n'est donc pas un carré. Le premier facteur refermé n'autorise pas la remise entière : les quatre lignes doivent avoir un nombre pair d'occurrences simultanément.
La règle vient de la factorisation d'un carré : chaque exposant premier y est double d'un entier. Réciproquement, un produit positif dont tous les exposants premiers sont pairs possède une racine entière, obtenue en les divisant chacun par deux. Ce critère ne dépend pas de la grandeur décimale du produit. Nous le gardons comme prémisse classique, sans lui attribuer à lui seul une nouvelle utilité. Il permet d'écrire les contraintes sur les choix de fiches, mais il ne désigne pas encore lequel de leurs ensembles les satisfera.
Pour fermer le facteur deux, A et B doivent être soit toutes deux retenues, soit toutes deux laissées de côté : elles sont les seules fiches qui l'apportent. Pour fermer sept, D et E doivent elles aussi avoir le même statut. Nora note u le choix de C, zéro ou un, et v le choix commun de D et E. La ligne de trois impose alors que le choix de A ait la parité de u plus v ; la ligne de cinq impose la même chose à B. Si u et v sont différents, A et B sont retenues ; s'ils sont égaux, elles ne le sont pas. La décision sur C et sur le couple D–E produit donc le reste de la sélection, sans choisir les quatre lignes indépendamment.
Les quatre possibilités de u et v ferment toute la liste. Avec zéro et zéro, aucune fiche n'est prise. Avec un et zéro, Nora prend A, B et C. Avec zéro et un, elle prend A, B, D et E. Avec un et un, elle prend C, D et E. Chaque ensemble est retrouvé à partir des contraintes des quatre facteurs, et non ajouté après coup parce que son produit paraît favorable. Camille ne donne pas à A une troisième possibilité entre prise et laissée : les fiches sont indivisibles et ne peuvent entrer deux fois dans la première commande. Les quatre choix de deux bits restent ainsi exactement les quatre ensembles possibles.
Les trois ensembles non vides produisent respectivement neuf cents, quarante-quatre mille cent et onze mille vingt-cinq. Leurs racines sont trente, deux cent dix et cent cinq : trente au carré vaut neuf cents ; deux cent dix au carré vaut quarante-quatre mille cent ; cent cinq au carré vaut onze mille vingt-cinq. Nora joint ces produits aux noms A–B–C, A–B–D–E et C–D–E. Une racine trouvée n'est pas une sixième fiche à recevoir : elle certifie le produit de la sélection nommée. La remise conserve donc les valeurs choisies, leur produit et la racine, plutôt qu'un nombre carré dont les facteurs sélectionnés auraient disparu.
L'ensemble vide donnerait un comme produit conventionnel, lui aussi carré. La commande l'a expressément exclu. Nora conserve ce cas dans le tableau des contraintes, puis le retire du menu des remises avant de chercher le minimum. Elle ne change pas la valeur du produit vide pour le faire échouer. La différence entre une solution algébrique et une sélection autorisée provient ici de la demande non vide ; ce cadre ne reçoit pas de crédit autonome dans la matière utile.
Le plus petit nombre de fiches ne choisit pas leur coût
Une seule fiche ne peut convenir : chacune des cinq valeurs possède deux facteurs premiers à exposant impair. Deux fiches différentes ne peuvent convenir non plus. Leurs paires de facteurs sont toutes différentes ; multiplier deux de ces valeurs laisse au moins un facteur apporté par l'une mais pas par l'autre. Ce facteur demeure impair dans leur produit. Nora a donc une borne de trois fiches pour toute sélection non vide de cette liste. Les deux remises A–B–C et C–D–E possèdent exactement trois fiches et atteignent cette borne. Le minimum trois ne décide pas laquelle doit être remise, et la sélection à quatre n'est pas minimale pour ce premier critère.
Camille choisit A–B–C dans une réalisation et C–D–E dans une autre. La première ferme deux, trois et cinq ; la seconde ferme trois, cinq et sept. Elles ne demandent pas de faire intervenir les quatre facteurs présents sur toute la feuille : un facteur absent de la sélection possède déjà l'exposant zéro, qui est pair. Nora ne rajoute donc pas D et E à la première pour « contrôler sept », ni A et B à la seconde pour « contrôler deux ». Ces ajouts changeraient les parités de trois et cinq. Les contrôles portent sur les facteurs effectivement multipliés, tout en gardant les quatre lignes pour constater ceux qui n'apparaissent pas.
Une nouvelle préférence donne les retenues un, un, dix, un et un aux fiches A, B, C, D et E. Elles sont des points de l'exercice, pas des prix réels. Camille souhaite désormais le plus petit total de retenues parmi les sélections non vides dont le produit est un carré. Les ensembles possibles restent ceux du premier tableau ; la nouvelle préférence ne modifie ni leurs nombres ni les factorisations. Nora doit donc comparer leur somme de points, sans conserver automatiquement la sélection la plus courte.
A–B–C coûte douze points et C–D–E également douze, puisqu'elles utilisent chacune C, de retenue dix, et deux fiches de retenue un. A–B–D–E coûte quatre. Nora remet donc ces quatre fiches avec le carré quarante-quatre mille cent, au lieu des trois de la remise précédente. Le minimum quatre points est fermé par le tableau exhaustif des trois ensembles non vides : aucun autre ensemble autorisé n'a été omis sous prétexte qu'il demanderait davantage de fiches. Les quatre valeurs peu coûteuses ferment deux avec A–B, sept avec D–E, puis trois avec A–D et cinq avec B–E.
Camille avait pris A et B comme premières fiches bon marché, puis proposé de terminer avec C, parce qu'une seule fiche supplémentaire fermait trois et cinq. Cette décision atteint le minimum du nombre de fiches mais paie dix pour son dernier choix. Nora compare la complétion D–E : leurs deux fiches ajoutent seulement deux points, et elles ferment en plus leur facteur commun sept. Les deux complétions restent des opérations effectivement différentes sur la même sélection A–B. La moins chère n'est pas celle qui a le moins d'éléments ; son facteur sept doit être fermé par le couple entier, sans prendre D seule pour un point en oubliant l'exposant impair qu'elle introduirait.
Changer des signes ajoute une contrainte que les facteurs ne voyaient pas
La branche suivante conserve les cinq noms mais donne les valeurs 6, moins dix, 15, moins vingt et un et 35. Les valeurs absolues et leurs facteurs premiers ne changent pas. B et D sont maintenant négatives. Nora ne cherche toujours pas le carré d'un nombre complexe ni une valeur absolue qui serait carrée : le produit lui-même doit être le carré d'un entier. Une sélection peut donc fermer ses quatre lignes de facteurs et échouer à cause d'un signe négatif. Cette permission sur les valeurs est explicitement nouvelle ; elle ne réinterprète pas les fiches positives déjà utilisées dans les remises précédentes.
A–B–C donne moins neuf cents et C–D–E moins onze mille vingt-cinq. Aucune des deux valeurs n'est un carré entier, même si leurs valeurs absolues ont les racines trente et cent cinq. A–B–D–E comporte les deux fiches négatives et donne encore quarante-quatre mille cent, positif. Nora garde cette seule sélection non vide. Le contrôle de parité des facteurs n'était pas faux ; il était incomplet pour le domaine signé désormais reçu. Camille retire les deux sélections à trois de la remise active sans prétendre qu'elles auraient cessé d'être des solutions dans la branche positive.
Le tableau de choix ferme aussi cette nouvelle unicité. Le choix de B valait la parité de u plus v ; celui de D valait v. Le nombre de fiches négatives choisies a donc la parité de u plus v plus v, c'est-à-dire u. Pour avoir un produit positif, u doit valoir zéro. Le choix u zéro, v zéro reste vide et interdit ; u zéro, v un donne A–B–D–E. Les deux autres choix avaient u un et un seul signe négatif après fermeture des facteurs. Nora n'a pas parcouru seulement les remises dont elle aimait déjà le coût : l'équation du signe a retiré exactement deux des trois possibilités non vides.
Sous cette branche signée, la demande de trois fiches est donc impossible, tandis que quatre est réalisée. La préférence de points précédente peut être conservée et retrouve quatre points sur l'unique ensemble restant. Nora ne compte pas cette coincidence comme une nouvelle économie de coût : les points n'ont pas changé, mais la fermeture du signe a retiré les alternatives. Une proposition remplaçant chaque valeur par sa valeur absolue réadmettrait précisément A–B–C et C–D–E et changerait la commande. La fiche garde les deux signes reçus auprès des noms, plutôt qu'une colonne de facteurs qui les aurait effacés pendant sa préparation.
Une seconde fiche de même valeur n’est pas une réutilisation gratuite
Nous revenons aux cinq valeurs positives et ajoutons réellement F, portant quinze comme C. Chaque fiche peut toujours être choisie une seule fois. C et F sont deux identités disponibles ; Nora peut donc prendre les deux et obtenir deux cent vingt-cinq, quinze au carré. Une seule fiche ne conviendrait toujours pas, puisque F porte les mêmes deux facteurs impairs que C et que toutes les autres valeurs restent non carrées. Le nouveau minimum du nombre de fiches est donc deux. Nora conserve le nouveau reçu de F dans cette branche ; elle ne raconte pas que C aurait déjà été utilisable deux fois avant son arrivée.
La paire C–F ferme trois et cinq par deux occurrences chacune. Aucun autre couple de fiches n'a la même paire de facteurs dans cette liste. Les anciennes valeurs toutes distinctes expliquaient justement l'impossibilité de deux. Camille ne fusionne donc pas C et F en une seule ligne de valeur quinze avant la sélection : cela supprimerait le seul couple qui atteint le minimum deux. À l'inverse, reproduire un même nom C dans la remise aurait violé la permission d'une occurrence par fiche. La construction conserve simultanément l'égalité de leurs valeurs et la différence de leurs identités, sans utiliser l'une pour effacer l'autre.
Si F reçoit également la retenue dix, la sélection C–F coûte vingt points. Les quatre fiches A–B–D–E coûtent toujours quatre et restent une sélection carrée. Nora peut fermer le minimum de coût sans inventorier une promesse fondée seulement sur la nouvelle sélection à deux. Tout ensemble comportant C ou F paie déjà au moins dix ; il ne peut battre quatre, puisque les autres retenues sont positives. Parmi les seules fiches bon marché A, B, D et E, notre premier tableau avait laissé un unique ensemble carré non vide, les quatre ensemble. Nora conserve donc quatre comme coût minimum, tandis que deux demeure le minimum du nombre de fiches, atteint par une autre remise.
Le produit des six fiches vaut neuf millions neuf cent vingt-deux mille cinq cents, soit trois mille cent cinquante au carré. Ce renseignement permet ici une décomposition nouvelle : retirer les deux fiches C et F laisse A–B–D–E, et les deux portions ont un produit carré. Leurs produits deux cent vingt-cinq et quarante-quatre mille cent, multipliés, retrouvent ce total. Chaque portion a conservé ses noms et n'a réutilisé aucune fiche de l'autre. La fermeture complète des six fiches explique cette possibilité de complément, plutôt qu'une règle selon laquelle le complément de toute sélection carrée serait nécessairement carré dans n'importe quelle liste de départ.
La première liste de cinq montre le défaut de cette règle générale. A–B–C y donne neuf cents, mais son complément D–E donne sept cent trente-cinq, dont trois et cinq apparaissent chacun une fois. Ce complément n'est pas carré. Le produit des cinq n'était pas carré non plus : il possédait trois et cinq à exposants impairs. Avec F, les deux facteurs supplémentaires de quinze les ont refermés. Nora refuse donc une ancienne proposition qui remettait D–E comme carré en utilisant seulement le succès de A–B–C. La permission nouvelle a ajouté une fiche et deux occurrences premières, pas seulement une étiquette utile pour raconter la même liste.
Ne vérifier que deux facteurs laisse passer une mauvaise sélection
Camille conserve uniquement les lignes de deux et de trois, puis propose C et D, quinze et vingt et un. Le produit trois cent quinze a zéro occurrence de deux et deux occurrences de trois ; ces deux contrôles réussissent. Mais cinq et sept sont chacun présents une fois, donc le produit n'est pas carré. Il se trouve entre dix-sept au carré, deux cent quatre-vingt-neuf, et dix-huit au carré, trois cent vingt-quatre. Nora retire cette remise sans modifier les deux contrôles réussis : ils avaient interrogé une projection incomplète des facteurs reçus. Leur réussite ne peut remplir silencieusement les deux lignes abandonnées par des zéros.
La fiche retenue garde donc quatre contraintes de facteurs, une contrainte de signe lorsque les valeurs négatives sont reçues, puis les identités distinctes lorsque F est ajoutée. Nora remet trois fiches pour la plus petite sélection positive initiale, quatre pour le coût minimal, quatre encore pour la branche signée et deux pour la nouvelle demande de cardinalité avec F. Aucun de ces nombres ne permet de supprimer une ligne de contrôle avant de comparer les choix. Ce dernier bilan reste exclu de la matière utile : les préparations ont déjà montré les sélections qui l'autorisent.
Les notices restent des références de catégorie ; aucune image ou méthode artistique ne fournit ces sélections. Les fiches demeurent des nombres créés, avec leurs signes et leurs identités reçus, sans prétendre certifier une mesure ni une manipulation réelle.