Nora prépare des fiches numériques pour une activité fictive après dîner. Camille doit remettre une estimation de leur moyenne de tirage, avec une limite d’erreur annoncée avant de lire les valeurs. Certaines valeurs permises peuvent être très grandes. Nora souhaite donc comparer une moyenne générale et une médiane de moyennes de groupes, sans appeler moyenne vraie tout nombre situé au milieu d’une réalisation. Le dossier doit garder la loi supposée, les groupes réellement constitués et la portée du certificat.
Les valeurs et les tirages sont stipulés. Aucun repas, consommateur, mesure physique ou protocole professionnel n’est observé. Les méthodes statistiques sont classiques, sans invention revendiquée. Les fiches dessinées servent à poser une expérience finie sur papier.
Winsor & Newton présente des papiers de dessin.
Schmincke présente des aquarelles.
Sennelier présente de la gouache.
Ces catégories seules donnent un contexte aux fiches. Aucun fournisseur ne donne la loi numérique ou la garantie suivante ; les images ne sont pas examinées.
La valeur recherchée ne se trouve pas nécessairement au milieu des fiches
Nous donnons à Camille des valeurs indépendantes issues d’une même loi. Leur moyenne de tirage est un nombre fixe mu, qu’elle ne reçoit pas. Leur variance ne dépasse pas neuf ; cette limite fait partie des prémisses attestées du jeu. Nora veut que la chance d’un écart d’au moins un entre l’estimation remise et mu ne dépasse pas un soixantième. Le certificat doit convenir à toute loi satisfaisant ces conditions, pas seulement à une petite liste dont Nora connaîtrait déjà la moyenne. Aucun tirage futur ne reçoit une garantie individuelle de réussite.
Camille propose de prendre trois valeurs et leur médiane. Nora examine une loi autorisée : moins un avec une chance neuf dixièmes, et neuf avec une chance un dixième. Sa moyenne vaut zéro et sa variance neuf. La médiane de trois vaut neuf seulement si au moins deux tirages donnent neuf. Leur chance vaut trois fois un centième fois neuf dixièmes, plus un millième, soit sept deux-cent-cinquantièmes. Dans les autres cas, la médiane vaut moins un. Sa moyenne sur les tirages vaut donc moins un plus dix fois sept deux-cent-cinquantièmes, soit moins dix-huit vingt-cinquièmes. Nora retire la mention « estimation sans biais de mu » de cette proposition.
La moyenne arithmétique des trois valeurs possède pourtant une moyenne de tirage zéro sous cette même loi. Camille ne peut pas transmettre cette propriété à leur médiane en disant que toutes viennent du même tirage. Avec la réalisation moins un, moins un, neuf, la moyenne observée vaut sept tiers et la médiane moins un. La moyenne n’a pas retrouvé zéro sur cette réalisation, même si sa moyenne sur toutes les réalisations le retrouve. Nora garde ainsi trois nombres distincts : mu zéro, une moyenne observée sept tiers et une médiane observée moins un. Elle n’utilise aucune de leurs égalités possibles dans d’autres tirages comme une identité nécessaire.
Camille demande alors seulement un certificat d’erreur, et non l’égalité de la moyenne de son estimateur avec mu. Une médiane peut être biaisée tout en possédant un certificat d’erreur suffisant sous un autre nombre de tirages. Nora conserve ce changement de demande avant de choisir les groupes. Elle ne répare pas le moins dix-huit vingt-cinquièmes en ajoutant systématiquement ce nombre à toutes les médianes futures : le biais calculé appartenait à la loi précise des deux valeurs, tandis que la nouvelle demande doit accepter toutes les lois de variance au plus neuf.
Préparer cinq groupes disjoints avant les lectures
Nora stipule trois cent soixante tirages indépendants, puis les sépare avant leur réalisation en cinq groupes de soixante-douze. Chaque tirage appartient à un seul groupe. Dans chacun, Camille calcule la somme puis la divise par soixante-douze. Elle trie ensuite les cinq moyennes et retient la troisième. Ce nombre M est la médiane des cinq moyennes, pas la médiane des trois cent soixante valeurs individuelles. Les tailles égales et l’absence de recouvrement sont des données de cette expérience.
La moyenne d’un groupe possède une variance au plus neuf sur soixante-douze, soit un huitième. Sa moyenne de tirage reste mu. La chance que son écart à mu atteigne au moins un ne dépasse donc pas un huitième, par le contrôle classique du carré de cet écart. Ce contrôle tient pour chaque groupe, sans supposer de petite valeur maximale pour une fiche. Nora l’applique à l’unité moyenne de soixante-douze, plutôt qu’au tirage individuel dont la variance neuf donnerait une borne inutilisable pour cette tolérance.
Si au moins trois des cinq moyennes se trouvent strictement entre mu moins un et mu plus un, leur médiane s’y trouve également. En effet, trois moyennes intérieures empêchent la troisième valeur triée d’être sous la borne basse ou au-dessus de la borne haute. Pour que M manque cet intervalle, au moins trois groupes doivent donc manquer leur intervalle. Les groupes sont indépendants parce qu’ils emploient des tirages distincts indépendants. Nora peut maintenant contrôler un nombre de groupes défaillants, au lieu d’additionner simplement cinq bornes un huitième qui donneraient cinq huitièmes.
Pour cinq événements indépendants de chances au plus un huitième, la chance d’en avoir au moins trois est au plus celle de cinq événements possédant chacun exactement un huitième. On peut augmenter séparément ces chances sans diminuer un événement qui exige davantage de défaillances. À trois, quatre et cinq défaillances, les contributions maximales sont respectivement dix fois le cube d’un huitième et le carré de sept huitièmes, cinq fois la quatrième puissance d’un huitième et sept huitièmes, puis la cinquième puissance d’un huitième. Leur somme vaut deux cent soixante-trois sur seize mille trois cent quatre-vingt-quatre, inférieur à un soixantième. Camille retient donc cette médiane de cinq moyennes pour le certificat demandé.
Nora garde une implication, pas une équivalence cachée. Prenons cinq moyennes moins cent, moins cent, zéro, cent, cent, avec mu zéro. Quatre groupes ont un écart d’au moins un, mais la médiane vaut zéro et réussit. Les mauvais groupes situés de part et d’autre ne poussent pas nécessairement la troisième valeur dehors. Camille retire donc le commentaire « trois groupes mauvais signifient exactement l’échec ». Le compte des groupes défaillants fournit une borne suffisante pour le risque ; il n’a pas compté exactement les échecs de toutes les lois possibles. Elle peut utiliser cette borne sans modifier le résultat réussi de la réalisation présente.
Nous remplissons également une autre réalisation, moins cent, moins cent, moins cent, zéro, cent. La troisième valeur vaut moins cent et manque effectivement l’intervalle autour de zéro. Les trois premiers groupes défaillants sont ici du même côté. Nora conserve les deux réalisations auprès de la preuve : un grand nombre de défaillances peut permettre l’échec, mais ne l’impose pas lorsqu’elles se répartissent autrement. Elle ne prétend donc pas que les deux cent soixante-trois parts seraient une fréquence exacte de ce qu’elle verrait sur des fiches réelles ou même sur toute loi du jeu.
La moyenne de toutes les fiches manque réellement la même demande uniforme
La moyenne des trois cent soixante tirages possède une variance au plus neuf sur trois cent soixante, soit un quarantième. Le même contrôle de l’erreur donne seulement un quarantième, supérieur à un soixantième. Camille souhaite écrire que la moyenne générale ne satisfait pas la demande parce que ce certificat est trop grand. Nora refuse encore cette conclusion : une borne trop grande pourrait être seulement trop faible. Elle demande une loi autorisée où la chance d’erreur dépasse réellement un soixantième, plutôt que confondre absence de preuve et preuve d’échec.
Nora construit cette loi : la valeur est zéro avec une chance quatorze mille trois cent quatre-vingt-dix-neuf sur quatorze mille quatre cents ; les valeurs trois cent soixante et moins trois cent soixante possèdent chacune une chance un vingt-huit-mille-huit-centième. Les deux signes ont la même chance, donc la moyenne vaut zéro. Le carré moyen vaut cent vingt-neuf mille six cents multiplié par un quatorze-mille-quatre-centième, soit neuf. Cette loi satisfait exactement la limite de variance. Ses valeurs rares ne reçoivent aucune interprétation de dépense, de durée de service ou de propriété d’un matériau.
Dans trois cent soixante tirages de cette loi, l’événement « exactement une valeur non nulle » suffit à faire manquer l’objectif : la moyenne vaut alors un ou moins un, dont l’écart à zéro atteint précisément un. La chance de cet événement vaut un quarantième multiplié par la puissance trois cent cinquante-neuf de quatorze mille trois cent quatre-vingt-dix-neuf sur quatorze mille quatre cents. Elle dépasse vingt-quatre millièmes, donc un soixantième. Nora dispose maintenant d’un véritable contre-exemple à la garantie uniforme de la moyenne générale avec trois cent soixante tirages. Elle n’a pas besoin de compter les autres événements d’échec pour établir ce refus.
La médiane de groupes garde pourtant son certificat précédent pour cette loi, puisqu’elle reste une loi indépendante de variance neuf. Une seule valeur rare située dans un groupe peut porter sa moyenne à cinq ou moins cinq ; les quatre autres moyennes restent zéro sur la réalisation ne comportant qu’une valeur rare. Leur médiane est zéro. Camille choisit donc le protocole de cinq groupes pour la demande uniforme reçue. Elle ne promet pas qu’il sera meilleur pour chaque loi ou pour chaque réalisation : le refus de la moyenne générale reposait sur une loi autorisée particulière, tandis que le certificat des groupes couvrait toute la famille annoncée.
Recopier un groupe ne crée pas cinq expériences indépendantes
Léon propose de ne tirer que soixante-douze valeurs, puis d’imprimer cinq copies de leur moyenne. Chacune posséderait encore une chance d’erreur au plus un huitième. Nora ne lui applique pas le calcul précédent : les cinq copies sont exactement le même nombre, et leur médiane égale ce nombre. Une réalisation mauvaise le rend mauvais cinq fois ; une bonne le rend bon cinq fois. Il n’existe pas dix choix indépendants de trois groupes pouvant rendre le risque cubique. Camille retire donc cette économie de tirages de la fiche exigeant le certificat des groupes indépendants.
Pour montrer précisément la place de l’indépendance, Nora stipule aussi cinq nombres égaux à zéro avec une chance sept huitièmes, tous égaux à un avec une chance un seizième, et tous égaux à moins un avec une chance un seizième. La cible est zéro. Chaque nombre a séparément un risque d’écart d’au moins un égal à un huitième ; leur médiane possède pourtant ce même risque un huitième, bien supérieur à un soixantième. Cette feuille répond aux cinq limites marginales, sans répondre à la condition de groupes indépendants. Nora la refuse pour la demande reçue, sans lui inventer cinq échecs provenant de cinq tirages distincts.
Les moyennes des groupes de notre protocole ne sont pas déclarées indépendantes simplement parce que leurs étiquettes diffèrent. Chacune doit utiliser son propre groupe de tirages. Si une même valeur entrait dans plusieurs groupes, ceux-ci partageraient un renseignement aléatoire. Camille garde donc les identités des trois cent soixante positions avec leur appartenance à un seul groupe. Elle remet ces appartenances avec M, plutôt que cinq résumés dont la provenance aurait disparu. Ce contrôle d’identité demeure une condition de la preuve, pas un nouveau certificat statistique obtenu en changeant les noms des groupes.
Remplacer des fiches change aussi la règle du risque
Nora examine enfin une branche déterministe : cinq groupes de soixante-douze valeurs initialement toutes nulles. Leur moyenne et leur médiane valent zéro. Les tirages aléatoires de la preuve précédente ne sont pas reconduits comme hypothèse sur les valeurs modifiées. Camille permet qu’un autre personnage remplace ensuite certaines valeurs par des nombres arbitraires. Elle souhaite vérifier ce que protège la médiane lorsqu’un nombre donné de groupes a réellement été touché, sans transformer ce modèle de modification en la loi indépendante de départ.
Une première modification place sept mille deux cents dans une seule position du premier groupe. Sa moyenne devient cent ; les quatre autres restent zéro. La moyenne de toutes les valeurs devient vingt, tandis que la médiane des cinq moyennes reste zéro. Une seconde modification, dans une position du deuxième groupe, porte également sa moyenne à cent. La moyenne générale devient quarante, et la médiane reste zéro. Camille garde ces deux remises réussies pour la médiane : il reste chaque fois au moins trois groupes entièrement inchangés. Les grandes valeurs remplacées ne sont pas ignorées dans leur groupe ; elles ne peuvent seulement pas occuper la troisième place centrale depuis deux groupes seuls.
La garantie déterministe s’exprime depuis les groupes demeurés bons. Si trois d’entre eux ont des moyennes entre deux nombres L et U, même deux moyennes remplacées arbitrairement ne peuvent faire sortir la médiane de cet intervalle. Sous L, il ne peut y avoir plus de deux moyennes ; au-dessus de U, il ne peut pas davantage y en avoir trois. Nora utilise cette propriété sans supposer que les groupes bons valent exactement zéro. Elle distingue toutefois « demeurés dans cet intervalle » de « certainement proches de mu » : cette dernière relation doit venir d’une prémisse ou du contrôle probabiliste, pas de la seule résistance aux remplacements.
Léon remplace maintenant une position de chacun des cinq groupes par sept mille deux cents. Seulement cinq valeurs sur trois cent soixante ont été modifiées, une proportion un soixante-douzième. Les cinq moyennes deviennent pourtant cent, comme leur médiane. Camille retire la promesse selon laquelle une petite proportion globale de fiches modifiées suffirait à protéger cette médiane. La disposition des modifications entre les groupes compte : les cinq positions ont touché tous les groupes, au lieu de rester confinées dans deux. La fraction un soixante-douzième ne désignait donc pas une fraction de groupes mauvais également petite.
Nora refuse de résoudre cet échec en regroupant les cinq valeurs modifiées après les avoir reconnues, comme si cette nouvelle partition avait toujours été celle du protocole. La partition était fixée avant les lectures ; reconnaître les mauvaises positions aurait apporté un renseignement supplémentaire sur les modifications. Camille garde les cinq groupes d’origine et le résultat cent dans cette branche refusée. Si elle voulait une autre règle de partition, il faudrait en donner les opérations et les informations réellement accessibles avant de lui attribuer un certificat. Une relecture omnisciente ne répare pas rétroactivement le protocole livré.
Camille remet finalement la médiane de cinq moyennes disjointes pour la demande probabiliste de départ, avec les trois cent soixante identités de tirage et le contrôle de variance. Les essais de copie et de modification restent des branches distinctes. Une médiane n’avait pas promis l’absence de biais, la moyenne générale possédait un contre-exemple réel au certificat uniforme recherché, et la résistance aux remplacements dépendait du nombre de groupes touchés. Le dossier garde ces décisions avec les renseignements et les opérations qui les justifient.
Mélanger les places sans reconnaître les valeurs modifiées ne les réunit pas sûrement
Une autre permission fixe trois positions modifiées, chacune portant sept mille deux cents, avant de constituer les groupes ; les trois cent cinquante-sept autres valent zéro. Camille ne connaît pas ces positions. Elle reçoit seulement le droit de répartir uniformément les trois cent soixante identités dans cinq groupes de soixante-douze, par un tirage indépendant des positions modifiées. Si les trois valeurs se retrouvent dans un ou deux groupes, au moins trois moyennes restent nulles et M vaut zéro. Si elles occupent trois groupes différents, trois moyennes valent cent et M vaut cent. Les positions des trois valeurs forment uniformément un ensemble de trois places parmi les trois cent soixante places réparties. Il y a sept millions sept cent onze mille trois cent vingt ensembles possibles. Pour occuper trois groupes différents, on choisit trois des cinq groupes puis une de leurs soixante-douze places respectives : trois millions sept cent trente-deux mille quatre cent quatre-vingts ensembles. Nora obtient donc une chance d’échec égale à trente et un mille cent quatre sur soixante-quatre mille deux cent soixante et un, bien supérieure à un soixantième. Elle refuse la nouvelle proposition de mélange aveugle comme garantie de réunir ces trois valeurs dans deux groupes.
Camille conserve le tirage des groupes comme une opération différente de la réunion qui aurait reconnu les trois mauvaises positions. La plupart des autres ensembles les distribuent sur deux groupes, et une petite partie sur un seul ; ils donnent réellement M zéro. Mais ce succès possible ne suffit pas à la demande annoncée. Nora distingue aussi un autre ordre des opérations : si le personnage pouvait choisir les trois positions à modifier après avoir reçu la partition, il pourrait en prendre une dans chacun de trois groupes et provoquer M cent avec certitude. Le risque calculé d’environ quarante-huit pour cent appartenait à des positions fixées avant le tirage indépendant, pas à ce choix réactif. Camille remet donc le refus du certificat pour le mélange aveugle avec sa chance exacte, et garde le refus plus fort pour la modification adaptée aux groupes. Aucun de ces deux protocoles ne reçoit la limite probabiliste de la première expérience de valeurs indépendantes non remplacées.
Retirer les deux extrêmes ne protège pas la même commande
Léon propose une autre sortie depuis les cinq moyennes : retirer la plus petite et la plus grande, puis faire la moyenne des trois restantes. Sur quatre moyennes nulles et une moyenne cent, cette sortie vaut zéro comme la médiane. Nora ne lui attribue pas pour autant la protection contre deux groupes remplacés. Elle reprend trois moyennes nulles et deux moyennes cent. Le retrait enlève un zéro et un cent ; les trois nombres conservés sont zéro, zéro, cent, dont la moyenne vaut cent tiers. La médiane des cinq valait zéro. Camille refuse donc la nouvelle sortie pour la commande qui protégeait l’intervalle des trois groupes bons malgré deux groupes arbitraires. Remplacer cent par un nombre B encore plus grand rendrait la sortie B sur trois sans limite, alors que la médiane resterait zéro. Le geste de retirer deux extrêmes n’avait pas retiré nécessairement les deux nombres modifiés.
Nora peut en revanche certifier une protection différente pour cette moyenne des trois rangs centraux : si quatre des cinq moyennes sont dans un intervalle de L à U, elle y restera malgré une cinquième arbitraire. Une valeur hors de l’intervalle est nécessairement l’extrême de son côté et sera retirée ; une valeur déjà dans l’intervalle ne peut pas en faire sortir la moyenne des valeurs conservées. Cette preuve suppose quatre groupes bons, plutôt que les trois qui suffisaient à la médiane. Camille garde donc deux contrats distincts. Avec trois zéros, moins cent et cent, les extrêmes sont bien les deux valeurs modifiées et la sortie est zéro ; avec les deux cent du premier essai, elle échoue. Camille remet la médiane pour la protection contre deux groupes arbitraires, sans transformer le succès d’un retrait symétrique en certificat pour des remplacements pouvant être du même côté.
Une variance observée nulle ne fournit pas la borne promise
Camille propose enfin de recevoir seulement les trois cent soixante valeurs, puis de remplacer la borne de variance donnée neuf par leur variance observée. Nora lui remet deux lois indépendantes, sans la prémisse de variance au plus neuf dans cette branche. La première donne toujours zéro : sa moyenne et sa variance valent zéro. La seconde donne deux millions avec une chance un millionième et zéro sinon. Sa moyenne vaut deux ; son carré moyen vaut quatre millions et sa variance trois millions neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-seize. Dans la seconde loi, les trois cent soixante valeurs sont pourtant toutes nulles avec la chance (999999/1000000) élevée à la puissance trois cent soixante, supérieure à quatre-vingt-dix-neuf centièmes. Le même relevé de zéros fournit une variance observée nulle dans les deux lois, sans rendre leurs variances de tirage identiques.
Sur ce relevé, les cinq moyennes et leur médiane valent zéro. Si Camille employait la variance observée nulle comme certificat pour les lois possibles, elle annoncerait une estimation parfaite. Sous la seconde loi, l’écart à la vraie moyenne deux vaut pourtant deux, sur l’événement très probable des trois cent soixante zéros. L’intervalle de zéro moins un à zéro plus un manque cette moyenne. Nora refuse donc d’obtenir la prémisse de variance depuis ce seul relevé ; augmenter la confiance portée au résumé ne donne pas le renseignement absent sur les valeurs rares. Ce refus ne contredit pas le premier certificat, qui recevait neuf comme borne vraie de la loi avant les lectures. Camille conserve cette borne attestée auprès du protocole accepté et retire la proposition qui la remplaçait par le zéro empirique, plutôt que faire passer un relevé possible sous deux lois pour la preuve que seule la première loi était disponible.