Une feuille destinée à préparer l’organisation d’un plateau peut montrer toutes les zones demandées sans montrer comment les obtenir. Léa souhaite comparer ces deux questions. Elle a composé un carré central entouré de quatre rectangles, puis reçoit une contrainte supplémentaire : chaque séparation doit traverser entièrement un rectangle encore présent sur la feuille. Elle veut savoir si son premier plan répond à cette contrainte, avant de le conserver ou de modifier une demande.
Le plateau, les zones et les opérations sont entièrement dessinés. Le carré extérieur mesure six unités sur six. Les quatre grandes zones mesurent chacune quatre sur deux, avec le quart de tour autorisé ; la cinquième mesure deux sur deux. Leurs intérieurs ne doivent pas se chevaucher. Les limites n’ont aucune largeur. Nous ne donnons ni mesure d’un objet commercial, ni épaisseur, charge, prise en main ou usage alimentaire. Il n’est question d’aucun essai de découpe réelle. Le modèle de partitions par séparations entières est classique, sans invention revendiquée.
Roltex présente des plateaux.
Cambro présente des plateaux.
TableCraft présente des plateaux.
Ces pages ont été lues textuellement pour cette seule catégorie. Les matériaux, dimensions commerciales et qualités annoncées ne sont pas utilisés. Aucun de leurs plateaux n’est reproduit et aucune image n’a été examinée. Nos cinq zones et les permissions de les séparer sont créées pour le dessin suivant ; ces fabricants n’en certifient ni la disposition ni la réalisation.
Décrire une couverture complète autour du carré central
Nous plaçons l’origine du dessin en bas à gauche. Les coordonnées horizontales et verticales vont de zéro à six. Le petit carré doit rester exactement au centre : de deux à quatre dans les deux directions. Léa place une première grande zone en bas, de zéro à quatre horizontalement et de zéro à deux verticalement. La deuxième occupe le côté droit, de quatre à six horizontalement et de zéro à quatre verticalement. La troisième se trouve en haut, de deux à six horizontalement et de quatre à six verticalement. La quatrième occupe la gauche, de zéro à deux horizontalement et de deux à six verticalement.
La couverture peut se vérifier par bandes horizontales. Entre zéro et deux en hauteur, la zone basse prend les quatre premières unités de largeur, celle de droite les deux dernières. Entre deux et quatre, la zone gauche prend deux unités, le carré central les deux suivantes, la zone droite les deux dernières. Entre quatre et six, la zone gauche occupe deux unités et celle du haut les quatre autres. Chaque bande est remplie une fois, sans intérieur partagé. Léa conserve ainsi une couverture effective, pas seulement la somme des quatre surfaces de huit et de celle de quatre.
Les deux rectangles verticaux sont les mêmes formes de quatre sur deux que les deux horizontaux, après un quart de tour. Cette permission appartient à notre dessin. Elle ne vient pas d’une image de plateau ou d’une possibilité de tourner un objet réel dans un espace déjà rempli. Le plan place les zones directement dans leurs orientations finales ; il ne décrit pas leur trajet. Les trente-six unités carrées sont couvertes, mais ce résultat ne répond pas encore à la manière de produire les cinq zones par les séparations autorisées.
Chercher la première séparation avant de promettre une suite
Une séparation autorisée traverse horizontalement ou verticalement tout le rectangle auquel elle s’applique, de l’un de ses bords au bord opposé. Au départ, ce rectangle est le carré extérieur entier. Après une séparation, chacune des deux parties est un nouveau rectangle auquel une séparation ultérieure pourra s’appliquer. Aucune ligne ne s’arrête au milieu de la partie qu’elle traverse. Pour obtenir les cinq zones entières du plan, aucune séparation ne doit passer dans leur intérieur ; elle peut suivre leurs limites.
Dans le dessin retenu, une verticale située strictement entre zéro et quatre traverse l’intérieur du rectangle bas pendant les deux premières unités de hauteur. Une verticale entre quatre et six traverse l’intérieur du rectangle haut pendant les deux dernières. À la position quatre, où le rectangle bas s’achève, le rectangle haut occupe encore les deux côtés de la ligne. À la position deux, qui pourrait sembler une limite du carré central, c’est le rectangle bas qui se trouve des deux côtés. Aucun emplacement vertical intérieur ne donne donc une première séparation conservant les cinq zones entières.
Le même contrôle horizontal rencontre d’autres obstacles. Entre zéro et quatre en hauteur, une ligne traverse le rectangle droit. Entre quatre et six, elle traverse le rectangle gauche. À la hauteur quatre, le rectangle gauche continue de deux à six et bloque la séparation ; à la hauteur deux, le rectangle droit continue de zéro à quatre et la bloque. Les limites horizontales du petit carré ne constituent donc pas davantage des passages libres à travers tout le plateau. Léa retire la proposition « commencer par le contour du carré central » : ce contour n’offre aucune ligne entière autorisée au départ.
Il serait inutile de choisir un ordre différent pour les opérations suivantes sans résoudre ce premier pas. Le carré extérieur est intact et aucune séparation admissible ne l’ouvre en deux rectangles conservant le plan. Une suite composée seulement d’opérations admissibles doit pourtant en avoir une première. Léa refuse donc ce plan pour cette procédure, même s’il couvre bien toute la surface. Le refus ne prétend pas que les cinq zones ne tiennent pas. Il distingue leur présence géométrique de leur obtention par une procédure plus restrictive.
Le carré central force les deux dispositions possibles
Léa examine une autre idée : réarranger les quatre rectangles en gardant le carré central, puis chercher une première séparation. Pour vérifier ce projet, nous utilisons les coins du carré extérieur. Le petit carré central n’en contient aucun. Une grande zone de quatre sur deux ne peut pas contenir deux coins extérieurs, puisque deux coins voisins sont distants de six unités alors que son plus grand côté en mesure quatre. Les quatre grandes zones doivent donc occuper chacune un coin différent. Celle du coin inférieur gauche est ancrée à zéro dans les deux directions ; ses deux orientations possibles donnent deux débuts à examiner.
Si cette première zone est horizontale, elle occupe de zéro à quatre en largeur et de zéro à deux en hauteur. Au coin inférieur droit, une autre zone horizontale devrait aller de deux à six sur la même hauteur ; elle chevaucherait la première entre deux et quatre. Elle doit donc être verticale, de quatre à six en largeur et de zéro à quatre en hauteur. Cette orientation n’est pas simplement préférée pour la présentation : l’autre ne satisfait pas les intérieurs disjoints des zones de ces deux coins.
Au coin supérieur droit, une zone verticale devrait aller de quatre à six en largeur et de deux à six en hauteur. Elle chevaucherait celle du coin inférieur droit. La troisième doit être horizontale, de deux à six en largeur et de quatre à six en hauteur. Enfin, au coin supérieur gauche, une horizontale de zéro à quatre sur les deux unités supérieures chevaucherait cette troisième zone. La quatrième doit être verticale, de zéro à deux en largeur et de deux à six en hauteur. Nous retrouvons exactement le premier plan, sans déplacement libre encore disponible pour ouvrir un passage.
Si la première zone du coin inférieur gauche est verticale, la même contrainte de non-chevauchement force successivement une horizontale en haut à gauche, une verticale en haut à droite et une horizontale en bas à droite. C’est le plan réfléchi du premier. Les obstacles aux séparations entières s’y retrouvent avec les côtés échangés. Ces deux départs couvrent toutes les orientations de la zone du premier coin, puis chaque autre coin est forcé. Léa refuse donc la recherche d’un autre arrangement des cinq zones gardant le carré exactement central. Elle a une obstruction pour tous ces arrangements, au lieu du seul échec d’une disposition essayée.
Cette conclusion ne dépend pas d’un quadrillage qui aurait oublié des décalages plus fins. Une zone contenant un coin extérieur tout en restant dans le carré est ancrée aux deux bords de ce coin. Ses dimensions fixées déterminent ses extrémités. Les coordonnées intermédiaires ne peuvent donc pas la déplacer sans lui faire perdre le coin ou sortir du carré. Léa peut conserver les nombres entiers pour transmettre son plan, mais le raisonnement par coins a déjà fermé la possibilité d’un déplacement fractionnaire qui sauverait un troisième arrangement central.
Déplacer le petit carré permet de garder les cinq zones entières
Une nouvelle demande maintient les dimensions des cinq zones, mais retire l’obligation de garder le petit carré au centre. Léa choisit de le placer au coin supérieur gauche, de zéro à deux en largeur et de quatre à six en hauteur. Dans la partie gauche restante, elle place un rectangle vertical de deux sur quatre, de zéro à deux en largeur et de zéro à quatre en hauteur. À droite, les trois autres rectangles sont horizontaux, chacun large de quatre et haut de deux, dans les bandes successives de zéro à deux, de deux à quatre et de quatre à six.
La verticale à deux devient une première séparation entière admissible. Aucun des cinq intérieurs ne la traverse : les deux zones de gauche s’y achèvent, les trois de droite y commencent. Elle produit un rectangle gauche de deux sur six et un rectangle droit de quatre sur six. Léa n’a pas seulement choisi une autre place pour une étiquette centrale. Elle a composé deux groupes qui ne s’entrelacent plus autour du petit carré. Leur frontière commune se prolonge effectivement d’un bord extérieur à l’autre.
Dans le rectangle gauche, elle sépare horizontalement à la hauteur quatre. La ligne traverse toute sa largeur de deux et donne le rectangle vertical inférieur et le carré supérieur. Dans le rectangle droit, elle sépare d’abord à la hauteur deux, isolant le rectangle inférieur. La partie droite supérieure, de quatre sur quatre, reçoit ensuite une séparation à la hauteur quatre du repère initial. Elle fournit les deux derniers rectangles de quatre sur deux. Les quatre séparations ont ainsi produit exactement les cinq zones demandées, et chacune traversait le rectangle courant entier auquel elle s’appliquait.
Léa peut commencer les opérations internes par la partie droite ou par la gauche une fois la verticale initiale faite. Ces parties sont devenues deux rectangles distincts ; une séparation dans l’une ne modifie pas la zone disponible dans l’autre. Elle retient pour sa fiche la séparation gauche, puis les deux droites, afin de fixer une suite complète. Cette liberté locale diffère de l’ancienne recherche d’un autre premier pas : la verticale à deux existe maintenant, et les opérations échangées viennent seulement après elle. L’ancien plan central n’avait aucune de ces deux parties déjà séparées.
Les lignes horizontales internes ne doivent pas être prolongées automatiquement dans l’autre partie. À la hauteur deux, un prolongement à travers la gauche couperait en deux le rectangle vertical qui doit rester entier. La séparation choisie à cette hauteur s’applique uniquement au rectangle droit déjà créé, dont elle traverse pourtant toute la largeur. Elle est donc entière dans son rectangle courant, sans être entière dans le carré extérieur d’origine. Léa inscrit le rectangle concerné auprès de chaque opération ; demander qu’une ligne soit entière n’a de sens qu’avec la partie à laquelle on l’applique.
Garder le centre en autorisant la subdivision d’une grande zone
Une autre branche tient davantage au carré central qu’aux quatre grands rectangles entiers. Elle conserve le premier emplacement central et ses quatre zones autour, mais autorise la subdivision d’une seule grande zone en deux carrés. Léa choisit celle du bas, initialement de zéro à quatre en largeur et de zéro à deux en hauteur. Sa nouvelle limite à deux en largeur la partage en deux zones de deux sur deux. La cible finale contient désormais six zones : trois grands rectangles et trois petits carrés, dont le carré central resté à sa place.
La verticale à deux peut maintenant traverser tout le carré extérieur sans couper l’intérieur d’une zone finale. En bas, elle suit la nouvelle frontière entre les deux petits carrés. Plus haut, elle suit le côté droit du rectangle gauche et le côté gauche du carré central, puis le côté gauche du rectangle supérieur. Nous pouvons donc l’utiliser comme première séparation. La subdivision ciblée n’a pas été exécutée comme une petite ligne interdite sur la feuille intacte : elle a modifié le résultat attendu, rendant cette nouvelle séparation entière compatible avec toutes ses zones finales.
À gauche de cette première séparation, le rectangle courant mesure deux sur six. Une horizontale à la hauteur deux fournit le petit carré inférieur et le grand rectangle vertical supérieur. À droite, le rectangle courant mesure quatre sur six. Une horizontale à la hauteur quatre en isole le grand rectangle du haut. La partie droite inférieure mesure alors quatre sur quatre, de deux à six en largeur et de zéro à quatre en hauteur. Une verticale à quatre la sépare en deux rectangles de deux sur quatre : celui de droite est le grand rectangle conservé, celui de gauche contient les deux derniers petits carrés.
Dans ce dernier rectangle de deux sur quatre, Léa sépare horizontalement à la hauteur deux. Elle obtient le petit carré venant du bas et celui resté au centre. Les cinq séparations ont donc produit les six zones finales, sans subdiviser les trois grands rectangles encore exigés entiers. La fiche garde la nouvelle frontière seulement dans la grande zone basse. Elle n’annonce pas quatre grandes zones intactes auprès de ces cinq séparations : ce serait reprendre le résultat que la première verticale a justement cessé de préserver.
Une subdivision de grande zone suffit ainsi à rendre une suite possible en gardant le centre. Zéro subdivision ne suffisait pas, puisque les deux dispositions des cinq zones entières ont été refusées. Pour le critère précis « nombre de grandes zones dont on abandonne l’intégrité », le minimum est donc un. Nous ne cherchons pas ici la longueur minimale des lignes ou une quantité de travail réelle. Le minimum établi porte sur la modification de la cible : une grande zone devenue deux petites ouvre la première frontière qui manquait.
Une subdivision ailleurs dans la même zone ne libère pas la frontière
Nous comparons une autre cible à six zones, toujours autour du carré central. Elle partage le rectangle bas par une verticale à un, au lieu de deux. Les deux nouvelles zones mesurent un sur deux et trois sur deux ; ensemble, elles occupent exactement l’ancien rectangle bas. Nous autorisons ces deux formes dans cette branche afin que leur différence de dimensions ne suffise pas à écarter la proposition. Léa cherche uniquement si leur nouvelle frontière permet de commencer les séparations entières. La verticale à un suit bien leur frontière pendant les deux premières unités de hauteur. Mais au-dessus, elle traverse le grand rectangle gauche, qui occupe les largeurs de zéro à deux entre les hauteurs deux et six. Le premier pas reste donc interdit. À deux, la verticale traverse maintenant l’intérieur de la nouvelle zone basse de trois sur deux. Les autres verticales gardent leurs anciens obstacles ; les horizontales sont encore bloquées par les grands rectangles droit et gauche. Cette cible à six possède le même nombre de zones et la même couverture que la cible retenue, sans fournir aucune première séparation admissible.
Léa essaie aussi de partager le rectangle bas horizontalement, à la hauteur un. Les deux nouveaux rectangles mesurent chacun quatre sur un. La nouvelle horizontale suit leur frontière en bas à gauche, mais traverse le rectangle droit dans les deux dernières unités de largeur. Aucune verticale n’est libérée : chacune qui traversait auparavant le bas rencontre encore l’intérieur de l’un de ses deux descendants. Léa refuse donc cette seconde subdivision, alors même qu’elle produit deux formes identiques. Pour la subdivision verticale du bas, seule la position deux rejoint une frontière libre dans toute la partie supérieure : à gauche de deux se trouve le grand rectangle gauche, à droite le carré central puis la zone du haut. Toute position strictement inférieure à deux traverse le rectangle gauche ; toute position entre deux et quatre rencontre le carré central ou le rectangle supérieur. La position retenue n’est donc pas un choix décoratif parmi des partages équivalents. Elle aligne la nouvelle limite basse avec celles que les autres zones possèdent déjà. Léa garde deux carrés en bas, plutôt que n’importe quelle paire de rectangles réunissant la même surface.
Léa choisit cette dernière branche lorsque le maintien du centre est prioritaire et que cette subdivision est acceptée. Elle conserve séparément la branche à cinq zones avec le carré dans un coin, pour la demande qui maintient plutôt les cinq formes entières. Les deux plans couvrent le même carré extérieur, mais ils retirent des exigences différentes. Leur comparaison ne se réduit pas à une meilleure utilisation de surface : tous deux la couvrent entièrement. Elle porte sur l’emplacement du petit carré, l’intégrité des grandes zones et les séparations effectivement permises.
La remise comprend donc un plan choisi et une suite de rectangles courants, plutôt qu’un total de surfaces accompagné d’une promesse de réalisation. Les limites du modèle restent visibles : largeur nulle, formes alignées et aucune propriété matérielle validée. Léa peut montrer pourquoi un dessin complet refusait le premier pas, puis quelle modification précise en a ouvert un. Elle ne transforme ni cette partition ni son nombre de séparations en consigne d’atelier, en garantie sur un plateau réel ou en avis donné par les fabricants consultés.