Camille prépare un exercice de papier pour le carnet du dîner. Des arrivées fictives se succèdent ; elle veut distinguer leur nombre exact d’une estimation obtenue avec une règle aléatoire. Nora reçoit les règles et doit choisir ce qu’elle remettra dans la colonne du total. Aucune fréquentation réelle, aucun appareil ni gain de place mesuré ne fournit les nombres. Le compteur étudié est une construction classique : notre décision porte sur son interprétation et sur les changements nécessaires lorsqu’on impose une limite à son état.
Trois sites identifient des carnets. Ni leurs matériaux ni leurs méthodes ne fournissent notre comptage créé, ses tirages ou ses garanties.
Rite in the Rain présente une catégorie de carnets à spirale.
STALOGY présente des carnets et des produits de papier.
Castelli présente des carnets.
Un état entier et un nombre annoncé sont deux colonnes différentes
L’état commence à zéro. À chaque arrivée, si l’état actuel vaut c, Nora le fait augmenter d’une unité avec une probabilité de un sur deux à la puissance c. Sinon, elle le garde. Un nouveau tirage est utilisé à chaque arrivée, selon la probabilité correspondant alors à l’état. Le nombre annoncé ne sera pas c : il sera deux à la puissance c, moins un. Ces deux colonnes restent distinctes sur la fiche. Le modèle donne ses probabilités ; aucun objet consulté n’a établi cette règle.
La première arrivée fait toujours passer l’état de zéro à un, puisque la probabilité de changement vaut un. Nora annonce alors un. À la deuxième arrivée, l’état un augmente avec une probabilité d’un demi. L’état final est donc un ou deux, à chances égales ; les nombres annoncés sont un et trois. Camille connaît ici le nombre d’arrivées, deux, parce que le cas le stipule. Aucune des deux annonces possibles n’est ce total exact. Leur moyenne pondérée vaut pourtant deux. Nora retire donc « nombre d’arrivées constaté » de cette colonne et y inscrit « estimation selon la règle ».
À la troisième arrivée, les deux chemins ne possèdent plus la même probabilité de changement. Si l’état était resté un, la chance de monter vaut encore un demi ; s’il était devenu deux, elle vaut un quart. Les états un, deux et trois obtiennent ainsi les probabilités un quart, cinq huitièmes et un huitième. Les annonces correspondantes sont un, trois et sept. Leur moyenne est un quart plus quinze huitièmes plus sept huitièmes, soit trois. Cette vérification garde les probabilités des chemins : traiter les trois états comme trois réponses également probables aurait donné une autre moyenne, sans respecter la règle reçue.
Nora peut fermer le calcul pour un nombre d’arrivées quelconque sans dérouler tous les chemins. À l’état c, un changement fait passer l’annonce de deux à la puissance c moins un à deux à la puissance c plus un moins un. Le gain est exactement deux à la puissance c. Ce gain se produit avec la probabilité inverse ; son gain moyen, conditionné par l’état courant, vaut donc un. Le maintien apporte zéro. Quel que soit l’état atteint avant l’arrivée, cette arrivée ajoute un à l’annonce moyenne. En partant de zéro, la moyenne après n arrivées vaut n. Camille reçoit cette propriété pour le modèle entier, avec une annonce particulière qui peut encore être inférieure ou supérieure au nombre donné.
L’état ne peut augmenter plus d’une fois par arrivée : après n arrivées, il ne dépasse pas n. Camille avait traduit cette propriété par « l’annonce ne dépasse pas le total ». Nora la corrige avec le deuxième cas, où l’état deux annonce trois après seulement deux arrivées. La borne concerne c, tandis que l’annonce transforme c par une puissance. Même la borne sur l’état ne donne pas une borne identique sur le nombre affiché. Camille garde les deux arrivées et l’annonce trois comme témoin du refus, au lieu de limiter artificiellement celle-ci à deux après son calcul.
La moyenne juste conserve une dispersion qui ne disparaît pas toute seule
Pour savoir ce que la moyenne autorise à promettre, Nora calcule aussi les écarts. À deux arrivées, les annonces un et trois s’écartent chacune d’une unité de deux ; la moyenne des carrés d’écart vaut un. À trois arrivées, les écarts à trois sont moins deux, zéro et quatre. Leurs carrés, pondérés par un quart, cinq huitièmes et un huitième, totalisent un plus deux, donc trois. L’existence d’une moyenne exacte n’a pas supprimé cette dispersion. Nora ne choisit pas l’annonce trois du second dossier comme si elle était plus certaine que les autres parce qu’elle correspondait cette fois au total créé.
Le calcul général utilise le gain d’une arrivée. Si l’annonce courante vaut Y, le gain vaut Y plus un lorsqu’il y a changement, et zéro sinon. Son carré moyen, conditionné par l’état, vaut Y plus un : le carré de deux à la puissance c est multiplié par un sur deux à la puissance c. En développant le carré de l’annonce suivante, sa moyenne ajoute donc deux fois la moyenne de Y, puis encore la moyenne de Y plus un. Après n arrivées, ces ajouts valent trois n plus un. La moyenne des carrés après n arrivées est ainsi trois n au carré moins n, divisé par deux. Retirer n au carré donne une variance de n fois n moins un, divisée par deux.
Camille veut maintenant savoir si attendre davantage suffit à rendre l’annonce relativement précise. Nora divise cette variance par n au carré, pour comparer l’écart au total lui-même. Elle obtient n moins un sur deux n. Cette quantité tend vers un demi ; elle ne tend pas vers zéro. Ce contrôle ne dit pas que toute annonce tardive est mauvaise, ni que chaque réalisation possède le même écart. Il interdit de justifier une concentration relative par la seule croissance du nombre d’arrivées et par l’égalité des moyennes. Nora retire cette justification de la fiche, sans retirer la propriété de moyenne qu’elle a réellement prouvée.
Une nouvelle commande autorise plusieurs copies du compteur pour la même succession d’arrivées. Camille exige que leurs tirages soient indépendants entre copies. Nora moyenne les annonces transformées. Chacune possède une moyenne n ; la moyenne remise conserve donc n. Dans la variance de cette moyenne, les termes de covariance sont nuls sous cette indépendance donnée. Avec m copies, la variance précédente est divisée par m. Nora peut donc modifier la dispersion en augmentant le nombre de copies, mais elle inscrit ce nombre dans la remise. La propriété obtenue avec quarante copies n’est pas attribuée ensuite à une seule fiche.
Pour remplir une demande précise, Camille accepte une garantie par une borne générale : une erreur supérieure ou égale à la moitié du total doit avoir une probabilité au plus égale à un vingtième. Pour n positif, la borne par variance donne deux fois n moins un, divisé par m n. Avec quarante copies indépendantes, cette quantité est au plus un vingtième pour tout n. Nora remet donc quarante pour obtenir cette certification par la borne choisie. Elle ne dit pas que trente-neuf copies échoueraient nécessairement en probabilité réelle : la borne suffit à certifier quarante, mais son incapacité à certifier moins ne constitue pas une mesure exacte du risque.
Une proposition recopie pourtant quarante fois les mêmes états, en réutilisant les mêmes tirages dans toutes les copies. Les annonces sont alors identiques. Leur moyenne est exactement celle d’une seule copie, et sa variance conserve n fois n moins un sur deux. Nora refuse le facteur quarante dans cette proposition. Le nombre de colonnes remplies n’a pas créé quarante tirages indépendants. Camille choisit de garder une seule colonne dans cette variante, ou de fournir réellement des tirages distincts pour la remise à quarante copies ; elle ne conserve pas simultanément la dépendance parfaite et la réduction de variance.
Moyenner les états puis transformer change le résultat remis
Une autre proposition conserve les états, les moyenne, puis applique la formule de l’annonce à cette moyenne. Nora la compare à la moyenne des annonces sur le dossier à deux arrivées. Les états un et deux sont équiprobables : leur état moyen vaut un et demi. La transformation donne deux à la puissance un et demi, moins un, soit deux fois racine de deux moins un. Ce nombre n’est pas deux. En revanche, transformer chaque état d’abord donne un et trois, dont la moyenne vaut deux. Nora garde l’ordre « transformer, puis moyenner » pour la propriété démontrée, au lieu de remplacer cet ordre par une opération seulement voisine dans la mise en page.
Camille propose alors deux fiches effectivement réalisées : l’une porte l’état un, l’autre l’état deux. Leur moyenne d’annonces vaut deux et leur moyenne d’états vaut un et demi. La différence est présente sur ces deux fiches remises, pas seulement dans un calcul abstrait de moyenne sur tous les chemins. Si Camille veut rendre un entier dans la colonne des états, elle devra encore annoncer une règle supplémentaire d’arrondi. Aucun arrondi n’était inclus dans le modèle qui établissait la moyenne des annonces. Nora remet les deux états originaux avec leur moyenne d’annonces, sans inventer un état unique dont la puissance donnerait automatiquement cette moyenne.
Camille essaie enfin de ne conserver, dans le dossier à deux arrivées, que les réalisations où l’annonce vaut trois. Ce groupe possède une moyenne trois, puisque toutes ses annonces sont trois. Il ne représente plus les deux issues équiprobables du compteur : l’issue un a été retirée précisément d’après son annonce. Nora ne lui attribue donc pas la moyenne deux du modèle non filtré. Elle garde trois comme résultat conditionné par cette sélection. Cette décision ne prétend pas que tout arrêt choisi dans le temps détruit les propriétés du compteur ; elle décrit exactement le filtre appliqué après deux arrivées et la population de fiches qu’il conserve.
Un plafond sur l’état retire la propriété de moyenne
Une nouvelle contrainte limite l’état à deux. À cet état, toutes les arrivées suivantes le laissent définitivement inchangé. L’annonce ne peut alors dépasser trois. Camille conserve les probabilités ordinaires pour les états zéro et un ; elle a changé la règle seulement au plafond. Nora doit recalculer sous cette règle, plutôt que citer la moyenne obtenue avec des états sans plafond. Cette restriction est stipulée pour la fiche créée ; nous n’en déduisons aucune capacité matérielle ni aucun format de stockage réel.
Après la première arrivée, l’état vaut un. Pour y rester jusqu’à la n-ième arrivée, il faut conserver l’état lors des n moins un tirages suivants ; la probabilité vaut deux à la puissance un moins n. Sinon, le plafond deux a été atteint et l’annonce vaut trois. La moyenne de l’annonce plafonnée vaut donc trois moins deux à la puissance deux moins n. Après trois arrivées, elle vaut deux et demi ; après quatre, deux et trois quarts. Nora compare ces valeurs aux totaux trois et quatre reçus dans les cas. La règle plafonnée sous-estime en moyenne dès que ces cas dépassent ce que sa transformation peut encore suivre.
Le défaut apparaît aussi directement à une arrivée faite au plafond. Le gain de l’annonce est maintenant zéro avec certitude, au lieu d’avoir un gain moyen un. Camille avait conservé dans sa fiche la démonstration par gain conditionnel, tout en bloquant l’état. Nora pointe la ligne où son hypothèse cesse d’être vraie. Elle retire la conclusion de moyenne exacte pour ce compteur limité, sans prétendre que les anciens chemins ont été mal additionnés. Le changement de règle a supprimé une possibilité de gain indispensable à cette conclusion.
Faire plusieurs copies plafonnées ne rétablit pas le nombre moyen perdu. Avec les mêmes plafonds, chaque copie possède la moyenne trois moins deux à la puissance deux moins n. Leur moyenne garde cette valeur, même avec des tirages indépendants. L’indépendance permet de réduire une dispersion autour de cette nouvelle moyenne, pas de la déplacer à n. Camille refuse donc la proposition « davantage de copies pour retrouver la moyenne exacte » sous le plafond inchangé. Nora conserve la multiplication des copies pour son usage propre et transmet séparément la nécessité de changer la règle au plafond.
Conserver les arrivées suivantes répare la moyenne avec une autre mémoire
Camille autorise une première réparation. Nora conserve l’annonce trois lorsque l’état deux est atteint, puis compte exactement dans une colonne supplémentaire toutes les arrivées suivantes. La remise est trois plus cette colonne. Avant d’atteindre le plafond, les gains suivent la règle ordinaire et leur moyenne conditionnelle vaut un. Après l’avoir atteint, chaque arrivée augmente la nouvelle colonne exactement d’une unité. Cette arrivée ajoute donc encore un à la remise. Le calcul par gains reprend sur tous les états de ce modèle élargi : la moyenne après n arrivées vaut n, avec une colonne exacte dont la taille n’a plus de plafond stipulé.
La distinction se voit dans les trois arrivées du cas déjà rempli. À la deuxième arrivée, une moitié des fiches atteint l’état deux ; sur chacune, la troisième ajoute un à la colonne nouvelle et la remise vaut quatre. L’autre moitié reste à l’état un après la deuxième : à la troisième, une moitié de ce groupe reste à un, l’autre atteint deux. Les remises un, trois et quatre ont ainsi les probabilités un quart, un quart et un demi. Leur moyenne vaut un quart plus trois quarts plus deux, donc trois. Nora remet ces trois chemins réparés ; elle n’annonce pas que la correction aurait rendu chaque fiche égale à trois.
Camille propose de remplacer cette colonne supplémentaire par un simple indicateur « une arrivée au moins après le plafond ». Nora refuse cette substitution dans la réparation annoncée. Deux arrivées après le plafond et une seule donneraient le même indicateur, alors que les remises trois plus deux et trois plus un doivent différer. Elle transmet les deux situations sous le même état deux pour montrer ce que l’indicateur a perdu. Camille accepte une colonne comptant réellement toutes ces arrivées. La réparation ne garde donc pas une représentation entière entièrement bornée à deux et à un indicateur ; cette autre limitation a été abandonnée explicitement.
Repartir de zéro exige de garder les blocs terminés
Une seconde réparation choisit de repartir dès que l’état atteindrait deux. Nora ajoute alors trois à un total extérieur et remet l’état à zéro. La remise globale est ce total extérieur plus deux à la puissance de l’état courant moins un. Quand l’état zéro devient un, cette remise gagne un. Quand l’état un reste inchangé, elle gagne zéro. Quand le tirage à l’état un réussit, l’ancienne partie courante valait un ; la nouvelle vaut zéro, mais le total extérieur vient de gagner trois. Le gain global vaut donc deux, avec une probabilité d’un demi. Sa moyenne conditionnelle reste un dans les deux états courants possibles.
La remise après trois arrivées peut encore être remplie sans raccourci. Si l’état atteint deux dès la deuxième arrivée, le total extérieur devient trois et l’état revient à zéro ; la troisième arrivée le fait passer à un, donnant quatre. Si l’état reste un à la deuxième, la troisième le garde ou déclenche le transfert de trois. Les annonces globales un, trois et quatre possèdent les mêmes probabilités que dans la première réparation pour ce petit cas. Cette coïncidence ne rend pas les deux procédures identiques : l’une attend au plafond en comptant les arrivées suivantes, l’autre recommence ses tirages après chaque bloc terminé.
Camille voulait conserver seulement le nouvel état zéro après le transfert, sans garder le total extérieur. Nora compare alors la remise avant et après un succès depuis l’état un. Elle passerait de un à zéro : ce succès ferait diminuer le total remis, tandis que l’arrivée était censée apporter un gain moyen un. Le transfert de trois n’est donc pas une note facultative effaçable après la remise à zéro. Nora maintient ce total sur la fiche et retire l’annonce que l’état réinitialisé suffirait à retrouver les arrivées déjà traitées. Les blocs terminés ont quitté l’état courant, mais pas la quantité globale à remettre.
Camille choisit finalement le compteur sans plafond pour l’exercice de moyenne, et conserve les deux réparations comme autres modèles lorsque l’état courant doit être limité. La première ajoute un comptage exact après le plafond ; la seconde ajoute un total de blocs et renouvelle ses tirages. Aucune n’autorise une promesse de total exact sur chaque réalisation. La fiche garde la règle, l’ordre de transformation, les dépendances entre copies et les colonnes supplémentaires effectivement utilisées, pour que la moyenne démontrée ne soit pas attribuée à une autre remise.