Trois groupes attendent des cartes pour un service de thé entièrement inventé. Nora dispose de quelques cartes entières et souhaite tenir compte de poids donnés à ces groupes. La division fournit des fractions ; sa remise doit pourtant contenir seulement des nombres entiers. Nous allons choisir les destinataires, puis reprendre ce choix lorsque le stock augmente. Une carte de plus ne produit pas nécessairement le même changement sous toutes les méthodes de répartition.
Chaque carte représente ici une autorisation fictive identique, attribuée à un seul groupe. Il ne s'agit ni d'une portion alimentaire, ni d'une ration, ni d'une dépense ou d'un droit électoral. Les poids sont stipulés pour le jeu, sans observations de consommation ou de mérite. Nora prépare la distribution avant toute remise ; les branches avec des stocks différents sont deux préparations indépendantes, pas le retrait d'une carte déjà reçue. Les procédures de plus forts restes et de plus grandes moyennes sont classiques ; nous n'en revendiquons pas l'invention.
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Ces pages situent seulement la catégorie du service. Elles ne donnent ni les poids ni les règles de répartition de nos cartes.
Choisir qui reçoit les unités laissées par les fractions
Les groupes A, B et C ont des poids cinq, trois et un. Leur somme vaut neuf. Avec quatre cartes à attribuer, leurs parts proportionnelles exactes sont vingt neuvièmes, douze neuvièmes et quatre neuvièmes. Nora ne peut remettre ces trois fractions comme trois lots de cartes entières. Elle conserve toutefois ces parts comme repères de comparaison : elles totalisent exactement quatre. A se situe entre deux et trois cartes, B entre une et deux, C entre zéro et une.
Une première procédure donne à chaque groupe la partie entière inférieure de sa part. Nora pose donc deux cartes dans le lot A, une dans B et aucune dans C. Trois cartes ont été désignées ; il en reste une. Les restes fractionnaires valent deux neuvièmes pour A, trois neuvièmes pour B et quatre neuvièmes pour C. Elle compare ces trois nombres et attribue la dernière carte à C, qui possède le plus grand reste. La distribution remise est deux, une, une, avec un total de quatre.
Camille propose plutôt de donner cette dernière carte à A parce que son poids cinq est le plus grand. Nora refuse cette proposition sous la procédure retenue : le poids avait déjà participé aux parts et à leurs parties entières. Pour la carte encore ouverte, la règle compare maintenant les restes, et celui de C est plus grand que celui de A. Nora ne remplace pas discrètement les restes par les poids au dernier geste. Elle transmet deux à A, une à B et une à C avec les trois restes qui justifient ce dernier choix.
Les lots choisis restent chacun entre la partie entière inférieure de leur part et l'entier immédiatement supérieur. A reçoit deux, pour vingt neuvièmes ; B reçoit une, pour douze neuvièmes ; C reçoit une, pour quatre neuvièmes. Cette propriété est appelée le respect du quota inférieur et supérieur. Nora annonce seulement ces deux bornes sur les parts, pas une égalité de nombre de cartes entre tous les groupes. La proximité des trois repères a accepté cette attribution, tandis que les poids restent inégaux.
Donner un critère précis à la proximité
Camille demande de comparer toutes les remises possibles pour un autre critère : la somme des écarts absolus aux trois parts exactes. Pour deux, une, une, les écarts valent deux neuvièmes, trois neuvièmes et cinq neuvièmes, soit dix neuvièmes au total. Pour trois, une, zéro, ils valent sept, trois et quatre neuvièmes, soit quatorze neuvièmes. Pour deux, deux, zéro, ils donnent deux, six et quatre neuvièmes, soit douze neuvièmes. Nora préfère la première des trois pour ce critère donné.
Pour justifier ce choix au-delà de ces essais, Nora examine les entiers de chaque lot. Si un lot reste au-dessous de la partie entière inférieure de sa part, il manque au moins une unité avant ce repère. Puisque toutes les parts et tous les lots totalisent quatre, un autre lot dépasse sa part. Transférer une carte de ce lot trop haut vers le premier réduit l'écart du premier de un. L'autre écart diminue également, ou augmente de moins de un s'il passe de l'entier supérieur à l'inférieur. La somme des écarts diminue strictement.
Le contrôle écarte donc une remise optimale ayant un lot sous sa partie entière inférieure. Une remise ayant un lot au-dessus de l'entier supérieur possède, pour la même égalité des totaux, un lot situé sous sa part. En transférant une unité depuis le premier vers le second, Nora réduit de un l'écart du lot trop haut ; l'autre variation ne peut annuler toute cette réduction. Elle peut ainsi limiter la recherche aux parties entières inférieures et supérieures, sans annoncer qu'une remise éloignée aurait été oubliée seulement faute de l'avoir dessinée.
Dans cette recherche réduite, choisir l'entier inférieur pour un reste r donne un écart r ; choisir l'entier supérieur donne un moins r. Le passage de l'un à l'autre change donc l'écart de un moins deux r. Plus le reste est grand, plus cette variation est petite. Il faut ici choisir exactement un entier supérieur, puisque les parties entières ne totalisent que trois. Nora le donne au plus grand reste, quatre neuvièmes. Les trois restes étant distincts, deux, une, une est le seul minimum pour cette somme d'écarts.
Camille conserve la valeur dix neuvièmes avec ce minimum. Elle ne donne pas ce nombre comme quantité de cartes à fabriquer, ni comme mesure de satisfaction d'un groupe. Les quatre cartes restent entières. Les fractions ont fourni un critère de rapprochement et une preuve sur les attributions possibles ; elles n'ont pas découpé la dernière carte. Cette lecture du critère permettra de comprendre pourquoi une répartition différente peut être choisie quand Nora donnera priorité à une autre propriété.
Une carte supplémentaire peut faire sortir un groupe de la remise
Dans une préparation indépendante, Nora reçoit cinq cartes pour les mêmes poids cinq, trois et un. Les parts exactes deviennent vingt-cinq neuvièmes, quinze neuvièmes et cinq neuvièmes. Les parties entières restent deux, une et zéro, total trois. Deux cartes sont maintenant encore ouvertes. Les restes sont sept neuvièmes, six neuvièmes et cinq neuvièmes : leur ordre est A, puis B, puis C. Nora donne les deux cartes restantes à A et B et prépare trois, deux, zéro.
Camille compare les deux préparations. Avec quatre cartes, C figurait dans la remise avec une. Avec cinq, C n'y figure plus. A et B ont chacun gagné une carte, alors que le stock total n'a augmenté que d'une. La perte de C explique la deuxième carte ajoutée à ces deux groupes. Nora retire donc l'annonce « chaque groupe garde au moins son ancienne quantité lorsque le stock augmente » de la procédure des restes. Les deux totaux, quatre et cinq, sont corrects ; la propriété individuelle supplémentaire ne l'est pas.
Cela ne vient pas d'une faute dans le calcul de C. Sa part exacte a bien augmenté de quatre neuvièmes à cinq neuvièmes. Mais la procédure remet seulement deux entiers supérieurs dans le second état, et les restes d'A et de B sont alors tous deux au-dessus du sien. Nora conserve zéro pour C dans cette seconde préparation sans revenir au classement des restes du premier stock. Elle distingue la croissance d'une part fractionnaire de celle de l'entier finalement attribué par cette méthode.
Pour cinq cartes, trois, deux, zéro donne encore une somme d'écarts de dix neuvièmes : deux neuvièmes pour A, trois pour B et cinq pour C. La procédure satisfait son critère de proximité dans chacun des deux stocks pris séparément. Nora ne lui attribue pourtant plus la conservation individuelle entre ces stocks. Le meilleur rapprochement de chaque tableau peut donc sélectionner deux remises qui se répondent mal pour une autre demande. Ce sont les deux tableaux complets qui fournissent ici le contre-exemple, pas le seul nom d'un groupe perdant.
L'hôte donne justement cette autre demande : à poids inchangés, personne ne doit perdre une carte lorsque la préparation reçoit une unité supplémentaire. Nora ne répare pas la seconde feuille en conservant C une sans choisir un nouveau critère. Elle examine une autre procédure, dont les décisions seront ajoutées dans un ordre fixe. Les parts exactes des anciens tableaux restent conservées pour les comparaisons ; elles ne disparaissent pas au moment où leur méthode d'arrondi cesse de répondre à la demande de l'hôte.
Ajouter les cartes dans un ordre de priorité
La seconde procédure commence avec zéro carte pour chaque groupe. À chaque attribution, Nora calcule pour chacun son poids divisé par un plus le nombre qu'il a déjà reçu. Elle donne l'unité suivante au plus grand quotient, puis recalcule les quotients. S'il y a égalité, un ordre A, puis B, puis C départage les groupes ; il est fixé avant le premier calcul. Nora utilisera le même ordre et les mêmes poids quelle que soit la taille finale demandée.
Au départ, les quotients sont cinq, trois et un : la première carte rejoint A. Ils deviennent cinq demis, trois et un, donc la deuxième rejoint B. Avec une carte pour chacun de ces deux groupes, les quotients sont cinq demis, trois demis et un : A reçoit la troisième. La nouvelle comparaison donne cinq tiers, trois demis et un ; cinq tiers est encore le plus grand. Nora donne la quatrième à A. La préparation à quatre contient donc trois, une, zéro.
Pour la cinquième, les quotients valent cinq quarts, trois demis et un. B passe devant A et reçoit cette nouvelle carte. Les lots deviennent trois, deux, zéro. Pour la sixième, ils donnent cinq quarts, un et un : A reçoit cette unité, produisant quatre, deux, zéro. Nora conserve le même début de décisions A, B, A, A, B, A. Passer de quatre à cinq n'a refait aucun des quatre premiers choix : une unité a été ajoutée au groupe B.
Cette procédure remplit la conservation demandée à poids inchangés. Pour chaque groupe, sa quantité après H décisions compte combien des H premières l'ont choisi. Le stock H plus un conserve ces H décisions et en ajoute une seule, avec une seule destination. Une quantité reste donc identique ou augmente de un ; aucune ne diminue. Nora attache cette preuve au même ordre de départage. Elle ne change pas l'ordre au moment où une égalité pourrait lui faire préférer une nouvelle destination.
À quatre cartes, Nora remet trois, une, zéro selon ce critère de conservation, alors que les restes avaient donné deux, une, une. La somme des écarts vaut maintenant quatorze neuvièmes, au lieu du minimum dix neuvièmes. Elle accepte ce coût de rapprochement parce que l'hôte a donné priorité à l'extension sans perte. Nora retire le titre « plus petite somme d'écarts » de cette feuille. Le choix est rempli avec ses conséquences : il change le destinataire d'une carte au premier stock avant même de comparer le stock suivant.
La conservation entre stocks ne garantit pas chaque quota
Une branche distincte donne les poids six, un et un, pour quatre cartes. Les parts proportionnelles exactes sont trois, une moitié et une moitié. Dans la procédure successive, A offre six au premier tour, trois au deuxième, deux au troisième, puis une et demie au quatrième. B et C offrent chacun un tant qu'ils n'ont rien reçu. Les quatre plus grands quotients successifs appartiennent donc tous à A. Nora prépare quatre, zéro, zéro.
Cette remise respecte la quantité totale et la conservation au fil des ajouts, mais A reçoit quatre alors que sa part exacte est trois. Son quota supérieur vaut également trois : aucune fraction ne demandait de l'arrondir à quatre. Nora retire donc la promesse « toutes les quantités restent entre leurs deux quotas » de cette seconde procédure générale. Les poids n'ont pas été omis ; c'est précisément la suite de leurs quotients qui a préféré quatre fois A. Le contre-exemple porte sur des choix stricts, sans dépendre de l'ordre d'une égalité.
Pour la méthode des restes, les parties entières sont ici trois, zéro, zéro. Il reste une carte pour deux restes égaux d'une moitié, B et C. L'ordre fixé A, B, C donne cette carte à B, donc trois, une, zéro. Un autre ordre entre B et C aurait donné trois, zéro, une, avec les mêmes quotas et la même somme d'écarts. Nora garde son ordre annoncé et transmet trois, une, zéro. Elle ne prétend pas que le seul calcul des fractions avait désigné B plutôt que C.
L'hôte peut donc choisir la proximité aux parts avec ce départage explicite, ou la procédure successive qui garantit l'extension sans perte. Nora ne décrit pas ces deux choix comme la preuve qu'un groupe mérite davantage une carte. Les poids sont ceux du modèle et les propriétés demandées sont deux critères définis. La feuille successive demeure quatre, zéro, zéro, avec son dépassement du quota d'A visible. La feuille des restes conserve trois, une, zéro, sans recevoir par ce seul exemple la conservation qui avait échoué dans les stocks précédents.
Garantir une première carte change la répartition du reste
L'hôte donne maintenant une exigence supplémentaire : chacun des trois groupes doit recevoir au moins une carte. Nora vérifie d'abord le stock. Avec deux cartes et trois groupes distincts, cette demande est impossible : chacune doit avoir une seule destination et deux destinations ne peuvent remplir les trois lots. Elle ne commence pas le calcul des quotients avec des cartes négatives ou une carte partagée pour faire réussir cette limite. Avec trois cartes, la seule attribution possible sous cette exigence est une, une, une.
Pour quatre cartes et les poids six, un et un, Nora attribue d'abord une à chaque groupe. Il ne reste qu'une unité. Elle reprend ensuite les quotients en tenant compte de ces trois cartes déjà reçues : A offre six demis, soit trois, B et C un demi. La dernière carte revient à A. La préparation finale est deux, une, une. Elle remplit le minimum choisi pour les trois groupes, contrairement aux quatre, zéro, zéro de la procédure commençant avec tous les lots vides.
Camille essaie de conserver simultanément ce minimum et les quotas de la proportion initiale. A devrait recevoir au moins son quota inférieur trois, B au moins une pour le minimum, C au moins une également. Cela demanderait cinq cartes pour un stock de quatre. Nora refuse cette combinaison précise : deux, une, une garde la place minimale de chacun mais descend sous le quota inférieur d'A. La nouvelle règle a fait abandonner une des bornes anciennes ; elle n'a pas rendu les trois parts exactes compatibles avec toutes les contraintes de la remise.
Nora ne calcule pas des parts proportionnelles pour la seule carte restante et ne les présente pas comme les parts du stock entier. La première étape a déjà engagé trois cartes au titre du minimum, indépendamment des poids. Les quotients de la dernière étape utilisent ces quantités une, une, une, donc les dénominateurs deux. Commencer la distribution restante avec des dénominateurs un répondrait à une autre procédure. La destination de notre seule unité resterait A, mais cette coïncidence ne suffirait pas à décrire correctement la règle qui a tenu compte des premières cartes.
Séparer un groupe change les quotients sans changer son poids total
Une dernière branche abandonne le minimum de une carte et reprend la procédure successive depuis des lots vides. Les poids sont maintenant huit pour A, trois pour B et un pour C, avec six cartes. L'hôte envisage aussi de séparer A en deux groupes A1 et A2 de poids quatre chacun. Cette seconde préparation possède quatre groupes, avec un poids total toujours égal à douze. Nous ne changeons ni le stock ni les poids de B et C. La question porte sur la quantité reçue ensemble par les deux parties d'A.
Avec A conservé comme un groupe, Nora attribue d'abord à A grâce à huit, puis encore à A grâce à quatre. B reçoit la troisième grâce à trois, devant les huit tiers d'A. Les trois choix suivants reviennent à A : huit tiers, puis deux, puis huit cinquièmes dépassent les trois demis que B offre après sa première carte. La remise à six contient donc cinq pour A, une pour B et zéro pour C. Nora conserve les six destinations A, A, B, A, A, A ; elle ne compte pas deux fois les trois points de B pour lui attribuer une autre unité.
Dans la préparation séparée, les premiers quotients quatre et quatre donnent une carte à A1 puis une à A2, suivant leur ordre fixé. B reçoit la troisième grâce à trois. A1 et A2 offrent ensuite chacun deux et reçoivent les quatrième et cinquième. Pour la sixième, ils offrent désormais quatre tiers chacun, tandis que B offre trois demis. Cette fois B passe devant eux. Nora remet deux à A1, deux à A2, deux à B et zéro à C. A1 et A2 réunis possèdent quatre cartes, au lieu des cinq d'A non séparé, malgré leur même poids total de huit.
Camille demande de retrouver la préparation à cinq pour A au titre du groupe commun. Nora peut conserver A comme unité de calcul, puis partager ses cinq cartes à l'intérieur selon une autre règle explicitement donnée. Elle ne peut annoncer que le calcul avec A1 et A2 a déjà fourni cinq : ses deux lots n'en contiennent ensemble que quatre. Pour la remise active, l'hôte garde donc A sans séparation avant l'attribution et choisit la suite qui lui donne cinq. Les deux préparations distinctes montrent où la déclaration des groupes agit : les dénominateurs augmentent pour un seul lot commun ou pour deux lots comptés séparément.
La remise retenue donne finalement quatre cartes, avec deux pour A et une pour chacun des autres groupes. Nora conserve l'exigence minimale comme sa priorité active et indique que le quota inférieur d'A n'est pas obtenu. Les comparaisons aux stocks quatre et cinq, les écarts aux parts et les suites de quotients restent dans leurs branches distinctes. Aucune procédure n'a reçu silencieusement toutes leurs propriétés : chaque feuille permet de retrouver les destinations choisies et la condition qui accepte précisément cette préparation.