Camille prépare quatre cases fictives pour une feuille de maison. Leurs valeurs initiales sont un, deux, trois et quatre. Nora transmet ensuite des corrections qui peuvent toucher une portion entière, et demande des sommes sur d'autres portions. Aucun compte observé, prix réel ou état d'un appareil n'est utilisé. Nous allons conserver les valeurs de groupes de cases, puis décider quand une correction enregistrée pour un groupe doit être reportée sur ses sous-groupes. Le travail se fait dans un modèle sur papier, pas dans un logiciel dont nous aurions mesuré le fonctionnement.
La notice 335400 du Met porte la catégorie des estampes.
La notice 335500 du Met porte la catégorie des dessins.
La notice 335600 du Met porte la catégorie des estampes.
Ces catégories situent seulement les notices consultées. Aucune case, transformation ou méthode de correction ne vient de leurs textes. Les images n'ont pas été examinées et aucune composition artistique n'est reprise.
Le total d'un groupe et ses cases ne sont pas quatre copies de la même chose
Les positions vont de zéro à trois. Camille divise le groupe entier, de borne zéro à quatre, en deux groupes : zéro à deux, puis deux à quatre, chaque fin étant exclue. Les deux petits groupes totalisent trois et sept. Leur réunion totalise dix. Chacun peut encore être divisé en ses deux cases. Sur chaque fiche de groupe, Camille inscrit ses bornes, le nombre de cases et leur somme. Cette partition binaire conserve des groupes disjoints à chaque division. Elle ne somme pas tous les groupes de tous les étages, car les mêmes cases y figureraient plusieurs fois.
Nora demande une première correction sur les quatre cases : chaque ancienne valeur x devient deux fois x plus un. Les valeurs attendues sont trois, cinq, sept et neuf, donc le total vingt-quatre. Camille peut modifier directement la fiche du groupe entier : deux fois dix, plus quatre fois un. Une application de la formule au seul total aurait donné vingt-et-un. Le un ajouté par la consigne concerne chaque case, pas un seul total déjà réuni. Camille garde donc quatre comme longueur du groupe auprès de vingt-quatre, au lieu de traiter sa somme comme une cinquième case de même nature.
Elle enregistre également la consigne deux fois x plus un comme correction encore à transmettre aux deux sous-groupes. Le total du groupe entier vingt-quatre représente déjà les comptes corrigés, alors que les fiches enfants portent encore trois et sept. Camille conserve cette différence de statut dans son dossier. Elle ne déclare pas trois plus sept égal à vingt-quatre et ne réécrit pas les deux sous-groupes dans une note pour dissimuler leur attente. La fiche entière contient une réponse à jour pour une question sur toutes ses cases et une correction différée qui explique pourquoi les fiches plus petites ne sont pas encore prêtes à répondre séparément.
Nora demande justement le total entier avant toute question plus petite. Camille remet vingt-quatre depuis la fiche du groupe ; elle n'a pas besoin de descendre. Une autre proposition voudrait refaire le total depuis les deux enfants non corrigés, obtenant dix. Camille refuse ce calcul pour cette question. Le fait que les groupes forment une partition exacte ne suffit pas lorsque leurs valeurs ne décrivent pas encore la même version de la feuille. Elle conserve dix comme somme initiale et vingt-quatre comme somme après correction. La consigne différée n'est pas un second résultat à ajouter à vingt-quatre : elle décrit ce qui manque aux enfants.
Une question intérieure oblige à transmettre la correction
La question suivante porte seulement sur les positions un et deux, de borne un à trois. Aucun des deux grands sous-groupes ne coïncide avec cette portion ; il faut prendre une case dans chacun. Avant de descendre, Camille transmet la correction enregistrée par le groupe entier à ses deux enfants. Le groupe gauche possède deux cases : deux fois trois plus deux donne huit. Le droit donne deux fois sept plus deux, seize. Ils retrouvent ensemble vingt-quatre. Chaque enfant conserve à son tour la correction à transmettre à ses propres cases. Camille retire alors l'attente du groupe entier, puisque ses deux enfants l'ont effectivement reçue.
Elle descend dans le groupe gauche pour la case de position un. Les valeurs individuelles initiales un et deux deviennent trois et cinq ; la case demandée vaut cinq. Dans le groupe droit, trois et quatre deviennent sept et neuf ; la case de position deux vaut sept. Camille remet cinq plus sept, douze. Le calcul sans transmission aurait pris les anciennes valeurs deux et trois et donné cinq. Les bornes de la question étaient pourtant correctes dans les deux parcours. Le résultat refusé n'avait pas choisi une autre portion : il avait lu la bonne portion dans les valeurs d'une version qui n'avait pas encore reçu la correction.
La transmission n'ajoute aucune seconde modification au total de vingt-quatre. Les enfants huit et seize deviennent à jour, et leur somme donne déjà ce total. Si Camille appliquait à nouveau deux fois x plus un à la fiche du groupe entier pendant cette transmission, elle calculerait deux fois vingt-quatre plus quatre, soit cinquante-deux. Les cases n'ont pourtant reçu qu'une seule correction, celle annoncée par Nora. Camille garde donc vingt-quatre et remplace seulement son attente par la consigne neutre. La distinction entre « ce total est déjà corrigé » et « ces enfants attendent encore » empêche de confondre une descente de mise à jour avec une nouvelle commande sur les valeurs.
Nora répète ensuite exactement la question sur les positions un et deux. Camille retrouve douze. Aucune nouvelle correction n'a été reçue, donc les cinq et sept ne changent pas. Une attente laissée active après avoir été transmise aurait risqué de faire corriger ces cases encore une fois lors de la seconde descente. Camille conserve la première réponse et la seconde avec les mêmes comptes, puis marque les fiches transmises comme n'ayant plus cette correction à remettre. La répétition d'une question ne doit pas servir de déclencheur pour rejouer une commande qui a déjà atteint ses destinataires.
Une affectation remplace les valeurs sans devoir retrouver chacune des anciennes
Nora donne maintenant quatre comme nouvelle valeur des deux cases de gauche, après la première correction entière. Camille remet donc quatre et quatre à gauche, tandis que les comptes de droite restent sept et neuf. Le total gauche vaut huit et le total entier vingt-quatre. Il coïncide numériquement avec le total précédent, mais les cases de gauche étaient trois et cinq et sont devenues quatre et quatre. Camille ne garde pas les deux anciennes valeurs au motif que leur somme avait déjà valu huit. Une prochaine question sur une seule case devra recevoir la nouvelle affectation, même si la fiche du groupe n'a pas changé de nombre.
Pour cette affectation entière sur le sous-groupe gauche, elle inscrit la transformation zéro fois x plus quatre. Le coefficient zéro retire toute dépendance à la valeur antérieure de chaque case. Si une consigne deux fois x plus un attendait encore sur ce sous-groupe, la nouvelle affectation la rend sans effet sur ses futures valeurs : elles devront toutes devenir quatre. Camille remplace donc l'attente composée par zéro fois x plus quatre. Elle n'a pas besoin de connaître trois et cinq séparément pour décider du nouveau total huit. Elle conserve toutefois les bornes et la longueur deux, car quatre par case ne signifie pas un total quatre sur le groupe.
Nora propose d'employer plutôt une correction commune de somme nulle à gauche, puisque huit est resté huit. Cette proposition ne définit pas les deux nouveaux comptes quatre et quatre. Un ajout de un à chaque case donnerait quatre et six ; un ajout de moins un donnerait deux et quatre. Camille refuse cette conversion de l'affectation en un changement déduit du seul total. Le reçu demandait deux valeurs identiques, pas seulement une somme inchangée. Sa consigne zéro fois x plus quatre impose bien ces deux valeurs lorsque les cases seront lues. La correction conserve ainsi une information qu'un simple écart sur le total aurait perdue.
Une correction partielle vient après l'affectation du groupe
La commande suivante ajoute trois aux positions un, deux et trois, de borne un à quatre. La case zéro ne change pas. Sur la gauche, la question touche seulement la deuxième case du groupe qui vient de recevoir l'affectation. Camille transmet donc d'abord cette affectation aux deux cases : chacune vaut quatre. Elle ajoute ensuite trois à la case un, qui devient sept, puis réunit quatre et sept pour le nouveau total gauche onze. Nora ne peut pas laisser l'affectation en attente sur le groupe gauche et transmettre l'ajout trois avant elle : une affectation jouée plus tard remplacerait sept par quatre.
Le groupe droit est entièrement compris dans la nouvelle portion. Ses deux valeurs sept et neuf gagnent chacune trois et deviennent dix et douze. Camille modifie directement son total seize en ajoutant deux fois trois, ce qui donne vingt-deux, avec une consigne d'ajout trois pouvant attendre sur ses cases. Le total entier devient onze plus vingt-deux, trente-trois. Elle a donc choisi deux modes sur une même commande : descendre à gauche parce que la portion y coupe le groupe, corriger le groupe entier à droite parce qu'il est entièrement couvert. Aucun droit de corriger la case zéro n'a été ajouté pendant cette réunion.
Nora demande ensuite la portion de borne zéro à trois. Camille prend le groupe gauche entier, déjà à onze, et seulement la première case du groupe droit. Cette case doit recevoir l'ajout différé trois avant d'être lue ; son ancienne valeur sept devient dix. La somme remise est vingt-et-un. Prendre le total droit vingt-deux comme si les deux cases entraient dans la question donnerait trente-trois, tandis que prendre la première case sans l'ajout donnerait dix-huit. Camille conserve les deux refus auprès de leurs causes distinctes : l'un élargissait la portion demandée, l'autre omettait une correction effectivement reçue sur cette portion.
Les quatre valeurs désormais contrôlées sont quatre, sept, dix et douze. Leurs questions par groupe et par case retrouvent les mêmes sommes que le dossier de corrections. Cette lecture individuelle sert ici de contrôle du résultat fini ; elle ne devient pas une obligation de relire toutes les cases lors de chaque future commande. Camille peut encore répondre au total entier trente-trois depuis sa fiche à jour. Si une autre question coupe un groupe porteur d'attente, elle devra en revanche rendre ses enfants à jour avant de les utiliser. La règle dépend de la portion effectivement lue, et non d'un ordre arbitraire de visite des fiches.
Composer les attentes conserve l'ordre des commandes
Camille écrit une attente sous la forme c fois x plus d, puis une nouvelle commande a fois x plus b. La nouvelle valeur sera a fois la quantité c fois x plus d, puis plus b. L'attente composée devient donc a fois c comme coefficient, et a fois d plus b comme terme ajouté. Cette formule fixe « ancienne attente puis nouvelle commande ». Elle n'est pas une autorisation d'échanger leur ordre. Les mêmes calculs de composition d'une transformation ordonnée avaient déjà été rencontrés ailleurs ; ici, ils servent précisément aux enfants qui n'ont pas encore reçu séparément les commandes du groupe.
Sur la gauche, l'affectation quatre puis l'ajout trois doit laisser une attente zéro fois x plus sept pour la case un. La reconstruction donne sept quelle que soit l'ancienne valeur individuelle. Composer en sens inverse, ajout trois puis affectation quatre, laisserait zéro fois x plus quatre. Camille relie ce résultat au refus déjà rempli : la case un perdrait ses trois ajoutés. Elle conserve donc la chronologie de Nora dans la paire enregistrée. Le terme ajouté ne désigne pas simplement la dernière quantité reçue ; il doit porter l'effet des commandes qui restent visibles après celles qui les ont suivies.
Une autre branche illustre le rôle du coefficient sur une attente qui ne contient pas d'affectation. À partir d'une case initiale x, la correction deux fois x plus un, puis l'ajout trois, donne deux fois x plus quatre. Camille peut enregistrer cette paire auprès d'un groupe entièrement couvert sans raconter aux enfants deux commandes séparées. Lors de la transmission, chaque enfant reçoit la fonction composée sur ses valeurs actuelles et sur sa propre attente antérieure. Ce raccourci ne perd pas les bornes : il concerne uniquement le groupe qui a reçu les deux commandes entières. Une case placée dans un groupe voisin auquel l'une manque ne reçoit pas automatiquement la même paire.
Affecter zéro n'est pas une absence de correction
Nora demande ensuite de remplacer toutes les quatre valeurs par zéro. Camille modifie le total entier trente-trois en zéro et enregistre zéro fois x plus zéro à transmettre aux enfants. Les fiches plus petites peuvent encore porter onze et vingt-deux tant qu'elles n'ont pas reçu cette affectation. Une lecture ultérieure de la portion un à trois doit pourtant rendre zéro. Camille transmet donc la nouvelle affectation avant de descendre et retrouve zéro dans les deux cases demandées. Si elle interprétait les deux nombres zéro et zéro comme « aucune attente », elle laisserait apparaître sept et dix et remettrait dix-sept, contraire à la commande reçue.
La consigne neutre porte au contraire un fois x plus zéro. Elle garde exactement la valeur que l'enfant possède déjà et n'exige aucune correction supplémentaire. Camille distingue donc les paires un, zéro et zéro, zéro. La première désigne une transformation sans effet ; la seconde détruit les valeurs antérieures en les remplaçant par zéro. Cette différence n'est pas un jugement sur un total nul : un groupe pourrait avoir un total nul et contenir deux valeurs opposées. La paire enregistrée concerne la fonction à transmettre, pas seulement le nombre qui figure sur la fiche du groupe. Le reçu de Nora exige ici quatre zéros individuels.
Après avoir transmis l'affectation zéro aux deux grands sous-groupes, Camille retire l'attente du groupe entier. Leurs totaux deviennent chacun zéro, et leurs propres attentes restent capables de rendre leurs cases à zéro. Une question sur toute la feuille reçoit zéro immédiatement ; une question sur une seule case reçoit également zéro après la descente nécessaire. Nora n'a pas demandé que chaque fiche physique soit réécrite au même instant que la racine. Elle a demandé que toutes les réponses décrivent cette dernière version. Le dossier peut différer certaines écritures, mais ne peut pas différer la conséquence d'une commande quand les valeurs concernées sont effectivement lues.
Le nombre de cases reste nécessaire sur les sous-groupes
Dans une branche indépendante, Nora ajoute deux à toutes les quatre valeurs initiales un, deux, trois, quatre. Le total devient dix-huit. Le groupe gauche passe de trois à sept, le droit de sept à onze ; chacun possède deux cases et gagne quatre. Une proposition qui ajouterait deux à chacun des trois totaux conservés donnerait douze au groupe entier et seulement cinq et neuf aux enfants. Leur réunion quatorze ne rejoindrait même pas la racine douze. Camille refuse cette lecture avant les questions. La même quantité par case demande des variations de sommes proportionnelles aux longueurs des groupes, et non une variation identique par fiche.
Lors d'une transmission, la longueur utilisée est celle de l'enfant receveur, pas celle du groupe entier qui émet la consigne. Si Camille ajoutait quatre fois deux à chacun des deux enfants, ils deviendraient onze et quinze et totaliseraient vingt-six. Ils auraient reçu un ajout prévu pour quatre cases alors qu'ils n'en possèdent chacun que deux. Nora garde donc la fonction un fois x plus deux comme message commun, puis laisse chaque enfant appliquer son propre nombre de cases à la somme. Une consigne identique ne signifie pas un écart de total identique sur des destinataires de longueurs différentes.
Un enfant peut avoir reçu une commande que ses propres cases attendent encore
Une nouvelle branche repart des valeurs initiales un, deux, trois et quatre. Nora ajoute d'abord cinq aux deux cases de gauche : leur total devient treize, et leur fiche garde un ajout cinq à remettre aux cases encore anciennes. Elle applique ensuite deux fois x plus un aux quatre cases. Le total entier devient quarante-quatre et garde cette nouvelle consigne, tandis que les deux enfants portent encore treize et sept. Pour lire la case un, Camille transmet la nouvelle consigne au groupe gauche : deux fois treize plus deux donne vingt-huit. Les valeurs attendues de ses deux cases sont treize et quinze. Son attente sur les cases devient deux fois x plus onze, car chacune devra d'abord recevoir les cinq anciens, puis être doublée et augmentée de un.
Camille ne doit pas appliquer cette attente composée au total treize du groupe gauche. Ce total contenait déjà les cinq ajoutés à chacune de ses cases ; lui appliquer deux fois x plus onze en tenant compte de deux cases donnerait quarante-huit. La nouvelle commande devait seulement le doubler et lui ajouter deux, pour vingt-huit. La fonction composée attend au contraire les anciennes cases un et deux, qui n'avaient reçu aucun des deux gestes. Sur elles, elle donne treize et quinze. Camille conserve donc deux calculs différents lors d'une même transmission : la commande nouvelle sur le total enfant déjà partiellement corrigé, la composition chronologique sur l'attente destinée à ses descendants plus anciens. Confondre leurs niveaux aurait compté deux fois l'ancien ajout cinq.
La question de la case un permet de contrôler cette différence sans s'arrêter au total. La case initiale deux doit donner deux fois la quantité deux plus cinq, puis plus un, soit quinze. Une composition en sens inverse enregistrerait deux fois x plus six et rendrait dix : elle aurait ajouté les cinq après la transformation au lieu de les placer avant. Camille remet quinze et garde le total gauche vingt-huit. Le groupe droit, qui n'avait jamais reçu l'ajout cinq, reçoit seulement deux fois x plus un et totalise seize ; vingt-huit plus seize retrouve quarante-quatre. Le message transmis par la racine était commun, mais les deux enfants avaient des attentes différentes. La composition de leurs futures commandes doit conserver ces deux histoires au lieu de recopier la même paire finale partout.
La réponse conserve ses groupes, ses bornes et sa version
Camille livre trente-trois pour la branche transformée puis affectée à gauche et augmentée sur un à quatre, et vingt-et-un pour sa portion zéro à trois. L'affectation entière zéro appartient à une étape ultérieure et remplace ses valeurs, tandis que l'ajout deux sur les comptes initiaux reste une branche séparée. Les totaux égaux vingt-quatre rencontrés avant et après l'affectation de gauche ne fusionnent pas les comptes individuels. Nora retrouve pour chaque question la version de la feuille, les bornes réellement couvertes et les attentes qui ont dû être transmises avant de prendre une valeur plus petite.
Les notices citées ne fournissent aucune transformation affine ni règle de transmission aux regroupements de cette feuille.