Une rencontre familiale propose plusieurs petits rendez-vous dans une même pièce. Léa souhaite en retenir certains, mais chaque invitation possède déjà un début et une fin. Elle ne peut pas repousser une visite pour la glisser derrière une autre. Choisir devient donc différent d'ordonner une file de personnes disponibles : une invitation écartée ne réapparaît pas plus tard dans la journée. La feuille doit montrer ce que le critère choisi conserve et ce qu'il abandonne.
Les invitations, leurs horaires et leurs scores sont entièrement créés pour cet atelier. Une seule pièce peut accueillir un rendez-vous à la fois. Les lettres désignent des créneaux abstraits, sans trajet, cuisson, installation ou durée réellement observée. Les scores sont des nombres stipulés pour comparer des sélections ; ils ne mesurent ni l'importance des proches ni une préférence recueillie auprès d'eux. Chaque variante indique les conditions qu'elle change avant de calculer une autre remise.
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Ces pages ont été consultées pour cette catégorie seulement. Aucun horaire ni méthode de sélection n'en est tiré.
Garder les bornes des invitations
La feuille donne A de zéro à quatre, B de zéro à deux, C de deux à quatre, D de quatre à six et E de trois à cinq. Une invitation occupe son début, puis libère la pièce à sa fin. B et C peuvent donc se suivre exactement à deux ; C et D se suivent à quatre. Cette convention ne décrit pas le temps nécessaire pour recevoir réellement quelqu'un. Elle fixe simplement ce que les comparaisons de l'atelier appellent compatible.
Léa reçoit d'abord la demande de retenir le plus grand nombre d'invitations. La proposition A puis D en conserve deux. B, C puis D en conserve trois aux bornes déjà fixées. Elle remet cette seconde liste et retire A de la sélection active. Elle ne conserve pas A en la coupant au milieu pour y placer B : A doit rester entière et son début demeure zéro. Le gain d'une invitation vient du choix des créneaux, pas d'un partage discret de la pièce ou d'un changement de durée.
Une autre proposition choisissait E en premier parce qu'elle attirait l'attention dans la feuille. E peut accompagner B, terminé à deux avant son début à trois. Elle ne peut accompagner C, dont la fin est quatre, ni D, qui commence à quatre avant sa propre fin à cinq. Cette proposition ne contient donc que deux invitations. Léa la conserve comme comparaison refusée pour le nombre demandé. Insérer D après E à cinq aurait changé l'invitation D, donnée de quatre à six ; ce déplacement n'appartient pas aux choix disponibles.
Une première fin peut remplacer la première invitation d'une meilleure liste
Pour justifier les trois invitations, Léa examine les fins. B finit à deux, avant toutes les autres. Elle peut le choisir sans perdre le plus grand nombre possible. Supposons qu'une sélection maximale commence par une autre invitation X. Remplacer X par B conserve une première invitation. Toute invitation qui pouvait suivre X commençait au plus tôt à la fin de X. Comme B finit au plus tard à cette fin, ces mêmes invitations peuvent encore le suivre. La substitution ne promet pas qu'elles deviennent plus courtes : elle conserve seulement leur possibilité d'être choisies après le nouveau premier créneau.
Léa applique ce raisonnement à la proposition A, D. Elle remplace A par B et garde D, puisque quatre reste après deux. La liste obtenue possède encore deux invitations, puis la feuille permet de constater qu'on peut ajouter C entre les deux. Ce dernier ajout ne constitue pas la preuve générale de substitution ; il est le résultat particulier de nos bornes. La preuve garantit qu'un premier choix par la plus petite fin ne détruit pas une liste maximale. Ici, l'examen du reste remplit ensuite la place disponible entre B et D.
Après B, Léa ne compare plus toutes les invitations initiales. Elle garde seulement celles qui commencent à deux ou après : C, E et D. C finit à quatre, avant E à cinq et D à six. Le même remplacement peut être fait dans cette liste restante. Après C, D est encore disponible, mais E a commencé trop tôt pour la suivre. Léa inscrit donc B, C, D avec les trois fins successives deux, quatre et six. La justification se répète sur un reste explicitement filtré ; elle ne choisit pas C en oubliant que B occupe déjà le début.
Les fins identiques de A et C à quatre ne donnent pas un problème supplémentaire après B : A commence à zéro et a déjà été retirée du reste. Dans une autre feuille où deux candidats seraient tous deux encore disponibles et auraient la même fin, chacun libérerait la pièce au même instant pour la continuation. Léa ne demande pas au nom alphabétique de garantir un meilleur nombre futur. Elle peut départager cette égalité pour rendre sa remise déterminée, tout en conservant que la preuve porte sur la fin et la disponibilité, pas sur la lettre de l'invitation.
Ajouter des scores retire la garantie donnée au seul nombre
L'hôte donne maintenant des scores : sept pour A, trois pour B, trois pour C, deux pour D et cent pour E. Il demande la plus grande somme, même si la sélection contient moins de rendez-vous. B, C, D totalise huit. A, D totalise neuf. B, E totalise cent trois et respecte les bornes. Léa remet B, E pour cette nouvelle demande. Elle ne présente plus ses trois invitations précédentes comme la meilleure réponse : elles gardaient le plus grand nombre, mais ce nombre n'était pas le nouveau critère à maximiser.
Le remplacement de la première invitation ne conserve plus nécessairement le résultat demandé. Remplacer A par B conserve la compatibilité avec D, mais remplace sept points par trois. La liste A, D valait neuf ; B, D vaut cinq. Le raisonnement précédent comptait chacune des premières invitations pour une unité. Il ne pouvait donc justifier la conservation de la somme lorsque ces unités reçoivent des valeurs différentes. Léa garde la preuve pour le nombre et retire son emploi comme preuve du score, plutôt que d'ajouter simplement le mot priorité dans son titre.
Choisir systématiquement le plus grand score n'est pas davantage une justification générale. Léa examine une petite feuille séparée où A garde zéro à quatre et sept points, tandis que B et C gardent leurs bornes mais valent quatre chacun. Prendre A interdit B et C ; leur paire compatible vaut huit. Léa refuse donc la règle qui se contenterait du meilleur score individuel. Dans la feuille principale, choisir E conduisait bien au bon résultat après ajout de B. La nouvelle comparaison montre pourquoi cette réussite particulière ne suffit pas à autoriser la règle sur toutes les feuilles.
Conserver les meilleurs préfixes à leurs propres frontières
Léa range la feuille principale par fins croissantes : B, A, C, E, D. Elle conserve A avant C pour départager leur fin commune. Elle cherche ensuite, pour chaque invitation, le dernier préfixe dont toutes les fins sont au plus égales à son début. Pour B et A, qui commencent à zéro, ce préfixe est vide. Pour C, commencé à deux, il contient B. Pour E, commencé à trois, il contient encore B. Pour D, commencé à quatre, il contient B, A et C, mais pas E, terminé à cinq.
Elle remplit d'abord les petits préfixes. Avec B seul, le meilleur score est trois. Avec B et A, les deux se recouvrent ; le meilleur est sept avec A. En ajoutant C, Léa compare ce sept déjà possible à la paire B, C de score six. Le meilleur du préfixe B, A, C demeure donc A seul, avec sept. Elle conserve pourtant aussi le résultat du premier préfixe, B avec trois. Ce renseignement plus ancien n'a pas été remplacé par sept dans toutes les cases de la feuille : il décrit une autre frontière de disponibilité.
Lorsque E est examinée, lui ajouter la meilleure sélection du préfixe B, A, C serait incorrect. Cette meilleure sélection est A, qui finit à quatre après le début de E à trois. Léa revient au préfixe compatible, celui qui s'arrête à B, et compare trois plus cent au sept qu'elle pouvait déjà conserver sans E. Elle retient cent trois. Le B abandonné dans le meilleur préfixe plus large redevient donc nécessaire dans cette combinaison. Une seule liste appelée la meilleure jusqu'ici aurait effacé précisément le renseignement dont E avait besoin.
L'ajout de D donne ensuite une comparaison différente. Le meilleur préfixe compatible avec son début à quatre vaut sept, obtenu avant E. Ajouter les deux points de D donne neuf. Ne pas choisir D permet de conserver les cent trois du préfixe précédent. Léa garde ce dernier résultat. Elle n'ajoute pas D à B, E pour annoncer cent cinq : la valeur cent trois ne portait pas sur un préfixe libéré à quatre. La feuille conserve à la fois le meilleur score déjà rencontré et la frontière exacte à laquelle une nouvelle invitation peut le reprendre.
Deux possibilités couvrent chaque sélection du préfixe
La comparaison employée pour E n'est pas un essai isolé entre deux listes devinées. Toute sélection des quatre premières invitations omet E ou la contient. Si elle l'omet, elle ne peut dépasser le meilleur score déjà calculé pour B, A, C. Si elle la contient, toutes ses autres invitations doivent finir à trois ou avant. Elles appartiennent donc au préfixe compatible avec E. Leur somme ne dépasse pas le meilleur score de ce préfixe. Les deux valeurs examinées couvrent ainsi toutes les sélections possibles, avec E et sans E.
Léa vérifie aussi que les deux valeurs peuvent être réalisées. La meilleure sélection sans E est déjà conservée. Avec E, la meilleure sélection du préfixe compatible se termine au plus tard à son début, donc elle peut effectivement l'accompagner. Il ne suffit pas de trouver une borne supérieure en additionnant cent à trois : B, E donne ici la liste qui l'atteint. Ce double contrôle permet de garder la valeur maximale comme résultat obtenu, au lieu d'en faire un plafond sans remise correspondante. La même comparaison est ensuite utilisée pour D à sa propre frontière.
La feuille exige encore des créneaux de durée positive. Avec des fins croissantes, toute invitation qui se termine avant le début de la nouvelle se trouve avant elle dans la liste. Léa ne laisse donc pas son préfixe compatible pointer vers la case qu'elle est en train de calculer. Cette relation donne un ordre de remplissage fini : chaque résultat reprend seulement des cases déjà remplies. Elle ne décrit pas une mesure automatique du calendrier familial ; elle explique pourquoi les comparaisons de nos cinq cases peuvent être terminées sans tourner entre deux invitations qui attendraient réciproquement leur résultat.
Retrouver les invitations à partir du résultat
Une valeur cent trois ne donne pas encore les deux noms à inviter. Léa revient à la case de D. Cent trois y venait du résultat sans D, supérieur aux neuf obtenus en l'ajoutant : elle retire D de la remise et revient à E. À cette case, cent trois venait de E ajoutée au premier préfixe. Elle inscrit E, puis revient directement à B. Elle ne passe pas par C et A pour les ajouter à leur tour. Le retour suit la frontière utilisée lors du calcul, pas toutes les lignes traversées dans le rangement.
À B, le résultat trois vient de son choix plutôt que du préfixe vide de valeur nulle. Léa inscrit B, puis termine sa recherche. Elle range ensuite les invitations retrouvées par leur début pour remettre B de zéro à deux et E de trois à cinq. La recherche remontait les cases depuis la fin ; cette remise suit le temps. Les deux ordres ont des fonctions différentes et gardent les mêmes deux invitations. Inverser leur ordre de découverte ne change aucun début, aucune fin et aucun des cent trois points effectivement additionnés.
Léa contrôle le passage de deux à trois, laissé libre entre B et E. Elle ne remplit pas ce trou avec C : C durerait jusqu'à quatre et se recouvrirait avec E. La sélection optimale peut donc comporter un intervalle libre, même lorsqu'une autre invitation commence au bord de ce trou. Dans notre feuille, remplir chaque moment disponible n'est ni une condition de validité ni le score demandé. La remise conserve l'espace inutilisé et la paire choisie, sans changer la fin de C à trois pour rendre la ligne graphiquement continue.
Demander exactement trois invitations change les résultats intermédiaires
L'hôte reprend enfin son souhait de trois invitations, mais veut la plus grande somme parmi les sélections de ce nombre exact. Léa ne peut pas prendre cent trois puis lui ajouter un nom sans compatibilité. La seule sélection de trois dans la feuille est B, C, D ; elle vaut huit. A interdit B et C, tandis que E interdit C et D. Ni A ni E ne peut donc appartenir à un trio compatible ici. Léa remet le trio à huit en indiquant que le score cent trois reste celui d'une autre demande autorisant deux invitations.
Pour remplir cette nouvelle comparaison, elle conserve un résultat par préfixe et par nombre exact. Dans B, A, C, le meilleur score avec une seule invitation est sept, avec A. Avec deux, il est six, avec B et C. Garder seulement sept aurait rendu impossible la préparation du trio avec D, car D doit compléter une paire et non une invitation seule. Léa ne traite pas l'absence de trio dans ce premier préfixe comme un trio de score zéro. Cette case est impossible ; la valeur zéro appartient uniquement à la sélection vide de nombre nul.
À la case de D et pour trois invitations, le résultat avec D reprend donc le meilleur score de deux invitations dans son préfixe compatible B, A, C : six plus deux donne huit. Sans D, aucun trio n'existe dans B, A, C, E. La recherche retient D puis cette paire B, C. Léa peut ainsi retrouver les trois noms par la même logique de retour, mais avec un compte qui diminue à chaque invitation retenue. La modification du critère a ajouté une information aux cases, sans donner à D une compatibilité nouvelle avec E.
Une invitation obligatoire ne se choisit pas par son seul score
Une demande distincte impose maintenant A, puis cherche le meilleur score compatible avec sa présence. Toutes les invitations qui la recouvrent doivent être retirées : B, C et E. D peut suivre sa fin à quatre et porte deux points positifs. La meilleure remise imposant A devient A, D, avec neuf. Léa la conserve comme réponse à cette obligation, même si elle vaut moins que B, E. L'obligation ne transforme pas neuf en meilleur score de la feuille initiale ; elle a retiré de la comparaison les sélections où A était absente.
Si C est imposée dans une autre demande, B peut la précéder et D la suivre. Les deux côtés se terminent ou commencent exactement à ses bornes. A et E sont retirées pour leurs recouvrements. Léa remet B, C, D avec huit. Elle ne garde pas E malgré son grand score en disant que C resterait simplement annoncée : la présence obligatoire concerne la pièce occupée de deux à quatre, pas le nom conservé dans une introduction. Les deux demandes obligatoires donnent ainsi deux ensembles admissibles différents, déterminés par les bornes de leur invitation imposée.
Une marge entre invitations modifie les frontières compatibles
La dernière branche conserve les cinq créneaux et leurs scores, mais exige une demi-unité libre entre deux invitations choisies. B ne peut plus précéder C, et C ne peut plus précéder D, car ces deux jonctions laissaient un écart nul. B peut encore précéder E : sa fin deux, augmentée d'une demie, reste avant trois. Léa conserve B, E pour le score maximal de cent trois. Elle ne retire pas arbitrairement un demi-point des scores ; la modification concerne les paires permises, pas les valeurs attribuées aux invitations.
Le nombre maximal descend maintenant à deux. B, D est une paire possible, mais B, C, D ne l'est plus. Les autres paires de la feuille qui se touchaient, A, D et C, D, ont également disparu. Léa reporte donc la marge dans la recherche des préfixes : pour D, une fin doit être au plus trois et demi au lieu de quatre. Le préfixe compatible ne garde alors que B. Le calcul pondéré compare cinq avec D à cent trois sans elle. Cette nouvelle frontière permet de recalculer le choix sans inventer une prolongation de chaque invitation dans le document remis.
La liste de remise garde ses bornes et son critère : B, C, D pour le plus grand nombre sans marge ; B, E pour le meilleur score ; A, D si A est obligatoire. Les comparaisons refusées restent dans leurs demandes respectives. Léa transmet ainsi les invitations effectivement compatibles, plutôt qu'une règle unique de priorité qui annoncerait simultanément trois rendez-vous et les cent trois points obtenus avec deux.