Nora prépare une feuille d’activités fictives avant une réunion de maison. Chaque carte reçoit un début et une fin fixés. Camille peut choisir certaines cartes pour un seul poste, ou donner plusieurs postes pour exécuter toutes les cartes. Les heures sont des coordonnées abstraites ; aucun rendez-vous réel, durée mesurée, pièce ou équipement n’est testé. Le jeu distingue le nombre de cartes retenues, un score donné et le nombre de postes utilisés. Ses règles classiques d’intervalles ne déplacent pas les activités pour leur faire tenir une place.
Trois sites identifient des accessoires de bureau. Les créneaux, les scores et les permissions de partage ci-dessous ne viennent d’aucune méthode de ces fabricants.
Kantek présente des accessoires d’organisation de bureau.
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Une fin libérée permet la carte qui commence à cette borne
La première permission occupe le poste depuis le début inclus d’une carte jusqu’à sa fin exclue. Une carte finissant à trois peut donc être suivie par une autre commençant exactement à trois. Toutes les cartes possèdent une longueur positive. A va de zéro à trois, B de trois à six, C de deux à quatre. Sur un poste, A et B sont compatibles ; C rencontre A entre deux et trois, puis B entre trois et quatre. Ces intervalles sont les données à conserver, pas des longueurs que Camille pourrait poser ailleurs sur la feuille.
Nora demande le plus grand nombre de cartes sur un poste. Camille choisit C parce que ses deux unités sont plus courtes que les trois de A et de B. Elle ne peut ensuite ajouter ni A ni B. Nora compare cette remise d’une carte à A suivie de B, qui en garde deux. Elle choisit A–B. Réduire la longueur de la première carte choisie n’a pas laissé la plus grande possibilité pour la suite : C était courte, mais occupait précisément la jonction entre les deux autres. Le défaut porte sur la règle de choix, sans prétendre que C serait un créneau mal défini.
Choisir le début le plus précoce peut également manquer le compte maximal. Dans un autre dossier, une carte L va de zéro à six, tandis que X va de un à trois, Y de trois à cinq et Z de cinq à six. Le départ de L est le premier, mais L interdit les trois autres sur le même poste. Nora choisit X, Y, Z et garde trois cartes au lieu d’une. Elle ne commence pas L plus tard pour tenter de l’ajouter : zéro–six est son créneau entier fixé. Les départs et les longueurs ont chacun fourni un mauvais premier choix dans les deux dossiers remplis.
Nora utilise plutôt la fin la plus précoce parmi les cartes encore possibles. Après avoir choisi une carte, elle ne garde pour la suite que celles qui commencent au plus tôt à sa fin, avec une égalité autorisée. Pour le premier dossier, A finit à trois, avant C à quatre et B à six. Nora prend A, puis B. Elle ne prend pas C à la place de B au motif que sa fin quatre est plus tôt : son début deux manque le début compatible trois. La comparaison des fins ne dispense donc pas du filtrage après chaque choix.
Elle peut justifier le résultat pour toute famille de ces intervalles. Prenons une sélection maximale quelconque et sa première carte. La carte dont la fin est la plus précoce finit avant cette première carte ou au même moment. La remplacer dans cette sélection ne gêne aucune carte ultérieure, puisque chacune commençait déjà après la fin de l’ancienne première. On conserve ainsi une sélection de même taille commençant par le choix de Nora. Les cartes restantes sont soumises au même problème après cette fin. Répéter le remplacement ferme la règle, sans supposer que les premières cartes de deux listes possèdent les mêmes débuts ou les mêmes longueurs.
Ce raisonnement suppose que la demande compte les cartes avec le même poids un. Il ne considère ni leur score ni leur durée totale comme récompense. Il suppose également que rien ne puisse être accompli pendant un morceau seulement du créneau : une carte est prise ou retirée entièrement. Camille conserve ces permissions près de la liste A–B. Une autre demande pourrait choisir C pour une raison différente sans réfuter le compte maximal deux, mais elle devrait annoncer ce critère avant de changer la remise.
Un score attaché aux cartes peut retirer l’échange précédent
Nora reprend A, B et C et leur attribue les scores quatre, quatre et neuf. Elle demande maintenant le plus grand score total sur un poste. A–B compte encore deux cartes, mais donne huit ; C seule donne neuf. Nora choisit C. Le remplacement de C par A dans la preuve précédente aurait gardé le nombre de premières cartes, mais perdu cinq points. Camille ne peut donc transporter la preuve de cardinalité vers ce nouveau score en conservant uniquement les créneaux. L’objet additionné par le critère a changé, et la première étape de la preuve doit le reconnaître.
Pour fermer ce second choix sans tester seulement deux propositions, Camille trie les cartes par fin croissante : A, C, B. Elle note le meilleur score obtenu dans chaque début de cette liste. Un début vide vaut zéro. A donne quatre. Après C, le meilleur score est neuf, puisqu’A et C se rencontrent. À l’arrivée de B, deux possibilités exhaustives existent : ne pas prendre B et garder neuf, ou prendre B et ajouter ses quatre au meilleur score parmi les cartes terminées avant son début trois. Parmi les précédentes, seule A répond à cette borne. La seconde possibilité donne huit, donc Camille conserve neuf et retrouve C.
Le même calcul peut rester valable sur une liste plus longue. Si la dernière carte considérée est retenue, toutes celles qui la précèdent dans cette remise finissent au plus tard à son début. Leur meilleur score appartient à un début antérieur de la liste triée par fin. Si elle n’est pas retenue, le meilleur score est celui du début juste précédent. Le plus grand de ces deux nombres ferme le choix, car tout ensemble compatible entre dans une des deux branches. Une règle comparant seulement le score individuel de la dernière carte aurait perdu les scores déjà compatibles avec elle ; une règle comparant seulement le dernier début aurait pu lui associer une carte encore occupée.
Camille garde également le nom des cartes produisant chaque score. Les valeurs successives zéro, quatre, neuf et neuf ne sont pas quatre cartes à remettre ni une moyenne. Le dernier neuf hérite de C, pas de B dont elle vient pourtant de traiter la ligne. Nora reçoit donc C avec son créneau deux–quatre et son score neuf. Le contrôle des liens entre une valeur calculée et sa réalisation reste bref dans le compte utile : les tableaux de scores ne créent pas eux-mêmes un calendrier, et les problèmes précédents avaient déjà appris à conserver les choix qui atteignent une borne.
Garder toutes les activités transforme le nombre demandé
Une autre commande retire le choix d’abandonner des cartes. A, B, C, D et E doivent toutes recevoir un poste. Leurs créneaux sont respectivement zéro–quatre, un–deux, deux–trois, trois–cinq et quatre–six. Deux cartes peuvent partager un poste seulement si leurs occupations ne se rencontrent pas, sous la fin exclue. Nora ne cherche plus le plus grand sous-ensemble pour un seul poste : elle cherche le plus petit nombre de postes permettant d’exécuter toute cette liste fixée.
Nora place A puis E sur le premier poste, B puis C puis D sur le second. La fin quatre de A autorise le début quatre de E. Les fins deux et trois de B puis C autorisent également les reprises immédiates de C puis D. Les cinq cartes sont présentes dans cette remise à deux lignes. Une seule ligne est impossible, puisque A et B occupent simultanément la portion de un à deux. Nora remet deux comme minimum, avec la collision qui fournit la borne inférieure et les deux lignes qui l’atteignent. Elle ne compte pas les cinq cartes comme cinq postes obligatoires.
Camille vérifie toutes les occupations simultanées. Entre zéro et un, seule A est présente ; entre un et deux, A et B ; entre deux et trois, A et C ; entre trois et quatre, A et D ; entre quatre et cinq, D et E ; entre cinq et six, E seule. Le plus grand compte vaut deux. Aux jonctions, la carte terminée est retirée avant d’ajouter celle qui commence au même moment. Camille ne trouve donc pas trois à deux en comptant encore B avec A et C. Sa règle de comptage utilise la fin exclue fixée avant le calcul, au lieu de choisir une convention de borne d’après le nombre qu’elle voudrait obtenir.
Une manière de construire les lignes traite les cartes par début croissant. Pour chaque carte, Nora regarde les fins des dernières cartes présentes sur tous les postes déjà ouverts. Elle réutilise un poste dont la fin est au plus égale au nouveau début ; si aucun n’est libre, elle ouvre une ligne. À un, B ouvre le deuxième poste parce qu’A finit à quatre. À deux, C reprend ce deuxième poste après B. À trois, D y reprend après C. À quatre, E reprend le premier après A. Chaque décision indique la ligne réellement choisie, pas une modification des créneaux pour rendre un poste artificiellement libre.
Quand cette règle ouvre une ligne supplémentaire, toutes les lignes précédentes possèdent une carte encore présente au nouveau début. Ces cartes ont déjà commencé, puisque l’ordre suit les débuts ; leurs fins dépassent le nouveau début, puisqu’aucun poste n’était libre. Avec la nouvelle carte, elles occupent donc réellement autant de postes simultanément que le nombre ouvert. Ce nombre est une borne nécessaire pour toute affectation, et pas seulement pour celle de Nora. L’affectation construite atteint toujours ses nombres ouverts : le plus grand chevauchement certifie donc son minimum. Cette preuve ne suppose ni que tous les créneaux aient la même durée ni que les cartes arrivent dans l’ordre de leurs fins.
Camille essaie une règle plus paresseuse : vérifier seulement le poste utilisé par la carte précédente, et ouvrir un nouveau poste si celui-ci est encore occupé. Après D sur le deuxième poste, E commence à quatre ; D n’y finit qu’à cinq. Camille ouvre donc un troisième poste. Nora montre pourtant la fin quatre de A sur le premier, déjà libre à ce même début. Elle réaffecte E au premier poste et retire le troisième de la remise. Le contrôle de toutes les lignes libres avait été indispensable à la preuve : « le dernier poste consulté est occupé » ne donnait pas les deux cartes simultanées nécessaires pour justifier une troisième ligne.
Fermer les deux bornes change la permission à une seule position
Nora reprend ces cinq créneaux et exige désormais que chacun occupe aussi sa borne de fin. A et E se rencontrent donc à quatre, B et C à deux, C et D à trois. Les deux lignes précédentes manquent cette nouvelle permission, même si leurs chevauchements ont une longueur nulle. Camille ne retire pas ces instants du modèle parce qu’ils semblent petits. Elle remplace la condition de reprise « fin au plus début » par « fin strictement avant début ». Les coordonnées sont restées les mêmes ; la définition d’une occupation compatible a changé.
À l’instant trois, A, C et D sont toutes présentes : A va jusqu’à quatre, C inclut sa fin trois et D inclut son début trois. Il faut donc au moins trois postes. Nora place A sur un premier poste, B puis D sur un deuxième, C puis E sur un troisième. B finit à deux avant le début trois de D ; C finit à trois avant le début quatre de E. Les cinq cartes sont exécutées avec la borne de fin incluse, et la réalisation atteint le minimum trois. Nora ne compare pas deux et trois comme deux résultats rivaux sous une même permission : chacun possède sa règle de borne et son affectation.
La sélection sur un seul poste change aussi dans le premier dossier A zéro–trois, B trois–six, C deux–quatre. Sous les deux bornes fermées, les trois cartes possèdent toutes l’instant trois. A–B n’est plus compatible ; aucune paire ne l’est, et le plus grand nombre sur un poste tombe à un. Nora peut garder C pour le score neuf, mais retire A–B de la sélection de cardinalité. Dans ce dossier, le même nombre trois apparaissait comme fin d’A et début de B ; il devient maintenant une occupation commune plutôt qu’un passage de relais. Le choix des inégalités doit donc précéder les deux calculs, sélection et affectation.
Un point de contrôle peut couvrir des cartes sans les exécuter ensemble
Camille pose enfin une question différente sur les trois créneaux fermés : choisir le plus petit nombre de positions de temps tel que chaque carte contienne au moins une de ces positions. Nora choisit trois. A, B et C le contiennent toutes, donc un seul point couvre les trois et zéro point ne couvrirait rien. Ce point n’est pas un poste où les activités pourraient être effectuées ensemble ; il marque leur présence commune. Nora conserve un comme nombre de points et trois comme nombre de postes nécessaires pour toutes les occupations fermées de ce dossier. Les deux nombres décrivent la même rencontre sous deux demandes qui ne comptent pas le même objet.
Pour une famille de créneaux fermés, Nora peut choisir la fin la plus précoce, poser un point exactement à cette fin et retirer toutes les cartes qui le contiennent. Les cartes restantes commencent strictement après le point : elles ne pouvaient finir avant, puisque la fin choisie était la plus précoce. Elle répète. Chaque point couvre la carte qui l’a motivé, et les cartes motivant deux points successifs sont disjointes. Aucune position de temps ne pourrait donc couvrir deux de ces témoins. Le nombre de points construits est ainsi à la fois suffisant pour toutes les cartes et nécessaire pour couvrir ces témoins séparés. Nora remet la couverture avec sa preuve, sans attribuer au point une permission de chevauchement sur un poste.
La fin exclue demande de corriger cette construction. Dans le premier dossier semi-ouvert, un point à trois ne couvre pas A, qui finit précisément avant cet instant. A et B sont alors disjointes, donc elles demandent au moins deux points. Nora choisit deux et demi puis trois et demi : le premier couvre A et C, le second B et C. Elle garde deux comme minimum. Pour un choix systématique sur une famille finie de créneaux semi-ouverts, elle peut remplacer une fin choisie par un point juste avant elle, mais encore après tous les débuts strictement inférieurs de la famille courante. Une telle position existe entre le plus grand de ces débuts et cette fin. Elle n’applique donc pas silencieusement le point de borne fermé à une carte qui ne le contient plus.
Nora garde finalement les feuilles distinctes : A–B pour la sélection de deux cartes semi-ouvertes, C pour le score neuf, puis deux ou trois postes sous les deux conventions de bornes. Les couvertures de points restent dans leur question propre. Les accessoires consultés n’ont donné aucune durée ni capacité ; le dossier remet les cartes, leurs bornes et les réalisations qui atteignent chaque nombre. Une fin tôt, une occupation commune et un point couvrant sont des preuves utiles pour des demandes différentes, sans devenir une règle universelle de calendrier.
Un point commun peut manquer à la liste des instants autorisés
Une branche séparée conserve les trois créneaux fermés A zéro–trois, B trois–six, C deux–quatre. La demande reste de les couvrir avec des points, mais Camille donne maintenant les seuls instants autorisés : un, deux et demi, trois et demi et cinq. Nora ne peut choisir trois, pourtant commun aux trois cartes. Ces permissions concernent les observations abstraites à placer ; elles ne retirent pas une occupation aux intervalles ni ne demandent de fermer leur borne autrement.
A peut recevoir un ou deux et demi ; B, trois et demi ou cinq ; C, deux et demi ou trois et demi. Aucun instant autorisé ne couvre A et B ensemble, puisqu’elles ne partagent aucune valeur de cette liste. Il faut donc au moins deux points autorisés, même si leurs intervalles géométriques fermés se rencontrent à trois. Nora choisit deux et demi puis trois et demi, qui couvrent également C et atteignent ce minimum. Camille avait repris un comme nombre de points depuis la feuille sans restriction d’instants. Elle le retire de la nouvelle remise, sans supprimer trois des créneaux eux-mêmes. Le témoin de la borne deux est la séparation des ensembles de points autorisés pour A et B, pas une prétendue disparition de leur rencontre à trois. La liste des positions disponibles est devenue une donnée nécessaire pour compter la couverture.
Pour construire une couverture sur une telle liste finie, Nora prend le créneau à la fin la plus précoce et choisit le plus grand instant autorisé qu’il contient. Ici, A finit à trois et donne deux et demi. Ce point couvre A et C ; B reste, et cinq, son plus grand instant autorisé, termine la couverture avec deux points. La remise diffère donc de deux et demi, trois et demi tout en gardant le même minimum. Pour justifier le choix, Nora considère une couverture optimale et son point couvrant le premier créneau. Le déplacer vers le plus grand instant autorisé de ce créneau ne perd aucune carte qu’il couvrait : leurs fins sont au moins celle du créneau choisi, et leurs débuts étaient au plus l’ancien point. Le nouveau point reste entre ces deux bornes. Nora peut recommencer sur les cartes non couvertes. Le remplacement a gardé la contrainte d’autorisation, contrairement au déplacement vers une fin qui n’appartiendrait pas à la liste.
Une dernière proposition limite les instants autorisés à un et cinq. A peut recevoir un et B cinq, mais C ne contient aucun des deux. Même en acceptant deux points, trois copies du point un ou une copie supplémentaire de cinq, Camille ne peut couvrir C. Nora refuse donc une couverture complète sous cette liste au lieu de donner trois comme nouvelle limite suffisante. Camille autorise ensuite un point deux et demi en plus ; Nora choisit deux et demi et cinq, retrouve A et C par le premier puis B par le second. Le changement a ajouté une position réellement admise, pas un poste ni une carte retirée pour masquer le défaut. L’existence d’un point autorisé dans chaque créneau est ainsi vérifiée avant le calcul du minimum, et la correction porte sur la donnée précise qui empêchait toute couverture.