Nora prépare une feuille de service inventée avec quatre tables nommées A, B, C et D. Elle ne cherche plus le réseau le moins coûteux : elle veut remettre au hasard un dessin reliant les quatre noms sans circuit, en donnant la même chance à chaque dessin admissible. Camille propose de mélanger les traits avant de les ajouter. Nora compare ce procédé à un tirage sur les dessins entiers. Les deux expériences utilisent les mêmes traits, mais leur résultat aléatoire ne porte pas sur le même ensemble de possibilités.
Les pages suivantes identifient des tableaux. Aucun calcul ni plan de liaison ne vient de ces catalogues.
Ghent présente des tableaux blancs.
Magiboards présente des tableaux blancs.
Rocada présente des tableaux blancs.
Ces catégories donnent un contexte de support. Aucun produit, montage ou usage matériel n'a été essayé.
Les liaisons disponibles sont AB, BC, CD, AD et AC. On peut les parcourir dans les deux sens. Le dessin doit contenir exactement trois traits et joindre les quatre noms sans circuit : c'est ici un arbre. Les positions sur la feuille n'introduisent aucune distance. Les calculs classiques de dénombrement ne sont pas revendiqués comme une invention et ne prouvent aucune circulation possible dans une salle réelle.
Huit dessins, plutôt que dix choix de trois traits
Il existe dix sous-ensembles de trois traits parmi les cinq proposés. Nora ne les accepte pas tous. AB, BC et AC forment le triangle A,B,C et laissent D seule. CD, AD et AC forment l'autre triangle A,C,D et laissent B seule. Les huit autres sous-ensembles joignent bien les quatre noms. Elle retire donc précisément ces deux listes avant de numéroter ses cartes. Choisir trois traits distincts n'avait pas suffi ; le contrôle rempli empêche ici deux résultats inadmissibles de recevoir un numéro de remise.
Nora sépare les huit cartes selon la présence d'AC. Sans cette diagonale, elle choisit trois des quatre côtés AB, BC, CD et AD : chaque possibilité revient à omettre un côté du carré. Cela donne quatre cartes. Avec AC, elle doit rattacher B par AB ou BC, puis D par AD ou CD. Les deux décisions offrent quatre cartes supplémentaires. Elle ne rattache pas B par les deux traits à la fois : cela fermerait le triangle et laisserait encore D à rejoindre avec un quatrième trait.
Elle peut maintenant effectuer un tirage uniforme rempli. Une pièce abstraite équitable choisit d'abord la famille avec AC ou celle sans AC. Dans la première, deux autres décisions équitables choisissent l'attache de B et celle de D. Dans la seconde, un choix uniforme entre quatre noms de côtés désigne celui à omettre. Chaque carte reçoit une moitié multipliée par un quart, soit un huitième. Nora remet ainsi AB,AC,CD lorsqu'elle obtient la première famille, l'attache AB et l'attache CD ; aucun tri des scores n'a participé au choix.
Mélanger les traits privilégie certains dessins
Camille préfère mélanger les cinq noms de traits puis les lire dans l'ordre. Elle retient un trait lorsqu'il joint deux groupes encore séparés et l'écarte lorsqu'il fermerait un circuit. Elle s'arrête après trois traits retenus. Ce procédé remet toujours un arbre, mais Nora vérifie sa distribution avant d'en accepter la promesse d'équité. Il existe cent vingt ordres possibles, tous rendus équiprobables dans cette expérience. Leur image contient les huit cartes déjà préparées ; cela ne signifie pas que chaque carte reçoit le même nombre d'ordres.
L'énumération des cent vingt ordres donne seize réalisations pour chacun des quatre arbres contenant AC, et quatorze pour chacun des quatre autres. AB,AC,CD reçoit ainsi seize cent vingtièmes, soit deux quinzièmes ; AB,BC,CD reçoit quatorze cent vingtièmes, soit sept soixantièmes. Nora refuse le mot « uniforme » pour cette remise : un huitième serait quinze cent vingtièmes. Elle conserve néanmoins la procédure de Camille comme procédé admissible produisant une autre loi. Son défaut porte sur les chances promises, pas sur une liaison manquante dans les dessins obtenus.
Camille donne l'ordre AB,AC,CD,BC,AD : les trois premiers traits sont retenus et produisent AB,AC,CD. L'ordre AC,CD,AD,AB,BC donne encore ce dessin : AD est refusé après AC et CD, car A et D sont déjà reliés ; AB rattache ensuite B. À l'inverse, AB,BC,AC,CD,AD donne AB,BC,CD après le refus d'AC. Nora garde ces ordres avec leurs images. Les différents moments où un trait devient interdit expliquent pourquoi compter seulement les six ordres des trois traits finaux manquerait des préimages réelles de la carte.
Elle refuse aussi de corriger le procédé en disant seulement que la diagonale devrait avoir une chance une moitié. Le mélange lui donne soixante-quatre ordres sur cent vingt, soit huit quinzièmes. Cette mesure révèle le biais dans ce cas, mais la correction exigée concerne chacune des huit cartes. Nora reprend donc son tirage par familles et choix remplis, qui attribuait déjà un huitième à toutes. Elle n'efface pas seize et quatorze du relevé : ces nombres restent les chances réellement produites par l'ancien mélange.
Réunir deux noms doit conserver les traits parallèles
Pour compter les cartes avec AC, Nora décide de considérer A et C comme un seul nom provisoire X. AB et BC deviennent alors deux attaches entre X et B ; AD et CD deviennent deux attaches entre X et D. Les deux attaches de chaque paire gardent leurs étiquettes. Un arbre sur X,B,D choisit l'une des deux attaches de B et l'une des deux de D, soit quatre possibilités. En redépliant X, chaque choix retrouve un arbre différent avec AC sur les quatre tables initiales.
Camille avait effacé les étiquettes et conservé seulement un trait XB et un trait XD. Son schéma simplifié possède une seule sélection de deux traits, mais il ne représente plus les quatre sélections originales. Nora lui demande laquelle des attaches de B elle remettrait : AB ou BC. Le schéma effacé ne répond pas. Elle rétablit les deux noms de traits, puis les deux vers D. La réunion des noms A et C n'autorisait pas la fusion de leurs liaisons distinctes lorsqu'on voulait encore compter les dessins remis.
Le compte entier se décompose alors en quatre arbres sans AC et quatre arbres avec AC, donc huit. La première famille se compte après suppression d'AC ; la seconde après réunion de ses extrémités avec conservation des étiquettes restantes. Camille ne conserve pas AC comme une boucle attachée à X : ce trait est déjà imposé dans la seconde famille et disparaît du problème réduit. Garder cette boucle parmi les nouveaux choix ajouterait une sélection qui ne relie aucun nom supplémentaire et fausserait le compte de deux attaches à remettre.
Un contrôle matriciel porte sur le même catalogue
Nora prépare un autre contrôle classique du nombre d'arbres. La matrice de degrés porte trois pour A, deux pour B, trois pour C et deux pour D sur sa diagonale ; une liaison autorisée donne moins un entre ses deux noms, et une absence donne zéro. En retirant la ligne et la colonne de D, elle obtient les trois lignes (3,−1,−1), (−1,2,−1), (−1,−1,3). Le théorème classique des arbres donne le nombre recherché par le déterminant de cette matrice réduite. Ce certificat vise le catalogue stipulé, sans être une mesure du support physique.
Le déterminant se remplit ici comme quinze moins quatre moins trois, soit huit. Nora retrouve donc le compte des cartes, sans appeler quinze le nombre d'arbres parce que ce nombre apparaît dans le premier terme. Camille avait voulu interpréter le retrait de D comme un catalogue où D n'existerait plus. Nora conserve sa demande initiale : les huit cartes contiennent toujours D. La suppression d'une ligne et d'une colonne fait partie du certificat de dénombrement ; elle n'a pas supprimé un nom dans les dessins dont ce certificat compte les réalisations.
Conserver AB change les chances conditionnelles
Camille demande maintenant un tirage uniforme parmi les arbres qui contiennent AB. Nora filtre les huit cartes plutôt que d'ajouter AB après un tirage ancien. Cinq cartes restent. Deux possèdent aussi AC : AB,AC,CD et AB,AC,AD. Trois l'omettent : AB,BC,CD ; AB,BC,AD ; AB,CD,AD. AC a donc une chance deux cinquièmes dans cette nouvelle remise. Garder la pièce équitable de la première procédure puis ajouter AB ne reproduirait ni ces cinq cartes ni cette chance de diagonale.
Nora remplit une procédure adaptée : un numéro uniforme parmi cinq possibilités attribue les deux premiers à la famille avec AC et les trois suivants à celle sans AC. Dans la première famille, le numéro choisit directement CD ou AD ; dans la seconde, il choisit l'un des trois arbres restants. Chaque carte conserve une chance un cinquième. Camille reçoit AB,CD,AD lorsque le dernier numéro est tiré. Nora ne décrit pas ce résultat comme le premier carré auquel AB aurait été ajouté : AB figurait déjà dans la sélection et le dessin possède toujours trois traits.
Dans la loi initiale, la chance d'AB vaut cinq huitièmes et celle d'AC une moitié. Leur présence simultanée vaut pourtant deux huitièmes, soit un quart, et non le produit cinq seizièmes. Nora peut le vérifier avec les deux cartes qui portent les deux traits. Après avoir appris qu'AC est présent, AB n'a plus qu'une chance une moitié, contre cinq huitièmes avant cette information. Camille retire donc son modèle de deux décisions indépendantes sur ces traits. La loi portait sur les arbres entiers, dont les contraintes couplent les présences de traits.
Elle ne peut pas davantage tirer cinq présences indépendantes selon leurs bonnes chances marginales puis annoncer qu'elle a obtenu la même expérience. Avec cinq huitièmes pour chacun des quatre côtés et une moitié pour AC, ce procédé donne une chance positive au dessin contenant les cinq traits, comme au dessin vide. Aucun des deux n'appartient aux huit cartes. L'addition des chances individuelles vaut bien trois, mais elle ne garantit que le nombre moyen de traits dans ce modèle différent. Nora garde le tirage de cartes entières pour satisfaire exactement trois traits et l'absence de circuit à chaque remise.
Des poids multiplicatifs définissent une autre loi
Une branche donne maintenant un poids deux à AC et un poids un à chaque côté. Le poids d'un arbre est défini comme le produit de ceux de ses trois traits. Les quatre arbres avec AC ont donc chacun le poids deux ; les quatre autres ont le poids un. La somme des poids vaut douze. Nora veut une chance proportionnelle à ces produits : chacun des quatre premiers reçoit un sixième, chacun des quatre seconds un douzième. La chance totale de diagonale passe alors à deux tiers.
Elle remet une procédure concrète : un numéro uniforme de un à douze est attribué à huit étiquettes, avec deux numéros pour chacun des quatre arbres avec AC et un pour chacun des quatre autres. Cette liste réalise les produits annoncés. Camille avait proposé de sommer les trois poids dans chaque arbre : les arbres avec AC auraient obtenu quatre, les autres trois. Leur somme aurait été vingt-huit et la chance de diagonale quatre septièmes. Nora refuse ce remplacement, car il réalise une autre pondération. Deux n'était ni un coût à minimiser ni un supplément ajouté une fois à la loi initiale.
Le certificat matriciel doit changer lui aussi pour compter ces produits. La diagonale correspondant à A et celle de C deviennent quatre ; les deux entrées entre A et C deviennent moins deux. Après retrait de D, les lignes sont (4,−1,−2), (−1,2,−1), (−2,−1,4). Le déterminant vaut vingt-huit moins six moins dix, soit douze. Nora retrouve la somme des poids, pas le nombre huit de cartes différentes. Une carte n'a pas été créée une seconde fois dans le catalogue de dessins ; son poids a doublé dans la règle de tirage.
Deux liaisons étiquetées peuvent réaliser ces mêmes poids
Camille prépare enfin deux traits distincts entre A et C, nommés AC et AC′, en conservant les quatre côtés. Un arbre étiqueté ne peut garder les deux ensemble : ces liaisons parallèles forment un circuit à deux traits, et sélectionner encore un seul côté ne joindrait pas les quatre noms. Chacun des quatre arbres anciens avec AC possède en revanche deux versions, selon l'étiquette utilisée. Les quatre arbres sans diagonale conservent une seule version. Nora obtient ainsi douze arbres étiquetés, dont huit portent une diagonale.
Elle tire uniformément parmi ces douze arbres, puis cache seulement l'apostrophe dans la remise finale. Chaque dessin avec diagonale possède deux préimages et reçoit donc une chance un sixième ; chaque autre une chance un douzième. C'est exactement la loi multiplicative précédente avec poids deux pour AC. Camille ne peut obtenir la loi uniforme sur huit dessins en effaçant l'apostrophe avant de compter les préimages. Nora garde dans son dossier les étiquettes tirées et la règle de masque appliquée après le choix, afin que la chance annoncée puisse être reconstruite.
Si la demande revient à huit dessins équiprobables tout en conservant les deux étiquettes sur les cartes de travail, Nora doit répartir les chances autrement. Elle attribue un huitième à chaque dessin sans diagonale, et un seizième à chaque version étiquetée d'un dessin avec diagonale. Après masque, les deux versions réunissent un huitième. Donner une chance égale à toutes les cartes de travail serait ici la mauvaise correction : leur multiplicité n'était plus constante. Nora choisit donc d'abord le dessin sans étiquette selon son tirage uniforme, puis une étiquette équitable seulement lorsque la diagonale est présente.
Choisir un parent demande encore de refuser les circuits
Nora prépare une autre procédure orientée vers D. A choisit uniformément son parent parmi B,C,D ; B parmi A,C ; C parmi A,B,D. Les trois décisions sont indépendantes, donnant dix-huit affectations équiprobables. Elle suit ensuite les parents depuis chaque nom et conserve seulement les affectations dont tous les parcours finissent en D. Huit passent ce contrôle. L'affectation A vers B, B vers A, C vers D est refusée : C atteint D, mais A et B tournent ensemble. Une attache sortante par nom n'avait pas rempli la connexion vers la racine. Nora ne conserve donc pas ces dix-huit affectations comme dix-huit dessins admissibles.
Chaque arbre des huit cartes possède exactement une orientation vers D : le parent de chaque nom est son prochain voisin sur l'unique chemin vers D. AB,AC,CD donne ainsi A vers C, B vers A, C vers D. Parmi les affectations acceptées, chaque carte conserve donc une chance un huitième. Avec répétition indépendante des essais refusés, la chance de réussir par essai vaut quatre neuvièmes et le nombre moyen d'essais neuf quarts. Nora peut choisir A comme racine à la place : les menus de parents comportent alors deux, trois et deux choix, soit douze affectations, dont huit acceptées. La réussite vaut deux tiers, mais la loi finale conditionnée reste uniforme sur les mêmes huit cartes. Elle change la racine pour réduire le nombre moyen d'essais, sans annoncer un maximum certain d'essais ni une autre préférence entre les dessins.
La feuille de service remise indique enfin son expérience : huit dessins uniformes, cinq dessins conditionnés par AB, ou douze arbres étiquetés suivis d'un masque. Chaque dessin concret est relié sans circuit sous ses propres étiquettes. Les probabilités de ces remises proviennent du catalogue et de l'opération réellement effectuée ; elles ne décrivent aucune préférence observée de convives ni aucune propriété de matériel.