Camille prépare huit tickets fictifs pour une feuille de service : quatre entrées et quatre sorties. Une entrée ajoute une unité à une réserve abstraite, une sortie en retire une. Nora doit choisir une suite de tickets dont la réserve ne devienne jamais négative. Aucun stock alimentaire, flux réel, paiement ou délai n’est observé. La règle traite des signes et de leurs positions sur papier ; elle ne fournit ni une procédure de service ni une capacité matérielle validée.
Trois sites identifient des carnets. Les tickets, les réserves et les probabilités créées ne reprennent aucune méthode de ces fabricants.
Roterfaden présente des carnets.
X17 présente des carnets.
Notem Studio présente des carnets.
Le même total final peut cacher une sortie trop tôt
Nora écrit E pour une entrée et S pour une sortie. Les tickets d’un même type ne portent pas d’identité individuelle : échanger deux E ne donne pas une nouvelle suite. La réserve commence à zéro et, après chaque ticket, vaut le nombre de E déjà lus moins le nombre de S déjà lus. Les huit positions et les quatre lettres de chaque type sont fixées. Il existe soixante-dix suites, puisque choisir les quatre positions de E parmi huit détermine également celles de S. Toutes finissent à zéro, mais cette égalité finale n’a pas encore contrôlé leurs réserves intermédiaires.
Camille propose SEEESESS. La première sortie donne immédiatement moins un ; les entrées suivantes ne retirent pas ce défaut de la première ligne. Nora conserve au contraire EESSEESS : les réserves sont un, deux, un, zéro, un, deux, un, zéro. La suite répond à la demande initiale même lorsqu’elle revient temporairement à zéro. Camille choisit cette seconde remise. Le contrôle par préfixes et l’interdiction de remplacer un ordre par son seul total sont déjà connus dans d’autres préparations ; le travail nouveau sera de compter exactement les suites qui respectent toutes ces lignes à la fois.
Nora prend une suite refusée et repère sa première réserve moins un. Elle échange alors E avec S uniquement dans le début allant jusqu’à cette ligne incluse. Ce début comportait une sortie de plus qu’une entrée ; l’échange lui donne une entrée de plus qu’une sortie. Sur la suite entière, le résultat possède donc cinq E et trois S au lieu de quatre et quatre. Dans SEEESESS, la première ligne est déjà le début à échanger : elle devient EEEESESS. Nora garde le reste exactement à sa place, sans retourner la suite entière ni trier les tickets pour obtenir les nouvelles quantités.
Cette transformation possède une reconstruction unique. Toute suite avec cinq E et trois S finit à deux, donc sa réserve, partant de zéro par pas unitaires, rencontre un pour la première fois. En échangeant les lettres du début jusqu’à ce premier un, Nora retrouve une suite équilibrée dont la première réserve moins un survient à cette même ligne. Avant cette rencontre, les réserves de la suite transformée étaient au plus zéro ; après l’échange, celles de la suite reconstruite sont donc au moins zéro jusqu’à la ligne fautive. Les deux transformations s’inversent. Nora a ainsi associé chaque suite refusée à une suite cinq–trois, et chacune de ces dernières à une seule suite refusée.
Les suites cinq–trois sont au nombre de cinquante-six. Nora les retire des soixante-dix et obtient quatorze suites admissibles. Elle ne reçoit pas cinquante-six comme un deuxième stock de tickets à traiter : ce sont les images utilisées pour compter les refus. La correspondance explique pourquoi le retrait est complet et sans doublon. Camille remet quatorze sur la fiche de choix, au lieu d’annoncer une suite sur deux par simple symétrie entre entrées et sorties. La transformation change les quantités dans la feuille de contrôle ; elle ne juxtapose pas deux groupes équilibrés de même taille.
Le raisonnement peut garder cinq entrées et trois sorties comme demande initiale, avec une fin à deux. Une suite refusée s’échange encore jusqu’à la première réserve moins un ; elle devient une suite avec six entrées et deux sorties. Il existe cinquante-six suites cinq–trois et vingt-huit suites six–deux. Les refus sont donc vingt-huit, et les admissibles également vingt-huit. Nora accepte que la demande finisse à deux, mais garde le contrôle à chaque ligne : cette fin positive ne rend pas toutes les cinquante-six suites admissibles. Elle ne copie pas non plus le quatorze de la commande équilibrée, dont les quantités avaient changé.
Autoriser zéro et exiger une réserve positive ne gardent pas les mêmes suites
Camille conserve quatre entrées et quatre sorties, mais demande maintenant que la réserve soit strictement positive après chaque ticket, sauf après le dernier où elle doit être zéro. EESSEESS manque cette demande à la quatrième ligne. Nora retire donc cette remise de la nouvelle préparation, sans la déclarer fausse sous la permission précédente. Une réserve nulle en cours de suite était autorisée par « jamais négative » ; elle est maintenant interdite. Les deux commandes n’ont pas seulement deux façons d’écrire la même borne.
Toute suite de cette nouvelle commande commence par E et finit par S. Nora retire ces deux lettres extérieures. Entre elles, la réserve était au moins un ; abaisser chaque réserve restante d’une unité donne une suite de trois E et trois S qui ne devient jamais négative. Réciproquement, entourer une telle suite par E puis S construit une réponse strictement positive à l’intérieur. Il existe cinq suites de trois–trois sous la première permission ; la nouvelle commande garde donc cinq des quatorze réponses équilibrées. Nora réalise par exemple EEESESSS : sa réserve demeure positive jusqu’à la septième ligne et revient à zéro seulement à la huitième.
La suppression de la première et de la dernière lettre n’est pas un retrait arbitraire de deux tickets consommés dans le modèle. Elle sert à compter les suites sous la règle renforcée, tandis que la remise garde bien huit tickets. Camille avait proposé de remettre seulement les six lettres intérieures parce que leur réserve contrôlée ne devenait pas négative. Nora rétablit les deux bords : sans le premier E, les hauteurs à remettre n’auraient plus le décalage d’une unité utilisé dans la preuve. La suite de contrôle et la suite exécutée répondent à deux représentations reliées explicitement, pas à une suppression réelle d’événements de la remise.
Une unité présente au départ change le groupe des refus
Une autre branche reprend la permission de toucher zéro, mais donne une unité initiale avant les huit tickets. Camille peut alors utiliser SEEESESS : la première sortie laisse zéro, puis les autres lignes restent permises. Nora ne transforme pas pour autant cette unité initiale en cinquième ticket E placé quelque part au hasard. Elle précède tous les tickets et reste une donnée du départ. Le total final vaut un, avec toujours quatre E et quatre S dans la suite reçue.
Pour compter les refus, Nora travaille sur les sommes des tickets sans ajouter encore l’unité. Un refus arrive lorsque cette somme atteint moins deux pour la première fois, puisque la réserve réelle vaut alors moins un. Le début à échanger possède deux sorties de plus que d’entrées. Après échange, la suite entière a six E et deux S. La reconstruction échange jusqu’à la première somme deux dans cette nouvelle suite, qui finit à quatre. Elle retrouve exactement la première réserve réelle négative. Les vingt-huit suites six–deux correspondent donc aux refus sous l’unité initiale ; quarante-deux des soixante-dix deviennent admissibles.
Camille compare ce qu’elle peut certifier si le départ n’a pas été précisé. Une unité suffit pour SEEESESS, dont la somme minimale des tickets vaut moins un. Elle ne suffit pas pour SSEEEESS, qui commence par deux sorties et demande deux unités initiales. Nora calcule la réserve minimale nécessaire à partir de la plus basse somme de la suite, prise avec son signe contraire si elle est négative. Dans ces deux remises, elle annonce respectivement un et deux. Le calcul d’une quantité minimale pour une suite fixée ne signifie pas que l’ensemble des soixante-dix serait couvert par la même quantité.
L’audit complet distingue quatorze suites demandant zéro unité initiale, vingt-huit demandant exactement une, vingt demandant deux, sept demandant trois et une demandant quatre. Avec une unité, Nora garde quatorze plus vingt-huit, soit quarante-deux ; avec deux, elle en garde soixante-deux. Camille voulait donner vingt-huit comme nombre de suites permises avec une unité, en comptant uniquement celles qui en ont besoin. Nora lui ajoute celles qui étaient déjà permises à zéro. La permission « au moins la réserve nécessaire » ne signifie pas « exactement cette réserve nécessaire ». Les groupes minimaux et leurs unions répondent ainsi à deux questions réellement différentes.
Une limite supérieure demande un second contrôle
Nora reprend le départ zéro et ajoute un plafond deux à toutes les lignes. EEEESSSS, auparavant admissible sans borne haute, manque maintenant le plafond dès la troisième entrée. Camille propose de garder les quatorze listes et de noter simplement deux comme capacité à côté. Nora refuse cette annotation : le modèle doit retirer les suites dépassant la capacité donnée, sans modifier après coup leurs réserves. Aucun appareil réel ne fournit ce deux ; c’est une nouvelle contrainte sur les suites de la feuille.
Entre deux retours consécutifs à zéro, une suite qui monte au plus à deux a une forme précise. Elle commence par E, puis alterne éventuellement des couples ES pendant qu’elle revient à un, et finit par S. Une deuxième montée consécutive depuis deux dépasserait le plafond, tandis qu’une sortie depuis un mettrait fin à ce morceau en revenant à zéro. Le morceau s’écrit donc E, suivi de k couples ES, puis S, avec k positif ou nul. Il utilise k plus un entrées. Cette forme vient des deux bords autorisés ensemble, pas d’un tri préalable des tickets ni d’un choix de toutes les entrées avant les sorties.
Une suite équilibrée au plafond deux est alors déterminée par les tailles successives de ces morceaux. Elles sont positives et totalisent quatre entrées. Nora choisit pour chacune des trois séparations entre ces quatre unités si elle termine un morceau ou le poursuit ; il y a huit choix. Les tailles quatre donnent EESESESS, tandis que les tailles un, un, un, un donnent ESESESES. Les tailles deux, deux donnent EESSEESS. Ces trois remises ont des retours à zéro différents, mais toutes restent entre zéro et deux. La représentation par morceaux compte huit suites, sans oublier que chaque morceau doit avoir la forme fermée précédemment.
Camille demande maintenant une réserve toujours strictement positive entre les deux bouts et toujours au plus égale à deux. Il ne peut plus y avoir plusieurs morceaux : un retour à zéro entre eux manquerait la nouvelle demande. Il reste le morceau unique de taille quatre, EESESESS. Nora le remet et retire EESSEESS, dont le milieu revient à zéro. Elle ne multiplie pas la fraction huit sur quatorze par cinq sur quatorze pour décider combien de suites satisfont les deux conditions. Les conditions portent sur les mêmes préfixes ; leur intersection est remplie par une seule suite, vérifiée avec ses huit réserves.
Un compte de suites ne donne une probabilité qu’avec la loi annoncée
Pour une autre question, Camille tire uniformément les quatre positions de E parmi les huit. Chacune des soixante-dix suites possède alors la même probabilité. La chance de ne jamais manquer vaut quatorze sur soixante-dix, soit un cinquième. Avec une unité initiale, elle devient quarante-deux sur soixante-dix, soit trois cinquièmes. Nora garde le choix uniforme comme hypothèse de ces probabilités. Le quatorze aurait encore été un compte correct sous un autre tirage, mais son quotient par soixante-dix n’aurait plus automatiquement donné la chance correspondante.
Une préparation choisit plutôt à chaque position E avec une probabilité deux tiers et S avec un tiers, indépendamment, puis garde seulement les suites avec exactement quatre de chaque type. Chaque suite gardée possédait initialement une probabilité de seize sur six mille cinq cent soixante et un : quatre facteurs deux tiers et quatre facteurs un tiers. Elles restent donc équiprobables après cette condition, même si les lettres n’avaient pas des chances égales avant elle. Nora retrouve un cinquième pour la chance admissible parmi ces suites gardées. Elle ne dit pas que la condition quatre–quatre serait obtenue avec certitude ; elle a justement retiré de la question les tirages avec d’autres totaux.
Camille modifie alors les probabilités selon la position. Sur les quatre premières lignes, E reçoit trois quarts ; sur les quatre dernières, E reçoit un quart. Les positions restent indépendantes avant de conditionner par quatre entrées au total. Pour une suite gardée possédant k entrées dans la première moitié, la probabilité initiale vaut neuf à la puissance k, divisée par soixante-cinq mille cinq cent trente-six. Les facteurs ne sont plus les mêmes pour toutes les suites quatre–quatre : les premières places d’entrées contribuent deux fois à cette puissance, par leurs E précoces et leurs S tardifs. Nora retire donc l’équiprobabilité qui permettait de convertir directement quatorze en un cinquième.
Parmi toutes les suites équilibrées, les nombres ayant zéro, une, deux, trois et quatre entrées précoces sont un, seize, trente-six, seize et un. Parmi les quatorze admissibles, seules deux, trois ou quatre entrées précoces sont possibles ; leurs comptes sont quatre, neuf et un. Nora applique à chaque groupe son poids neuf à la puissance k. Le poids total des suites conditionnées vaut vingt et un mille deux cent quatre-vingt-six, et celui des admissibles treize mille quatre cent quarante-six. La chance obtenue vaut six mille sept cent vingt-trois sur dix mille six cent quarante-trois, bien différente d’un cinquième. Camille choisit la loi uniforme lorsqu’elle veut le premier quotient, et conserve ce second résultat sous la loi modifiée ; aucun comptage d’une suite nouvelle n’a été nécessaire pour changer les probabilités.
La feuille retenue garde finalement les quatre entrées, les quatre sorties, le départ zéro et la permission de toucher zéro. Nora remet EESSEESS avec ses réserves, quatorze comme nombre de suites admissibles et un cinquième seulement sous le tirage uniforme donné. Les autres départs, plafonds et lois restent attachés à leurs variantes. Le total final, la plus basse réserve et la probabilité de sélectionner une suite répondent à trois contrôles différents ; aucun ne devient une propriété observée des carnets ou d’un service réel.
Deux réserves respectées ne garantissent pas une fermeture dans le bon ordre
Une autre demande utilise deux types nommés rouge et bleu. Chaque type possède deux entrées et deux sorties. Nora peut d’abord retirer une unité de la réserve du type indiqué, à condition qu’elle existe. Une seconde permission exige plutôt de fermer la dernière entrée encore ouverte, et de garder son type. Cette seconde règle est celle d’un empilement abstrait de marques, pas d’un service réel ni d’un modèle de matériel. Les huit tickets gardent leurs types ; nous ne les colorons pas après avoir accepté une suite pour lui donner rétroactivement la nouvelle permission.
Camille présente entrée rouge, entrée bleue, sortie rouge, sortie bleue, puis répète ces quatre tickets. Les deux réserves séparées restent toujours positives ou nulles : chaque sortie rouge possède une entrée rouge préalable, et il en va de même pour le bleu. Nora refuse pourtant cette suite sous la fermeture de la dernière entrée ouverte. Après les deux premières entrées, la dernière est bleue ; la sortie rouge suivante manque donc cette règle, même si la réserve rouge vaut un. Elle remet plutôt entrée rouge, entrée bleue, sortie bleue, sortie rouge, puis répète ce morceau. La fermeture bleue laisse la rouge comme dernière ouverture, que la sortie rouge peut ensuite fermer. Les mêmes quantités et les deux mêmes réserves finales nulles n’ont pas suffi à préserver la permission d’ordre ; Nora a changé deux positions de sortie pour réellement l’exécuter.
Pour compter les suites qui respectent seulement les deux réserves séparées, Nora choisit l’ordre des quatre tickets rouges. Deux ordres sont possibles : entrée, entrée, sortie, sortie ou entrée, sortie, entrée, sortie. Les tickets bleus possèdent également ces deux possibilités. Choisir les quatre positions rouges parmi huit donne soixante-dix façons d’entrelacer un ordre rouge et un ordre bleu, en gardant l’ordre de chacun. Chaque suite complète possède une seule sélection de positions rouges et deux ordres internes identifiables ; aucune n’est obtenue deux fois par cette construction. Nora compte donc deux fois deux fois soixante-dix, soit deux cent quatre-vingts. La fermeture de la dernière entrée ouverte n’a pas encore été vérifiée dans ce calcul. Camille conserve ce nombre pour la première permission, sans le transférer à la seconde parce que chacune de ses sorties avait trouvé une unité de son propre type.
Pour la fermeture dans le dernier ordre ouvert, Nora efface provisoirement les types, mais garde les positions d’entrées et sorties. Elle retrouve une des quatorze suites non négatives. Dans chacune, chaque sortie est reliée à une entrée unique : la dernière entrée non encore fermée. Ces quatre paires sont donc déterminées avant tout choix de type. Nora choisit deux de ces paires pour le rouge, les deux autres pour le bleu ; il y a six choix. Elle attribue le même type aux deux tickets de chaque paire. Cela construit une suite valide sous la seconde permission, avec les quantités demandées. Réciproquement, effacer les types d’une telle suite et retrouver ses paires restitue exactement ce choix de deux paires rouges. Le nombre vaut donc quatorze fois six, soit quatre-vingt-quatre. Nora retire les cent quatre-vingt-seize autres suites du groupe de deux cent quatre-vingts lorsqu’on exige la fermeture de la dernière entrée, et remet la suite corrigée avec ce compte propre.