Avant un dîner, quatre plateaux peuvent recevoir quatre noms courts. Une copie abîmée ne pose pourtant pas toujours le même problème : une marque peut manquer, une autre peut être remplacée, ou un code parfaitement lisible peut avoir été posé sur le mauvais plateau. Nous allons construire une petite famille d’étiquettes sur papier, puis décider précisément quelles lectures elle permet de réparer. Le choix de garder cinq cases ou d’en ajouter une sixième répondra à des défauts déterminés, plutôt qu’à une promesse générale de reconnaissance.
Nora et Camille travaillent ici avec quatre plateaux fictifs, vides, nommés A, B, C et D. Les étiquettes comportent des cases ordonnées, remplies par zéro ou un. Aucun ingrédient, allergène, appareil ou produit réel n’est identifié. Les erreurs de copie sont expressément données dans chaque cas ; leur fréquence n’est pas mesurée. Les raisonnements de distance entre suites sont classiques. Notre préparation ne fournit ni un marquage alimentaire ni une vérification de l’identité réelle d’un objet.
Avery présente des étiquettes.
HERMA présente des étiquettes.
OnlineLabels présente des étiquettes.
Cinq cases peuvent laisser une place à la correction
Le premier catalogue attribue 00000 à A, 11100 à B, 10011 à C et 01111 à D. Les cinq positions sont toujours conservées dans cet ordre. Une erreur remplace seulement un zéro par un ou un un par zéro à une position donnée. Elle n’ajoute pas de case, n’en retire pas et ne déplace pas les suivantes. Camille demande de retrouver le nom lorsque la copie comporte au plus une telle erreur, y compris lorsqu’elle n’en comporte aucune. Nora conserve ces conditions sur la feuille qui accompagne le catalogue.
La lecture reçue est 00010. Nora compare chaque position aux quatre suites. Elle trouve une différence avec A, quatre avec B, deux avec C et trois avec D. Elle retient donc A : c’est le seul nom dont l’étiquette pourrait donner cette lecture avec au plus une substitution. Elle remplace la quatrième marque de la copie par zéro et remet 00000 avec A. Le choix ne repose pas sur le premier zéro rencontré ou sur la majorité des cinq marques. Une telle majorité donnerait seulement un symbole, pas le nom parmi quatre suites différentes.
La séparation du catalogue explique pourquoi cette conclusion ne se limite pas au cas rempli. A et B diffèrent à trois positions ; A et C également ; A et D à quatre. B et C diffèrent à quatre positions, B et D à trois, C et D à trois. Deux suites du catalogue ne peuvent donc pas donner une même lecture en changeant chacune au plus une position. Si cela arrivait, elles ne pourraient différer que dans les deux positions éventuellement modifiées, alors qu’elles en diffèrent toujours dans au moins trois. Une lecture proche d’un nom à une erreur au plus ne sera jamais également proche d’un autre.
Camille remplit un autre contrôle avec 10010. Cette fois, la suite diffère d’une position avec C, de deux avec A, de trois avec B et de quatre avec D. Nora remet C et corrige la dernière case en un. Elle garde ainsi deux réparations produisant deux noms différents. La règle n’a pas été écrite pour ramener toutes les copies vers A : elle cherche une suite du catalogue dans la limite convenue. Le premier résultat ne lui donne aucune priorité sur celui de cette seconde copie.
Une lecture hors de la zone admise doit rester sans nom
Chaque étiquette possède six lectures possibles lorsqu’on autorise au plus une erreur : elle-même et les cinq suites obtenues en changeant une position. Ces ensembles sont disjoints pour nos quatre étiquettes. Ils réunissent donc vingt-quatre lectures parmi les trente-deux suites de cinq zéros ou uns. Nora prépare une feuille qui attribue un nom à ces vingt-quatre lectures et laisse les huit autres sans attribution. Elle ne complète pas les cases restantes simplement pour obtenir une réponse à toute copie possible.
Camille lui remet 00101. Les distances à A, B, C et D sont respectivement deux, trois, trois et deux. La lecture n’est à une erreur d’aucune étiquette ; elle est même aussi proche de A que de D. Nora retire le nom A qu’elle avait envisagé en prenant seulement la première petite distance. Elle remet « lecture hors de la limite d’une erreur » et demande une nouvelle copie depuis l’étiquette d’origine. Elle ne change pas deux marques de son propre chef sous une procédure qui en annonçait une seule.
Les huit lectures laissées sans nom sont 00101, 00110, 01001, 01010, 10101, 10110, 11001 et 11010. Cette liste ferme notre petit catalogue de réception ; elle n’est pas une liste de défauts matériels observés sur des étiquettes commerciales. Camille garde les vingt-quatre attributions et les huit refus sur une même feuille. Le destinataire peut donc voir que « aucune attribution » est une sortie préparée, avec une fonction précise : interrompre la réparation lorsque les données ne correspondent plus à l’erreur maximale autorisée.
Deux erreurs peuvent produire une correction fausse
Nous donnons maintenant l’original A, 00000, puis une copie où les deux premières positions sont remplacées : 11000. Nora trouve une distance deux avec A, une avec B, trois avec C et quatre avec D. Sa règle de correction d’une erreur remettrait B, 11100. C’est une sortie déterminée et pourtant fausse par rapport à l’original donné dans cette scène. Le catalogue ne possède pas un défaut de calcul : la copie a deux erreurs, tandis que la règle qui choisit B suppose qu’elle en possède au plus une.
Camille souhaite désormais interrompre toutes les copies comportant une ou deux substitutions. Elle accepte de demander une nouvelle copie même pour une petite faute qui aurait pu être réparée. Nora choisit alors un autre contrôle : elle accepte uniquement les quatre suites écrites exactement dans le catalogue. Toutes les autres sont refusées. Avec cette règle, 11000 est refusée ; 00010 l’est aussi. Cette seconde conséquence est renseignée dans la remise. Le contrôle détecte les petites modifications, mais il ne conserve pas la correction automatique d’une marque demandée au départ.
Ce contrôle exact rejette bien toute copie comportant une ou deux substitutions d’une étiquette du catalogue. Une autre étiquette valable est toujours distante d’au moins trois positions, et l’étiquette initiale ne peut être retrouvée après une ou deux substitutions distinctes. En revanche, trois substitutions peuvent transformer 00000 en 11100, qui est exactement B. Le contrôle accepterait alors une suite valable portant le mauvais nom. Nora retire donc la mention « détecte toute modification » et conserve « détecte une ou deux substitutions », dans les conditions de positions fixes de notre modèle.
Nora remet finalement deux feuilles de lecture séparées à Camille. L’une corrige jusqu’à une substitution et peut se tromper lorsque cette limite est dépassée ; l’autre accepte seulement une suite exacte et rejette les copies à une ou deux substitutions. Camille choisit la seconde pour une nouvelle série où elle veut une recopie à chaque anomalie détectée. Elle n’annonce pas qu’elle a obtenu simultanément la correction de la première feuille et les refus de la seconde : sur 00010, leurs réponses sont précisément différentes.
Une case effacée donne un autre renseignement qu’une case fausse
Camille prépare une étiquette dont la troisième et la cinquième positions sont déclarées illisibles. Les trois autres sont recopiées sans erreur. La lecture donnée est 10?1?, où le point d’interrogation garde la place de la case effacée. A ne convient pas à la première position connue ; B ne convient pas à la deuxième ; D ne convient pas à la première. C, 10011, convient aux trois positions visibles. Nora remet C et restitue zéro à la troisième place, un à la cinquième. Elle n’a pas cherché quelle case visible pouvait être fausse : dans cette scène, elles sont données exactes.
Le catalogue peut retrouver le nom après n’importe quelles deux cases effacées lorsque toutes les autres sont exactes. Deux étiquettes diffèrent sur au moins trois positions. Effacer deux positions ne peut pas cacher toutes leurs différences ; il en restera au moins une parmi celles encore lisibles. Nora accepte donc une demande de récupération avec deux effacements identifiés, tout en gardant la limite d’une substitution dans la première procédure. Deux marques manquantes ne contredisent pas cette ancienne limite : les positions manquantes sont connues, tandis que la position de la marque fausse ne l’était pas.
Avec trois effacements, la promesse ne tient plus pour toutes les lectures. Camille remet ???00. A et B conviennent toutes deux aux deux dernières marques visibles. Leurs trois différences sont justement dans les positions effacées. Nora refuse de restituer les trois premières marques en annonçant un nom unique. Si Camille lui donne ensuite A depuis la feuille d’origine, elle pourra compléter la copie, mais cette consultation sera un renseignement supplémentaire. Le nombre de zéros visibles ne transforme pas la paire A ou B en une identité acquise.
Camille choisit de refaire cette dernière copie et conserve la récupération à deux effacements pour la suite. Nora lui remet deux contrôles distincts : comparaison des seules positions visibles lorsque les autres sont expressément effacées, distance sur cinq positions lorsque toutes sont remplies et qu’une substitution est possible. Une marque blanche n’est ainsi ni remplacée automatiquement par zéro ni comptée comme une marque exacte. La place conservée du point d’interrogation fait partie de la donnée utilisée pour retrouver le code.
Une erreur et un effacement peuvent réunir deux noms
Une autre copie donne ?1000. La première position est effacée ; parmi les quatre positions lisibles, au plus une peut être fausse. A s’accorde avec toutes les marques visibles sauf la deuxième. B s’accorde avec toutes sauf la troisième. C et D en diffèrent chacun à trois positions visibles. Nora conserve donc A ou B comme conclusion : chacun des deux premiers noms peut expliquer la lecture par l’effacement annoncé et une substitution. Elle ne choisit pas A parce que sa suite comporte plus de zéros ni B parce qu’un un est déjà visible.
Nous remplissons les deux origines possibles. Depuis A, Camille efface la première position et change la deuxième ; elle obtient ?1000. Depuis B, elle efface également la première position mais change la troisième ; elle obtient encore ?1000. La lecture et la limite de défauts sont identiques dans les deux réalisations. Une méthode recevant seulement ces données ne peut pas distinguer les origines. Nora retire la promesse de réparer ensemble une substitution et un effacement avec le catalogue à cinq cases, sans conclure que ses calculs de récupération à deux effacements étaient erronés.
Camille demande ensuite de récupérer seulement le groupe A ou B dans cette branche. Nora peut remettre ce groupe, mais elle conserve le résultat ouvert comme tel. Camille veut finalement le nom complet dans les prochaines copies, même avec une substitution et un effacement. Elles choisissent donc de modifier le catalogue avant cette nouvelle série. La modification suivante ajoutera un renseignement dans les étiquettes ; elle ne fournira pas rétrospectivement ce renseignement dans la copie à cinq positions déjà reçue.
Une sixième marque peut augmenter la séparation
Nora ajoute une dernière case pour que chaque suite contienne un nombre pair de uns. A devient 000000, B 111001, C 100111 et D 011110. Les quatre premières étiquettes à cinq cases restent consignées dans l’ancienne préparation. Dans le nouveau catalogue, chaque paire diffère exactement à quatre positions. Les paires auparavant distantes de trois ont reçu des dernières marques différentes ; les paires distantes de quatre avaient déjà le même caractère pair ou impair et reçoivent la même dernière marque. La séparation minimale passe donc de trois à quatre.
Cette fois, une substitution et un effacement ne peuvent pas rendre deux noms compatibles. Deux étiquettes étaient différentes dans quatre positions. L’effacement peut en cacher une ; il en reste au moins trois visibles. Pour que deux origines expliquent une même lecture visible en changeant chacune au plus une marque, elles devraient ne différer qu’en deux positions visibles au plus. Ce n’est pas possible. Nora prépare donc une attribution lorsque exactement un nom présente au plus une différence sur les positions connues, avec au plus une case effacée. Elle refuse encore les lectures qu’aucun nom n’explique dans cette limite.
Camille remet ?10000. A diffère d’une marque visible, B de deux, C de quatre et D de trois. Nora choisit A et restitue 000000. La sixième case visible est zéro ; elle distingue cette copie de l’ancienne ?1000 qui convenait également à B. Si Camille effaçait plutôt cette sixième case, une autre des différences entre A et B resterait visible. La garantie porte sur n’importe quelle position effacée, pas seulement sur celle retenue dans l’exemple. Nora remet la nouvelle feuille avec six cases, la règle de comparaison et cette limite de défauts.
La sixième case ne donne toutefois pas la correction de deux substitutions. La lecture 110000 diffère de deux positions avec A et de deux avec B. Nora laisse ces deux noms possibles sous une demande qui autoriserait deux marques fausses. Elle conserve la récupération d’une substitution avec un effacement, que les distances viennent de justifier, et retire la promesse plus forte. Le fait d’avoir ajouté une case n’autorise pas toutes les extensions de défauts : l’ambiguïté remplie sur 110000 montre précisément où l’une de ces extensions échoue.
Raccourcir la feuille ou ajouter un nom change le problème
Camille souhaite revenir à quatre cases, tout en gardant les quatre noms et la correction d’une substitution à n’importe quelle position. Nora vérifie la place nécessaire. Chaque suite de quatre marques possède cinq lectures dans cette limite : elle-même et quatre modifications simples. Les quatre noms demanderaient donc vingt lectures distinctes, alors qu’il n’existe que seize suites de quatre marques. Si deux de ces ensembles de lectures se rencontrent, une même copie sera compatible avec deux noms. La demande complète ne tient donc pas avec quatre cases, même en remplaçant toutes les étiquettes plutôt qu’en raccourcissant celles déjà imprimées.
La feuille à cinq cases montre que cinq suffisent pour ces quatre noms et cette correction. La limite de quatre n’était ainsi pas une difficulté de mise en page propre à la première proposition : elle était trop courte pour la séparation demandée. Camille conserve cinq cases pour sa procédure corrigeant une substitution, puis six pour celle corrigeant aussi un effacement. Elle ne réduit pas les cases en gardant la légende de la feuille longue. Les deux formats correspondent à deux demandes remplies, avec leurs nombres de positions explicites.
Une autre demande ajoute un cinquième plateau E en conservant exactement les quatre étiquettes à cinq cases. Une nouvelle étiquette capable de corriger une substitution devrait être distante d’au moins trois de chacune des quatre. Nora examine les trente-deux suites disponibles. Vingt-quatre sont déjà dans leurs zones de correction ; les huit restantes, laissées sans attribution, sont chacune à distance deux d’au moins une étiquette. Aucune suite ne convient donc pour E dans ce catalogue conservé. Une case auparavant « refusée » à la réception n’est pas nécessairement un espace où l’on peut installer un nouveau nom sans toucher à la correction des anciens.
Camille renonce à l’ajout de E dans cette préparation et garde les quatre noms. Nora lui remet le catalogue complet plutôt qu’une cinquième suite improvisée dans une case vide de la feuille. Cet échec ne démontre pas ici une limite universelle pour tout catalogue de cinq cases à cinq noms : nous avons vérifié le catalogue fixé et les distances aux quatre suites conservées. Changer toutes les suites ou choisir une autre longueur demanderait une nouvelle construction et son contrôle. La remise distingue cette demande refusée de la borne de quatre cases, qui avait concerné tous les catalogues possibles sous les conditions données.
Répéter la copie protège contre un autre type de défaut
Camille prépare trois copies séparées de la même étiquette à cinq cases. Elle ne donne plus une limite de marques remplacées : elle stipule qu’au plus une copie entière est fausse et que les deux autres reproduisent exactement l’original. Nora reçoit 00000, 11000 et 00000. Elle choisit la suite répétée 00000 et remet A. La copie centrale comporte deux substitutions, qui auraient conduit son ancien décodeur à B, mais ce nombre de substitutions ne commande pas le nouveau contrôle. Une copie peut ici comporter plusieurs marques fausses ; c’est le nombre de copies défectueuses qui est limité.
Nora compare d’abord les suites entières, avant de leur attribuer des noms. Sous l’hypothèse donnée, deux copies au moins sont parfaites et portent donc exactement la même suite d’origine. Leur accord suffit à retrouver cette suite, même si la copie défectueuse donne une autre étiquette valable du catalogue ou une suite hors catalogue. Camille remplit le premier de ces cas avec 00000, 11100 et 00000 : la sortie reste A. Nora n’accepte pas B au motif que 11100 est une étiquette valable. Elle conserve la répétition de l’original comme renseignement et traite la copie différente comme celle qui peut être fausse.
Si les trois copies données sont 00000, 11000 et 11100, aucune suite ne se répète. Nora refuse la remise : elle ne peut pas produire ces trois lectures avec deux copies parfaites du même original. Elle demande une nouvelle série, au lieu de chercher la suite la plus proche de chacune et de prendre ensuite la majorité des noms ainsi corrigés. Cette autre procédure transformerait 11000 en B, puis donnerait B deux fois malgré l’absence d’un accord sur les marques réellement reçues. Le refus protège précisément la condition portant sur les copies entières, qui serait perdue par leur correction préalable.
Camille donne enfin un scénario où une mauvaise copie intermédiaire 11000 est recopiée deux fois après l’original 00000. Nora reçoit 00000, 11000 et 11000. La suite répétée est cette fois fausse, et même absente du catalogue ; Nora refuse donc son attribution. Si les deux copies dérivées donnaient plutôt 11100, leur accord conduirait à B. Elles seraient toutes deux fausses et dépasseraient la limite d’une copie défectueuse. Nora conserve ce cas comme limite de sa nouvelle préparation : trois feuilles issues d’un même intermédiaire erroné ne sont pas, par leur seul nombre, trois copies dont deux seraient garanties exactes. Aucune indépendance statistique ou probabilité de défaut n’a été donnée pour lui fournir cette garantie.
Un code retrouvé n’atteste pas le plateau qui le porte
Camille pose enfin l’étiquette exacte B sur le plateau A dans notre dossier créé. Aucune marque n’est fausse, aucun effacement n’est présent. Les deux feuilles de lecture annoncent B : le code reçu est bien celui de B. Nora retire donc la phrase qui faisait du succès de lecture une preuve que le bon plateau était devant elle. La famille de suites protège une transmission de marques dans des conditions précises ; elle ne vérifie pas l’association initiale entre une étiquette et un objet. Camille rétablit cette association depuis le relevé d’origine, qui apporte un renseignement extérieur au code lu.
Les plateaux de cet atelier restent vides et fictifs. La préparation a choisi une longueur, un catalogue et une limite d’erreurs ; ses lectures peuvent désormais donner un nom, une paire ou un refus déterminé. Chaque réponse conserve ce qui l’autorise, au lieu d’utiliser une correction réussie sur papier comme une garantie sur le contenu d’un plateau ou sur les personnes qui le servent.