Nora prépare un présentoir de papier. Quatre lettres, A, B, C et D, désignent des options créées pour ce dossier. Une fiche indique celles qu’elle réunit ; AB contient A et B, sans indiquer un ordre de service. Camille voudrait proposer le plus de fiches possible, mais Nora refuse qu’une proposition soit entièrement contenue dans une autre. Elle ne demande pas que les fiches soient disjointes. Leur classement doit laisser plusieurs choix qui se croisent, tout en interdisant qu’un choix soit seulement une partie d’un autre.
Ces options ne sont ni des ingrédients, ni des régimes, ni des personnes réellement servies. Les seize sous-ensembles des quatre lettres constituent notre catalogue initial, avec une fiche vide et une fiche ABCD. Les lettres ne se répètent pas dans une fiche ; AB et BA désignent le même choix. Les constructions d’ensembles et le comptage des chaînes sont classiques. Nous remplissons un petit cas, sans annoncer une invention de méthode ni une preuve de diversité gustative.
Notice P1 du Met : catégorie Drawings.
Notice P2 du Met : catégorie Drawings.
Notice P3 du Met : catégorie Drawings.
Ces notices sont citées pour leurs catégories textuelles. Aucune image, composition ou méthode d’artiste n’est adaptée au choix des fiches.
Six fiches qui partagent des lettres sans se contenir
Camille propose AB, AC, AD, BC, BD et CD. Chaque fiche contient exactement deux lettres. Deux fiches différentes de cette liste ne peuvent donc se contenir : une inclusion entre deux ensembles de même taille les rendrait identiques. Nora garde les six, bien que AB et AC partagent A. Elle retire seulement la consigne ancienne « aucun élément en commun », qui aurait interdit ce partage. Sa consigne active porte sur une inclusion complète, pas sur la présence d’une lettre commune à deux offres. Les six choix sont réellement remis sur le présentoir de papier.
Camille essaie ensuite d’y ajouter A. Nora relève trois conflits nommés : A est contenu dans AB, AC et AD. Pour garder A, il faudrait retirer ces trois fiches, et non retirer toutes celles qui contiennent une lettre également présente ailleurs. BC, BD et CD ne contiennent pas A et ne sont pas contenus dans A. Nora refuse cet ajout à la sélection de six, mais conserve la liste exacte des retraits qu’il demanderait. Une septième fiche n’a pas été obtenue par le seul fait que son nom est plus court.
Ajouter ABC échoue autrement. Cette fiche contient déjà AB, AC et BC. AD, BD et CD ne sont pas contenus dans ABC parce qu’ils comportent D ; ABC n’est pas non plus contenu dans l’une de ces paires. Camille avait envisagé de supprimer uniquement AB, le premier conflit rencontré. Nora lui montre AC et BC encore présentes et retire le projet. La comparaison de chaque nouvelle fiche avec la famille entière est remplie sur ces trois inclusions, au lieu d’être remplacée par un contrôle de deux voisins dans la présentation.
Pour savoir si une autre famille de sept pourrait réussir, Nora regarde les vingt-quatre façons d’ajouter les quatre lettres l’une après l’autre. Le départ A, puis B, puis C, puis D donne la chaîne vide, A, AB, ABC, ABCD. Chaque fiche de cette chaîne est contenue dans celles qui la suivent. Une famille admise ne peut en retenir qu’une. La même limite vaut pour chaque ordre d’ajout. Elle ne dit pas qu’une fiche ne pourrait apparaître que dans une seule chaîne : Nora compte précisément ces apparitions avant d’en tirer une borne.
Une fiche de deux lettres, comme AB, apparaît dans quatre chaînes. A et B doivent occuper les deux premières positions, en deux ordres possibles ; C et D occupent ensuite les deux dernières, également en deux ordres. Une fiche d’une lettre apparaît dans six chaînes, puisque les trois restantes peuvent être ajoutées dans six ordres. Une fiche de trois lettres apparaît aussi dans six chaînes. La fiche vide et ABCD figurent chacune dans les vingt-quatre. Nora dispose ainsi du nombre de passages de chaque taille, et non d’une hypothèse qui traiterait toutes les fiches comme également présentes.
Chaque fiche utilise donc au moins quatre des vingt-quatre passages disponibles, alors qu’une famille admise utilise au plus une place dans chacun. Sept fiches exigeraient au moins vingt-huit passages. Elles ne peuvent tenir dans les vingt-quatre chaînes. Six est une borne, et les six paires déjà remises l’atteignent. Nora refuse définitivement la demande de sept sous cette règle. Son refus ne dépend plus du défaut de A ou de ABC dans un projet particulier : il couvre les autres familles que Camille aurait pu dessiner parmi les seize fiches.
Si une famille contient six fiches, elles doivent toutes utiliser exactement quatre passages. Une seule fiche d’une ou de trois lettres porterait le total à au moins vingt-six ; une fiche vide ou pleine l’augmenterait davantage. Toutes les fiches d’un maximum de six ont donc deux lettres. Il n’existe que les six paires du présentoir. Nora peut garder cette sélection comme le seul ensemble maximal en nombre dans notre catalogue, tout en laissant libre leur ordre matériel. Elle ne confond pas cette détermination des fiches avec une obligation de les ranger dans l’ordre AB, AC, AD, BC, BD, CD.
Garder une fiche ancienne réduit ce que le nouveau choix peut offrir
Dans une branche séparée, A seul a déjà été promis et doit figurer dans la remise. Nora conserve l’interdiction d’inclusion. Toute autre fiche comportant A contiendrait cette fiche obligatoire ; elle est donc exclue. La fiche vide est également exclue, puisqu’elle serait contenue dans A. Les autres choix doivent être des sous-ensembles non vides de B, C et D, et se comparer entre eux sans inclusion. Cette réduction ne retire pas A de l’historique pour retrouver la sélection initiale de six : A reste maintenant une contrainte de la commande.
Camille remet A, BC, BD et CD. A ne se compare par inclusion à aucune de ces trois paires, et les paires distinctes restent incomparables entre elles. Nora accepte ces quatre fiches. Elle n’ajoute ni B ni BCD : B serait contenu dans BC et BD ; BCD contiendrait les trois paires conservées. Les trois choix nouveaux réunissent plusieurs lettres sans obliger Nora à transformer A en AB. La promesse d’une fiche plus courte a été maintenue avec ses conséquences concrètes sur le reste du présentoir.
Pour refuser une cinquième fiche dans cette branche, Nora reprend les six ordres d’ajout de B, C et D. Une fiche singleton ou paire y apparaît deux fois, la fiche BCD six fois. La famille restante occupe au plus une place par chaîne, donc au plus trois fiches. Avec A obligatoire, le total ne dépasse pas quatre. Camille retire la demande « A et cinq autres choix » plutôt que de recopier la borne de six du catalogue sans contrainte. Les six passages nouveaux concernent les trois lettres restantes ; ce sont les possibilités compatibles avec A que Nora borne désormais.
Il existe cependant une autre remise de quatre : A, B, C et D. Les quatre singletons sont distincts et aucun ne contient un autre. Nora la compare à A, BC, BD, CD sans annoncer que la contrainte A aurait déterminé toute la sélection. Dans la première remise, les trois fiches supplémentaires réunissent chacune deux options ; dans la seconde, chacune en réunit une. Nora garde la première parce que sa demande supplémentaire exige précisément deux options sur les fiches nouvelles. Cette exigence est possible à quatre, mais elle ne rétablit pas six. Le maximum et l’unicité ont cessé d’être les mêmes conclusions.
Camille propose de laisser A imprimée en petit dans un coin, sans la compter parmi les fiches exposées, pour garder les six paires. Nora refuse cette réparation. La promesse stipule une fiche A parmi les propositions de la remise ; la taille de son inscription ne change pas les inclusions A dans AB, AC et AD. Elle pourrait renégocier la promesse et retirer A avant la remise, mais cette autorisation n’est pas donnée dans la branche. Elle conserve donc les quatre fiches admises, avec A réellement présente et la borne quatre auprès de la demande active.
Une interdiction de réunion ne prohibe pas les deux lettres partout
Une autre commande repart du catalogue initial et ne conserve pas A obligatoire. Elle interdit maintenant qu’une fiche réunisse A et B. A peut figurer avec C ou D, B avec C ou D ; il n’est pas interdit que A et B apparaissent sur deux fiches différentes. Nora retire AB, ABC, ABD et ABCD du catalogue autorisé. Camille ne supprime pas toutes les fiches où l’une de ces deux lettres apparaît. L’interdiction porte sur leur réunion dans un même choix, et sa portée est renseignée avant de chercher le maximum admissible.
Camille garde AC, AD, BC, BD et CD. Les cinq sont des paires distinctes, donc sans inclusion, et aucune ne réunit A avec B. Nora accepte leur exposition. Leur union comporte pourtant A et B : ce fait ne contredit pas la consigne, qui ne porte pas sur l’union du présentoir entier. Elle refuse ainsi une proposition différente qui voulait retirer BC parce que AC avait déjà mis A sur la table. L’interdiction reçue ne faisait pas du premier emplacement contenant A un veto contre toutes les propositions futures contenant B.
Six serait encore la borne générale, mais l’atteindre exigerait les six paires, comme la preuve précédente l’a montré. AB en fait nécessairement partie et est maintenant interdite. Aucune famille autorisée n’atteint six. Les cinq paires proposées atteignent donc le maximum de cette branche. Nora retire « nous n’avons trouvé que cinq » et inscrit « cinq est le maximum sous cette interdiction ». Elle n’a ni lancé un essai de restauration ni modifié la taille des quatre options ; elle a utilisé le caractère nécessaire de la sélection de six pour certifier l’effet de la nouvelle règle.
Camille souhaite substituer ACD à CD pour donner une fiche plus longue. Nora relève que ACD contient encore AC et AD. Remplacer seulement CD ne suffit pas. Il faut retirer AC et AD aussi ; BC et BD restent compatibles avec ACD. La proposition obtenue, ACD, BC, BD, compte trois fiches. Nora la rejette quand l’objectif conserve cinq, et maintient AC, AD, BC, BD, CD. Elle ne traite pas le nombre de lettres de ACD comme une quantité de propositions qui compenserait automatiquement les deux fiches perdues. La modification a changé les inclusions, et son coût porte ici sur le nombre de choix présents.
Autoriser deux degrés d’un même choix demande une nouvelle borne
Nora change maintenant la règle dans un dossier distinct : une chaîne d’inclusions peut contenir deux fiches retenues, mais jamais trois. A et AB peuvent donc être proposées ensemble ; A, AB et ABC ne le peuvent pas. Elle veut toujours le plus grand nombre de fiches. Cette permission ne déclare pas les anciennes sélections de six fautives et n’ajoute pas seulement une septième fiche à leur place. Elle donne une autre limite sur chaque suite d’ajouts, qu’il faut compter avant d’en annoncer la capacité.
Camille remet les quatre singletons et les six paires. Toute chaîne complète rencontre exactement un singleton puis une paire dans cette sélection, sans troisième fiche. Les dix propositions respectent la nouvelle règle. Nora accepte A, B, C, D, AB, AC, AD, BC, BD et CD. Elle ne les présente plus comme une famille sans inclusion : A est contenu dans AB, notamment. La fiche de commande indique deux niveaux autorisés. Le changement permet effectivement de conserver sur le même présentoir les petits choix et leurs prolongements de deux options, ce que la première consigne interdisait.
Les vingt-quatre chaînes offrent maintenant quarante-huit passages, deux par chaîne. Pour onze fiches, le total le plus petit utiliserait les six paires, quatre passages chacune, puis cinq fiches d’une ou de trois lettres, six passages chacune. Cela donne vingt-quatre plus trente, soit cinquante-quatre. Il n’existe que six fiches à quatre passages ; choisir une fiche vide ou pleine coûterait vingt-quatre et ne réduirait pas cette borne. Onze ne tient donc pas dans quarante-huit. Les dix déjà remises atteignent le maximum. Nora refuse le supplément demandé sans essayer de trouver une place libre entre deux fiches imprimées.
Camille ajoute pourtant ABC au groupe des dix. Nora suit la chaîne vide, A, AB, ABC, ABCD. A, AB et ABC seraient toutes trois retenues. Elle retire ABC de la sélection active, puis montre que changer son emplacement dans la pile n’écarterait pas ce triple : la chaîne porte sur l’inclusion des options, pas sur les voisins physiques. Si Camille tenait à ABC, il faudrait négocier le retrait de fiches plus petites qui produisent ces suites, et vérifier le nouveau groupe entier. Nora conserve les dix sans troisième niveau dans la remise qui vient d’être acceptée.
Une autre sélection de dix est possible : les six paires et les quatre triples. Chaque chaîne rencontre sa paire puis son triple. Nora peut donc offrir ce second groupe quand la destinataire veut que toutes les fiches présentent au moins deux options. Le groupe des singletons et des paires échoue à cette condition nouvelle ; le groupe des paires et des triples la remplit. Le maximum reste dix, mais la première remise a été remplacée par une autre famille réellement listée : AB, AC, AD, BC, BD, CD, ABC, ABD, ACD et BCD. Nora n’annonce pas une même sélection dont seules les étiquettes auraient changé.
Séparer deux plateaux sans faire disparaître les inclusions
La destinataire choisit finalement les quatre singletons et les six paires, mais demande deux plateaux dont chacun garde l’ancienne règle sans inclusion. Camille place A, B, C et D sur le premier, les six paires sur le second. Dans chaque plateau, des fiches différentes ont même taille et ne se contiennent donc pas. Il reste des inclusions entre les plateaux, comme A dans AB. Nora les conserve dans son relevé : la nouvelle demande ne les interdit pas entre plateaux. Les dix fiches ne sont pas devenues incomparables dans leur ensemble parce que deux supports les exposent séparément.
Camille essaie ensuite un partage où A et AB seraient sur le premier plateau, tandis que B et AC iraient sur le second. Nora refuse le premier plateau à cause de A dans AB. Elle remet A parmi les singletons et AB parmi les paires, sans retirer ces fiches du présentoir commun. La correction agit sur leurs destinations, pas sur leurs lettres. Dans la remise contrôlée, chaque fiche porte un numéro de plateau qui permet de vérifier l’interdiction à l’intérieur de celui-ci. Nora ne traite pas la simple existence de deux plateaux vides comme une preuve que n’importe quel placement conviendrait.
Pour une famille différente qui ne contiendrait jamais trois fiches en chaîne, Nora dispose aussi d’un placement déterminé par ses inclusions. Elle met au premier plateau les fiches qui n’en contiennent aucune autre de la famille, et au second celles qui en contiennent au moins une. Deux fiches du premier ne se contiennent pas, puisque la plus grande aurait un préalable. Si deux du second se contenaient, la plus petite aurait elle-même une fiche antérieure ; avec la plus grande, cela formerait trois fiches en chaîne. Cette contradiction certifie le second plateau. Nora peut ainsi fournir un placement, au lieu de seulement espérer que les deux couleurs seront suffisantes.
Le groupe A, AB, ABC montre la limite exacte de ce placement. Quel que soit le partage de ces trois fiches entre deux plateaux, deux d’entre elles se trouvent ensemble. Or toute paire choisie parmi elles se compare par inclusion. Deux plateaux ne satisfont donc pas leur règle interne. Camille retire la proposition qui comptait seulement deux liaisons successives A vers AB et AB vers ABC : A est également contenu dans ABC. Nora refuse ce groupe de trois sous la demande des deux plateaux, avec cette impossibilité qui ne dépend d’aucun arrangement particulier.
Nora remet les dix fiches retenues sur leurs deux plateaux, avec les six paires et les quatre singletons toujours nommés séparément. La première commande gardait six choix sans inclusion dans tout le groupe ; la nouvelle en garde dix en séparant deux degrés possibles. A obligatoire imposait quatre dans une branche et l’interdiction de réunir A avec B cinq dans une autre. Ces commandes restent distinctes dans le dossier.
Le choix exposé doit rester distinct après un masquage
Une demande ultérieure revient à un seul plateau et à l’interdiction complète d’inclusion. Les quatre options restent dans les fiches conservées, mais l’affichage destiné au lecteur ne montre désormais que A, B et C. D est masqué, sans être retiré du choix réellement proposé. Nora demande que les inscriptions visibles soient distinctes et qu’aucune ne contienne une autre. Nous distinguons ce contrôle de la première commande qui comparait les fiches entières. Le masquage est une opération créée sur les lettres du dossier, sans mesure de visibilité d’un présentoir réel.
Camille réutilise les six paires, parce qu’elles avaient réussi le premier contrôle. Leurs affichages deviennent AB, AC, A, BC, B et C : AD ne laisse voir que A, BD seulement B, CD seulement C. A est maintenant contenu dans AB et AC, B dans AB et BC, C dans AC et BC. Nora retire AD, BD et CD de cette remise et expose AB, AC, BC. Ces trois inscriptions sont distinctes, de même taille, sans inclusion. Elle a retiré des fiches entières pour réparer leurs affichages, plutôt que de remettre D sur l’écran en prétendant respecter le masquage. Aucun changement de l’ordre des six premières fiches n’aurait éliminé ces nouvelles inclusions visibles. La sélection de six n’était donc pas une garantie de six offres incomparables après cette opération.
Avec seulement A, B et C visibles, les six chaînes d’ajout déjà comptées autorisent au plus trois inscriptions incomparables. La demande d’inscriptions distinctes empêche aussi de compter AB et ABD comme deux offres visibles : chacune affiche AB. La remise AB, AC, BC atteint trois, donc Nora refuse quatre sous ce contrat d’affichage. Elle peut ajouter D à une, deux ou trois de ces fiches conservées sans créer de conflit visible ; leurs inscriptions restent AB, AC, BC et leurs ensembles entiers restent incomparables, car une inclusion entière impliquerait une inclusion de leurs parties visibles. Nora choisit précisément ABD, AC et BCD lorsque deux offres doivent effectivement comprendre D. Elle remet trois fiches entières, trois inscriptions distinctes, et deux présences de D conservées à l’intérieur. La fiche d’affichage ne prétend pas révéler lesquelles comportent D ; cette information est jointe séparément à la préparation choisie.
Les catégories des notices citées n’établissent aucune de ces bornes ; elles demeurent les seules relations documentaires que nous en avons retenues.