Après une activité fictive de cartes écrites, Nora reçoit des noms de fournitures, parfois répétés. Camille veut un renseignement qui distingue une liste concentrée sur quelques noms d'une liste dispersée, même si les deux comportent autant d'occurrences. Elle demande la somme des carrés des fréquences : chaque nom contribue par le carré de son nombre de passages. Les passages sont stipulés sur papier, sans consommation ou préférence réelle mesurée. La petite fiche intermédiaire ne conservera pas chaque fréquence séparément.
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Ces catégories situent les fiches ; aucun produit, matériau ou procédé n'est adapté. Les noms, fréquences et lois de signes sont stipulés, sans mesure physique examinée.
Nous fixons d'abord trois identités a, b, c, et leurs fréquences deux, un, trois. La somme demandée est quatre plus un plus neuf, soit quatorze. Au début de chaque préparation, Nora attribue à chaque identité un signe plus un ou moins un, équiprobables et indépendants. Le signe d'un nom reste le même pour toutes ses occurrences dans cette préparation. Une seule somme S reçoit la fréquence de chaque nom multipliée par son signe. La construction classique d'un résumé signé pour ce moment des fréquences n'est pas présentée comme une invention.
Un signe doit suivre l'identité pendant toutes ses occurrences
Camille tire les signes plus pour a, moins pour b et plus pour c. Sa fiche vaut deux moins un plus trois, soit quatre ; son carré vaut seize. Elle reçoit ainsi une réalisation entière, différente du quatorze exact demandé. Nora ne remplace pas seize par quatorze dans cette fiche. Les autres combinaisons de signes peuvent donner une autre réalisation, et la justification du procédé devra porter sur toutes leurs chances. Elle conserve donc les trois signes auprès du calcul, même si les fréquences exactes ne restent pas dans le petit résumé transmis.
Nora développe le carré avant de lui donner une interprétation. Les contributions d'un même nom produisent son carré de fréquence, car son signe au carré vaut un. Les termes mêlant deux noms distincts contiennent le produit de leurs deux signes ; sa moyenne vaut zéro. Les huit réalisations signées ont donc comme moyenne du carré la somme des trois carrés de fréquences, quatorze. Camille distingue cette propriété de moyenne du calcul de sa seule fiche. Le carré est toujours non négatif, mais la somme qui le précède peut être négative ou nulle, sans rendre les fréquences initiales négatives.
Camille propose de tirer un signe nouveau à chaque occurrence, afin d'éviter de retrouver le signe ancien d'un nom. Dans une autre préparation où a apparaît deux fois et b une fois, les trois signes deviendraient indépendants. Le carré moyen de leur somme vaudrait alors trois, le nombre d'occurrences. Avec un signe fixé pour les deux a, le carré moyen vaut au contraire cinq, quatre pour a et un pour b. Nora refuse le tirage par occurrence pour sa demande de carrés des fréquences. La deuxième apparition d'a doit renforcer la première avec le même signe ; deux signes nouveaux annulent ce renforcement en moyenne et changent la quantité estimée.
Sur cette liste a, a, b, les signes par identité donnent les sommes trois, un, moins un et moins trois, avec chances égales. Leurs carrés sont neuf, un, un et neuf, de moyenne cinq. Les trois signes par occurrence donnent une somme de valeur absolue trois dans deux des huit réalisations, de valeur absolue un dans les six autres. Le carré moyen est alors trois. Nora joint ces deux relevés à sa décision de garder la table de signes par identité. Ce n'est pas le nombre de tirages qui rend le second protocole préférable : les deux protocoles renforcent des termes différents dans le développement du carré.
Un retrait de nom agit sur la somme signée avant le carré
Dans la réalisation plus, moins, plus de la liste deux, un, trois, Camille retire une occurrence de c. La fréquence de c devient deux et S passe de quatre à trois. Le nouveau carré vaut neuf. Soustraire un au carré précédent aurait donné quinze ; soustraire le carré du signe retiré aurait également donné quinze. Nora refuse ces deux corrections : elles ne prennent pas en compte le terme croisé entre la somme encore présente et la contribution qui disparaît. Le retrait est effectué sur S, puis le carré est recalculé. La table des signes demeure celle de la préparation commencée.
Si l'occurrence retirée avait été b, dont le signe est moins, S serait passé de quatre à cinq. Le carré aurait augmenté de seize à vingt-cinq, alors même qu'une occurrence a disparu. Camille conserve cette possibilité au lieu d'exiger une diminution dans chaque réalisation. La quantité exacte, elle, passerait de quatorze à treize, puisque le carré de la fréquence un de b disparaîtrait. Le résumé signé n'est pas un compteur monotone de cette quantité exacte. Sa règle linéaire de retrait conserve la propriété de moyenne sur toutes les tables de signes ; elle ne donne pas la direction du changement dans chacune d'elles.
Nora contrôle directement la formule de modification. Si une contribution signée u est retirée d'une somme S, le carré nouveau est S au carré moins deux Su plus u au carré. Pour c dans la réalisation donnée, S vaut quatre et u un : seize moins huit plus un donne neuf. Pour b, u vaut moins un : seize plus huit plus un donne vingt-cinq. Camille peut donc garder S et la table qui fournit u pour les retraits autorisés, au lieu de conserver seulement S au carré. Les deux carrés seize issus de sommes quatre et moins quatre auraient demandé des corrections différentes pour le même signe retiré.
L'indépendance par paires ne fixe pas le quatrième moment
Nora veut maintenant quatre noms, chacun présent une fois, pour comparer deux lois de signes. La première donne indépendamment plus ou moins à chacun des quatre noms ; elle possède seize réalisations. La seconde tire seulement les huit réalisations où le produit des quatre signes vaut plus un. Dans cette seconde loi, chaque signe reste équilibré, et chaque paire de signes possède ses quatre possibilités avec chances égales. Les termes mêlant deux noms ont donc encore moyenne zéro. Pour les deux lois, le carré moyen de la somme vaut quatre, la somme exacte des quatre carrés de fréquences.
Sous la première loi, les sommes de valeur absolue quatre arrivent dans deux réalisations sur seize, les sommes de valeur absolue deux dans huit, et zéro dans six. Le carré remis vaut donc seize avec un huitième, quatre avec une moitié et zéro avec trois huitièmes. L'écart à quatre au carré a pour moyenne vingt-quatre : un huitième de cent quarante-quatre plus trois huitièmes de seize. Camille reçoit ce nombre comme la variance exacte de cette préparation, sans lui attribuer une fréquence observée sur des utilisateurs ou des fournitures.
Sous la seconde loi, les deux réalisations tout plus et tout moins sont conservées, ainsi que les six réalisations comportant exactement deux signes moins. Les configurations à un ou trois signes moins disparaissent. Le carré vaut donc seize dans deux cas sur huit, zéro dans les six autres. Sa moyenne reste quatre, mais le carré moyen de l'écart à quatre vaut quarante-huit : un quart de cent quarante-quatre et trois quarts de seize. Nora retire la variance vingt-quatre de la feuille de cette seconde loi. Les bonnes moyennes de chaque signe et de chaque paire n'avaient pas fixé les chances des quatre signes ensemble.
Le développement fournit la différence. Dans la variance du carré, des produits de quatre signes distincts peuvent intervenir. Sous l'indépendance complète, leur moyenne est zéro ; sous la loi qui impose un produit total plus un, elle vaut un. Les anciennes annulations des seuls produits par paires ne couvrent pas ces termes. Pour des fréquences fixées f, l'indépendance de quatre signes distincts donne la formule deux fois la différence entre le carré de la somme des f au carré et la somme des f à la puissance quatre. Nora n'utilise cette formule que pour la loi qui remplit sa condition. Avec quatre fréquences un, elle donne deux fois seize moins quatre, soit vingt-quatre, conformément à l'énumération.
Camille revient à deux, un, trois sous signes indépendants. La somme des carrés vaut quatorze, celle des quatrièmes puissances seize plus un plus quatre-vingt-un, soit quatre-vingt-dix-huit. La variance de son carré signé vaut alors deux fois cent quatre-vingt-seize moins quatre-vingt-dix-huit, soit cent quatre-vingt-seize. Cette application est un contrôle du calcul, sans servir de nouveau mécanisme pour choisir les signes. Nora garde surtout la séparation établie par les deux lois de quatre noms : une moyenne correcte n'autorisait pas la variance d'une autre loi.
Comparer deux relevés exige les mêmes signes pour les mêmes noms
Une branche séparée utilise deux noms a et b. Nora possède les fréquences deux, un ; Camille possède un, trois. La comparaison demandée est la somme des produits par nom, deux fois un plus un fois trois, soit cinq. Les deux fiches emploient les mêmes signes s pour a et t pour b. Nora obtient deux s plus t, Camille s plus trois t. Leur produit se développe en cinq plus sept st. Comme st vaut plus ou moins un avec chances égales, le produit remis vaut douze ou moins deux, chacun avec une moitié. Sa moyenne vaut bien cinq.
Le moins deux est réellement possible, bien que les quatre fréquences soient positives. Avec a plus et b moins, la première somme vaut un et la seconde moins deux. Leur produit est moins deux. Nora ne remplace pas ce résultat négatif par zéro avant de calculer la moyenne : douze et zéro avec chances égales auraient donné six, et non cinq. Camille garde le produit signé de cette réalisation. La comparaison exacte est positive, mais l'estimateur qui l'atteint en moyenne doit conserver aussi ses valeurs situées de l'autre côté de zéro.
Camille propose que chaque relevé tire sa propre table de signes, indépendamment de l'autre. Chaque somme signée a alors une moyenne nulle. Leur produit a donc lui aussi moyenne zéro, au lieu de cinq. Nora refuse cette seconde préparation pour la comparaison par identité. Avec les signes partagés, le produit entre les contributions d'a des deux listes utilise s au carré, donc un, et conserve leur produit de fréquences. Avec des signes séparés s et u, il utilise su, de moyenne zéro, comme si les deux occurrences d'a appartenaient à des noms différents. Le partage de la table maintient précisément les termes que la comparaison souhaite additionner.
Nora décide de comparer seulement b dans une autre remise, sans changer le protocole. Elle limite effectivement chaque relevé à cette identité avant de calculer : les fréquences reçues sont un et trois, les deux sommes valent t et trois t, et leur produit vaut toujours trois. Aucun terme croisé n'est alors présent. Camille conserve cette comparaison exacte à une identité séparément de la comparaison complète cinq. Elle ne peut la fabriquer depuis les deux anciennes sommes, qui combinaient a et b ; la restriction a été faite depuis les relevés disponibles, et non en supprimant un terme deviné après la multiplication.
Réunir les occurrences ajoute les sommes avant de les élever au carré
Nora et Camille veulent ensuite réunir les deux relevés deux, un et un, trois. Les fréquences réunies sont trois, quatre ; la somme des carrés demandée vaut neuf plus seize, vingt-cinq. Sous une table commune, leurs sommes signées s'ajoutent exactement en trois s plus quatre t, la somme que produirait directement la liste réunie. Nora peut donc réunir les petits résumés linéaires sans retrouver les occurrences une à une. Elle élève ensuite cette somme totale au carré ; sa moyenne vaut vingt-cinq.
Additionner seulement les carrés des deux anciennes fiches aurait une moyenne de cinq plus dix, soit quinze. Les dix manquants sont deux fois la comparaison commune cinq. Quand les deux relevés partagent un même nom, sa fréquence réunie doit être élevée au carré après addition de ses deux contributions. Pour a, trois au carré vaut neuf, tandis que deux au carré plus un au carré vaut cinq. Pour b, quatre au carré vaut seize, tandis qu'un au carré plus trois au carré vaut dix. Nora conserve le terme croisé entre les deux fiches, au lieu de considérer leurs carrés comme des quantités déjà additives.
La réalisation a plus, b moins rend la différence visible. La première somme vaut un, la seconde moins deux ; leur réunion vaut moins un et son carré un. Les deux anciens carrés s'additionnent en un plus quatre, cinq. Deux fois leur produit vaut moins quatre : l'ajouter à cinq donne bien un. Camille garde le total signé moins un pour la réunion, sans annoncer que son carré doit être plus grand que chacun des deux carrés antérieurs. Les occurrences se sont additionnées par identité ; leurs contributions signées peuvent se compenser dans une réalisation particulière.
Moyenner les carrés et mettre la moyenne au carré sont deux opérations
Camille conserve maintenant deux préparations indépendantes de signes pour le même relevé deux, un. Chacune produit un carré de moyenne cinq. La moyenne des deux carrés a encore moyenne cinq. En revanche, la moyenne des deux sommes signées, élevée ensuite au carré, a pour moyenne cinq demis. Le développement contient les deux anciens carrés divisés par quatre, ainsi que leur produit divisé par deux ; ce dernier a moyenne zéro puisque les préparations sont indépendantes et chacune a une somme de moyenne nulle. Nora refuse donc cette seconde opération lorsqu'elle devait conserver une estimation de cinq.
Dans une réalisation, les deux tables donnent les sommes trois et un. Leurs carrés neuf et un ont pour moyenne cinq ; la moyenne des sommes vaut deux et son carré quatre. Camille peut vérifier les deux nombres sur les fiches reçues sans aucun calcul de probabilité. La différence quatre contre cinq ne constitue pas une erreur de calcul corrigible en arrondissant ; l'ordre des opérations a changé. Pour la commande initiale, elle garde les deux carrés avant la moyenne. La formule du cinq demis explique ce qui se produirait sur toutes les réalisations de la seconde opération, pas une correction uniforme à appliquer après avoir vu quatre.
Nora peut choisir volontairement deux tables dépendantes pour une autre remise exacte à deux noms. Elle utilise d'abord a plus, b plus, puis a plus, b moins. Pour des fréquences quelconques u et v, les deux carrés sont u plus v au carré et u moins v au carré. Leur moyenne vaut exactement u au carré plus v au carré, car les deux termes croisés s'annulent. Pour deux, un, elle reçoit neuf et un, puis cinq. Ce dispositif n'est pas constitué de deux préparations indépendantes : il organise les signes pour annuler les seuls termes croisés des deux noms.
Camille ne multiplie donc pas les chances d'échec de ces deux tables comme si elle avait répété deux tirages indépendants. Dans cette commande à deux identités, leur dépendance fournit au contraire un calcul déterministe. Pour quatre noms, deux tables ne peuvent pas annuler tous les produits croisés de la même manière : quatre colonnes de signes devraient être deux à deux orthogonales dans un espace de deux lignes, ce qui n'en permet que deux non nulles. Nora accepte la paire de tables pour les deux noms stipulés et retire sa promesse d'exactitude pour une liste comportant quatre identités distinctes. Le nombre de noms admis fait partie du choix de représentation, pas de l'énumération après la remise.
Fixer les fréquences avant les signes reste une condition du calcul
Une dernière branche laisse Camille choisir les occurrences après avoir reçu les signes de quatre noms. Elle inscrit une fois chaque nom qui porte plus et aucun nom qui porte moins. Si K signes sont plus, sa somme signée vaut K et son carré K au carré ; la somme exacte des carrés de fréquences vaut seulement K. K est un compte de quatre choix indépendants équilibrés, de moyenne deux et de variance un ; le carré a donc moyenne cinq. Nora ne reprend pas la preuve donnant égalité des deux moyennes : la liste a été choisie depuis les mêmes signes censés annuler ses termes croisés.
Les anciennes moyennes des produits de deux signes étaient calculées en traitant les fréquences comme fixées. Ici, garder deux identités simultanément dépend du fait que leurs deux signes soient plus ; les termes croisés gardés n'ont plus de contreparties équiprobables avec produit moins. Nora conserve cette branche comme une sélection différente et renonce à l'annonce d'une estimation sans biais du compte K. Elle ne change pas les fréquences après le tirage dans la préparation initiale, où deux, un, trois étaient annoncés avant la table. Ce contrôle de causalité reste hors du crédit d'une nouvelle méthode d'estimation.
Deux cases signées séparent une partie des termes croisés
Nora prépare enfin deux cases au lieu d'une. Chaque nom reçoit, indépendamment de son signe, une case zéro ou un avec chances égales ; toutes ses occurrences gardent cette même case. Elle ajoute sa contribution signée seulement dans la case attribuée. Le résultat remis est la somme des carrés des deux cases, sans terme entre elles. Chaque carré de fréquence apparaît encore exactement une fois. Un terme mêlant deux noms ne subsiste que lorsqu'ils possèdent la même case, et son signe conserve une moyenne nulle. La moyenne du résultat reste donc quatorze pour les fréquences deux, un, trois. Dans la réalisation où a et b vont en zéro, c en un, avec signes plus, moins, plus, les cases valent un et trois. Nora remet dix, leur somme de carrés, au lieu de seize pour l'ancienne case unique. La séparation a supprimé les termes croisés avec c dans cette réalisation, sans supprimer ses neuf unités de carré.
Sous les tirages indépendants annoncés, une paire de noms partage sa case avec une moitié. Dans le carré de l'erreur, le terme propre à cette paire garde donc une moitié du poids qu'il avait avec une seule case. Les produits entre deux paires différentes ont encore moyenne nulle par les signes, même si les paires partagent un nom. La variance totale devient ainsi quatre fois une moitié de la somme des produits des carrés de fréquences par paire. Pour deux, un, trois, cette somme vaut quatre plus trente-six plus neuf, quarante-neuf ; la variance vaut quatre-vingt-dix-huit, contre cent quatre-vingt-seize avec une case. Nora choisit les deux cases pour cette réduction exacte en acceptant de conserver deux sommes et la table des destinations. Elle ne réunit pas ensuite les cases avant de les élever au carré : cela recréerait la somme unique et ses termes croisés. Son choix de mémoire porte donc simultanément sur les noms envoyés ensemble et sur l'opération finale qui laisse séparées leurs contributions.
Les catégories citées n'apportent ni loi de signes, ni fréquence, ni garantie statistique à ces calculs sur papier.