Nora prépare sur papier les échanges d'une réception imaginaire. Sept tables portent les noms A, B, C, D, E, F et G. Une invitation peut être copiée, puis transmise selon des flèches autorisées. Nora souhaite d'abord que chaque table reçoive le même texte. Camille devra ensuite examiner une autre demande : permettre à n'importe quelle table de répondre à n'importe quelle autre. Distribuer le premier texte et organiser toutes les réponses ne conduisent pas forcément au même choix.
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Ces catégories seules sont documentées. Aucun appareil, protocole ou portée réelle n'est adapté ; les permissions, copies et tables sont créées pour le schéma.
Les flèches sont A vers B, B vers C, C vers A, D vers E, E vers D, F vers G, G vers F, C vers D et G vers E. On peut conserver une copie reçue et en envoyer d'autres sur toutes les sorties autorisées. Aucune capacité, durée ou disparition du message n'est imposée. Une flèche n'autorise pas son sens inverse. Une table qui possède déjà le texte est comptée comme atteinte sans devoir se l'envoyer. Le dessin n'est ni un réseau installé ni une procédure de communication pendant un service réel.
Les cercles d'échange ne sont pas des points de départ interchangeables
Camille donne une première copie à A. B la reçoit depuis A, C depuis B, puis C peut l'envoyer à D ; E la reçoit ensuite depuis D. Nora coche cinq tables, A, B, C, D et E. Elle laisse F et G non cochées. Le passage G vers E pourrait faire croire que ces dernières sont reliées à la distribution, mais son sens conduit de G vers E. Il n'offre aucune sortie depuis E vers G. Camille refuse donc de déclarer la feuille entière distribuée depuis A et prépare un second départ qui atteindra les deux noms manquants.
Elle donne cette seconde copie à F. La flèche F vers G apporte le texte à G, qui peut aussi le transmettre à E. Les sept tables possèdent alors le texte, sans que la seconde arrivée à E soit comptée comme une huitième table. Nora conserve A et F comme les deux emplacements où elle remet initialement une copie. Deux chemins qui finissent à E peuvent coexister : l'exigence n'interdit pas les copies multiples. Elle porte sur les noms effectivement atteints. Camille ne retranche donc pas l'envoi depuis G pour rendre artificiellement les trajets disjoints.
Pour savoir si un seul départ aurait suffi, Nora regroupe les tables qui peuvent se joindre dans les deux sens, en autorisant plusieurs flèches successives. A, B et C forment un premier groupe : depuis B, on atteint C puis A ; depuis C, on atteint A puis B. D et E forment un second groupe. F et G forment le troisième. La flèche C vers D quitte le premier groupe, mais rien ne revient du second vers lui. De même, G vers E quitte le troisième sans ouvrir de retour. Nora ne réunit donc pas tous les noms parce que des traits les relient sur le papier.
Cette manière de regrouper ne dépend pas du premier nom choisi. Si une table rejoint une deuxième dans les deux sens, et cette deuxième une troisième dans les deux sens, les chemins se concatènent : la première rejoint la troisième, et la troisième la première. Nora peut donc former des groupes entiers, sans obtenir deux groupes qui partageraient seulement B. Elle appelle ces groupes des composantes fortement connexes. Le mot « fortement » précise ici la réciprocité des chemins, et non une qualité d'équipement ou un grand nombre de copies échangées.
Camille réduit la feuille à trois cases nommées X, Y et Z : X représente A, B, C ; Y représente D, E ; Z représente F, G. Elle reporte seulement les sorties entre groupes, X vers Y et Z vers Y. Les trajets intérieurs à chaque case restent possibles et ne sont pas supprimés du dossier ; ils n'ont plus besoin d'être répétés pour décider d'où une copie extérieure doit partir. Sur cette feuille réduite, ni X ni Z ne reçoit de flèche depuis une autre case. Y, en revanche, en reçoit deux.
Deux départs sont nécessaires pour cette première commande
Nora montre pourquoi une copie initiale doit entrer directement dans X. Supposons qu'elle soit placée uniquement ailleurs. Pour atteindre pour la première fois une table de X, son trajet devrait franchir une flèche venant de l'extérieur de X. Or aucune n'existe dans le schéma réduit. Les transmissions internes de A, B et C n'aident pas avant qu'une copie soit présente chez l'un d'eux. Le même raisonnement impose un départ dans Z. Comme X et Z sont deux groupes distincts, un seul emplacement initial ne peut appartenir aux deux. Les deux copies choisies ne sont donc pas seulement un essai commode : moins de deux départs est impossible.
Camille peut toutefois remplacer A par B ou C sans changer le nombre nécessaire. Depuis B, elle transmet à C puis A, et C fournit encore la sortie vers D. Dans Z, partir de G atteint F par G vers F et Y par G vers E. Nora retient donc les six paires constituées d'un nom parmi A, B, C et d'un nom parmi F, G. Elle choisit B et G pour sa feuille remise parce qu'elle veut ces deux signatures de départ. A et F reste un témoin valable, mais n'est pas l'unique paire que la structure imposait.
Donner la première copie à D ne remplace aucun de ces deux départs. D et E savent se transmettre le texte, mais ne peuvent le porter vers X ou Z. Si Nora tenait à commencer à D, elle devrait encore remettre une copie dans chacun des deux groupes sans entrée. Elle ferait trois remises initiales pour la même couverture. Camille retire donc D de la sélection minimale plutôt que de le garder comme un « centre » supposé parce que deux sorties du dessin convergent vers son groupe. Un lieu où plusieurs messages arrivent n'est pas nécessairement un lieu d'où ils peuvent repartir partout.
Nora vérifie également la portée du raisonnement sur la feuille réduite. Un circuit entre plusieurs cases y serait impossible : suivre ce circuit permettrait à chaque groupe d'atteindre les autres et d'en être atteint. Tous ces noms auraient alors dû former une seule composante avant la réduction. Camille conserve donc un graphe sans circuit entre composantes, même si le dessin original possède les circuits A, B, C et F, G. Elle n'interdit pas les cycles du schéma entier ; elle utilise précisément leur réciprocité pour les réunir.
Cette absence de circuit explique aussi pourquoi les groupes sans entrée suffisent. Depuis une case quelconque, Camille remonte les flèches entrantes tant qu'il en existe. Sur un nombre fini de cases, cette remontée doit s'arrêter : elle ne peut continuer indéfiniment sans revisiter une case et former un circuit. Elle finit donc dans un groupe sans entrée. En lisant la même chaîne dans le sens des transmissions, une copie donnée à ce groupe rejoint la case examinée. Dans la feuille de Nora, X et Z couvrent ainsi Y. La nécessité de deux départs et leur suffisance sont deux arguments séparés qui se rejoignent dans la paire remise.
Réunir les retours ne choisit pas les mêmes emplacements
Nora ouvre une branche séparée sur le schéma original : chaque table produit maintenant son propre avis et il faut les réunir chez au moins un destinataire final. Plusieurs avis peuvent emprunter la même flèche et un relais peut les conserver ensemble. Il ne s'agit plus de recevoir partout un seul texte initial, mais de faire arriver chacun des sept avis dans une collection complète.
Camille choisit D comme destinataire final. L'avis de A passe par B puis C avant D ; celui de B passe par C, celui de C rejoint D directement. E rejoint D par sa sortie intérieure. Pour F, le chemin est F, G, E, D ; pour G, il est G, E, D. D conserve aussi son propre avis. Nora peut donc réunir les sept origines dans une seule collection sans installer de sortie nouvelle. Le fait que D n'était pas un départ capable d'atteindre les sept noms ne le disqualifie pas comme destination : cette nouvelle commande lit les chemins vers D, pas les chemins depuis D.
Pour savoir où déplacer cette collection, Camille examine le groupe Y. Un avis émis par D ou E ne peut sortir de ce groupe ; tout destinataire recevant effectivement les sept avis doit donc y appartenir. E peut remplacer D, puisque D transmet à E et chaque chemin arrivant à D peut être prolongé jusqu'à E. En revanche, F ne reçoit pas l'avis de D, et A ne le reçoit pas non plus. Nora retient donc exactement D ou E comme emplacements possibles de la collection complète. Elle choisit E pour le retour des réponses, tout en gardant B et G comme les deux départs de l'annonce originale. Les trois noms correspondent à deux demandes complémentaires, pas à trois départs exigés pour la première.
Nora voudrait enfin utiliser un seul nom à la fois pour lancer une annonce vers tous et pour réunir les avis de tous. Camille montre ce que cette double propriété entraînerait. Pour n'importe quelles tables U et V, l'avis de U pourrait rejoindre ce nom central, puis une copie partir de ce nom vers V. En concaténant ces deux chemins, U pourrait atteindre V. Tous les noms seraient ainsi mutuellement accessibles. Or les groupes X et Z ne reçoivent toujours aucun avis venu de Y dans le schéma original. Aucun des sept noms ne peut donc tenir les deux fonctions universelles à lui seul. Nora ne résout pas ce refus en donnant deux titres à E : elle conserve les départs B et G et la collection E comme fonctions séparées, réalisées par les chemins nommés.
Un seul départ peut suffire sans donner une réponse universelle
Pour une nouvelle version, Nora ajoute une seule flèche, E vers A. Camille refait les groupes au lieu d'ajouter cette flèche sur l'ancienne feuille réduite en gardant ses cases immuables. Depuis A, elle atteint B, C, D puis E ; depuis E, elle retrouve A. Les cinq noms A, B, C, D et E se rejoignent désormais dans les deux sens. X et Y sont donc réunis. F et G forment toujours un autre groupe, qui possède sa sortie vers les cinq noms par G vers E.
Une seule copie donnée à F atteint maintenant les sept tables. Elle rejoint G, puis E, A, B, C et D. Nora retire donc le second départ pour cette version seulement. Elle ne revient pas sur l'impossibilité démontrée pour les neuf flèches originales : une dixième flèche a changé les composantes. Camille remet la liste F, G, E, A, B, C, D comme parcours de diffusion possible. Le texte peut aussi être copié sur plusieurs sorties ; ce trajet suffit à montrer les destinations sans réclamer une nouvelle règle de réception.
Nora demande alors que D puisse répondre à F. Camille refuse la garantie sur cette même version. Le groupe de cinq noms ne possède toujours aucune sortie vers F ou G. Le fait que F envoie à tout le monde a une origine privilégiée ; il ne donne pas à tous les destinataires le pouvoir de revenir vers cette origine. Nora peut choisir le dispositif modifié pour une annonce commune partant de F, mais elle doit encore modifier sa feuille si elle veut que les questions et réponses circulent entre toutes les tables. Elle garde ces deux commandes dans deux cases distinctes du formulaire.
L'emplacement du départ unique reste une décision. Sur la version avec E vers A, commencer à A atteint seulement les cinq noms réunis, pas F et G. Camille conserve F ou G comme départ unique autorisé. Elle ne donne pas à Nora un certificat disant seulement « une copie suffit », car ce chiffre cacherait une condition sur son emplacement. La feuille remise nomme F. L'hôte peut ensuite choisir G en conservant les chemins, mais déplacer la copie initiale vers D ne serait pas une autre réalisation de la même promesse de couverture.
Toutes les réponses demandent deux entrées nouvelles
Nora repart du schéma original et exige cette fois que chaque table puisse envoyer une réponse à chaque autre. Camille observe les deux groupes X et Z sans entrée extérieure. Pour que D rejoigne A, il faudra qu'un trajet franchisse une entrée nouvelle dans X. Pour que D rejoigne F, il faudra également une entrée nouvelle dans Z. Une seule flèche ajoutée possède un seul groupe d'arrivée ; elle ne peut constituer simultanément ces deux franchissements. Camille établit donc une borne de deux flèches nouvelles avant de chercher un plan. Il ne suffit pas de choisir deux copies initiales, car les réponses peuvent partir après la réception depuis des noms différents.
Elle ajoute E vers A et E vers F. Depuis le groupe Y, la première sortie rejoint X, la seconde rejoint Z. Les sorties originales C vers D et G vers E permettent de revenir à Y depuis ces deux groupes. Dans chaque groupe, les échanges intérieurs atteignent tous ses membres. Pour joindre une table d'un autre groupe, Camille peut donc rejoindre la sortie intérieure appropriée, passer par Y si nécessaire, puis entrer dans le groupe demandé. La feuille entière ne forme plus qu'une composante fortement connexe. Nora garde les deux flèches, avec la preuve qu'une seule ne suffirait pas.
Camille vérifie une réponse qui manquait : D vers E, E vers F, puis F vers G. Elle vérifie aussi G vers E, E vers A, puis A vers B. Ces deux trajets traversent des groupes qui n'avaient pas les mêmes entrées dans la version originale. Nora n'oblige pas chaque réponse à être directe. Son exigence portait sur un chemin autorisé, avec des relais possibles, et le plan fourni satisfait cette forme précise. Si elle demandait une flèche directe entre chaque paire, les deux ajouts ne seraient pas un certificat : Camille conserve donc le mot « chemin » dans la demande remise.
Une contrainte sur les sorties change le plan à livrer
Nora refuse finalement de faire partir deux nouvelles flèches du même nom. Elle permet toujours deux ajouts, mais au plus une nouvelle sortie par table. La paire E vers A et E vers F échoue à cette contrainte, même si elle permettait toutes les réponses. Camille ne la justifie pas par la borne minimale de deux : cette borne comptait des flèches sans limiter leur origine. Elle doit conserver le besoin d'entrer dans X et Z tout en distribuant les départs des nouveaux gestes sur deux noms différents.
Elle choisit E vers A et C vers F. Les anciennes sorties donnent X vers Y et Z vers Y ; la nouvelle sortie depuis C donne X vers Z et celle depuis E donne Y vers X. Sur la feuille réduite, on peut suivre X vers Z, Z vers Y, Y vers X. Ce circuit traverse les trois anciens groupes. E et C portent chacun exactement une sortie ajoutée, conformément à la nouvelle permission. Nora reçoit donc un plan de deux flèches qui respecte à la fois la réponse universelle et la contrainte d'origine, sans supprimer une flèche originale pour faciliter le bilan.
Camille teste D vers F dans ce plan : D rejoint E, E rejoint A, A rejoint B, B rejoint C, puis C rejoint F. F peut répondre à A par F, G, E, A. Ces chemins ne sont pas ceux de la paire rejetée ; en particulier E ne rejoint plus F par une flèche nouvelle directe. Nora accepte leur longueur sans inventer un délai maximal qui n'appartient pas à la commande. Elle préfère ce plan parce que ses origines nouvelles sont admissibles, et non parce qu'il aurait montré une communication plus rapide que l'autre.
La limitation des départs et la couverture de tous les échanges ont donc été vérifiées séparément. Un relevé des seules arrivées nouvelles A et F aurait été identique pour les deux propositions, mais aurait omis que la première utilisait E deux fois et la seconde E puis C. Camille conserve les couples complets, origine et arrivée, sur les deux fiches. La réparation retenue n'est pas une redistribution des copies initiales : elle change les permissions disponibles pour des réponses dont l'auteur n'est pas connu à l'avance.
Le nombre de départs peut rester le même après une rupture
Pour une autre feuille, Nora conserve les neuf flèches originales sauf B vers C, qu'elle retire. A atteint encore B, mais B n'a plus de sortie. C atteint A, puis B, et peut sortir vers D. A ne peut plus revenir à C. Les anciens noms A, B et C ne forment donc plus une composante unique ; Camille les sépare en trois cases, C vers A vers B. Le groupe D, E reste intact, tout comme F, G. La feuille réduite comporte désormais cinq cases au lieu de trois.
Les groupes sans entrée sont C seul et le groupe F, G. Nora a encore besoin de deux départs, mais la paire A et F autrefois remise échoue : personne ne transmet plus le texte à C. Camille conserve F et remplace A par C. Depuis C, elle atteint A puis B, et D puis E ; F atteint G. Les sept tables reçoivent alors leur copie. Le nombre deux, resté exact, n'autorisait donc pas à conserver les deux anciens noms. La correction essentielle est l'identité de la représentante du premier départ, imposée désormais par l'entrée absente de C.
Sur cette feuille rompue, commencer à B serait encore plus limité que commencer à A. B conserve sa propre copie et ne rejoint aucun autre nom. Camille ne répare pas ce départ en lui attribuant la sortie A vers B à l'envers. Pour réutiliser A comme départ de la première zone, il faudrait réellement ajouter un chemin qui mène de A à C, ou remettre une copie directement à C. Nora choisit cette dernière option, qui ne modifie aucune permission. Elle ne présente pas le déplacement du départ comme la réparation de la flèche supprimée : B vers C demeure absente sur le document final.
Le dossier contient ainsi deux paires minimales pour deux feuilles distinctes : B et G sur le schéma entier original, C et F après le retrait de B vers C. Nora garde aussi la version où F seul diffuse grâce à E vers A, et le plan E vers A plus C vers F autorisant toutes les réponses sous sa contrainte de sorties. Chaque décision nomme les flèches et les départs qui la réalisent. Les sept tables restent les mêmes ; ce sont les chemins permis et la commande précise qui ont changé.