Nora commence une activité de papier avec un jeton. À chaque génération, les jetons présents disparaissent et sont remplacés par de nouveaux jetons selon un tirage. Elle veut savoir quelle règle peut terminer l'activité, et quel nombre de jetons elle devra compter sur toute son histoire. Paul voit une moyenne qui augmente et pense d'abord que la première règle ne pourrait jamais s'éteindre. Une autre règle a pourtant une moyenne constante et finit presque sûrement, sans posséder un total moyen fini.
Tous les jetons, les générations et les tirages sont créés. Aucun organisme, enfant, jouet matériel ou phénomène biologique n'est étudié. Dans la première règle, chaque jeton produit zéro nouveau jeton avec une chance un quart, ou deux avec une chance trois quarts. Les tirages de jetons distincts, et ceux de générations différentes, sont indépendants. Les deux nouveaux jetons sont distingués pour suivre leurs branches. Une génération vide reste vide : aucun jeton supplémentaire n'arrive de l'extérieur après sa disparition.
Les sources situent seulement des catégories de jouets. Les jetons, générations et chances sont définis ici ; aucune propriété biologique, consigne ou promesse éducative des marques n’est reprise.
EUGY : jouets.
siku : jouets.
Papo : jouets.
Une première génération vide ferme toute la branche
Le premier jeton donne en moyenne une unité et demie à la génération suivante : zéro avec un quart, deux avec trois quarts. Une génération de z jetons donne donc une moyenne de trois z sur deux. En partant d'un seul jeton, les moyennes successives sont trois demis, neuf quarts, vingt-sept huitièmes et les puissances suivantes de trois demis. Ces nombres ne décrivent pas les quantités d'une réalisation : après la première génération, celle-ci possède zéro ou deux jetons, jamais un et demi. Paul conserve d'abord ce calcul comme un compte de la loi.
Une histoire donnée peut s'arrêter aussitôt : le premier tirage reçoit zéro, événement de chance un quart. Dans une autre histoire, il donne deux ; ces deux jetons reçoivent ensuite chacun zéro. La chance de cette seconde histoire vaut trois quarts multiplié par un quart deux fois, soit trois soixante-quatrièmes. Elle se termine à la deuxième génération, après avoir compté trois jetons au total avec le premier. Nora accepte ces deux fins réellement remplies dans le modèle. Elle retire donc l'annonce que l'augmentation de la moyenne interdirait toute fin.
La deuxième génération peut être vide soit parce que la première l'était déjà, soit parce que les deux premiers descendants s'éteignent tous deux à leur tour. Ces deux possibilités sont disjointes. Leur somme vaut un quart plus trois soixante-quatrièmes, soit dix-neuf soixante-quatrièmes. Nora garde les deux histoires séparées dans son relevé. Elle ne recompte pas la branche déjà vide comme si un nouveau tirage avait été effectué sur zéro jeton ; son absence se conserve sans ajouter de tirage. Le deuxième terme ne décrit que la branche qui avait effectivement produit deux descendants.
La chance de finir se calcule par les deux sous-branches
Nora note qₙ la chance que la génération n soit vide depuis un jeton de départ. q₀ vaut zéro, puisqu'un jeton est présent au départ. Pour être vide à la génération suivante, soit ce jeton donne immédiatement zéro, soit il donne deux jetons dont chacune des sous-branches est vide après n générations supplémentaires. La seconde possibilité possède la chance trois quarts fois qₙ au carré. Les deux sous-branches sont indépendantes et suivent la même règle. Ainsi qₙ₊₁ vaut un quart plus trois quarts fois qₙ au carré. Le carré vient de deux fins nécessaires ensemble, pas de deux générations supplémentaires sur une seule branche.
La formule donne q₁ égal à un quart, puis q₂ égal à dix-neuf soixante-quatrièmes. Le tour suivant donne cinq mille cent soixante-dix-neuf sur seize mille trois cent quatre-vingt-quatre, un peu moins qu'un tiers. Paul avait additionné deux fois la chance de fin d'une sous-branche, ce qui aurait décrit leur alternative ou compté deux fois leur fin commune. Nora retire cette proposition : lorsque deux descendants sont présents, l'activité conserve des jetons tant que l'une de leurs deux branches en possède. Le total vide exige les deux, et la permission d'indépendance justifie leur produit exact.
Les deux solutions de l’équation ne donnent pas deux lois de fin interchangeables
Si la chance de finir à terme vaut q, le même partage par la première production donne q égal à un quart plus trois quarts fois q au carré. L'équation possède deux solutions entre zéro et un, un tiers et un. Paul propose de garder un parce qu'il est lui aussi une solution. Nora refuse de choisir le résultat indépendamment des générations réellement construites. La suite qₙ commence à zéro et augmente en comptant des fins de plus en plus tardives. Son point de départ doit encore départager les deux solutions de l'équation.
La transformation un quart plus trois quarts fois x au carré conserve l'intervalle de zéro à un tiers. Si x est au plus un tiers, son carré est au plus un neuvième ; la nouvelle valeur est donc au plus un quart plus un douzième, soit un tiers. La suite qui part de zéro ne peut dépasser ce nombre. Elle est croissante : une génération vide ne pourra redevenir non vide, et les événements de fin se contiennent successivement. Cette suite possède donc une limite au plus un tiers. En passant à la limite dans le polynôme, celle-ci satisfait la même équation ; sa seule solution dans cet intervalle est un tiers.
L'événement « finir après un nombre fini de générations » est la réunion de ces événements de génération vide. Sa chance vaut leur limite un tiers. Nora choisit ce résultat pour la règle initiale, et garde deux tiers pour ne jamais atteindre une génération vide. Il ne s'agit pas de choisir un nombre de générations qui aurait déjà accompli une histoire infinie : à chaque n, qₙ reste un peu inférieur à un tiers. L'équation avec sa plus grande solution un ne répondait donc pas à la construction partie d'un seul jeton. La suite des fins possibles a effectivement sélectionné la plus petite solution.
Si Nora commence avec deux jetons indépendants plutôt qu'un, leurs deux branches doivent finir pour vider l'ensemble. La chance vaut un neuvième. La chance qu'au moins l'une finisse vaut cinq neuvièmes ; ce n'est pas la chance que toutes deux finissent. Cette variante ne change ni la règle ni son équation depuis un jeton. Nora la conserve comme contrôle de ses deux demandes, sans y chercher un nouveau principe de fin. L'apparition de deux jetons initiaux ne donne pas automatiquement deux chances supplémentaires d'arrêter une branche encore présente.
Une moyenne constante peut aussi accompagner une fin presque sûre
Pour une branche séparée, Nora donne zéro ou deux descendants avec une chance une moitié chacun. Leur moyenne est maintenant un. Une génération de z jetons conserve donc une moyenne z, et les moyennes depuis un jeton restent toutes un. Paul souhaite employer cette stabilité comme preuve qu'il restera toujours un jeton. Nora lui remet la première génération de cette règle : elle vaut zéro ou deux, jamais un. La moyenne ne renseigne pas ici une quantité qui aurait été conservée d'une génération à la suivante dans chaque réalisation.
La chance de vide satisfait maintenant qₙ₊₁ égal à une moitié plus une moitié fois qₙ au carré, avec le même départ zéro. Elle est encore croissante et bornée par un. Sa limite doit satisfaire deux q égal à un plus q au carré, soit q moins un au carré égal à zéro. La seule solution est un. Nora retient donc une fin après un nombre fini de générations avec une chance un pour cette règle. Le calcul ne lui a pas fourni un nombre de générations maximal ; il a fourni la chance de leur fin éventuelle.
Nora compare une autre règle dont la moyenne par jeton vaut également un : chaque jeton donne exactement un nouveau jeton, sans tirage. Depuis un, chaque génération possède alors exactement un. Aucune n'est vide et la chance de fin vaut zéro. La règle binaire à chances égales et cette règle déterministe partagent la même moyenne par génération, mais possèdent les deux résultats un et zéro pour leur fin. Nora choisit la première lorsqu'elle demande une fin presque sûre. Elle conserve son tirage zéro ou deux ; le remplacer par « un descendant en moyenne » aurait supprimé l'information qui décide de cette demande.
À un nombre n fixé dans la règle binaire à chances égales, la moyenne un peut se décomposer selon l'absence et la présence de jetons. La moyenne conditionnelle sur la présence vaut un divisé par la chance d'être encore présent, puisque les branches vides contribuent zéro. La chance de présence diminue vers zéro ; cette moyenne conditionnelle augmente donc. Les générations qui restent non vides deviennent assez nombreuses en jetons dans la loi pour conserver la moyenne générale. Nora garde ce calcul de présence auprès de la fin presque sûre, sans inventer une population moyenne d'un jeton sur chaque table encore occupée.
Finir presque sûrement ne borne pas le nombre moyen de jetons comptés
Nora demande maintenant le total de tous les jetons apparus, y compris le premier et ceux de chaque génération suivante. Pour la règle binaire à chances égales, ce total est fini dans chaque histoire qui atteint une génération vide, événement de chance un. Pourtant, le total partiel jusqu'à la génération n possède une moyenne n plus un : chacune des n plus une générations a une moyenne un. Le total complet est au moins chacun de ces totaux partiels. Sa moyenne ne peut donc être inférieure à n plus un pour quelque n que ce soit ; elle est infinie.
Paul avait annoncé une réserve moyenne finie au motif que l'activité se terminerait presque sûrement. Nora retire cette annonce pour la règle présente. Une fin de chance un n'a pas créé une limite commune à tous les totaux possibles, et leur moyenne complète vient d'être prouvée infinie. Elle conserve toutefois les histoires terminées : une histoire recevant zéro tout de suite compte seulement le premier jeton, une autre peut compter beaucoup de générations avant sa fin. Elle ne transforme aucune histoire finie en histoire infinie pour expliquer la divergence de leur moyenne.
Pour une autre commande demandant un total moyen fini, Nora choisit zéro descendant avec une chance trois quarts, deux avec une chance un quart. La moyenne par jeton vaut une moitié ; les moyennes de générations depuis un sont un, une moitié, un quart et leurs puissances suivantes. Leur somme vaut deux, en incluant le premier. Cette règle finit presque sûrement et possède ce total moyen fini. Nora l'inscrit dans une feuille différente de la règle à moyenne un, sans changer rétroactivement les chances qui avaient produit sa fin presque sûre et sa moyenne totale infinie.
Le total d’une histoire finie n’est pas le nombre de sa dernière génération
Nora revient à la première règle, zéro avec un quart ou deux avec trois quarts, et examine seulement des histoires finies. Chaque jeton qui a produit deux possède deux descendants distingués ; celui qui a produit zéro termine sa branche. Si une histoire compte n productions de deux, elle possède n plus un terminaisons à zéro. Son total de jetons est donc deux n plus un. On peut le vérifier en comptant les liens entre parents et descendants : deux liens par production de deux, et un lien pour chaque jeton sauf le premier. Le total moins un vaut ainsi deux n.
Une histoire finie de trois jetons contient une production de deux au premier, puis deux terminaisons. Sa chance vaut trois soixante-quatrièmes. Une histoire de cinq contient deux productions de deux et trois terminaisons. La seconde production peut appartenir au descendant de gauche ou à celui de droite du premier : deux histoires distinguées. Chacune possède la chance trois quarts au carré fois un quart au cube. Leur somme vaut neuf cinq cent douzièmes. Nora garde les deux formes de branches auprès de ce total, plutôt que les multiplier par cinq choix de jeton qui auraient compté des liens déjà imposés par leur ordre de parenté.
Dans l'histoire de cinq, une génération intermédiaire peut ne contenir que deux jetons, puis une autre encore deux avant le vide. Le total compte pourtant cinq jetons distincts avec le premier. Le compte ne désigne ni cinq jetons présents ensemble ni cinq générations. Nora remplit les noms du premier, de ses deux descendants puis des deux nouveaux descendants de celui qui s'est ramifié. Elle retire la feuille qui donnait quatre comme total en oubliant le premier, et celle qui additionnait seulement les générations non vides. Le nombre deux n plus un conserve les jetons apparus une fois chacun dans l'histoire complète.
Parmi les histoires qui finissent, la loi des descendants est différente
Nora veut maintenant connaître le total moyen de la première règle à condition que l'histoire finisse. La chance de cette condition vaut un tiers. Le premier jeton peut terminer aussitôt, événement de chance un quart qui implique déjà la fin. Parmi les seules histoires finies, cette première terminaison reçoit donc la chance un quart divisé par un tiers, soit trois quarts. Pour produire deux et finir ensuite, il faut les deux branches finies : sa chance générale vaut trois quarts fois un tiers au carré, soit un douzième. Divisée par un tiers, elle devient un quart.
La première production, vue parmi les histoires finies, suit donc la règle zéro avec trois quarts, deux avec un quart. Le produit des chances de fin des deux sous-branches justifie aussi que celles-ci suivent indépendamment la même loi conditionnée. Nora ne change pas la première règle avant ses tirages : elle choisit un sous-ensemble de ses histoires déjà définies pour répondre à une question conditionnelle. La moyenne de descendants dans ce sous-ensemble est une moitié. Elle ne conserve pas trois demis auprès du compte des seules histoires finies, puisque cette moyenne portait sur toutes les histoires, avec ou sans fin.
Paul vérifie ce changement sur une histoire finie entière. Avec n productions de deux et n plus un terminaisons, sa chance initiale est trois quarts puissance n fois un quart puissance n plus un. La loi conditionnée divise ce poids par un tiers. La nouvelle règle donne un quart puissance n fois trois quarts puissance n plus un. Les deux expressions sont identiques : le facteur supplémentaire trois vient précisément d'une terminaison de plus que de productions de deux. Cette identité valide le changement pour chaque histoire finie, pas seulement pour la première production observée.
Le total moyen conditionné vaut alors deux, comme celui de la règle à moyenne une moitié. Nora conserve la différence de question : dans cette autre règle, le total moyen deux portait sur toutes les histoires ; dans la première, il porte seulement sur celles qui finissent. Les deux tiers d'histoires qui ne finissent jamais n'ont pas été transformés en histoires courtes ni effacés de la première loi. Son total moyen non conditionné demeure infini. Nora remet le total deux avec sa condition explicite, sans employer ce nombre pour promettre une moyenne finie à l'ensemble de son activité initiale.
Une consigne demanderait exactement deux jetons au total dans une histoire finie. Nora la refuse sous les règles zéro ou deux : le total deux n plus un reste impair. La moyenne conditionnée deux n'avait pas donné une réalisation de deux. Sous une limite de deux jetons au total, seule l'histoire finissant au premier jeton convient ; elle possède la chance trois quarts dans la loi conditionnée. Nora garde un comme total de cette réalisation et deux comme moyenne de l'ensemble conditionné, sans inscrire un deuxième jeton absent pour matérialiser le nombre moyen.
Un tirage partagé par toute une génération conserve la moyenne, mais change la fin
Une dernière préparation revient aux chances un quart et trois quarts de la première règle. Cette fois, toute une génération reçoit un même tirage : si le résultat est zéro, tous ses jetons donnent zéro ; si c'est deux, chacun donne deux. Les tirages des générations successives sont indépendants, mais les jetons d'une même génération ne le sont plus. Chaque jeton pris isolément possède encore la chance un quart de ne rien donner et trois quarts de donner deux. Nora ne conserve pourtant pas le produit de deux fins indépendantes utilisé dans l'équation initiale.
Depuis un jeton, la génération n est encore présente seulement si les n tirages partagés ont tous donné deux. Cette chance vaut trois quarts puissance n. Lorsque l'événement se réalise, la génération contient exactement deux puissance n jetons ; sinon elle est vide. La moyenne vaut donc deux puissance n fois trois quarts puissance n, soit trois demis puissance n. Elle coïncide avec celle de la première règle pour chaque n. Nora conserve les deux distributions qui produisent ce même compte : l'une vient de tirages individuels, l'autre d'un seul tirage commun répété par tous les jetons présents.
La chance d'être encore présent diminue ici vers zéro, puisque trois quarts puissance n tend vers zéro. La fin éventuelle a donc une chance un, au lieu du tiers de la première règle. Nora choisit la règle partagée pour une demande de fin presque sûre avec ces chances individuelles conservées. Elle écrit expressément le tirage commun par génération. Copier les chances isolées de chaque jeton en gardant l'ancienne mention d'indépendance aurait décrit une autre loi, dont l'équation un quart plus trois quarts fois q au carré donne encore un tiers.
Cette règle partagée conserve néanmoins un total moyen infini. Les moyennes de générations sont toujours les puissances de trois demis et leur somme diverge. Nora ne l'emploie donc pas pour la commande exigeant un total moyen fini, à laquelle elle avait répondu avec les chances individuelles zéro à trois quarts et deux à un quart. Les fins presque sûres de ces deux préparations ne suffisent pas à réunir leurs remises de total moyen. Elle garde le changement de dépendance dans l'une et le changement des chances dans l'autre, avec les deux propriétés effectivement calculées.
Paul demande ce qui manque à une fiche indiquant seulement « chaque jeton donne deux avec trois quarts ». Nora lui remet les deux permissions possibles, tirage propre à chaque jeton ou tirage partagé par la génération. Leur même moyenne de trois demis n'identifie ni leur chance de fin ni leurs histoires complètes. Elle choisit celle demandée avant les premiers tirages et laisse l'autre dans son dossier comparatif. La décision porte sur la façon dont les résultats sont reçus ensemble, plutôt que sur une formule moyenne dont les deux préparations posséderaient les mêmes mots.
Les histoires de papier conservent leurs générations, leurs dépendances et leurs conditions de compte. Une moyenne croissante peut laisser une chance de fin, une moyenne constante peut accompagner une fin presque sûre, et celle-ci peut encore posséder un total moyen infini. Nora remet chaque calcul avec la règle réellement choisie. Ses jetons ne décrivent ni population réelle ni résultat biologique ; ils ferment seulement les demandes de l'activité construite, sans transformer un nombre moyen ou une fin conditionnelle en promesse pour toutes ses réalisations.