Une table d'accueil fictive doit recevoir une quantité exacte de petits instruments. Léa possède deux sortes de lots et souhaite les remettre entiers. Nora additionne d'abord les contenus disponibles, puis voudrait retenir la quantité demandée dès qu'elle reste sous ce total. Leur feuille devra distinguer ce qui peut être composé, ce qui peut être composé avec leur stock et ce qui peut être remis avec un nombre fixé de paquets. Le total des contenus ne répond pas seul à ces trois demandes.
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Ces pages attestent des catégories seulement. Aucun conditionnement, quantité ou procédé commercial n'est transposé. Les lots et les décisions de notre feuille sont entièrement créés.
Nous donnons quatre instruments à chaque lot A et sept à chaque lot B. Toutes les pièces sont interchangeables pour l'usage abstrait de la table, mais les paquets restent entiers dans les premières branches. a et b désignent des nombres entiers de lots, jamais négatifs. Le contenu remis vaut quatre fois a plus sept fois b. Aucune commande, livraison ou observation réelle n'a fourni ces tailles. La première branche permet autant de lots de chaque sorte que nécessaire ; une autre précisera ensuite un stock limité.
Une quantité petite peut rester impossible malgré deux tailles différentes
L'hôte demande dix-sept instruments. Nora propose trois lots B, qui en apporteraient vingt et un, puis retire un lot A de quatre pour retrouver dix-sept. Léa refuse ce calcul comme remise : il comporte moins un lot A, alors que la table doit recevoir des paquets entiers choisis, sans reprise d'un autre lot déjà fourni. L'égalité vingt et un moins quatre est exacte. Elle ne donne pourtant pas des comptes a et b autorisés. Léa conserve la demande dix-sept et retire la proposition, au lieu de confondre une soustraction de calcul avec une permission de choisir un paquet négatif.
Pour fermer le refus, elle examine les contenus par groupes de quatre. Les lots A ne changent pas le reste. Un lot B de sept donne un reste trois ; deux donnent deux ; trois donnent un ; quatre reviennent à zéro. Dix-sept possède le reste un. Le nombre de lots B devrait donc être trois, puis sept, onze ou un autre nombre de cette suite. Trois est déjà le plus petit compte possible et ses vingt et un instruments dépassent dix-sept. Les lots A ne peuvent qu'en ajouter. Léa refuse ainsi toutes les remises non négatives, pas seulement l'ébauche aux trois B et moins un A. Aucun diviseur commun supérieur à un n'aurait détecté ce manque : quatre et sept n'en possèdent pas, mais la demande reste trop petite pour son reste.
Une demande dix-huit reçoit au contraire un lot A et deux lots B : quatre plus quatorze. Dix-neuf reçoit trois lots A et un B, vingt cinq lots A, vingt et un trois lots B. Léa remet ces quatre possibilités avec leurs quantités exactes. Nora voudrait traiter la réussite de dix-huit comme preuve que tous les nombres suivants réussissent. Léa lui donne l'étape manquante : chaque quantité au moins dix-huit possède le même reste que l'un des quatre nombres dix-huit à vingt et un. Elle s'obtient en ajoutant à cette première remise un nombre entier de lots A. Les quatre premières réussites consécutives et l'ajout de quatre fournissent donc une construction pour toute la continuation.
Léa peut maintenant annoncer dix-sept comme le plus grand manque, sous la disponibilité sans limite et les seules tailles quatre et sept. Elle ne le déduit pas d'une liste arrêtée arbitrairement à vingt. Le refus par reste a exclu dix-sept, et la construction par quatre nombres consécutifs a couvert tous les plus grands. Nora retire la phrase « tout nombre qui n'est pas trop grand est possible ». Ici, ce sont les petits nombres qui peuvent manquer et aucune borne haute ne vient du stock, puisque la branche n'en impose pas. La feuille conserve ce seuil avec ses deux preuves de nature différente.
Le minimum propre à chaque reste donne un test plus précis
Léa prépare une autre présentation qui évite de reprendre les quatre premières remises à chaque demande. Pour le reste zéro, aucun B n'est nécessaire et zéro sert de départ. Pour le reste un, trois B fournissent vingt et un. Pour le reste deux, deux B fournissent quatorze. Pour le reste trois, un B fournit sept. Ces quatre valeurs, zéro, vingt et un, quatorze et sept, sont les plus petites quantités possibles dans leurs classes de reste. Chaque compte de B suivant qui possède le même reste ajoute quatre B, soit vingt-huit instruments, et ne peut faire descendre le minimum.
Nora applique la ligne du reste deux à dix : dix est inférieur à quatorze, donc impossible. Elle l'applique à vingt-deux : vingt-deux moins quatorze laisse huit, exactement deux lots A. Léa remet deux A et deux B pour vingt-deux. Le test a conservé le même minimum de quatorze tout en donnant deux décisions différentes, plutôt qu'une règle disant que tout nombre pair serait possible. Douze, de reste zéro, passe par trois A ; deux et six, de reste deux, ne passent pas encore. Les quatre classes fournissent chacune leur propre seuil, sans transformer le seuil global dix-huit en condition nécessaire pour toutes les réussites.
Elle retrouve aussi toute la liste des manques positifs : un, deux, trois, cinq, six, neuf, dix, treize et dix-sept. Les nombres de reste zéro ne manquent pas. Ceux de reste un manquent avant vingt et un, ceux de reste deux avant quatorze et ceux de reste trois avant sept. Léa n'ajoute donc pas quinze à la liste parce qu'il reste inférieur à dix-huit : un B et deux A le réalisent déjà. Nora reçoit la liste finie et les minima qui la justifient, sans une suite d'essais où l'absence de résultat aurait été prise pour une preuve définitive.
Plusieurs remises exactes appartiennent à une même progression
Une quantité cent est maintenant demandée. Léa commence par son reste zéro. Le nombre de lots B peut être zéro, quatre, huit ou douze ; seize donnerait déjà cent douze instruments et dépasserait la demande. Les comptes correspondants de A sont vingt-cinq, dix-huit, onze et quatre. Nora reçoit donc quatre remises : vingt-cinq A ; dix-huit A et quatre B ; onze A et huit B ; quatre A et douze B. Chacune totalise cent, mais leurs nombres de paquets sont vingt-cinq, vingt-deux, dix-neuf et seize. La quantité exacte n'a pas fixé un nombre unique de colis à placer sur la table.
Léa décrit le passage d'une solution à la suivante. Retirer sept A diminue le contenu de vingt-huit ; ajouter quatre B rétablit exactement ces vingt-huit. Le changement du contenu total est nul, tandis que le nombre de paquets diminue de trois. Ce changement est encore une comparaison de préparations, pas une reprise réelle de paquets remis. Nora ne retire donc pas sept instruments seulement lorsqu'elle écrit « moins sept A » : A désigne le lot entier de quatre. Les quatre fiches de cent gardent leurs comptes de lots avec leurs contenus et leur place dans cette progression.
Pour toute quantité n, Léa peut commencer par le plus petit compte b0 de B qui fournit le bon reste, entre zéro et trois. Le premier compte a0 de A vaut la quantité restante après ces B, divisée par quatre. Si ce compte est négatif, le minimum de la classe a déjà fermé le refus. Sinon, toutes les remises suivent a égal à a0 moins sept fois k et b égal à b0 plus quatre fois k. k commence à zéro et s'arrête avant que a devienne négatif. Cette écriture ne retire pas de lot à une remise effective ; elle énumère les possibilités non négatives d'une même demande. Pour cent, a0 vaut vingt-cinq et k peut valoir zéro, un, deux ou trois, exactement les quatre fiches remplies.
Le stock retire des membres de la progression
Nous limitons maintenant la réserve à deux lots A et deux lots B. Elle contient vingt-deux instruments au total, mais n'autorise pas dix-neuf. Le reste trois de dix-neuf impose un, puis cinq B ; cinq dépasseraient le stock et un B laisse douze, qui demande trois A. Le stock n'en possède que deux. Léa retire donc dix-neuf des remises disponibles, bien qu'il soit plus petit que vingt-deux et au-dessus du seuil dix-huit de la branche sans limite. Le test par reste et le test par stock portent sur la même préparation, pas sur deux catalogues dont l'on pourrait additionner les permissions.
Léa remplit les neuf choix du petit stock : zéro, quatre ou huit instruments issus des A, combinés à zéro, sept ou quatorze issus des B. Les quantités distinctes sont zéro, quatre, sept, huit, onze, quatorze, quinze, dix-huit et vingt-deux. Nora choisit dix-huit pour une demande exacte de ce nombre, avec un A et deux B, et constate qu'il reste un A dans la réserve. Elle refuse d'utiliser ces quatre instruments restants pour rendre dix-neuf possible : ils porteraient la remise à vingt-deux. Garder un paquet disponible ne donne pas une unité isolée tant que l'ouverture des lots reste interdite.
Une réserve plus grande donne onze A et huit B pour une demande cent. Dans les quatre fiches calculées sans limite, les deux premières utilisaient trop de A et la dernière trop de B. Seule onze A avec huit B passe. Léa la remet et annonce dix-neuf paquets. La préparation sans limite à seize paquets, quatre A et douze B, reste plus courte en nombre, mais elle n'est pas disponible avec huit B. Nora conserve donc le meilleur nombre parmi les remises que le stock permet, au lieu de transférer le minimum sans limite à une réserve où sa fiche manque quatre lots d'une sorte.
Léa reçoit ensuite dix A et neuf B dans une autre réserve. Le total disponible vaut cent trois, encore supérieur à cent. Pourtant, aucune des quatre fiches de cent ne passe : celle à onze A dépasse dix, celle à douze B dépasse neuf, et les deux autres demandent davantage de A. Le B supplémentaire ne compense pas ici le A retiré. Les comptes de B utilisables pour cent doivent rester zéro, quatre, huit ou douze ; neuf n'est pas une nouvelle solution exacte entre huit et douze. Nora retire la garantie cent tirée du seul total cent trois et garde ce refus avec les comptes de la progression.
Une place supplémentaire dans une sorte peut ne rien changer au nombre demandé
L'hôte maintient dix A, donne d'abord dix B puis onze B, et souhaite au plus dix-huit paquets pour cent instruments. Les comptes exacts de B passent toujours par multiples de quatre. Huit B demandent encore onze A, absent du stock, et douze B restent indisponibles dans les deux propositions. Léa refuse les deux augmentations comme solutions de cette commande, sans dire qu'elles n'ont ajouté aucun instrument à la réserve. Le total augmente réellement ; aucune remise exacte nouvelle de cent n'est encore entrée dans l'ensemble disponible. La limite de dix-huit paquets ne peut pas être examinée sur une remise qui n'existe pas.
Quand douze B sont effectivement disponibles avec les mêmes dix A, Léa choisit quatre A et douze B. Les cent instruments sont atteints avec seize paquets, donc sous la limite dix-huit. Elle ne fait pas une remise de dix-neuf paquets en arrondissant le compte de B dans la fiche onze A, huit B. La progression avait donné des nombres de paquets vingt-cinq moins trois fois k. Pour tomber au plus à dix-huit, k devait être au moins trois ; cette première possibilité utilise exactement douze B et quatre A. L'accord sur le douzième B ouvre donc le premier membre de la progression qui remplit à la fois le stock et le nombre maximal de paquets.
Imposer un nombre exact de paquets donne une autre liste
Une demande différente exige exactement trois paquets, en gardant les tailles quatre et sept. Léa n'emploie plus le nombre de paquets comme simple critère à réduire. Si b des trois paquets sont des B, les autres sont des A et le contenu vaut douze plus trois fois b. Les quatre contenus permis sont douze, quinze, dix-huit et vingt et un. L'hôte choisit dix-huit : Léa remet un A et deux B, exactement trois paquets. Elle ne lui donne pas trois A et un B sous cette annonce, qui fournirait dix-neuf mais avec quatre paquets. Le compte demandé forme ici une contrainte nouvelle sur les combinaisons exactes.
Nora voulait alors dix-neuf avec ces mêmes trois paquets, puisqu'il était réalisable sans limite. Léa lui montre l'incompatibilité : douze plus un multiple de trois ne peut donner dix-neuf, dont l'écart à douze vaut sept. Le nombre de paquets peut être accepté à quatre dans une autre commande ; trois A et un B fournit alors la quantité demandée. La réparation porte sur le nombre exact de paquets, pas sur une unité enlevée à un B. Léa garde les deux remises séparées, l'une dix-huit en trois, l'autre dix-neuf en quatre, afin que la quantité possible d'une fiche ne masque pas le compte interdit de l'autre.
Peu de paquets et peu de points ne choisissent pas la même remise
Un coût abstrait donne deux points à chaque A et cinq à chaque B. L'hôte demande vingt-huit instruments avec une réserve sans limite. Son reste zéro permet seulement zéro B avec sept A, ou quatre B sans A. La seconde remise contient quatre paquets et coûte vingt points ; la première contient sept paquets et coûte quatorze. Léa choisit quatre B pour la commande qui minimise le nombre de paquets, puis sept A pour celle qui minimise les points. Elle ne donne pas quatre paquets à quatorze points en rapprochant les meilleurs chiffres des deux fiches. Les contenus identiques ne rendent pas leurs comptes et leurs coûts interchangeables.
La progression explique ces choix sans faire dépendre la décision des seuls petits prix d'une sorte. Retirer sept A et ajouter quatre B diminue le nombre de paquets de trois, mais fait passer leur coût de quatorze à vingt pour la partie remplacée : six points supplémentaires. Chaque pas vers davantage de B dans une remise exacte diminue donc le compte et augmente le coût sous ces valeurs. Pour cent, les quatre comptes vingt-cinq, vingt-deux, dix-neuf et seize accompagnent les coûts cinquante, cinquante-six, soixante-deux et soixante-huit. Léa conserve les deux ordres opposés sur les mêmes quatre réalisations, puis demande quel critère l'hôte garde effectivement.
L'hôte impose au plus vingt paquets pour cent instruments, puis veut le moindre coût parmi les remises conformes. Les deux premières fiches, vingt-cinq et vingt-deux paquets, sont retirées avant la comparaison des points. Restent dix-neuf paquets à soixante-deux et seize à soixante-huit. Léa retient onze A et huit B, dix-neuf paquets à soixante-deux. Le coût cinquante de vingt-cinq A ne répondait pas à la limite de paquets. Le compte seize de l'autre fiche n'était pas le critère à réduire une fois la limite passée. La décision remplie utilise donc les deux informations dans l'ordre donné, sans leur attribuer un objectif commun qu'aucune fiche n'avait reçu.
Une taille nouvelle peut fermer un ancien manque sans corriger l'ancien calcul
L'hôte ajoute dans une branche un lot C de neuf instruments, en conservant les tailles A et B. Dix-sept se réalise désormais avec un C et deux A : neuf plus huit. Léa remet ces trois paquets et retire l'annonce impossible de la feuille augmentée. Elle conserve toutefois le refus pour l'ancienne feuille ne possédant que quatre et sept. La représentation nouvelle n'a pas trouvé une erreur dans la preuve par reste : C n'y était pas permis. Son neuf possède le reste un directement, tandis que trois B étaient nécessaires pour obtenir ce reste auparavant. La nouvelle taille a changé le plus petit contenu disponible de cette classe.
Nora voudrait continuer à utiliser zéro, vingt et un, quatorze et sept comme les quatre minima exacts de la feuille augmentée. Léa retire au moins la ligne vingt et un pour le reste un : neuf est maintenant une remise plus petite de ce même reste. Elle ne conserve donc pas l'ancienne liste de manques en y supprimant seulement dix-sept par commodité. Treize, composé d'un C et d'un A, et neuf lui-même, passent également. La commande nouvelle reçoit sa propre recherche de possibilités. Léa garde la réalisation dix-sept demandée sans annoncer un nouveau seuil général qu'elle n'aurait pas justifié sur toutes les classes modifiées.
Un contenu global possible peut rester impossible à partager en lots entiers
Deux tables demandent enfin dix-sept instruments chacune avec les seules tailles A et B. Léa sait qu'une remise globale de trente-quatre est possible : cinq A et deux B, vingt plus quatorze. Nora veut la répartir entre les deux tables tout en gardant chacun des sept paquets entier. Léa refuse cette annonce : chaque côté devrait alors constituer une remise de dix-sept avec quatre et sept, celle que sa première preuve a précisément exclue. L'addition des deux demandes a fermé le manque du total, mais pas le manque propre à chacune. La quantité réunie ne justifie donc pas la répartition annoncée.
L'hôte accepte maintenant d'ouvrir un des cinq lots A, sans fractionner un instrument. Léa en donne trois pièces à la première table et une à la seconde. La première reçoit en plus les deux B : sept plus sept plus trois, soit dix-sept. La seconde reçoit les quatre A restés entiers et la pièce : seize plus un, également dix-sept. Les trente-quatre instruments sont tous distribués, et aucun objet individuel n'est divisé. La permission nouvelle concerne l'intégrité du paquet, pas celle de la pièce. Léa remet cette répartition avec le lot ouvert identifié, au lieu de continuer à promettre sept paquets entiers partagés entre les tables.
La réserve remise conserve donc une quantité, un stock et des conditions sur les paquets. Les classes de reste peuvent prouver un manque ; les stocks peuvent retirer une quantité au-delà du seuil sans limite ; le nombre de paquets et les points peuvent choisir des extrêmes opposés d'une même progression. Léa transmet chaque combinaison retenue avec ses comptes exacts, sans transformer un total disponible, une égalité avec un nombre négatif ou une ouverture nouvelle en permission qui aurait déjà existé dans les autres feuilles.