Deux dessins peuvent montrer le même motif depuis des commencements différents. Ils peuvent aussi conserver le même nombre de marques sans posséder le même ordre. Pour préparer un petit catalogue de décorations fictives, Nora décide donc ce qui permet de réunir deux propositions. Elle choisit ensuite les dessins qui restent distincts sous cette convention, au lieu de demander au seul nombre de couleurs de trancher leur identité.
Nous dessinons six positions autour d’un cercle de papier, numérotées de un à six. Chaque position reçoit l’une de deux marques nommées zéro et un. Une suite comme 001011 indique leur ordre depuis la première position, dans le sens donné. Les supports évoquent des bocaux, mais aucun objet réel n’est décoré, tourné ou mesuré. Il n’est question ni de conservation d’aliments ni de fabrication. Les permissions de rotation sont celles du dessin ; les petits modèles de classes de motifs sont classiques, sans invention revendiquée.
Le Parfait présente des bocaux.
Kilner présente des bocaux.
Ball présente des bocaux.
Ces pages ont été lues textuellement dans des portées limitées. Elles ne donnent aucune de nos décorations ni permission de réunir des dessins. Nous n’avons inspecté aucune image ou procédé de marquage. Les choix ci-dessous appartiennent au catalogue créé, sans déduire une symétrie réelle d’un produit commercial.
Déplacer le commencement peut conserver tout le motif
Nora commence par une convention sans position de départ imposée. Deux suites représentent le même motif si une rotation des six positions permet de retrouver l’une depuis l’autre. Une rotation conserve le sens de parcours et l’ordre circulaire des marques. Elle ne renverse pas le cercle et ne change pas les noms zéro et un. Camille propose 001011 puis 010110 comme deux décorations différentes, parce que leurs débuts ne s’écrivent pas de la même manière.
Nora retire la seconde de la liste des nouveautés. En partant de la deuxième position de 001011, on lit précisément 010110 ; les marques se sont décalées ensemble. Elle choisit 001011 pour représenter ce motif dans le catalogue. Les autres commencements donnent 101100, 011001, 110010 et 100101. Ils rejoignent le même groupe. Nora conserve néanmoins leurs six suites dans son contrôle : retirer les copies du catalogue ne prétend pas qu’un seul commencement aurait été possible sur le dessin.
Camille essaie de réunir également 000111 à ce groupe : ce dessin comporte lui aussi trois zéros et trois uns. Nora refuse. Dans 000111, les trois uns sont consécutifs autour du cercle ; dans 001011, aucun commencement ne donne trois uns consécutifs. Déplacer la première position ne change pas cette relation entre les marques. Nora garde donc 000111 comme autre motif. Le nombre de marques de chaque couleur est un premier contrôle utile, mais il ne donne pas leur répartition circulaire.
Pour rendre sa sélection refaisable, Nora décide de conserver dans chaque groupe la plus petite suite selon l’ordre zéro avant un, en lisant de gauche à droite. Ce choix de représentant ne recommande pas une couleur ni un point de départ matériel. Il évite seulement que deux fiches prennent chacune un autre commencement du même groupe. Camille remplace ainsi 010110 par la référence à 001011, sans ajouter un second exemplaire de motif à la sélection. La règle de comparaison et la règle de présentation demeurent distinctes : une autre suite du groupe serait valable comme dessin, mais ne serait pas le représentant choisi.
Tous les motifs ne donnent pas six suites différentes
Chaque position possède deux marques possibles, ce qui donne soixante-quatre suites avec une première position fixée. Camille souhaite diviser ce total par six pour compter les motifs sans commencement imposé. Nora écarte ce calcul : il suppose que chacun fournit six suites distinctes. Or 000000 reste identique après toutes les rotations. Il en va de même pour 111111. Chacun de ces deux motifs possède une seule suite, et non six copies différentes que l’on pourrait retirer cinq fois du total.
Le motif 010101 donne seulement deux suites : 010101 et 101010. Une rotation d’une position change laquelle est lue ; une rotation de deux positions ramène déjà la première. Nora conserve un seul représentant pour ce groupe, mais elle compte deux suites dans le catalogue où le départ serait fixé. Elle retire une fiche qui annonçait six variantes de l’alternance en répétant trois fois les deux mêmes lignes. Les six rotations sont bien des choix de mouvement du dessin ; elles ne produisent pas six résultats différents.
001001 donne trois suites : 001001, 010010 et 100100. Les trois commencements suivants répètent ces mêmes résultats, parce que la seconde moitié reproduit la première. Un autre groupe, représenté par 011011, possède également trois suites. Nora garde ces deux groupes séparés : l’un comporte deux uns, l’autre quatre. Les trois résultats de chacun ne fournissent ni six motifs nouveaux ni un groupe commun. Le contrôle porte sur les suites effectivement différentes, avec les marques conservées, plutôt que sur une liste de mouvements dont plusieurs ont le même effet.
Les groupes restants donnent chacun six suites différentes. Dans notre catalogue complet, il existe deux groupes d’une suite, un de deux, deux de trois et neuf de six. Les suites totalisent bien soixante-quatre : deux, puis deux, puis six, puis cinquante-quatre. Les groupes, eux, sont quatorze. Nora retient ces quatorze représentants et retire les autres commencements de l’envoi proposé. Elle ne présente pas quatorze comme le nombre de suites qui auraient pu être inscrites avec un départ fixé : ce second nombre reste soixante-quatre.
Camille prépare alors un envoi limité aux groupes qui donnent six commencements différents. Nora accepte cette portée plus étroite et lui remet neuf représentants. Les cinq autres groupes quittent cet envoi, mais restent dans le catalogue complet. Le motif alterné ne devient pas interdit à dessiner : il est seulement exclu de la demande nouvelle portant sur six résultats distincts. Nora retire donc la phrase « Tous nos motifs sont présents » de cette sélection. Le choix a filtré une propriété précise, sans changer les rotations admises pour comparer ceux qui restent.
Une permission de deux positions ne donne pas toutes les rotations
Une branche nouvelle conserve les soixante-quatre suites, mais permet seulement de tourner de deux positions à la fois. Répéter ce geste permet des décalages de deux, de quatre, puis de six positions, qui ramènent au début. Les décalages d’une, de trois et de cinq ne sont plus des comparaisons autorisées. Nora veut un catalogue distinct selon ce nouveau menu de mouvements, pas selon celui qui avait donné quatorze groupes.
Camille conserve pourtant 010101 et 101010 dans le même groupe. Nora les sépare. Depuis 010101, un décalage de deux ou de quatre donne encore 010101 ; aucune suite de ces gestes ne produit 101010. Il faudrait un décalage impair, absent de la permission. Nora choisit donc deux fiches distinctes pour ces deux alternances dans cette branche. Elle ne transforme pas le nom « alternance » en une permission de déplacement supplémentaire. Leur réunion dans le premier catalogue restait correcte sous toutes les rotations, mais ne répond plus au menu présent.
Le groupe de 001011 doit également être partagé. Les commencements autorisés depuis cette suite donnent 001011, 101100 et 110010. Les trois autres, 010110, 011001 et 100101, forment un second groupe. Nora retient 001011 pour le premier, 010110 pour le second. Camille retire la référence qui renvoyait ces six propositions à une seule fiche. Chaque nouvelle fiche conserve trois suites ; leurs réunions étaient possibles dans le catalogue initial, mais leur séparation est nécessaire lorsque les mouvements autorisés gardent le commencement dans l’une des deux familles de positions.
Dans cette branche, quatre suites restent seules sous les mouvements autorisés : les deux uniformes et les deux alternances. Les autres forment vingt groupes de trois suites. Nora contrôle le total : quatre plus trois fois vingt donne encore soixante-quatre. Elle remet donc vingt-quatre représentants. La permission plus restreinte n’a créé aucune nouvelle suite de marques ; elle a changé les regroupements. Camille ne lui envoie pas dix dessins supplémentaires comme s’ils avaient été inventés après le premier catalogue : elle reprend les mêmes possibilités et choisit leurs représentants selon le nouveau contrôle.
Nora examine aussi 001001. Les décalages autorisés de deux puis de quatre font parcourir ses trois suites, puisque son motif se répète au bout de trois positions. Ce groupe reste donc entier sous la permission restreinte, contrairement à celui de 001011. Elle refuse de partager automatiquement chacun des quatorze groupes en deux. Les uniformes, les alternances et les groupes de trois ne réagissent pas tous de la même manière. Le catalogue à vingt-quatre vient du contrôle des résultats propres à chaque motif, et non d’une multiplication uniforme appliquée à l’ancien nombre de fiches.
Une image renversée peut rester un autre motif
Revenons au catalogue autorisant toutes les rotations. Nora compare maintenant 001011 à la suite obtenue en parcourant ce même dessin dans le sens contraire. Le renversement donne 110100, dont le plus petit commencement est 001101. Camille propose de conserver seulement 001011, en présentant le second comme une autre rotation. Nora reprend les six commencements contrôlés du premier groupe : aucun n’est 001101.
Elle garde donc deux fiches. Chaque motif possède trois uns et trois zéros ; cette égalité n’ouvre pas un décalage qui manque entre eux. Nora conserve le sens de parcours comme partie de la permission initiale. Elle retire de sa présentation la mention « Les deux sens sont équivalents », qui aurait modifié cette permission sans le dire. La distinction n’authentifie pas deux objets matériels : elle conserve deux répartitions dessinées que les rotations admises ne peuvent pas réunir.
Camille demande ensuite expressément d’admettre aussi le renversement du sens pour comparer les propositions. Nora accepte cette nouvelle convention avant de recomposer le catalogue. Les deux fiches 001011 et 001101 se rejoignent alors, et Nora conserve 001011 comme représentant commun selon sa règle de plus petite suite. Les autres groupes de rotation étaient déjà réunis avec leur renversement. Le catalogue passe donc de quatorze à treize fiches. Ce résultat ne signifie pas que chaque groupe aurait été divisé par deux : une seule paire de groupes auparavant distincts vient d’être réunie.
Nora garde 000111 comme contrôle de cette différence. Son renversement 111000 est déjà une rotation, donc il n’apporte aucune réunion nouvelle. L’alternance possède également son renversement dans son groupe de deux suites. Ces exemples expliquent pourquoi elle ne divise pas quatorze par deux après la permission supplémentaire. Elle retire uniquement la fiche devenue redondante dans le cas où les deux sens étaient auparavant distincts, puis remet treize représentants avec la mention du renversement désormais admis.
Pour une autre remise, Nora conserve au contraire le premier choix des rotations seules. Elle rétablit la fiche 001101 et retire la mention du renversement comme comparaison autorisée. L’envoi revient à quatorze représentants. Camille ne lui donne pas treize en gardant les anciens mots de permission : il manquerait l’un des deux motifs distincts sous cette demande. Les deux catalogues demeurent visibles, chacun avec son choix de mouvement. Le même dessin peut changer de fiche de rattachement lorsqu’on change cette convention, sans changer une seule marque sur sa suite.
Garder trois marques d’un type filtre les motifs autrement
Une nouvelle commande conserve toutes les rotations, sans renversement, mais demande exactement trois uns et trois zéros. Parmi les soixante-quatre suites, vingt remplissent cette répartition. Nora ne garde pas automatiquement les quatorze représentants du catalogue complet : plusieurs possèdent un autre nombre de uns. Elle compare seulement les groupes qui répondent effectivement à la nouvelle commande, sans retirer une marque après sélection pour fabriquer la répartition demandée.
Elle choisit quatre représentants : 000111, 001011, 001101 et 010101. Les trois premiers fournissent chacun six suites différentes ; l’alternance en fournit deux. Leur total rejoint les vingt suites possibles de la commande. Camille avait conservé seulement les trois premiers parce qu’ils produisaient six commencements chacun. Nora ajoute l’alternance : aucune demande présente n’exige six commencements distincts. La propriété utilisée dans l’ancien envoi limité à neuf groupes ne gouverne pas silencieusement cette nouvelle sélection.
Camille propose ensuite de réunir 001011 et 001101, pour obtenir trois fiches avec trois marques de chaque type. Nora refuse tant que le renversement reste absent des permissions. Elle peut choisir trois représentants si la commande l’admet, mais le seul équilibre de couleurs ne le fait pas. Dans cette remise, elle garde quatre fiches et les deux sens distincts. Pour une proposition séparée, elle reçoit l’autorisation de renverser le parcours et remet trois représentants. La répartition des marques reste la même dans les deux envois ; la convention de comparaison change le nombre de motifs retenus.
Nora contrôle enfin la quantité qu’elle remet. Quatre fiches ne signifie pas quatre des vingt suites choisies au hasard puis présentées comme les seules possibles. Chaque fiche représente un groupe entier de commencements autorisés. Trois groupes portent six suites et le quatrième deux. Si Camille veut une feuille pour chacune des vingt suites avec son commencement fixe, elle doit recevoir vingt dessins, pas six fois chacun des quatre représentants : cela répéterait quatre fois l’alternance. Nora prépare cette seconde liste séparément, en gardant la différence entre les groupes de motifs et leurs écritures orientées.
Fixer le commencement retire une équivalence du catalogue
Pour une dernière remise, Nora impose une marque extérieure nommant la première position. Cette marque appartient seulement au dessin. Une suite doit maintenant indiquer quelle couleur figure à cette position et à celles qui la suivent. Aucune rotation de la suite par rapport à ce repère n’est admise comme égalité. Le catalogue demandé porte donc les soixante-quatre écritures distinctes, même si certaines partagent un motif dans les remises précédentes.
Camille livre pourtant les quatorze représentants des rotations. Nora lui montre 001011 et 010110 : les deux étaient réunis sans commencement imposé, mais elles n’attribuent pas toutes les mêmes marques aux positions nommées sous le repère fixe. Elle demande leurs deux fiches dans cette nouvelle liste. Pour 000000, tous les commencements donnent toujours la même écriture ; le repère ne multiplie pas cette suite par six. Nora ne remplace donc pas quatorze par quatre-vingt-quatre en donnant six feuilles à chaque ancien représentant. Elle retrouve les soixante-quatre suites distinctes contrôlées au départ.
L’alternance fournit également deux fiches orientées, 010101 et 101010, et non six. Camille conserve chacune une fois dans l’envoi. La première commence par zéro, la seconde par un ; leur troisième et cinquième positions changent avec cette première marque. Nora retire une légende qui appelait ces deux fiches deux couleurs nouvelles : les couleurs sont restées zéro et un. Ce qui est devenu distinct dans cette commande est leur attribution aux positions nommées. Le catalogue peut donc compter davantage de fiches sans modifier les marques disponibles ni le nombre de positions de chaque dessin.
Nora garde finalement deux documents séparés : le choix sans commencement imposé avec quatorze représentants, et l’envoi orienté avec soixante-quatre suites. Elle ne place pas la marque extérieure sur les fiches du premier en annonçant qu’elles restent un catalogue complet pour la seconde demande. Cette marque retire précisément la liberté qui avait permis de réunir plusieurs écritures. Chaque document indique ainsi sa convention, ses représentants et ce qu’il propose réellement au destinataire. Aucun déplacement matériel ou procédé de fabrication n’est déduit du passage entre ces deux listes.
Les motifs de papier restent attachés aux mouvements permis et au repère choisi. Un motif périodique peut donner moins de commencements différents ; un renversement peut réunir deux groupes que les rotations séparaient ; un repère fixe peut les distinguer de nouveau. Nora remet des catalogues construits sur ces différences précises, sans faire du nombre de fiches une propriété universelle des bocaux ou de leur décoration réelle.
Échanger les deux marques n’est pas renverser leur ordre
Une préparation séparée repart des rotations seules, sans repère extérieur. Nora ajoute cette fois une autre égalité : on peut échanger partout zéro avec un, simultanément sur les six positions. Aucun échange local d’une seule marque n’est admis. Cette convention ne modifie pas le sens de parcours ; elle change les noms des deux marques dans la suite entière. Nora veut réunir les motifs selon les rotations et cet échange global, sans recevoir le catalogue où le renversement du parcours était permis à leur place.
Camille lui remet d’abord les treize fiches de la branche admettant le renversement. Nora les refuse pour la commande nouvelle. 000000 et 111111 y restent deux groupes séparés : aucune rotation ou lecture en sens contraire ne change leurs marques uniformes. L’échange global les réunit pourtant directement. Elle choisit donc une seule fiche pour ces deux suites. Nora contrôle également 000011 et 001111. La première possède deux uns, la seconde quatre ; aucune rotation ni inversion de parcours ne les réunissait. En échangeant toutes les marques de 000011, on obtient 111100, dont une rotation donne 001111. La nouvelle comparaison réunit bien ces deux groupes sans changer l’ordre relatif des six positions.
Nora examine les groupes qui ne demandent pas de réunion nouvelle. 000111 devient 111000 par échange global, déjà présent dans ses rotations ; 010101 devient 101010, également déjà présent dans son groupe. Ces deux groupes restent donc chacun leur propre fiche. Parmi les quatorze groupes de rotation, seuls ces deux possèdent cette propriété. Un nombre de uns différent de trois ne pourrait pas rester dans son groupe après l’échange, puisque ce nombre deviendrait six moins lui. Pour les quatre groupes à trois uns, le contrôle direct retrouve ces deux cas et réunit les deux autres entre eux. Nora ne divise donc pas quatorze par deux : elle conserve deux fiches seules et choisit six représentants pour les douze autres groupes réunis par paires.
La sélection remise contient huit fiches. Camille retire notamment 001111, déjà représentée par 000011 selon leur règle de plus petite suite, et 111111, représentée par 000000. Elle conserve 000111 et l’alternance comme deux groupes distincts. Nora écarte une correction qui échangeait seulement les deux dernières marques d’un dessin : ce geste n’applique pas l’échange global demandé. La nouvelle liste ne donne donc pas le droit de transformer une proposition en n’importe quelle suite possédant le même nombre de positions. Chaque réunion doit encore être obtenue par une rotation, un échange de toutes les marques, ou leur combinaison.
Camille remarque que les trois fiches de la commande à trois uns seraient les mêmes sous le renversement ou sous l’échange global, après leurs regroupements. Nora conserve cette coïncidence limitée, mais refuse d’en déduire que les deux permissions sont interchangeables pour le catalogue complet. Les uniformes suffisent à les départager : le renversement les séparait, l’échange global les réunit. Elle remet donc huit avec la seconde convention et treize avec la première, en gardant les deux commandes visibles. Le nombre identique de fiches dans une sélection restreinte ne permet pas de remplacer l’opération qui définit les regroupements ailleurs dans la liste.
Contrôler le catalogue depuis les dessins laissés inchangés
Nora veut maintenant un contrôle qui ne suppose pas que les quatorze groupes ont déjà été correctement listés. Elle reprend les soixante-quatre suites et les six décalages possibles, y compris celui de zéro position. Pour chaque décalage, elle compte les suites que ce mouvement laisse exactement inchangées. Il ne s’agit pas de compter les représentants retenus dans l’envoi, ni les suites obtenues après le mouvement : chaque couple formé d’une suite initiale et d’un décalage reçoit seulement oui ou non selon cette égalité.
Le décalage nul laisse les soixante-quatre suites inchangées. Ceux d’une ou de cinq positions imposent la même marque partout : chacun en conserve deux. Avec deux ou quatre positions, les positions impaires doivent partager une marque et les paires une autre ; chacun conserve quatre suites. Avec trois positions, la première moitié doit se répéter dans la seconde : les trois marques initiales sont libres, donnant huit suites. Nora additionne donc soixante-quatre, deux, quatre, huit, quatre et deux. Elle obtient quatre-vingt-quatre réponses oui, puis les divise par six pour retrouver quatorze motifs. Contrairement à la division initiale de soixante-quatre par six, ce calcul inclut les mouvements sans effet sur chaque dessin.
Camille demande pourquoi cette division serait cette fois justifiée. Nora prend un groupe contenant m suites différentes. Chacune de ses suites reste inchangée par exactement six divisés par m des décalages : les six mouvements se répartissent également entre ses m résultats distincts. Pour un résultat choisi, composer avec un décalage qui y conduit associe les mouvements donnant ce résultat aux mouvements laissant le départ inchangé. Le groupe apporte donc m fois six divisés par m, soit six réponses oui. Un uniforme les apporte depuis une seule suite ; un groupe de six les apporte depuis ses six suites. La somme compte ainsi chaque motif avec le même poids, même lorsque les groupes n’ont pas la même taille.
Nora applique ce contrôle à une fiche de travail qui aurait oublié le groupe de 001001. Ses trois suites contribuent chacune deux réponses oui, donc six ensemble. Le relevé réduit tombe à soixante-dix-huit, tandis que le contrôle complet obtenu depuis les six décalages reste à quatre-vingt-quatre. Nora refuse alors de présenter treize fiches comme catalogue complet et rétablit le représentant manquant. Oublier un groupe de six suites aurait également retiré six réponses oui, malgré un nombre différent de lignes disparues. Ce contrôle détecte donc une omission au niveau des motifs ; il ne prétend pas identifier à lui seul lequel manque. La liste des représentants et leurs suites reste nécessaire pour retrouver la fiche à remettre.