Nora prépare une fiche de calcul après un service fictif. Les nombres représentent des catalogues combinatoires créés pour l'exercice ; personne n'a réalisé autant de préparations. Camille veut éviter d'écrire des entiers très longs lorsqu'elle demande seulement combien de zéros terminent leur écriture ou si un coefficient est pair. Nora doit conserver le nombre exact étudié, la base de son écriture et la question réellement posée, plutôt que remplacer toutes ces demandes par une estimation de taille.
Pour n entier positif ou nul, n! désigne le produit de un à n, avec 0! égal à un. Le nombre de choix de k éléments parmi n est n! divisé par k! et par (n−k)!, pour zéro≤k≤n. Ces comptes et les identités arithmétiques utilisées sont classiques. Les décisions sur la fiche sont stipulées, sans formule fournie par un matériel ou promesse de calcul sur un appareil.
Notice P1 du Met : catégorie Drawings.
Notice P2 du Met : catégorie Drawings.
Notice P3 du Met : catégorie Drawings.
Les notices identifient ces catégories textuelles seulement. Ni les images ni un procédé artistique ne fournissent les calculs de la fiche.
Un multiple de vingt-cinq apporte deux facteurs cinq
Camille examine 25! et compte les nombres divisibles par cinq entre un et vingt-cinq : cinq, dix, quinze, vingt et vingt-cinq. Elle annonce cinq facteurs cinq. Nora reprend vingt-cinq, qui vaut cinq fois cinq. Il a été compté une seule fois dans la première liste mais apporte deux facteurs. Elle ajoute une seconde occurrence pour les multiples de vingt-cinq. Il n'y a aucun multiple de cent vingt-cinq dans cette portion. Le produit contient donc six facteurs cinq, et non cinq.
Pour un nombre premier p, Nora compte de même les multiples de p, puis de p², puis de p³ jusqu'à dépasser n. Un facteur du produit divisible par p trois fois apparaît dans trois de ces listes et fournit justement trois facteurs p. Celui qui n'est divisible que par p apparaît une fois. Les comptes s'additionnent donc sans erreur de surretrait : la répétition d'un multiple entre les listes est voulue, car les listes comptent ses différents facteurs premiers. Nora ne les déduplique pas comme s'il s'agissait de choisir des objets différents.
Le nombre d'occurrences de p dans n! est ainsi la partie entière de n/p, plus celle de n/p², puis les suivantes. Pour p deux et n vingt-cinq, les termes sont douze, six, trois et un, soit vingt-deux. Pour p cinq, les termes cinq et un donnent six. Chaque zéro final en base dix consomme un facteur deux et un facteur cinq. Les deux sont ici plus nombreux ; les cinq limitent le nombre de paires à six. Nora inscrit donc six zéros finaux pour 25!, sans avoir écrit le produit entier.
Sur 10!, le même contrôle donne huit facteurs deux et deux facteurs cinq, donc deux zéros finaux. Nora peut vérifier directement 10!=3 628 800. Elle garde les deux demandes de manière distincte : une première fiche certifie les deux zéros sans fournir tous les chiffres précédents ; une autre donne l'entier exact. Le compte de facteurs deux et cinq ne suffit pas à reconstruire les autres facteurs premiers, donc pas les chiffres manquants. Elle ne complète pas la première fiche en recopiant un début de nombre qui n'avait pas été calculé.
Le premier dépassement peut sauter un nombre de zéros
Camille demande le plus petit n dont n! possède au moins douze zéros finaux. À quarante-neuf, les facteurs cinq sont neuf plus un, soit dix. À cinquante, ils sont dix plus deux, soit douze. La fonction ne diminue jamais, puisque chaque facteur ajouté conserve les anciens cinq. Nora remet donc cinquante comme premier indice atteignant au moins douze. Elle ne choisit pas quarante-huit parce que la division par cinq paraît presque donner dix : les parties entières et les facteurs vingt-cinq doivent tous être comptés.
La demande « exactement onze » est différente. De quarante-cinq à quarante-neuf, le compte vaut neuf plus un, donc dix. À cinquante, le nouveau facteur contient deux cinq et fait passer directement à douze. Avant quarante-cinq, le compte est au plus neuf ; après cinquante, il reste au moins douze. Aucun indice n ne donne donc onze zéros finaux dans n!. Nora remet cette impossibilité, au lieu de présenter cinquante comme une approximation d'onze. Le saut appartient à la multiplication par cinquante, pas à une erreur d'arrondi dans le contrôle.
Pour « exactement douze », en revanche, Nora conserve les indices cinquante, cinquante et un, cinquante-deux, cinquante-trois et cinquante-quatre. Ils ont tous dix plus deux facteurs cinq. Cinquante-cinq ajoute un nouveau cinq et passe à treize ; cinquante était bien le premier du groupe. La fiche peut donc livrer un intervalle d'indices exacts lorsque c'est la question. Le plus petit indice, l'ensemble des indices et le refus d'une valeur sautée ne sont pas trois étiquettes équivalentes pour la même réponse.
Un quotient demande les exposants avant la division
Nora examine maintenant le nombre de choix de vingt éléments parmi quarante, soit 40!/(20!)². Pour les facteurs cinq, 40! en contient huit plus un, soit neuf. Chaque 20! en contient quatre. Le quotient possède donc neuf moins quatre moins quatre, un facteur cinq. Pour les facteurs deux, les comptes sont trente-huit dans 40! et dix-huit dans chaque 20!, laissant deux. Nora annonce un seul zéro final, limité par le cinq, alors que 40! en avait neuf.
Camille avait proposé de retirer les zéros finaux de 20! deux fois à ceux de 40! sans examiner les deux exposants. Sur cet exemple, cela retrouve un, mais cette procédure ne reçoit pas de garantie générale. Le choix d'un élément parmi cinq vaut cinq : 5! possède un zéro final, tandis que 1! et 4! n'en possèdent aucun. Leur soustraction annoncerait un zéro dans cinq, qui n'en a pas. Un zéro consomme simultanément deux facteurs différents et prend le minimum de leurs comptes ; soustraire des minima ne fournit pas nécessairement le minimum des différences. Nora garde les nombres d'occurrences de deux et de cinq jusqu'à ce que toutes les divisions soient effectuées, puis prend leur minimum pour le quotient réellement demandé.
Le choix de cinquante éléments parmi cent montre la différence. Le compte des cinq est vingt plus quatre dans 100!, et dix plus deux dans chaque 50!. Il reste zéro cinq. Les deux donnent quatre-vingt-dix-sept dans 100! et quarante-sept dans chaque 50!, donc trois deux. Le coefficient est divisible par huit mais ne se termine pas par zéro en base dix. Nora retire la promesse d'un zéro à partir de la seule présence de nombreux facteurs deux. Les cinq du numérateur ont tous été consommés par les deux dénominateurs.
La soustraction d'exposants est légitime parce que le quotient étudié est un entier. Pour un autre rapport de produits dont l'intégralité ne serait pas établie, un exposant négatif décrirait un facteur au dénominateur. Nora ne le supprimerait pas pour annoncer une divisibilité entière. Ici, le nombre de choix de sous-ensembles garantit l'entier, et chaque soustraction décrit ses facteurs restants. Cette condition demeure une mise en place du coefficient ; elle n'est pas une nouvelle règle de choix des préparations.
Les retenues révèlent les facteurs du coefficient
Nora convertit vingt en base cinq : il s'écrit 40, quatre groupes de cinq et zéro unité. Ajouter vingt à vingt revient à additionner 40 et 40 en base cinq. Les unités restent zéro ; la colonne suivante donne huit, donc trois dans cette colonne et une retenue vers la suivante. Le résultat s'écrit 130, soit quarante en base dix. Une seule retenue a eu lieu. Elle correspond exactement à l'unique facteur cinq du coefficient qui choisit vingt parmi quarante.
Pour deux, vingt s'écrit 10100. En ajoutant deux copies, la colonne de valeur quatre reçoit un plus un et transmet une retenue vers huit. La colonne de valeur seize transmet aussi une retenue vers trente-deux. Les autres colonnes n'en créent aucune. Le résultat 101000 représente quarante ; deux retenues ont été produites. Elles correspondent aux deux facteurs deux déjà obtenus par soustraction des exposants. Nora garde les colonnes des retenues, sans compter seulement les uns du résultat, qui ne sont pas les événements d'addition.
Elle justifie ce contrôle pour une base première p. Si la somme des chiffres de n en base p est S(n), le compte des facteurs p dans n! vaut [n−S(n)]/(p−1). Chaque chiffre situé j places au-dessus des unités contribue autant de multiples successifs que la somme un plus p jusqu'à p à la puissance j moins un. Cette somme vaut (p^j−1)/(p−1). En additionnant les contributions de tous les chiffres, Nora retrouve n moins la somme des chiffres, divisé par p moins un.
Dans le coefficient qui choisit k parmi n, les termes n, k et n−k s'annulent. Le nombre de facteurs p devient donc [S(k)+S(n−k)−S(n)]/(p−1). Or une retenue remplace p unités d'une colonne par une unité dans la colonne suivante : elle diminue la somme des chiffres de p moins un. Dans l'addition de k et n−k, chaque retenue produit cette diminution, y compris celles transmises à une colonne suivante. Le quotient compte donc les retenues une par une, au lieu de décrire une ressemblance numérique limitée aux deux exemples précédents.
Pour cinquante plus cinquante, la base cinq donne 200 plus 200, soit 400, sans retenue. Le coefficient qui choisit cinquante parmi cent n'a donc aucun facteur cinq. En base deux, cinquante s'écrit 110010. Les colonnes de valeur deux, seize et trente-deux produisent trois retenues, la dernière recevant déjà celle de seize. Nora retrouve les trois facteurs deux. Elle peut certifier ces deux exposants en travaillant seulement sur les chiffres des indices, sans construire les nombreux chiffres du coefficient entier.
Demander un coefficient impair sélectionne des indices précis
Nora ouvre une autre fiche : treize objets sont nommés et Camille veut connaître les tailles de sous-ensembles dont le nombre de choix est impair. Il existe une entrée pour chaque k de zéro à treize. La question porte sur la parité du nombre de choix, pas sur la parité de k. Nora ne retire donc pas les tailles paires avant de calculer. Par exemple, la taille quatre sera retenue, tandis que la taille trois ne le sera pas.
Pour travailler seulement sur cette parité, Nora regarde le développement de (1+x)^13 en ne gardant que les coefficients modulo deux. Le nombre treize s'écrit huit plus quatre plus un. Au modulo deux, élever 1+x au carré donne 1+x², car le terme deux x disparaît. Recommencer le carré donne 1+x⁴ puis 1+x⁸. Le développement utile est donc le produit (1+x⁸)(1+x⁴)(1+x). La fiche n'évalue pas x : elle conserve les puissances dont les coefficients restent impairs.
Pour obtenir une puissance x^k de ce produit, Nora choisit soit un soit la puissance de chaque facteur. Les exposants possibles sont zéro, un, quatre, cinq, huit, neuf, douze et treize. Chaque exposant se présente une seule fois, parce qu'il possède une écriture binaire unique avec les seules places huit, quatre et un. Les coefficients correspondants sont donc un modulo deux. Les autres puissances n'apparaissent pas et leurs coefficients valent zéro modulo deux. Nora remet ces huit tailles avec leur justification, sans avoir calculé les quatorze coefficients entiers.
La taille trois, écrite 0011, demande la place deux que treize, écrit 1101, ne possède pas. Son coefficient est pair. La taille quatre, écrite 0100, utilise au contraire une place présente et son coefficient est impair. Camille avait proposé de retenir seulement un, cinq, neuf et treize parce qu'ils sont impairs comme treize. Nora retire cette liste incomplète et y rétablit zéro, quatre, huit et douze. Ces quatre tailles ne sont pas des choix vides de sens : zéro désigne le seul sous-ensemble vide, et les trois autres possèdent des sélections nommées réellement comptées.
Pour une ligne générale n, les places binaires portant un dans n donnent les facteurs (1+x^(2^j)). Un coefficient est impair exactement lorsque les places portant un dans k appartiennent à ces places de n. Si n possède r places actives, chacune peut être retenue ou non : il existe donc 2^r tailles à coefficient impair. Nora conserve cette règle comme conséquence du produit modulo deux. Elle ne confond pas ces tailles avec 2^r sous-ensembles d'objets : chaque taille peut correspondre à de nombreux sous-ensembles, et le contrôle n'annonce que la parité de leur nombre.
Elle vérifie une nouvelle commande sur quatorze, écrit 1110. Les places actives sont huit, quatre et deux ; les tailles retenues sont zéro, deux, quatre, six, huit, dix, douze et quatorze. Il y en a encore huit, mais aucune n'est impaire. L'ancienne liste de treize ne doit donc pas être conservée au seul motif que le nombre d'entrées n'a pas changé. Nora remet la nouvelle liste, puis choisit la taille six lorsque Camille demande une taille comprise entre cinq et sept avec un coefficient impair. Cinq et sept sont exclus par leur place unité absente de quatorze.
La base d'écriture change le compte des zéros, pas l'entier
Camille reprend enfin 10! et veut écrire ce même entier en base douze. Un zéro final y exige un facteur douze, soit deux facteurs deux et un facteur trois. Nora a déjà huit deux ; les trois donnent trois plus un, soit quatre. Le maximum de paquets douze est donc le minimum entre huit divisé par deux et quatre, soit quatre. La division par deux appartient ici à l'exposant exigé par douze, pas à une moyenne entre les deux nombres de facteurs.
La conversion complète de 3 628 800 en base douze s'écrit 1270000 : un groupe de douze au carré, deux groupes de douze et sept unités, puis quatre positions nulles. Le préfixe 127 représente cent soixante-quinze ; multiplié par douze à la puissance quatre, il redonne 3 628 800. Nora garde deux zéros finaux pour la base dix et quatre pour la base douze. Elle n'a ni augmenté l'entier ni ajouté des préparations : elle a changé l'unité d'un chiffre de position sous une permission d'écriture annoncée.
La fiche finale conserve les indices, les bases, les facteurs restants et les tailles sélectionnées. Les catégories des notices ne fournissent ni ces nombres ni leurs preuves. Les résultats restent ceux d'un calcul sur des catalogues stipulés, sans production de matériel ou mesure réelle de service.