Nora prépare sur papier une liste de noms pour une table de thé fictive. Camille souhaite éviter de consulter toute la liste lorsqu'un nom demandé n'y figure pas. Elle accepte une première feuille plus courte, qui pourra répondre « absent » ou « à vérifier ». Elle n'accepte pas que la seconde réponse soit remise comme une présence confirmée. Leur choix porte donc sur une manière de filtrer les consultations, avec une réponse finale qui demeure attachée à la liste exacte.
Ahmad Tea présente des thés.
Dilmah présente des thés.
TAZO présente des sachets de thé.
Ces catégories seules ont été lues. Aucun produit, goût ou procédé réel n'est adapté ; les noms, marques, règles et probabilités sont stipulés pour cette feuille.
Les noms A, B, C, D, E et F ne désignent aucune variété réelle. La feuille possède six cases, numérotées de zéro à cinq, qui portent initialement zéro. À chaque nom correspond une paire de positions fixée et connue : A utilise zéro et deux ; B deux et quatre ; C un et quatre ; D zéro et quatre ; E trois et cinq ; F deux et deux. Inscrire un nom signifie mettre à un ses deux positions, sans remettre les autres à zéro. Interroger un nom signifie regarder ses deux positions. Si l'une vaut zéro, la réponse est absent ; sinon, elle est à vérifier. Ce petit filtre est une construction classique, sans prétention d'invention ou d'essai matériel.
Une réponse positive peut assembler les traces de deux noms
Nora inscrit A puis B. La feuille porte alors un aux positions zéro, deux et quatre, zéro ailleurs. Camille demande D, qui n'a pas été inscrit. Ses positions zéro et quatre portent toutes deux un. Le filtre répond donc à vérifier. La première marque vient d'A et la seconde de B : leur réunion n'a pas créé une inscription de D dans la liste. Nora retire la proposition qui remettait D comme présent, puis consulte la liste exacte A, B et confirme son absence. Les deux étapes ont donné deux réponses différentes, correspondant aux renseignements réellement conservés par chacune.
Camille demande ensuite C. Sa position quatre vaut un, mais sa position un vaut zéro. Nora peut répondre absent sans consulter la liste exacte. En effet, si C avait été inscrit, sa position un aurait été mise à un et le serait restée. Un zéro dans l'une des positions du nom exclut donc son inscription sous cette règle d'ajouts seuls. Nora conserve cette implication dans le projet remis. Elle ne conserve pas l'implication inverse : deux uns peuvent provenir d'autres noms, comme vient de le montrer D. Le filtre ne traite pas les deux directions comme une même reconnaissance.
Pour A et B, les deux positions interrogées valent bien un. Aucun nom inscrit ne reçoit absent tant que les seules modifications sont les mises à un prévues. Chaque ajout établit cette propriété pour le nom ajouté et ne peut la détruire pour un nom antérieur, puisqu'aucun un n'est effacé. Camille choisit cette garantie lorsqu'elle veut interrompre certaines recherches inutiles. Elle garde cependant la consultation exacte après chaque à vérifier, même lorsque la feuille a toujours eu raison sur les noms essayés précédemment. Une suite de succès n'a pas supprimé les collisions possibles de la règle.
F utilise deux fois la même position deux. Son interrogation reçoit également à vérifier sur la feuille A, B. Nora ne transforme pas les deux passages sur cette case en deux renseignements indépendants sur F. Ils lisent la même marque déjà présente. La feuille conserve ici une seule condition effective, position deux à un, tandis que D exigeait deux positions différentes. Camille maintient les paires autorisées avec cette répétition, mais retire le commentaire « deux contrôles distincts pour chaque nom ». Le nombre de positions annoncées dans une paire ne garantissait pas leur différence.
Effacer les marques d'un nom peut effacer la trace d'un autre
Camille veut maintenant retirer A de la liste, en conservant B. Elle propose de remettre à zéro les positions d'A, zéro et deux. La feuille ne garderait alors que quatre à un. B demanderait deux et quatre, et recevrait absent bien qu'il soit toujours inscrit dans la liste active. Nora refuse ce retrait sur la feuille de bits. La position deux servait aux deux noms, sans porter une mention permettant de séparer leurs contributions. Le zéro nouvellement créé a détruit précisément l'implication qui justifiait la réponse d'absence sous les ajouts seuls.
Nora remplace dans une nouvelle préparation les bits par des nombres entiers. Chaque inscription ajoute un à chacune de ses positions ; chaque retrait autorisé enlève ces mêmes contributions. Après A puis B, zéro vaut un, deux vaut deux et quatre vaut un. Retirer A fait passer zéro à zéro et deux à un ; quatre reste un. B conserve ses deux positions strictement positives et reçoit à vérifier. La remise exacte ne contient plus qu'un nom, B. Camille accepte cette nouvelle feuille pour les retraits, sans appeler deux une valeur présente dans l'ancienne feuille de bits.
Cette réparation exige toutefois de connaître les inscriptions réellement retirées. Camille demande de retirer D sur la feuille comptant A et B, parce que son interrogation avait répondu à vérifier. D n'avait jamais été ajouté. En soustrayant néanmoins un à zéro et quatre, on ferait disparaître ces deux contributions ; A et B recevraient chacun absent à l'une de leurs positions. Aucun compteur n'est devenu négatif dans ce mauvais geste : zéro et quatre étaient exactement à un. Nora refuse donc de prendre la seule positivité des compteurs comme permission de retrait. Elle consulte la liste exacte, n'y trouve pas D et ne soustrait rien.
La règle de retrait remet ainsi un rôle distinct à la liste exacte. Elle ne sert plus seulement à confirmer les réponses positives des recherches ; elle fournit aussi la preuve qu'une contribution est disponible pour être retirée. Camille conserve A et B après sa tentative sur D, puis retire A une seule fois sur la liste et sur les compteurs. Elle ne fait pas de ce second geste une réparation de tous les effets du premier : celui-ci avait été refusé avant modification. La trace indique un retrait non exécuté, puis un retrait exécuté, au lieu de deux soustractions dont l'une serait oubliée.
Une même inscription répétée doit garder son nombre de contributions
Nous créons une autre branche où deux occurrences d'A peuvent rester actives séparément. Nora ajoute A deux fois : les compteurs zéro et deux valent deux. Elle retire ensuite une occurrence d'A seulement. Les deux compteurs restent à un et la seconde occurrence est encore active. Camille avait remis la réponse absent après ce premier retrait en traitant chaque nom comme un simple drapeau. Elle retire cette réponse et garde à vérifier, puis la liste exacte confirme l'occurrence restante. Le retrait a consommé une contribution, sans effacer une identité à laquelle une autre contribution appartient encore.
Camille peut choisir une autre convention où chaque nom n'est inscrit qu'une fois, même si une demande d'ajout revient. Dans ce cas, il faut reconnaître l'ajout répété avant de modifier les compteurs. Ajouter malgré tout une seconde contribution, puis retirer le nom une seule fois, laisserait une marque positive après sa disparition de la liste unique. Nora distingue donc les deux préparations : occurrences séparées, ou ensemble de noms où les doublons n'ajoutent rien. Elle ne prend pas le compte de la première pour certifier le retrait complet de la seconde. Cette distinction de multiplicité est une condition de la remise, sans lui attribuer une fréquence de demandes réelle.
Camille impose maintenant des compteurs bornés à trois, avec la règle suivante : un ajout sur trois laisse trois, sans conserver ailleurs le dépassement. Dans une branche autorisant quatre occurrences d'A, les compteurs zéro et deux suivent un, deux, trois puis trois. Trois retraits successifs les ramènent à deux, un puis zéro. Une quatrième occurrence reste pourtant active dans la liste. Le filtre lui répondrait absent. Nora retire cette préparation de la demande garantissant l'absence de faux négatifs : le quatrième ajout avait perdu une contribution que les retraits suivants ne pouvaient retrouver.
Pour conserver cette garantie, Nora propose de refuser le quatrième ajout avant son inscription, ou de garder séparément les contributions dépassant trois. Camille choisit le refus dans cette branche et inscrit exactement trois occurrences, puis retire les trois. La liste et les compteurs finissent alors vides ensemble. Elle renonce expressément à accepter quatre inscriptions simultanées avec cette petite représentation sans mémoire supplémentaire. Le choix n'augmente pas fictivement le compteur maximal ; il restreint les opérations qui peuvent être réalisées sans perdre la quantité dont les retraits auront besoin.
Réunir deux feuilles ne donne pas une intersection exacte
Deux préparations utilisent maintenant les mêmes six positions et les mêmes paires. La première contient A seul et marque zéro, deux ; la seconde contient B seul et marque deux, quatre. Nora réunit leurs marques en gardant un dès qu'au moins l'une des deux feuilles porte un. Le résultat marque zéro, deux, quatre, comme la feuille construite directement pour A et B. Chaque nom de l'une des listes garde toutes ses positions, donc la garantie de ne pas déclarer absent un nom de leur réunion est conservée. Camille prépare la réunion exacte A, B pour confirmer les réponses à vérifier.
Elle propose ensuite de ne garder un que lorsque les deux feuilles portent un, en souhaitant obtenir leur intersection. Il ne reste que la position deux. Or F demande deux et deux et reçoit à vérifier, tandis que l'intersection exacte des listes A et B est vide. Nora refuse de remettre F comme élément commun. Une marque partagée peut venir de noms différents, et le test de F ne porte aucun renseignement sur l'origine de cette marque. Le geste sur les feuilles a une sortie déterminée, mais cette sortie n'est pas une liste des noms communs. Camille garde l'intersection exacte vide, obtenue depuis les listes.
La compatibilité des paires doit aussi être conservée pendant une réunion. Nora reçoit une feuille provenant d'une autre convention où A utilise trois et cinq. Lire la première feuille, qui marquait zéro et deux pour A, avec cette seconde convention donnerait absent pour A. Elle refuse donc de joindre des feuilles simplement parce qu'elles possèdent six cases. Elle garde avec chacune sa table de positions et décide de reconstruire une feuille commune depuis les listes exactes, sous une seule table choisie. La reconstruction ajoute les noms avec cette table ; elle ne renomme pas les cases pour annoncer une compatibilité qui n'avait pas été reçue.
La moyenne des cases occupées ne fournit pas le risque exact
Nous fixons un modèle aléatoire séparé pour quatre cases. Chaque nouveau nom possède deux positions tirées indépendamment et uniformément parmi les quatre, avec répétition possible. Une fois tirées, ses positions restent fixes. Les positions des noms différents sont indépendantes. Un nom est inscrit ; un autre nom, absent, est interrogé. Cette loi est donnée pour notre calcul, sans prétendre décrire une fonction ou un appareil réel. Les six noms à paires fixes de la première scène ne reçoivent pas rétroactivement cette loi.
Les deux positions du nom inscrit sont égales avec probabilité un quart. Une seule case est alors occupée ; les deux positions du nom absent doivent tomber dans cette case, ce qui arrive avec probabilité un seizième. Dans les trois quarts restants, deux cases sont occupées et chaque position de l'absent doit tomber dans ces deux cases. La probabilité de réponse à vérifier vaut alors un quart. En réunissant ces branches, Nora obtient un quart fois un seizième, plus trois quarts fois un quart, soit treize soixante-quatrièmes. Toutes ces réponses positives concernent ici un nom absent par construction.
Camille avait remplacé le nombre de cases occupées par sa moyenne, sept quarts, puis divisé par quatre et élevé au carré. Elle obtenait quarante-neuf deux cent cinquante-sixièmes, au lieu de cinquante-deux deux cent cinquante-sixièmes. Nora refuse cette substitution : le carré doit être calculé dans chaque état d'occupation avant de réunir les probabilités des états. Le nombre moyen de cases n'est pas la feuille effectivement interrogée. Camille conserve donc deux possibilités de feuille, une case ou deux, avec leur test propre, et remet treize soixante-quatrièmes comme le résultat de ce modèle.
Nora inscrit deux noms distincts dans une réalisation recommencée. Leurs quatre positions donnent deux cent cinquante-six tirages ordonnés possibles. Quatre occupent une seule case ; quatre-vingt-quatre en occupent deux ; cent quarante-quatre en occupent trois ; vingt-quatre occupent les quatre. Pour un nom absent indépendant, elle applique dans chacun de ces groupes le carré du nombre de cases occupées divisé par seize. La somme donne cinq cent cinq mille vingt-quatrièmes. Camille voit ainsi pourquoi la feuille ayant reçu davantage d'ajouts peut demander plus de vérifications. Elle ne transforme pas ce compte en proportion mesurée sur les noms de la première table.
Répéter une demande ne donne pas une preuve indépendante
Camille interroge deux fois le même nom absent sur une feuille qui ne change pas. Les deux positions de ce nom étaient fixées au début. Si la première interrogation répond à vérifier, la seconde fera exactement de même ; si elle répond absent, la seconde répétera cette absence. Nora refuse la proposition qui multipliait treize soixante-quatrièmes par lui-même pour donner un risque plus petit après deux réponses identiques. Aucun nouveau tirage ni aucune nouvelle feuille n'est intervenu. La répétition a relu les mêmes deux marques, au lieu de fournir une seconde expérience indépendante.
Même deux noms absents différents et indépendants partagent la feuille aléatoire déjà créée. Avec un nom inscrit dans quatre cases, une feuille à une case donne pour deux réponses positives la probabilité un deux cent cinquante-sixièmes ; une feuille à deux cases donne un seizième. Leur mélange vaut quarante-neuf mille vingt-quatrièmes. Le produit des deux probabilités marginales vaudrait cent soixante-neuf quatre mille quatre-vingt-seizièmes, alors que le mélange réel vaut cent quatre-vingt-seize de ces mêmes parts. Nora conserve les deux tirages de noms indépendants, mais pas une indépendance des résultats après avoir oublié la feuille commune qui les conditionne.
Agrandir la feuille ne permet pas de retrouver les noms effacés par sa construction
Camille souhaite changer la représentation après avoir perdu la liste exacte. Nous créons un nom X qui possède les mêmes anciennes positions qu'A, zéro et deux. Une première histoire a inscrit seulement A ; une seconde seulement X. Les deux anciennes feuilles sont donc identiques. La nouvelle table demandée attribue zéro et un à A, quatre et cinq à X. Reconstruire correctement la nouvelle feuille devrait donner deux résultats différents : zéro et un marqués dans la première histoire, quatre et cinq dans la seconde. Nora reçoit pourtant la même ancienne feuille dans les deux cas. Aucune opération fondée uniquement sur ses six bits ne peut choisir lequel de ces deux nouveaux résultats provient de l'histoire effectivement réalisée.
Nora refuse donc de transformer les anciennes marques en noms, puis de redistribuer ces noms sur la feuille nouvelle. Ce détour aurait choisi A ou X sans renseignement permettant de les distinguer. Camille retrouve dans cette branche un relevé exact conservé séparément, qui porte X. Elle autorise sa consultation, puis Nora marque quatre et cinq sur la nouvelle feuille et laisse zéro et un à zéro. Le résultat conserve maintenant la table nouvelle et l'inscription effectivement renseignée. La feuille ancienne reste identique à celle de l'histoire A : la consultation a apporté une identité que cette feuille n'avait jamais conservée, plutôt qu'une correction de ses deux marques exactes.
Camille choisit finalement de consulter la liste exacte après chaque réponse à vérifier, plutôt que de répéter le test pour transformer son hésitation en certitude. Une réponse absent peut encore interrompre la recherche sous les conditions d'ajout convenues ; une réponse à vérifier ouvre la consultation, sans nom nouveau ajouté par les marques seules. Les feuilles de bits, de compteurs et de probabilités gardent leurs opérations et leurs limites différentes. Les pages de thé citées n'apportent aucune garantie de lecture ou de présence de produit : les décisions remises concernent exclusivement les noms et les feuilles créés ici.