Une fiche de préparation peut aligner trois nombres croissants et donner envie de corriger ensuite toutes les lectures par la même formule. Mais si les charges ont augmenté en même temps que les moments de lecture, le relevé peut confondre deux effets. Nous allons préparer plusieurs séries sur papier, puis choisir celle qui distingue effectivement la charge et le temps dans un modèle donné. Les références seront connues dans notre exercice ; aucun aliment ni instrument réel ne sera pesé.
Nora remet à Camille des charges fictives, désignées par une masse m en grammes, et des moments t mesurés depuis un début choisi. L’affichage créé est y = a × m + b + c × t. Les trois nombres a, b et c restent constants dans chaque série. a donne l’effet d’une variation de charge, b un décalage au début et c l’évolution par unité de temps. Nous cherchons ce que les relevés permettent d’identifier sous cette hypothèse expressément donnée, sans prétendre qu’une balance commerciale suit cette relation ou qu’on pourrait la régler ainsi.
KERN présente des balances.
RADWAG présente des balances.
Sartorius présente des balances.
Trois références peuvent garder deux effets indissociables
La première série donne 100 grammes au moment zéro avec un affichage de 112, puis 200 grammes au moment un avec 223, puis 300 grammes au moment deux avec 334. Les trois masses et les trois moments sont les données exactes du dossier. Camille souhaite déterminer les trois coefficients, puis retrouver une masse inconnue dont l’affichage est 333 au moment trois. Nora commence par examiner les différences : entre deux relevés successifs, la charge augmente de 100 et le temps d’une unité ; l’affichage augmente chaque fois de 111.
Le premier changement donne donc 100 × a + c = 111. Le second donne exactement la même relation. Les deux différences ne fournissent pas deux contraintes indépendantes sur a et c. La première ligne ajoute 100 × a + b = 112, mais elle ne décide toujours pas quelle part des 111 suivants vient de la charge et quelle part vient du temps. Nora retire la promesse de déterminer les trois coefficients avec cette seule série. Trois lignes sont présentes, mais deux d’entre elles répètent le même déplacement dans les deux grandeurs.
Nous remplissons deux explications compatibles. Dans la première, a vaut 1,1, b vaut deux et c vaut un. La charge contribue pour 110, 220 puis 330 ; le décalage initial et le temps ajoutent respectivement deux, trois puis quatre. Nous retrouvons 112, 223 et 334. Dans la seconde, a vaut un, b vaut douze et c vaut onze. Les charges contribuent pour 100, 200 et 300, tandis que le reste donne douze, vingt-trois et trente-quatre. Les trois affichages sont encore identiques. Nora remet ces deux explications, plutôt qu’un coefficient choisi uniquement parce qu’il lui paraît plus proche de un.
Pour l’affichage inconnu 333 au moment trois, elles ne donnent pourtant pas la même masse. La première demande de retirer cinq, puis de diviser les 328 restants par 1,1 : la masse est 3280/11 grammes, environ 298,18. La seconde retire quarante-cinq, puis garde un coefficient de charge égal à un : elle donne 288 grammes. Camille refuse donc le nombre unique que Nora avait préparé. Elle conserve ces deux résultats compatibles comme preuve du manque d’identification, sans les transformer en une moyenne de 293,09 qui ne serait déterminée par aucune des deux explications.
Revenir à une charge connue isole un effet différent
Camille ajoute un relevé : la charge de 100 grammes est reprise au moment deux et donne 114. Elle garde la première lecture de cette même charge, 112 au moment zéro. La masse ne change pas entre ces deux lignes ; le terme a × m disparaît donc de leur différence, comme le terme b. Les deux unités de temps donnent deux unités d’affichage supplémentaires. Dans notre modèle constant, c vaut un. Nora n’attribue plus ces deux unités à une charge ajoutée : les masses de référence sont expressément identiques.
Elle reprend ensuite l’augmentation de 111 dans la première série. Une unité venait du temps ; les 110 restantes provenaient de 100 grammes supplémentaires. a vaut donc 1,1. La première référence donne enfin b égal à deux, puisque 100 × 1,1 + b doit faire 112. Nora peut maintenant remettre les trois coefficients, puis la masse inconnue 3280/11 au moment trois. La nouvelle ligne n’a pas corrigé un chiffre ancien : elle a changé le type de comparaison disponible en faisant varier le temps sans faire varier la masse connue.
La seconde explication, avec c égal à onze, prévoyait 134 pour cette charge reprise au moment deux. Elle est donc incompatible avec le nouveau 114 et sort du dossier actif. Nora ne la garde pas comme une erreur d’arrondi autour du premier modèle : l’écart est de vingt et toutes les valeurs de cette scène sont exactes. Camille reçoit une série enrichie et une seule explication affine. Elle conserve la référence ajoutée avec le calcul, afin que le destinataire puisse retrouver ce qui a effectivement séparé les effets jusqu’alors réunis.
Camille propose aussi de répéter 300 grammes à un moment trois, avec 335. Ce relevé serait conforme à la relation trouvée, mais sa fonction serait désormais un contrôle supplémentaire. Il ne remplacerait pas le retour à 100 grammes qui avait permis de distinguer a et c dans notre raisonnement. Nora garde les deux fonctions dans la fiche : un changement de plan pour identifier les paramètres, puis une comparaison nouvelle pour vérifier que cette relation convient encore à la valeur donnée. La conformité d’un relevé ne dit pas à elle seule quel rôle il a joué dans l’identification.
Choisir le plan avant de recevoir les nombres
Dans une série indépendante, Nora peut décider les références avant les lectures. Camille lui demande de garder trois lignes seulement. Elle choisit 100 grammes au moment zéro, 300 au moment un, puis 100 au moment deux. Les affichages créés reçus sont 112, 333 et 114. Le début et la fin conservent la même masse ; le milieu en prend une autre. La préparation ne fait donc plus augmenter systématiquement la charge avec le temps. Les trois lignes ne possèdent pas la relation de déplacement répétée qui avait rendu la première série ambiguë.
Nora retrouve d’abord c grâce aux deux références de 100 grammes : deux unités d’affichage pour deux unités de temps, donc c égal à un. Du premier relevé au milieu, la masse a augmenté de 200 et le temps de un ; l’affichage a augmenté de 221. Après retrait de l’unité attribuée au temps, les 200 grammes expliquent 220 unités. a vaut 1,1. b vaut de nouveau deux. Camille reçoit les mêmes coefficients que dans la série enrichie, mais cette fois avec seulement trois références, choisies pour donner deux déplacements distincts.
La comparaison ne recommande pas de peser deux fois le même objet dans toute situation réelle. Elle ferme une demande précise dans notre modèle : identifier trois constantes avec trois lignes. Nora donne sur la feuille le retour à 100 grammes et les moments associés, pas seulement la liste « 100, 300, 100 ». Déplacer le dernier 100 au même moment zéro que le premier ferait répéter une ligne au lieu d’isoler une variation temporelle. Garder les masses en changeant les moments peut donc faire disparaître le renseignement que le plan avait recherché.
Camille examine une proposition où la troisième référence serait 500 grammes au moment deux, après 100 au moment zéro et 300 au moment un. Chaque pas ferait alors augmenter la masse de 200 et le temps de un. Avec les affichages 112, 333 et 554, les deux différences donneraient seulement 200 × a + c = 221. Nora écarte ce plan pour l’identification complète, bien qu’il possède trois masses différentes et des valeurs parfaitement conformes à la relation qu’elle connaît maintenant. La diversité des nombres n’a pas remplacé la diversité des comparaisons.
Une référence identique peut contredire la relation choisie
Une autre série garde 100 grammes pour trois moments successifs, zéro, un et deux. Elle donne cette fois 112, 113 et 115. Nora voudrait conserver la règle d’une dérive constante, mais la première différence vaut un et la seconde vaut deux pour la même durée. Puisque la masse est fixe, le terme a ne peut pas expliquer cette différence. Aucun choix de b ne la répare non plus : ce terme déplace toutes les lectures également et disparaît des deux soustractions. Un c constant ne convient pas à ces trois données exactes.
Camille retire donc l’emploi de la relation affine pour cette série. Elle ne remplace pas 115 par 114 afin de lui faire rejoindre la règle de la série précédente. Elle ne donne pas non plus c égal à 1,5 comme si cette moyenne rendait exactes les deux étapes : un tel c conduirait à 113,5 au milieu si l’on conservait 112 au départ, alors que le relevé donne 113. Nous gardons les trois lignes et la conclusion d’incompatibilité. Aucun intervalle d’erreur ou modèle de bruit n’a été fourni dans cette branche pour absorber l’écart.
Nora propose deux suites possibles, que Camille distingue dans sa réponse. La première serait de modifier le modèle temporel ; elle demanderait une nouvelle relation explicitement choisie et contrôlée. La seconde serait de déclarer les lectures incertaines ; elle demanderait des bornes ou d’autres données sur cette incertitude. Camille ne choisit aucune de ces suites dans ce dossier. Elle garde la série comme un refus d’appliquer la correction affine. L’échec d’une relation créée ne lui apprend ni une cause matérielle du changement ni un défaut d’un fabricant cité.
Encadrer la lecture par deux passages sur une même référence
Nous revenons dans un autre dossier au modèle affine constant, avec le coefficient de charge 1,1 déjà renseigné. La référence de 100 grammes donne 112 au moment zéro puis 114 au moment deux. Entre elles, une charge inconnue donne 223 au moment un. Nora veut comparer cette lecture à ce que donnerait la référence au même moment. Sous la relation temporelle donnée, l’affichage de 100 grammes au milieu serait 113, moyenne des deux valeurs qui encadrent ce moment. La masse de référence est conservée ; seule sa valeur temporelle est complétée.
Les 110 unités entre 223 et 113 correspondent alors à une différence de charge, au même moment. Le décalage initial et le terme temporel se retirent de cette comparaison. Avec a égal à 1,1, la différence de masse est de 100 grammes. La charge inconnue en possède donc 200, en ajoutant les 100 de la référence. Nora corrige une première fiche qui annonçait seulement 100 grammes pour cette charge : elle avait trouvé l’écart avec la référence et l’avait donné comme masse totale. La comparaison au même moment enlève le décalage d’affichage, pas la masse déjà présente dans son point de référence.
Camille change ensuite une donnée de la demande : le coefficient a n’est plus connu. Les deux passages sur 100 grammes permettent encore de trouver l’affichage de cette référence au milieu, mais ils ne donnent aucune variation de masse pour déterminer a. Un modèle avec a égal à un, b égal à douze et c égal à un reproduirait ces deux références ; l’inconnue donnerait alors 210 grammes. Le modèle avec a égal à 1,1, b égal à deux et c égal à un en donne 200. Nora retire la masse unique de cette branche moins renseignée. Les deux références temporelles avaient isolé l’évolution du décalage ; elles n’avaient pas mesuré à elles seules l’effet d’une variation de charge.
La remise choisie garde donc une ligne distincte pour le coefficient de charge connu dans la première branche. Camille ne la supprime pas au motif que le calcul s’était contenté d’une différence d’affichages. Cette différence contenait justement le coefficient par lequel elle devait être divisée. Dans la seconde branche, elle choisit d’ajouter une référence d’une autre masse avant toute attribution de masse totale. Le projet ne remplace pas cette information manquante par davantage de reprises de la même charge : ces reprises resteraient dans la même comparaison temporelle.
Le temps séparant les références change la portée des bornes
Une nouvelle préparation conserve le modèle constant, mais les lectures de référence ne sont plus exactes. Chacune peut différer de sa valeur réelle d’au plus un dixième d’unité d’affichage, indépendamment de l’autre. La masse de référence, elle, reste exactement 100 grammes. Les valeurs centrales sur cette charge sont 112 au moment zéro et 112,1 au moment 0,1. Nous ne donnons aucune loi de probabilité, répétition aléatoire ou performance d’instrument : les deux intervalles sont simplement les possibilités créées du dossier.
La différence réelle peut aller de moins 0,1 à plus 0,3. Son minimum vient d’un premier affichage réel de 112,1 et d’un second de 112 ; son maximum d’un premier à 111,9 et d’un second à 112,2. En divisant cette différence par la durée 0,1, Nora obtient pour c un intervalle allant de moins un à plus trois. Elle retire l’annonce « c vaut certainement un » tirée des seuls milieux. La courte durée a rendu le même écart possible sur les lectures important lorsqu’il est rapporté à une unité entière de temps.
Camille choisit un autre plan conservant les mêmes bornes par lecture : une référence au moment zéro, centrée sur 112, puis la même référence au moment deux, centrée sur 114. La différence réelle se trouve entre 1,8 et 2,2. Divisée par deux, elle donne pour c une plage de 0,9 à 1,1. Nora remet cette seconde plage pour ce plan choisi. Le choix n’a pas rendu chaque lecture plus précise ; il a augmenté la séparation temporelle dans le calcul d’un même coefficient constant. Elle conserve la distinction entre la largeur des intervalles de lecture et celle de la plage obtenue pour c.
La conséquence apparaît sur une correction faite quatre unités de temps plus tard, si seule l’incertitude sur c est considérée et si les autres paramètres sont fixés. La première plage de c permettrait un terme temporel entre moins quatre et douze ; la seconde entre 3,6 et 4,4. Camille refuse de remettre la première correction avec la marge de la seconde. Elle choisit la série plus espacée pour son calcul et inscrit sa plage avec elle. L’étalement du plan reste toutefois attaché à la constance de c sur la durée : si cette hypothèse est retirée, la petite largeur calculée ne fournit pas une garantie pour une dérive qui changerait entre les moments.
Alterner deux charges peut faire disparaître la dérive de leur comparaison
Camille prépare quatre références exactes, en conservant une dérive constante mais sans connaître sa valeur. Elle veut retrouver le coefficient de charge a par une comparaison de deux moyennes. Nora choisit 100 grammes au moment zéro, 300 au moment un, encore 300 au moment deux, puis 100 au moment trois. Les affichages donnés sont 112, 333, 334 et 115. La moyenne des deux lectures de 100 grammes vaut 113,5 ; celle des deux lectures de 300 grammes vaut 333,5. Les deux groupes possèdent le même moment moyen, 1,5. Leur différence d’affichage, 220, ne conserve donc aucun terme en c : les 200 grammes de différence donnent a égal à 1,1, sans avoir à choisir c avant cette comparaison.
Nora avait proposé de rassembler les deux petites charges d’abord et les deux grandes ensuite. Dans ce plan distinct, 100 grammes aux moments zéro et un donnent 112 et 113 ; 300 grammes aux moments deux et trois donnent 334 et 335. Les moyennes deviennent 112,5 et 334,5. Leur différence de 222 contient deux unités de dérive en plus de l’effet de charge. La division par 200 donnerait 1,11 au lieu de 1,1. Camille écarte ce plan pour une comparaison directe des moyennes sans correction temporelle. Quatre lectures et deux répétitions de chaque charge sont présentes dans les deux propositions ; c’est leur répartition dans le temps qui permet ou empêche l’annulation recherchée.
Une réalisation ultérieure conserve l’ordre petite, grande, grande, petite, mais place la dernière petite charge au moment quatre plutôt qu’au moment trois. Elle donne 116. La moyenne des petites charges est désormais 114, avec un moment moyen de deux ; celle des grandes reste 333,5 avec un moment moyen de 1,5. Nora retire le calcul direct de a par les deux moyennes : la même alternance de noms de charges ne leur donne plus le même centre temporel. La différence 219,5 comprend un terme égal à moins la moitié de c. Elle ne traite pas le dernier 116 comme un 115 attendu, puisque le moment quatre fait partie de la réalisation reçue.
Camille choisit de conserver les quatre lectures et de changer leur combinaison. Pour les petites charges aux moments zéro et quatre, Nora prend cinq huitièmes de la première lecture et trois huitièmes de la dernière. Le moment pondéré devient 1,5, comme celui des deux grandes charges ; l’affichage pondéré vaut 113,5. Sa comparaison avec 333,5 retrouve donc 220 et a égal à 1,1. Cette réparation porte sur les poids du calcul, pas sur les lectures ni sur leurs moments. Les fractions sont inscrites dans la remise : remplacer ensuite cette combinaison par une moyenne simple réintroduirait la dérive que Camille voulait justement écarter.
Changer l’unité de temps exige de changer son coefficient
La fiche retenue donne maintenant les moments en minutes et c égal à une unité d’affichage par minute. Au moment une minute, la référence de 100 grammes donnerait 113 avec a égal à 1,1 et b égal à deux. Camille prépare un second relevé qui nomme le même moment « soixante secondes ». Nora avait recopié c égal à un en gardant les autres coefficients ; sa formule donnait alors 172. Elle retire ce résultat : elle a changé l’unité du moment sans changer celle du coefficient qui le multiplie.
Dans le relevé en secondes, c doit être égal à 1/60. Le produit avec soixante redonne une unité, et la référence retrouve 113. a reste égal à 1,1 et b à deux dans ce changement, puisque ni l’unité de masse ni l’origine du temps n’ont changé. Camille conserve deux fiches équivalentes : t égal à un avec c égal à un dans la première, t égal à soixante avec c égal à 1/60 dans la seconde. Elle ne choisit pas entre 113 et 172 comme entre deux observations différentes : un seul moment est donné, avec deux représentations dont l’une avait été mal convertie.
Une dernière modification déplace l’origine du relevé. Le moment qui portait auparavant t égal à dix minutes devient le nouveau zéro. Le coefficient temporel reste un par minute, mais le décalage au nouveau début vaut douze, ancien b de deux augmenté des dix unités déjà écoulées. Nora écrit donc y = 1,1 × m + 12 + t′, où t′ compte depuis ce nouveau début. La référence de 100 grammes à t′ égal à zéro donne 122, comme à l’ancien moment dix. Changer l’origine ne change pas c de la même manière que changer l’unité : ici, c demeure le même et c’est b qui accueille le déplacement.
Camille demande enfin de compter le nouveau temps en secondes depuis cette origine déplacée. Nora garde b égal à douze et prend c égal à 1/60. Une minute après le nouveau début, les soixante secondes donnent 123 pour les 100 grammes. La feuille réunit donc deux transformations renseignées, l’une sur le début et l’autre sur l’unité, sans les appliquer deux fois au même terme. Une ancienne ligne avait porté b à vingt-deux en déplaçant encore l’origine lors du passage aux secondes ; Nora la retire. La conversion de durée n’avait pas ajouté dix minutes au moment observé.
Garder la relation retenue avec les valeurs qu’elle explique
Les références de cet atelier ont permis d’identifier des constantes, de montrer deux explications concurrentes ou de refuser une relation incompatible avec des données exactes. Ces issues concernent des modèles créés. Elles ne remplacent ni une notice, ni un étalonnage, ni des observations nécessaires pour juger un instrument réel. Dans la fiche remise, les masses de référence, les moments, les unités et les hypothèses demeurent avec le résultat. Un nombre corrigé ne fait pas disparaître le plan qui a permis de le déterminer.