Une feuille de service peut annoncer une progression et porter pourtant des repères qui redescendent. Nora prépare cinq étapes sur papier et souhaite corriger leurs niveaux sans changer l'ordre des étapes. Plusieurs corrections peuvent rendre la liste croissante ; elles ne restent pas toutes aussi proches des repères qu'elle avait donnés. Nous allons conserver les noms, remplir les ajustements et préciser le calcul qui accepte une nouvelle feuille.
Les cinq étapes, leurs niveaux et les contraintes sont entièrement créés. Les nombres sont des graduations abstraites, sans température, quantité alimentaire, durée de cuisson ou mesure auprès de personnes. Un niveau peut être fractionnaire lorsque la branche l'autorise. Nora appelle « croissant » un ordre qui ne descend jamais : deux étapes voisines peuvent avoir le même niveau. Le critère d'ajustement sera la somme des carrés des différences aux niveaux initiaux. Ce modèle classique est une régression isotone ; nous n'en revendiquons pas l'invention.
Pentel présente des stylos.
Tombow présente des crayons.
Zebra Pen donne un lien vers son catalogue.
Ces pages situent des outils d'écriture et leurs références. Aucun produit, performance ou règle d'ajustement n'est repris dans notre feuille.
Garder les étapes à leurs places pendant la correction
Nora donne les cinq niveaux trois, un, quatre, deux et cinq, attachés dans cet ordre à l'accueil, la première remise, la pause, la deuxième remise et la fin. Les deux descentes sont trois vers un et quatre vers deux. Elle veut conserver cet ordre de noms, mais choisir de nouveaux niveaux qui ne descendent plus. Une erreur de un compte un carré, une erreur de deux compte quatre ; les différences positives et négatives sont traitées de la même manière dans ce premier critère.
Camille trie les cinq valeurs et propose un, deux, trois, quatre, cinq. Cette liste ne descend pas, mais elle attribue un à l'accueil qui avait trois, deux à la première remise qui avait un, trois à la pause qui avait quatre, quatre à la deuxième remise qui avait deux. Les cinq carrés valent quatre, un, un, quatre et zéro, soit dix. Nora ne présente pas cette proposition comme une conservation des anciens niveaux avec leurs étapes : elle a changé leurs correspondances. Le tri peut fournir une candidate, mais ne décide pas à lui seul de la meilleure correction.
Une autre proposition garde le premier trois, puis remplace chaque descente par le plus grand niveau déjà inscrit. Elle produit trois, trois, quatre, quatre, cinq. Les carrés valent zéro, quatre, zéro, quatre et zéro : total huit. Cette proposition est également autorisée par l'ordre croissant, mais elle impose de remonter les étapes basses et de laisser les hautes intactes. Nora n'a pas donné cette obligation supplémentaire. Elle conserve huit comme coût d'un essai, puis autorise aussi les niveaux hauts à baisser si cela rapproche davantage toute la feuille.
Pour le premier couple trois, un, Nora choisit deux, deux. Le coût devient un plus un, soit deux, au lieu des quatre de trois, trois. Pour quatre, deux, elle choisit trois, trois, coût encore deux. La dernière valeur cinq peut rester cinq. La liste entière devient deux, deux, trois, trois, cinq et ne descend pas aux frontières de ses deux couples. Le total vaut quatre. Nora retient cette candidate pour son coût inférieur à dix et huit, mais elle veut encore vérifier qu'aucune autre liste croissante ne possède un coût plus petit.
Les différences du couple expliquent son niveau commun
Si Nora donne un niveau commun t aux deux premières étapes, leurs carrés sont ceux de t moins trois et de t moins un. Leur somme vaut deux fois le carré de t moins deux, plus deux. Ce calcul atteint deux seulement lorsque t vaut deux ; tout autre niveau commun ajoute un carré positif. Le milieu deux n'a donc pas été choisi parce qu'il ressemble à un compromis poli entre les personnes. Il est imposé par le critère explicite de ces deux différences au carré.
Il faut toutefois vérifier les couples dont les deux nouveaux niveaux diffèrent. Appelons-les x et y, avec x au plus égal à y. Comparée à la remise deux, deux, leur somme des carrés vaut deux, plus le carré de x moins deux, plus celui de y moins deux, plus deux fois y moins x. Les trois termes ajoutés sont tous au moins nuls. La somme ne peut donc descendre sous deux ; elle l'atteint seulement avec x et y égaux à deux. Nora dispose ainsi d'une preuve sur tout le couple croissant, pas seulement sur les candidates qui avaient déjà égalisé leurs deux niveaux.
Le même contrôle sur quatre, deux choisit trois, trois et un coût de deux. La cinquième étape, sans descente vers une suivante, possède un coût au moins nul, atteint en restant à cinq. Pour n'importe quelle liste croissante de cinq niveaux, les deux premiers coûtent donc au moins deux, les deux suivants au moins deux et le dernier au moins zéro. La somme ne peut être inférieure à quatre. La candidate deux, deux, trois, trois, cinq atteint toutes ces bornes et respecte aussi les deux frontières entre les groupes : elle est bien la correction minimale de toute la feuille.
Nora peut également en conserver l'unicité. Pour atteindre quatre, le premier couple doit atteindre exactement deux, ce qui fixe ses deux niveaux à deux. Le second fixe les siens à trois, et la fin reste cinq. Aucun autre choix ne peut compenser un coût plus grand sur un couple par un coût négatif ailleurs, car les trois bornes valent déjà les plus petits coûts possibles. Nora retire donc « parmi plusieurs corrections de même coût » de cette remise. La feuille choisie est unique sous ce critère et ces permissions.
Deux groupes corrigés séparément peuvent encore se contredire
Une nouvelle branche donne seulement quatre étapes, avec les niveaux quatre, un, trois, zéro. Camille corrige le premier couple en deux et demi, deux et demi, puis le second en un et demi, un et demi. Chaque couple est maintenant croissant et minimise ses propres carrés. Mais les deux groupes réunis donnent deux et demi avant un et demi : la descente se trouve désormais à leur frontière. Nora refuse la feuille commune. Une correction réussie dans chaque petit groupe ne garantit pas l'ordre de toute leur réunion.
Nora regroupe les quatre niveaux. Leur somme huit et leur nombre quatre donnent un niveau commun deux. La proposition devient deux, deux, deux, deux. Ses carrés sont quatre, un, un et quatre, pour un total dix. Elle ne fait pas la moyenne des deux milieux en oubliant leurs tailles : ici les deux groupes comportaient chacun deux étapes, donc leurs poids sont égaux. Le niveau deux résulte aussi directement des quatre repères d'origine, qui restent quatre, un, trois et zéro dans le dossier.
Pour contrôler cette proposition contre une liste croissante quelconque a, b, c, d, Nora développe la différence avec les carrés de la liste constante deux. Elle obtient le coût dix, plus les quatre carrés des écarts à deux, plus deux fois une combinaison des nouveaux niveaux. Les quatre coefficients de cette combinaison sont deux moins quatre, deux moins un, deux moins trois et deux moins zéro, soit moins deux, un, moins un et deux. La combinaison vaut donc moins deux a, plus b, moins c, plus deux d. Nora conserve ces quatre coefficients ; ils correspondent aux quatre étapes dans leur ordre initial.
Cette combinaison peut s'écrire comme la somme de deux fois la différence b moins a, de la différence c moins b et de deux fois la différence d moins c. Les trois différences voisines sont au moins nulles puisque a, b, c, d sont croissants. Le terme ajouté aux carrés est donc au moins nul, et les carrés le sont aussi. Le coût ne peut descendre sous dix. Il ne peut égaler dix sans annuler les quatre carrés, ce qui impose a, b, c et d tous égaux à deux. Nora a retrouvé une borne sur toute liste croissante, alors que les deux couples corrigés séparément se contredisaient.
Nora remet ainsi le groupe unique de quatre étapes à deux, avec son coût dix. Elle conserve la première tentative en deux groupes comme une erreur de raccord, et non comme une mauvaise moyenne à l'intérieur de chaque couple. La nouvelle correction a réuni les groupes dont les milieux restaient dans le mauvais ordre. Recalculer seulement les deux couples aurait toujours fourni deux et demi puis un et demi. La décision touche donc la taille des groupes corrigés ensemble, pas seulement l'arrondi du nombre qu'ils partagent.
Les poids de comparaison déplacent le niveau choisi
Une autre fiche reprend deux niveaux quatre et un, mais donne à la deuxième étape un poids trois dans la somme des carrés, contre un pour la première. Ce poids est une permission de notre critère : il ne mesure ni fiabilité d'une observation ni importance d'une personne réelle. Nora cherche toujours deux nouveaux niveaux croissants. Les erreurs de la deuxième contribuent maintenant trois fois leur carré. Elle ne conserve pas automatiquement le milieu deux et demi de la branche où les deux erreurs avaient le même poids.
Nora calcule le niveau commun : une fois quatre plus trois fois un donne sept, pour un poids total de quatre. Elle retient sept quarts pour les deux étapes. La première différence vaut moins neuf quarts, dont le carré est quatre-vingt-un seizièmes. La seconde vaut trois quarts ; trois fois son carré donne vingt-sept seizièmes. Le total vaut cent huit seizièmes, soit vingt-sept quarts. Avec deux et demi aux deux places, les deux carrés pondérés totaliseraient neuf. Sept quarts coûte donc moins sous les poids effectivement donnés.
Pour une autre paire croissante x, y, la différence de coût avec cette remise pondérée est le carré de x moins sept quarts, plus trois fois le carré de y moins sept quarts, plus neuf demis fois la différence y moins x. Tous ces termes sont au moins nuls. Le coût vingt-sept quarts ne peut être abaissé ; l'égalité fixe les deux niveaux à sept quarts. Nora ne juge donc pas le choix pondéré en reprenant seulement les deux carrés non pondérés du premier modèle. La preuve et le nombre minimum utilisent les mêmes poids que la fiche active.
Camille demande de multiplier les deux poids par deux. Le niveau reste sept quarts, car le numérateur et le total des poids sont doublés ensemble. Le coût total est doublé, mais toutes les candidates sont multipliées de la même manière : leur ordre ne change pas. Nora conserve cette observation comme une limite brève de lecture du coût, sans créer une autre progression. Modifier seulement un poids aurait au contraire changé le niveau choisi, comme l'a fait le passage de poids égaux à un et trois.
Des niveaux entiers ne conservent pas tous les choix fractionnaires
Une autre fiche autorise seulement des niveaux entiers pour deux étapes dont les repères initiaux valent trois et zéro. Sans cette permission nouvelle, leur meilleure correction croissante serait un et demi, un et demi, avec deux carrés de neuf quarts : coût neuf demis. Camille ne peut pas inscrire ces fractions sur une feuille qui demande des entiers. Elle doit choisir deux entiers dans le bon ordre et recompter leur coût, plutôt que donner neuf demis à des nombres qui ne l'atteignent plus.
Nora peut limiter la recherche aux nombres zéro, un, deux et trois. Si un niveau se trouve au-dessous de zéro ou au-dessus de trois, le ramener dans cet intervalle le rapproche du repère correspondant, trois ou zéro. Cette opération de limitation appliquée à toute la paire conserve son ordre. Il n'y a donc pas de meilleure candidate à chercher hors de l'intervalle. Elle examine les dix paires croissantes formées par ces quatre entiers, en conservant les deux identités d'étapes dans chaque comparaison.
Un, un donne quatre plus un, soit cinq. Deux, deux donne un plus quatre, soit cinq également. Un, deux donne quatre plus quatre, soit huit. Deux, un donnerait seulement un plus un, mais ne respecte pas l'ordre croissant et sort donc du choix autorisé. Les autres paires autorisées ne coûtent pas moins que cinq. Nora retient un, un parce que l'hôte a demandé le plus petit niveau parmi les minima. Elle conserve deux, deux comme l'autre minimum écarté par ce départage explicite.
La proposition deux, un montre pourquoi arrondir séparément un même milieu peut être insuffisant. Choisir le haut pour la première étape et le bas pour la deuxième ferait revenir une descente, alors que les deux nombres sont voisins du même un et demi. Nora remet les deux un ensemble, avec le coût cinq et la préférence qui les a choisis. Elle ne conserve pas le coût neuf demis de la feuille fractionnaire et ne présente pas la candidate non croissante de coût deux comme une amélioration permise.
Deux bornes ajoutées changent aussi la preuve de la correction
Nora reprend enfin les cinq étapes initiales trois, un, quatre, deux, cinq. L'hôte impose des niveaux au moins égaux à deux et demi et au plus égaux à trois. La correction libre deux, deux, trois, trois, cinq n'est plus disponible : ses deux premières places passent sous le minimum et sa dernière dépasse le maximum. Nora choisit deux et demi, deux et demi, trois, trois, trois. La liste demeure croissante et respecte les deux limites à chaque place.
Les cinq carrés valent un quart, neuf quarts, un, un et quatre. Leur somme est dix-sept demis, soit huit et demi. Camille propose trois partout, également conforme aux bornes et à l'ordre, mais ses carrés totalisent dix : zéro, quatre, un, un et quatre. Nora garde huit et demi comme coût de la meilleure candidate qu'elle a remplie. Elle ne décrit pas l'écart avec le coût libre quatre comme une faute du calcul précédent : les nombres deux et cinq qui l'atteignaient sont maintenant interdits.
Pour vérifier le minimum sous ces limites, Nora reprend une paire croissante x, y pour les deux premières étapes. La différence avec deux et demi, deux et demi comporte les deux carrés des écarts à deux et demi, plus deux fois une quantité égale à un et demi fois la différence y moins x, augmentée de la différence x moins deux et demi. La première différence voisine est positive ou nulle et x atteint au moins le minimum. Aucun choix autorisé ne peut donc coûter moins que les cinq demis de cette première paire. Il n'est pas nécessaire de modifier son ordre pour justifier sa valeur commune.
Les troisième et quatrième étapes conservent trois, trois et leur minimum deux, puisque leur preuve précédente vaut pour toute paire croissante et que trois est toujours autorisé. La dernière a un repère cinq mais ne peut dépasser trois ; le plus près qu'elle puisse en rester est trois, donnant un carré de quatre. La somme des trois bornes, cinq demis, deux et quatre, vaut dix-sept demis. La candidate retenue les atteint toutes et reste croissante entre les groupes : Nora peut annoncer le minimum sous les deux limites, avec ses cinq nombres exacts.
Retirer le coût d'une étape ne retire pas sa place dans l'ordre
Une dernière comparaison revient aux cinq repères trois, un, quatre, deux, cinq, sans les bornes de deux et demi et trois. L'hôte donne un poids nul à la troisième étape : son écart au repère quatre ne contribue plus au coût. Les quatre autres étapes gardent le poids un. La troisième possède encore sa place entre la première remise et la deuxième remise, et son niveau doit toujours respecter la progression. Nora ne supprime donc ni son nom ni les deux contraintes qui la relient à ses voisines.
Le premier couple peut encore atteindre son minimum deux avec deux, deux. La quatrième étape peut rester à son repère deux, pour un coût nul, et la fin à cinq, coût nul également. Pour la troisième, l'ordre exige alors un niveau au moins égal au deuxième deux et au plus égal au quatrième deux. Il est donc exactement deux. Nora remet deux, deux, deux, deux, cinq pour un coût total de deux. Ce choix est unique : atteindre ce coût fixe les étapes payantes à leurs propres minima, et ces minima ferment ensuite la seule place sans coût entre deux bords égaux.
Camille propose de conserver quatre à la troisième place parce que cette place n'est plus pénalisée. Nora refuse ce maintien dans la remise de coût deux. Quatre obligerait la quatrième étape à atteindre au moins quatre pour ne pas redescendre, alors que son repère et sa meilleure remise sont deux. Cette quatrième place apporterait à elle seule un carré de quatre au coût. Le poids nul de la troisième ne rend donc pas gratuite la conséquence de son niveau sur les autres. Nora conserve sa troisième place à deux, avec sa justification par les deux voisines.
Une branche séparée donne au contraire un poids nul à la quatrième étape et conserve le poids un sur les quatre autres. Le premier couple peut toujours coûter deux avec deux, deux, la troisième atteindre quatre et la fin cinq, sans coût sur ces deux dernières places payantes. La quatrième doit maintenant se trouver entre quatre et cinq, mais chaque niveau de cet intervalle ajoute le même coût nul. Nora remet deux, deux, quatre, quatre et demi, cinq, parce que l'hôte choisit le milieu de l'intervalle autorisé. La somme minimale reste deux, et cette fois la règle du coût seule ne désigne pas une quatrième valeur unique.
Nora conserve cette différence entre les deux suppressions de coût. Dans la première, la place non pénalisée rencontrait deux bords égaux et recevait un niveau imposé. Dans la seconde, les bords quatre et cinq laissent un intervalle, que la préférence supplémentaire a refermé sur quatre et demi. Elle ne transforme pas le poids nul en une autorisation de supprimer l'étape ou d'y recopier n'importe quel ancien repère. Les deux remises gardent leurs cinq noms et leurs contraintes ; la distinction concerne les valeurs qu'elles peuvent encore choisir lorsque le critère cesse de payer une de leurs erreurs.
Les feuilles retenues gardent chacune leur demande, bornes et poids compris. Les repères d'origine restent attachés aux cinq noms ; les niveaux remis forment une deuxième liste. Le tri, la correction libre, les poids, les entiers et les bornes possèdent chacun leur question et leur coût. Nora n'a ni déplacé les étapes pour obtenir une progression facile, ni remplacé une contrainte pendant la preuve. Le dossier conserve les décisions remplies et permet de refaire les comparaisons qui acceptent chacune des feuilles choisies.