Deux séries d’appels peuvent posséder des intervalles réguliers sans commencer ensemble. Elles peuvent aussi retrouver un même instant dans un calcul et ne pas disposer des occurrences nécessaires dans le programme retenu. Pour préparer un service fictif de chocolats, Léa conserve donc le premier appel, l’intervalle entre les suivants et les éventuelles limites de chaque série. Elle choisit ensuite des instants communs réellement permis par les données, plutôt que d’annoncer une rencontre à partir des seuls nombres de répétition.
Les appels, les séries, les unités et les décisions sont entièrement créés. Les instants sont des nombres entiers sur une seule horloge abstraite. Un appel est ponctuel : il ne signifie pas qu’une disponibilité demeure ouverte jusqu’au suivant. Aucun minuteur, cuisine, chocolat, préparation ou temps de réaction n’a été essayé. Les appels effectués appartiennent seulement à notre scène de papier. Nous ne déduisons ni qualité alimentaire ni performance d’un dispositif de ces nombres, et nous ne proposons pas de délai à appliquer à un service réel.
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Ces catégories ont été textuellement consultées. Les séries ne viennent pas de leurs offres et ne règlent aucun équipement de ces maisons. Pour notre exercice, A appelle à zéro puis toutes les six unités. B appelle à quatre puis toutes les dix unités. Nous examinerons des séries sans limite dans certains cas et des listes expressément finies dans d’autres. Les changements de début, d’intervalle ou d’autorisation seront donnés séparément, sans les faire passer pour des occurrences qui auraient toujours appartenu au même programme.
Un intervalle commun n’est pas forcément le premier instant commun
Les premiers appels d’A sont zéro, six, douze, dix-huit, vingt-quatre et trente. Ceux de B sont quatre, quatorze, vingt-quatre, trente-quatre, quarante-quatre et cinquante-quatre. L’hôte souhaite un premier appel conjoint en soixante unités au maximum. A et B doivent appeler au même instant, sans fenêtre d’attente à ajouter. Leur premier instant commun est vingt-quatre, alors que leurs premiers appels ne coïncident pas et que leurs intervalles valent six et dix.
Léa choisit vingt-quatre et le conserve dans les deux lignes de préparation. Sa première fiche donnait trente, parce que trente peut être séparé d’un autre instant par cinq intervalles de six ou trois intervalles de dix. Elle retire ce choix : A appelle bien à trente, mais B y est absent. B conserve son début à quatre ; sa liste ne devient pas zéro, dix, vingt, trente. La correction porte donc sur le premier rendez-vous réellement choisi, pas seulement sur le remplacement d’un nombre dans une formule de répétition.
L’hôte demande ensuite un second appel conjoint. Léa choisit cinquante-quatre. Elle ne donne pas trente, qui est seulement le prochain appel d’A après vingt-quatre, ni trente-quatre, prochain appel de B. Pour retrouver un instant commun, les deux séries doivent avoir avancé d’une quantité compatible avec leurs deux intervalles. Trente unités après vingt-quatre, A a avancé de cinq intervalles et B de trois ; chacun appelle à cinquante-quatre. Léa remet ces deux moments, vingt-quatre puis cinquante-quatre, avec leurs deux séries inchangées.
L’intervalle de trente distingue ainsi deux renseignements utiles : le premier instant partagé est vingt-quatre, les suivants sont trente unités plus loin. Dans la scène créée, les deux premiers appels conjoints sont effectués aux instants choisis. Léa retire le commentaire qui disait que les séries avaient été redémarrées ensemble à vingt-quatre. A et B y possèdent bien une occurrence commune, mais gardent leurs autres appels. La fiche ne transforme donc pas une coïncidence choisie en nouveau début des deux séries ni en suppression des occurrences intermédiaires propres à chacune.
Une phase incompatible peut recevoir deux réparations différentes
Une branche distincte conserve A, avec zéro puis six en six, mais fait commencer B à trois, toujours avec dix entre ses appels. L’hôte souhaite encore un appel conjoint en soixante unités au maximum. A n’appelle qu’à des instants pairs ; B appelle à trois, treize, vingt-trois et ainsi de suite, toujours impairs. Aucun instant n’appartient aux deux séries. Cette impossibilité ne dépend pas du temps déjà passé à chercher dans les premières lignes du programme.
Léa refuse la proposition à soixante. A y appelle, mais B n’y appelle pas davantage qu’à trente. Attendre une répétition plus longue ne ferme pas la différence de parité dans ces deux séries. Elle retire donc l’annonce d’un rendez-vous retardé, plutôt que de préparer un service dont la deuxième ligne ne contient pas l’instant retenu. L’hôte reçoit un refus de la demande sous les données présentes. Les deux séries restent régulières ; cette régularité n’annonçait pas à elle seule qu’elles se rencontreraient un jour.
L’hôte accepte une première modification avant le début de cette branche : B commencera à quatre au lieu de trois, en conservant dix entre ses appels. Léa retient vingt-quatre pour le premier appel commun, comme dans le cas précédent. Elle corrige le début de B dans la fiche active et fait effectuer l’appel conjoint à vingt-quatre dans la scène. Elle ne conserve pas trois dans la ligne de B sous prétexte que le changement ne porte que sur une unité. Ce début différent est précisément ce qui a rendu la rencontre possible avec A.
Une autre réponse, séparée de la précédente, conserve le premier appel de B à trois mais remplace son intervalle de dix par neuf. B appelle alors à trois, douze, vingt et un, trente. Léa choisit douze, également présent dans A, et l’hôte l’accepte pour une demande nouvelle de rencontre avant ou à dix-huit. Le changement de phase à quatre aurait donné vingt-quatre et n’aurait pas rempli cette limite plus courte. Léa garde donc trois et neuf sur cette fiche, sans lui transférer quatre et dix du premier accord. Les deux réparations ont reçu des rendez-vous différents.
Pour la seconde réponse, les instants communs continuent à trente puis quarante-huit, avec dix-huit entre eux. Léa retire l’ancienne répétition de trente de cette fiche. L’intervalle neuf de B alterne ses instants pairs et impairs ; le premier instant impair trois ne rend donc pas cette nouvelle série entièrement incompatible avec A. La remise conserve le début et l’intervalle qui ont réellement été acceptés. Elle ne présente ni le décalage du début ni le changement de rythme comme un ajustement anonyme qui permettrait d’emprunter le premier résultat favorable de chaque branche.
Un troisième appel retire la plupart des rencontres à deux
Nous revenons aux séries initiales, A commençant à zéro avec six d’intervalle et B à quatre avec dix. Une troisième série C commence à deux et reprend toutes les huit unités. L’hôte demande maintenant un instant commun aux trois avant ou à soixante. Les rencontres d’A et B dans cette limite sont vingt-quatre et cinquante-quatre. C appelle à deux, dix, dix-huit, vingt-six, trente-quatre, quarante-deux, cinquante et cinquante-huit ; aucune de ces deux rencontres ne lui appartient.
Léa refuse donc la demande à trois avec cette limite. Elle conserve vingt-quatre et cinquante-quatre dans la comparaison à deux, mais les retire des propositions donnant C comme présent. Le premier instant commun aux trois dans ces séries serait cent quatorze. Elle ne le fait pas entrer sous la limite de soixante en regardant seulement les écarts entre deux appels de C. L’instant doit être une occurrence des trois séries et appartenir à la limite choisie. Une fiche correcte pour le couple A et B n’était pas encore une fiche correcte pour le groupe augmenté.
L’hôte accepte avant tout appel de cette nouvelle branche de faire commencer C à zéro, toujours avec huit d’intervalle. Léa retient alors vingt-quatre : A, B et C possèdent chacun cet instant. Elle retire deux de la ligne active de C et laisse le début ancien dans la proposition écartée. Le service conjoint à vingt-quatre est donné comme effectué dans cette scène. Léa ne le décrit pas comme un appel de C simplement déplacé de deux unités à chaque résultat souhaité ; elle lui conserve la série zéro, huit, seize, vingt-quatre et ses suivants.
Le prochain instant commun aux trois est cent quarante-quatre, cent vingt unités plus tard. À cinquante-quatre, A et B se rencontrent encore, mais C n’appelle pas. Léa retire donc un second service à trois prévu à cinquante-quatre dans la première feuille. Elle choisit cent quarante-quatre seulement dans une branche où l’hôte a expressément accepté une limite aussi tardive. La période de trente du couple ne prend plus la place de celle du groupe à trois. Le début commun de vingt-quatre reste le même, mais il n’autorise pas à reprendre indistinctement le même calendrier de rencontres suivantes.
Léa peut retrouver cet intervalle par les quatre rencontres successives du couple : vingt-quatre, cinquante-quatre, quatre-vingt-quatre, cent quatorze, puis cent quarante-quatre. Avec C commençant à zéro, seule la première et la cinquième de cette liste lui appartiennent. Le relevé garde celles à deux comme appels existants, sans les annoncer comme trois absences générales de tout service. Cette distinction reste un contrôle bref : la décision remplie a retiré le second rendez-vous erroné et reçu un accord distinct pour celui à cent quarante-quatre, au lieu de transformer une répétition du couple en répétition de tous.
Les formules ne prolongent pas un programme fermé
Un autre état donne seulement quatre appels autorisés pour A, à zéro, six, douze et dix-huit, et deux pour B, à quatre et quatorze. Aucun appel ultérieur n’est prévu dans ces listes finies. Les débuts et les intervalles des listes ressemblent aux séries initiales, mais l’hôte demande maintenant une rencontre appartenant aux occurrences effectivement autorisées. Nous ne reprenons pas d’office une continuation sans limite après leurs dernières lignes.
Léa refuse vingt-quatre dans ce programme. La première rencontre de leurs prolongements mathématiques se trouverait bien à vingt-quatre, mais aucune des deux listes présentes ne possède cet appel. Elle retire donc le rendez-vous de la fiche de service, sans appeler fausse la relation calculée pour les séries sans limite. Le manque est précis : A s’arrête à dix-huit et B à quatorze. Le bon calcul d’un prolongement possible ne constitue pas une autorisation nouvelle pour les deux personnes chargées des appels dans cette scène.
L’hôte accepte d’abord d’ajouter vingt-quatre à A seulement. Léa lui remet cette liste augmentée, mais refuse encore d’annoncer la rencontre avec B. La seconde liste reste quatre puis quatorze. Elle ne prend pas B comme déjà prolongée parce que son intervalle de dix aurait permis d’écrire la ligne suivante. L’accord de l’hôte concernait A. La fiche conserve donc un appel supplémentaire pour une série et aucun moment conjoint, au lieu d’utiliser une permission locale comme prolongement implicite du programme entier.
Une nouvelle réponse autorise également B à appeler à vingt-quatre. Léa choisit cet instant pour le service conjoint, et les deux appels y sont effectués dans la scène créée. La fiche donne maintenant cinq occurrences pour A et trois pour B. Elle retire la mention « rencontre déjà présente dans les deux anciens programmes » : les deux dernières lignes ont été ajoutées par deux accords explicites. Le programme augmenté satisfait la demande parce qu’il contient réellement l’instant choisi, pas parce que les deux anciens débuts auraient toujours annoncé des séries infinies.
L’hôte souhaite ensuite une deuxième rencontre à cinquante-quatre sans fournir d’autres occurrences. Léa la laisse hors de la remise active. Les listes augmentées terminent encore à vingt-quatre. Elle ne recrée pas trente, trente-six et les autres appels d’A, ni trente-quatre et quarante-quatre de B, à partir de l’unique extension acceptée. Pour notre programme retenu, un seul appel conjoint a été ajouté et réalisé. Le contrôle sépare ainsi une règle de prolongement que l’on pourrait demander et les occurrences exactes dont le service dispose déjà.
Une occurrence annulée reste absente après le prochain calcul
Nous créons une autre continuation des séries initiales A, B et C, avec C commençant à zéro toutes les huit unités. B a effectué ses appels à quatre et quatorze, mais son appel à vingt-quatre est annulé par une réponse donnée avant cet instant. Les autres appels de B restent prévus, à trente-quatre, quarante-quatre et cinquante-quatre notamment. A et C appellent encore à vingt-quatre. L’hôte veut un service conjoint des trois avant ou à soixante, malgré cette annulation ponctuelle.
Léa retire le service à trois de vingt-quatre. Elle ne déplace pas automatiquement toutes les occurrences suivantes de B en expliquant que sa première rencontre manquée devait être rattrapée. Son programme garde dix d’intervalle entre les instants prévus, avec une exception annulée. La prochaine rencontre effective d’A et B est cinquante-quatre. Elle existe déjà dans leurs séries, mais C commençant à zéro n’y appelle pas. Léa refuse donc également la feuille qui annonçait cinquante-quatre pour les trois en ne vérifiant que la réparation du couple.
Sous les séries encore inchangées de cette continuation, le prochain instant commun aux trois serait cent quarante-quatre. Léa le garde dans la comparaison, mais refuse de le présenter comme service retenu sous la limite de soixante. Elle conserve l’annulation de B à vingt-quatre dans l’historique ; elle ne rétablit pas cet appel pour retrouver le rendez-vous initial. Le problème ne se ferme donc ni par la recherche du prochain couple ni par la copie du premier instant commun théorique. La demande réclame une nouvelle permission si l’hôte maintient les trois participants et la limite donnée.
L’hôte accepte une modification de la seule suite future de C. Ses appels déjà effectués à zéro, huit, seize et vingt-quatre demeurent. Après ce dernier, C commencera une nouvelle série à trente, puis toutes les huit unités : trente, trente-huit, quarante-six, cinquante-quatre. Léa retire donc l’ancien appel futur à trente-deux de cette continuation. Elle ne remplace pas les appels antérieurs par six, quatorze et vingt-deux pour donner au nouveau rythme une origine commode. L’accord concerne la suite à venir, avec un premier appel nouveau expressément fixé à trente.
Léa choisit alors cinquante-quatre, où A et B appellent comme prévu et C possède sa quatrième occurrence de la nouvelle série. L’hôte accepte ce service conjoint et les trois appels y sont effectués dans la scène. L’annulation de B à vingt-quatre reste conservée, sans appel réintroduit. La fiche fait apparaître les deux parties de C : son historique jusqu’à vingt-quatre, puis la série commençant à trente. Le choix a reçu un événement futur différent, plutôt qu’une réécriture des anciens appels pour faire croire que cinquante-quatre avait toujours appartenu au premier groupe de rencontres.
Le premier écart de cette transition de C vaut six, de vingt-quatre à trente ; les suivants valent huit. Léa retire donc la phrase « C a appelé toutes les huit unités depuis zéro sans changement ». La nouvelle préparation serait contradictoire avec cette annonce. Elle conserve le rythme de huit dans la suite nouvelle, mais donne la transition plus courte comme partie de l’accord reçu. La feuille n’efface pas cette différence sous un seul mot de reprise. L’hôte voit ainsi quelle occurrence a changé et quel intervalle décrit seulement la partie future choisie.
Un appel émis peut rester hors des occasions autorisées pour le service
Une dernière branche reprend A et B sans annulation, sans C et sans limite de nombre d’appels. B conserve quatre comme première occurrence, quatorze comme deuxième, vingt-quatre comme troisième. L’hôte ajoute une règle distincte : seuls ses appels de rang impair peuvent servir à la remise conjointe. B continue à appeler également aux autres rangs. La règle ne change donc ni ses instants ni sa répétition de dix ; elle désigne ceux qui sont autorisés pour cette action particulière.
Léa conserve le premier service à vingt-quatre, troisième appel de B, mais refuse le second à cinquante-quatre : ce serait son sixième, de rang pair. Le prochain instant commun autorisé est quatre-vingt-quatre, neuvième appel de B. L’hôte avait demandé deux services avant ou à soixante. Léa retire la promesse de les préparer sous cette règle. L’appel conjoint à cinquante-quatre existe bien dans les séries ; c’est son usage pour la remise qui est encore interdit. Elle ne change pas six en cinq dans le rang de B pour transformer l’émission en autorisation.
L’hôte accepte ensuite une exception précise : le sixième appel de B, à cinquante-quatre, pourra également servir à cette deuxième remise. Léa choisit vingt-quatre puis cinquante-quatre, et les deux remises sont données comme effectuées dans la scène. Elle conserve la règle de rang impair pour les autres occurrences. La fiche nomme donc l’exception au sixième appel, au lieu d’annoncer que tous les appels de B sont devenus autorisés. Aucune phase n’a changé ; aucun appel supplémentaire n’a été ajouté. La décision porte sur l’usage permis d’un instant commun déjà présent et jusque-là exclu de cette action.
Deux appels consignés peuvent appartenir à deux programmes différents
Une branche indépendante donne seulement deux appels effectués par B, à quatre puis vingt-quatre, et exactement deux catalogues de programme encore possibles. Dans le premier, B commence à quatre toutes les dix unités, mais quatorze a été annulé. Dans le second, il commence à quatre toutes les vingt unités, sans appel prévu à quatorze. A conserve zéro puis toutes les six unités. Aucun autre programme n’est envisagé dans cet exercice. L’hôte veut choisir une prochaine remise après vingt-quatre sans attribuer d’abord à B le catalogue qui arrangerait son horaire.
Léa retire la première fiche qui déclarait l’intervalle vingt comme établi par l’écart entre les deux appels consignés. Cet écart vaut bien vingt dans les deux catalogues : l’un comporte un appel intermédiaire annulé, l’autre n’en prévoyait aucun. Le premier donne un prochain instant commun avec A à cinquante-quatre ; le second à quatre-vingt-quatre. Léa conserve ces deux sorties avec leurs programmes possibles. Elle refuse donc la promesse « la prochaine remise sera nécessairement à cinquante-quatre » avant la précision manquante. Les deux lignes du relevé sont exactes, mais ne suffisent pas à fixer la répétition prévue entre elles.
L’hôte accepte d’abord un autre objectif : choisir un instant après vingt-quatre qui appartient aux deux programmes possibles, en quatre-vingt-dix unités au maximum. Léa retient quatre-vingt-quatre. A y appelle et B y appelle dans les deux catalogues. Elle retire toutefois le mot « prochaine » de la promesse commune : dans le premier catalogue, cinquante-quatre aurait déjà été une rencontre possible plus tôt. La fiche remise conserve donc un rendez-vous valide quelle que soit l’une des deux règles données, sans lui attribuer simultanément la première place chronologique dans chacune. L’hôte accepte cette portée plus limitée avant toute remise future.
Une précision nouvelle du programme arrive ensuite dans la scène : B devait appeler toutes les dix unités depuis quatre, et son appel de quatorze avait été annulé. Le premier catalogue est donc retenu, avec ses occurrences futures inchangées. L’hôte demande désormais la première remise commune après vingt-quatre et avant ou à soixante. Léa remplace le choix de quatre-vingt-quatre par cinquante-quatre ; A et B y appellent effectivement dans cette nouvelle suite. Elle ne fait pas appeler B à quatorze dans l’historique pour compléter la preuve du rythme. La précision a fermé le choix de programme, puis permis un rendez-vous antérieur, sans modifier les deux appels déjà effectués.
Les séries créées gardent finalement leurs premiers instants, leurs intervalles, leurs fins et leurs exceptions. Un rythme commun peut expliquer une répétition sans donner le premier rendez-vous ; une rencontre à deux peut manquer au troisième ; un programme fini peut refuser l’occurrence de son prolongement. Les remises retenues conservent les changements effectivement acceptés, ainsi que les appels annulés ou déjà réalisés. Ces relevés de papier ne règlent aucun équipement réel : ils transmettent seulement un choix cohérent dans les seules séries que notre atelier a fournies.