Camille reçoit huit fiches portant les numéros entiers de zéro à sept. Nora veut les séparer en deux groupes disjoints, chacun contenant quatre fiches. Elle demande la même somme des numéros et la même somme de leurs carrés. Ces deux totaux ne constituent pas des mesures d’une préparation réelle : ils servent à comparer les groupes du petit dossier créé. Nous cherchons une répartition remplie, puis la portée exacte de cet équilibre quand la règle de comparaison change.
Les numéros ne sont ni masses, ni prix, ni doses, ni valeurs nutritionnelles. Un zéro est une fiche présente, pas une absence d’objet. Les groupes et les fonctions de score sont stipulés. Les constructions de sommes de puissances sont classiques, sans revendication d’invention. Aucun produit ou protocole de cuisine n’est éprouvé, et les seuils donnés plus loin ne décrivent pas une limite sanitaire ou physique.
Notice P1 du Met : catégorie Drawings.
Notice P2 du Met : catégorie Books.
Notice P3 du Met : catégorie Prints.
Ces notices sont citées pour leurs catégories textuelles ; aucune image, composition ou méthode d’artiste n’est adaptée aux groupes de numéros.
Trois totaux communs pour deux listes distinctes
Camille remet A avec zéro, trois, cinq et six, B avec un, deux, quatre et sept. Chacun compte quatre fiches. La somme de A vaut quatorze ; celle de B aussi. Les carrés de A donnent zéro, neuf, vingt-cinq et trente-six, total soixante-dix. Ceux de B donnent un, quatre, seize et quarante-neuf, également soixante-dix. Nora accepte la séparation sous ses trois demandes, compte, somme et carrés. Elle conserve les deux listes complètes : leur concordance sur trois nombres n’a pas transformé une fiche de six en celle de sept.
Une proposition initiale plaçait zéro, un, six et sept dans A, deux, trois, quatre et cinq dans B. Les sommes valaient encore quatorze de chaque côté, mais les carrés donnaient quatre-vingt-six contre cinquante-quatre. Nora retire cette proposition et active la première. Le total simple n’avait pas contrôlé le total des carrés. Les fiches sont redistribuées, pas renumérotées pour rendre les deux nombres égaux. Dans la remise choisie, le groupe contenant sept comporte un, deux et quatre auprès de lui, plutôt que de prendre les autres numéros d’une répartition abandonnée.
Nora donne ensuite une famille entière de scores autorisés : pour chaque fiche x, a plus b fois x plus c fois x au carré, avec les mêmes coefficients pour les deux groupes. Le total de chaque groupe vaut alors quatre a plus quatorze b plus soixante-dix c. Camille peut annoncer l’égalité pour toute cette famille, même avant de connaître les coefficients. Elle ne remplace pas chaque fiche par une valeur moyenne : les trois sommes exactes suffisent parce que l’addition de la fonction se sépare précisément en ces trois termes déjà équilibrés.
Pour remplir une demande particulière, Nora choisit le score un plus x au carré. Camille calcule soixante-quatorze de chaque côté, quatre unités constantes ajoutées aux soixante-dix carrés. Les deux groupes sont acceptables et Nora retient A pour la remise qui suit. Elle ne prétend pas qu’A aurait gagné contre B sous ce score ; elle a choisi entre deux totaux égaux. Le dossier garde B comme autre groupe admissible, avec ses numéros distincts, et ne transforme pas cette indifférence de score en identité des fiches distribuées.
Le cube change effectivement la préférence
Une nouvelle fonction comprend x au cube. Dans A, les cubes valent zéro, vingt-sept, cent vingt-cinq et deux cent seize, total trois cent soixante-huit. Dans B, ils donnent un, huit, soixante-quatre et trois cent quarante-trois, total quatre cent seize. Nora retire donc la promesse d’égalité pour tous les polynômes. Les deux groupes étaient équilibrés jusqu’aux carrés, mais leurs cubes diffèrent de quarante-huit. Cette limite n’est pas produite par une approximation décimale : les deux listes ont fourni les deux totaux entiers qui la rendent visible.
Nora utilise maintenant le score quatre cents plus lambda fois le cube, où lambda peut être entre moins un et un. Sur les numéros zéro à sept, le score de chaque fiche reste positif, même à lambda moins un, puisque le plus grand cube vaut trois cent quarante-trois. Le total de A est mille six cents plus trois cent soixante-huit lambda ; celui de B mille six cents plus quatre cent seize lambda. Nous minimisons ce score stipulé, sans lui attribuer un prix ou un effort réellement observé. La famille est annoncée avant le choix du groupe.
Si lambda vaut un, Camille remet A, total mille neuf cent soixante-huit, plutôt que B à deux mille seize. Si lambda vaut moins un, elle remet B à mille cent quatre-vingt-quatre, plutôt qu’A à mille deux cent trente-deux. Nora conserve ces deux décisions conditionnelles. À lambda zéro, les deux valent mille six cents ; l’ancienne égalité ne permettait pas de décider que lambda serait forcément nul. La même répartition reçoit des préférences opposées lorsque le coefficient du terme non équilibré change de signe.
Si Nora doit choisir avant de connaître lambda et veut minimiser le plus grand total possible sur cet intervalle, Camille retient A. Les deux expressions augmentent avec lambda, donc leur maximum apparaît à un : mille neuf cent soixante-huit pour A contre deux mille seize pour B. Nora accepte ce choix garanti sous le critère du pire total, mais refuse une légende disant qu’A serait meilleur pour chaque lambda. Le cas moins un a déjà donné le contraire. La sélection préalable répond à une comparaison des maxima ; elle ne fusionne pas les deux décisions prises après connaissance du coefficient.
Agrandir le catalogue en inversant les deux moitiés
Nora ouvre une autre commande avec les seize fiches de zéro à quinze. Elle veut huit fiches dans chaque groupe et l’égalité jusqu’aux cubes. Camille garde les quatre anciennes fiches de A, puis y ajoute les quatre de B augmentées de huit : neuf, dix, douze et quinze. Dans le nouveau B, elle garde un, deux, quatre et sept, puis ajoute les anciennes fiches de A augmentées de huit : huit, onze, treize et quatorze. Les deux nouveaux groupes sont disjoints et couvrent les seize numéros une fois chacun ; la seconde moitié a échangé les rôles avant son décalage.
Le nouveau A est zéro, trois, cinq, six, neuf, dix, douze et quinze. Le nouveau B est un, deux, quatre, sept, huit, onze, treize et quatorze. Leurs sommes valent soixante, leurs carrés six cent vingt et leurs cubes sept mille deux cents. Nora accepte cette remise pour la commande élargie. Camille ne présente pas les huit fiches ajoutées comme des duplications des anciennes : leurs numéros et leurs identités sont différents. Le dossier initial reste une partition de zéro à sept ; le nouvel ensemble fournit une autre partition sur un domaine annoncé plus grand.
Camille propose une construction qui garderait au contraire les rôles dans la seconde moitié : A ancien et A augmenté de huit ensemble, B ancien et B augmenté de huit ensemble. Nora la refuse pour les cubes. Chaque décalage transforme le cube en x au cube plus vingt-quatre x au carré plus cent quatre-vingt-douze x plus cinq cent douze. Les trois termes inférieurs se compensent entre les groupes anciens, mais la différence des cubes reste moins quarante-huit dans la seconde moitié comme dans la première. Le nouveau défaut serait moins quatre-vingt-seize. Nora conserve l’échange des rôles, qui annule précisément ce défaut au lieu de le répéter.
Pour contrôler la construction sans seulement additionner les cubes, elle note D zéro, D un, D deux et D trois comme les différences anciennes des comptes, sommes, carrés et cubes, A moins B. Les trois premières valent zéro, la dernière moins quarante-huit. Dans la construction échangée, la nouvelle différence de degré k vaut D k moins la différence des puissances décalées anciennes. Pour k trois, ce second terme est D trois plus vingt-quatre D deux plus cent quatre-vingt-douze D un plus cinq cent douze D zéro. La soustraction annule D trois et laisse zéro. Nora dispose ainsi de la raison de l’annulation produite par ses listes, pas d’un accord numérique attribué à leur seul équilibre visuel.
Cette opération explique aussi le degré suivant où l’égalité peut échouer. Pour les quatrièmes puissances, la différence nouvelle devient moins trente-deux D trois, puisque les différences de degrés inférieurs sont nulles. Elle vaut donc mille cinq cent trente-six. Camille contrôle les totaux : quatre-vingt-neuf mille neuf cent vingt-quatre pour A, quatre-vingt-huit mille trois cent quatre-vingt-huit pour B. Nora refuse l’extension de la garantie aux quatrièmes puissances. La construction a gagné un degré d’égalité ; elle n’a pas donné toutes les puissances à la fois.
Une règle de placement qui ne dépend pas d’une liste recopiée
Nora souhaite pouvoir retrouver les groupes de zéro à quinze sans mémoriser leurs huit numéros. Camille écrit chaque numéro sur quatre positions binaires et compte ses signes un. Un nombre pair de ces signes place la fiche dans A, un nombre impair dans B. Ainsi trois s’écrit 0011 et va dans A ; sept s’écrit 0111 et va dans B ; quinze s’écrit 1111 et va dans A. La règle est exécutée sur ces trois fiches, et les seize classifications concordent avec la partition construite. Elle ne compte pas la parité de la valeur entière, qui aurait mis trois et quinze dans le même groupe que sept.
Ajouter huit à un ancien numéro de zéro à sept ajoute exactement un signe un dans une nouvelle position, sans changer les trois positions anciennes. La parité du nombre de signes s’inverse donc. Ce contrôle explique pourquoi les rôles sont échangés dans la seconde moitié. Camille avait proposé de compter seulement les deux derniers signes ; cette consigne ignorerait la nouvelle position et ne reproduirait pas l’échange nécessaire. Nora conserve les quatre positions de la règle retenue, avec des zéros initiaux qui ne changent pas le compte, et refuse le raccourci qui modifierait réellement la partition.
Dans une extension de ce procédé, échanger encore les groupes dans une nouvelle moitié décalée fait disparaître la différence du degré suivant, par le même développement des puissances. Nora ne s’en sert pas pour prétendre que seize suffisent à une demande de degré quatre. Elle conserverait les seize fiches de chaque moitié et ouvrirait un nouveau domaine avant de faire la nouvelle partition. Cette règle générale reste un commentaire de portée ; notre réalisation contrôlée conserve les seize numéros et la différence de mille cinq cent trente-six déjà trouvée au degré quatre.
Des totaux identiques ne garantissent pas le même nombre de grands numéros
Nora reçoit sur les groupes de huit une demande indépendante : choisir le groupe qui comprend le plus de numéros strictement supérieurs à douze. Dans A, seul quinze répond. Dans B, treize et quatorze répondent. Camille choisit B, deux fiches plutôt qu’une. Elle retire une fiche de calcul qui annonçait l’égalité parce que les comptes, sommes, carrés et cubes concordaient. Le contrôle nouveau a sélectionné des occurrences précises par un seuil ; il ne se calcule pas en recopiant l’un des quatre totaux déjà équilibrés.
La fonction qui donne un au-dessus de douze et zéro ailleurs ne relève pas d’un score polynomial de degré trois sur ce catalogue. En particulier, un polynôme de degré trois prenant zéro sur les treize numéros de zéro à douze serait nul partout, car il aurait plus de trois racines distinctes ; il ne pourrait ensuite valoir un en treize. Nora refuse donc de placer cette fonction dans la famille pour laquelle l’égalité était démontrée. Elle joint le seuil effectivement utilisé aux deux fiches treize et quatorze retenues, sans déclarer fausse la garantie limitée aux polynômes autorisés.
Pour un score quatre mille plus lambda fois le cube sur zéro à quinze, les deux groupes auraient au contraire exactement trente-deux mille plus sept mille deux cents lambda. La constante garde ici chaque score positif pour lambda entre moins un et un, même à quinze. Nora peut conserver une indifférence entre A et B pour cette autre demande, tout en choisissant B pour le seuil. Camille remet les deux conclusions séparément. Le choix du seuil n’a pas changé les totaux cubiques ; il a changé ce que la comparaison des groupes doit compter.
Trois fiches peuvent suffire quand tout le catalogue n’est pas imposé
Une dernière commande n’oblige plus à partager toutes les fiches de zéro à sept ni celles de zéro à quinze. Nora demande deux petits groupes non vides, disjoints, de même taille, avec la même somme et la même somme de carrés. Les numéros peuvent être des entiers non négatifs choisis pour le dossier. Elle souhaite minimiser la taille de chaque groupe. Camille ne reprend pas automatiquement quatre parce que la première construction en avait utilisé quatre ; elle examine maintenant les tailles impossibles et fournit un témoin sous la nouvelle permission.
Un seul numéro de chaque côté ne convient pas : l’égalité des sommes rendrait les deux numéros identiques, alors que les groupes doivent être disjoints. Avec deux numéros a, b contre c, d, l’égalité de somme donne a plus b égal à c plus d. L’égalité des carrés donne alors le même produit, parce que le carré de la somme moins la somme des carrés vaut deux fois le produit. Les deux paires posséderaient ainsi la même somme et le même produit. Le polynôme dont elles sont les racines serait le même ; elles constitueraient la même paire sans ordre. Nora refuse deux sans avoir à essayer toutes les valeurs entières possibles.
Camille remet zéro, quatre et cinq dans le premier groupe, un, deux et six dans le second. Les listes sont disjointes. Chacune compte trois fiches, somme neuf et carrés quarante et un. Nora accepte trois comme minimum, réalisé après l’impossibilité de un et de deux. Les cubes donnent cependant cent quatre-vingt-neuf contre deux cent vingt-cinq. Elle conserve ce dernier défaut, sans ajouter la garantie cubique de la construction de seize à une commande qui ne l’exigeait pas et qui vient choisir d’autres nombres.
Un score un plus le carré donne quarante-quatre à chaque groupe de trois. Nora peut donc choisir l’un ou l’autre sans différence sous cette fonction, mais ne les appelle pas deux variantes d’un même groupe. Si elle exigeait en plus que toutes les fiches de zéro à cinq soient partagées, la somme totale vaudrait quinze et chaque groupe devrait avoir une somme de sept et demi, impossible pour des numéros entiers. La nouvelle obligation de couvrir un catalogue fixé détruirait cette réalisation de taille trois. Nora ne retire pas zéro du groupe en le comptant comme une absence pour faire coïncider les deux demandes.
La remise finale garde les deux groupes de trois sous leur commande libre, avec zéro présent, leurs six numéros distincts et les trois totaux communs. Le partage de zéro à quinze demeure disponible sous une autre commande, avec ses cubes communs et son seuil qui distingue les groupes. Nora n’utilise ni une même moyenne ni un même score pour raconter des choix identiques. Chaque égalité conserve la famille de fonctions qui la justifie, et chaque sélection nouvelle conserve les fiches qui l’ont effectivement remplie.
Les catégories des notices citées ne fournissent ni ces groupes ni les fonctions de score ; elles demeurent les seules relations documentaires retenues.
Échanger des fiches sans changer les trois premiers totaux
Nora revient aux deux groupes de huit sur zéro à quinze. Une demande nouvelle oblige les fiches trois et six, actuellement dans A, à rejoindre B. Elle autorise seulement des échanges de fiches entre les deux groupes, en gardant leur taille huit, leur somme soixante et leurs carrés six cent vingt. Elle souhaite échanger le moins de fiches possible de chaque côté. Cette commande ne change ni les numéros ni le catalogue ; elle demande une réaffectation réelle qui préserve trois totaux, sans promettre déjà de conserver aussi les cubes.
Camille prend trois, six et douze dans A, deux, huit et onze dans B. Les deux trios ont somme vingt et un et carrés cent quatre-vingt-neuf. Elle échange les trios complets. Le nouveau A devient zéro, deux, cinq, huit, neuf, dix, onze et quinze ; le nouveau B un, trois, quatre, six, sept, douze, treize et quatorze. Nora vérifie les deux destinations promises, trois et six maintenant dans B, ainsi que les trois invariants : huit fiches, somme soixante, carrés six cent vingt dans chaque groupe. Elle retire le projet qui déplaçait seulement trois et six en reprenant deux autres fiches au hasard. Garder la taille par un nombre égal de transferts ne garantissait pas les deux autres totaux, que les trios choisis ont effectivement conservés.
Un échange d’une fiche de chaque côté exigerait des numéros égaux pour conserver les sommes ; les groupes disjoints n’en contiennent pas. Pour deux de chaque côté, l’égalité de somme et de carrés imposerait la même paire, comme la preuve précédente l’a établi, encore impossible entre groupes disjoints. Trois de chaque côté est donc un minimum, atteint par cette réaffectation. Nora ne demande pas de retirer les six fiches du catalogue : chacune a changé de groupe. Parmi les deux échanges de trios préservant les totaux dans ces listes, l’autre prendrait trois, neuf, douze contre quatre, sept, treize. Il ne déplacerait pas six. Camille conserve donc le premier pour la demande active ; les totaux seuls n’avaient pas sélectionné les mêmes occurrences à transférer.
L’échange n’a pas conservé l’égalité des cubes. Les trois fiches sorties de A fournissaient mille neuf cent soixante et onze, celles reçues mille huit cent cinquante et un, soit cent vingt de moins. Son nouveau total cubique vaut sept mille quatre-vingts. B reçoit cent vingt de plus et atteint sept mille trois cent vingt. Nora retire l’ancienne garantie cubique de la fiche de réaffectation et garde les trois totaux effectivement préservés. Sous un score constant plus un coefficient positif du cube, A devient préférable ; avec un coefficient négatif, B le devient. La construction initiale donnait l’indifférence pour toute cette famille, mais la réaffectation autorisée n’a protégé que compte, somme et carrés. Nora remet les deux nouveaux groupes avec cette limite, au lieu d’utiliser leurs anciens cubes auprès de leurs nouvelles destinations.