Partager des cartes en deux lots de même taille ne garantit pas que chaque personne préfère son lot. Certains objets peuvent compter davantage dans les préférences données. Une règle peut aussi accepter un partage après avoir retiré mentalement une carte du lot comparé, sans retirer réellement cette carte à son destinataire. Pour discuter ce choix, Nora et Camille vont donner leurs points, remplir des attributions et examiner plusieurs contrôles. Nous conserverons séparément la comparaison qui accepte une proposition et celle qui améliore les deux lots.
Les cartes, les points et les personnes de cet exercice sont créés. Aucun jeu commercial, goût réel ou sentiment n'est testé. Chaque carte est entière, distincte et attribuée à une seule personne ; aucun paiement, échange avec un tiers ou découpage n'est permis. Dans les premières branches, les points d'un lot sont la somme des points de ses cartes pour la personne qui le regarde. Nous changerons expressément cette règle dans une dernière comparaison. Ces nombres stipulés ne mesurent ni valeur marchande ni mérite. Les notions de partage sans envie et leurs relaxations pour des objets indivisibles sont classiques ; nous n'en revendiquons pas l'invention.
Bioviva présente des jeux.
Djeco propose une recherche de règles de jeux.
Clementoni présente des jeux de société.
Ces pages situent seulement les jeux et leurs notices, sans fournir nos règles de partage.
Chaque personne doit comparer les deux lots avec ses propres points
Nous donnons d'abord trois cartes A, B et C. Pour Nora comme pour Camille, A vaut six points, B quatre et C un. Les deux personnes utilisent ici les mêmes valeurs, ce qui simplifie cette première comparaison sans constituer une règle pour les cas suivants. Un lot composé de A et C vaut donc sept pour chacune ; le lot B vaut quatre. Les trois cartes doivent être attribuées, et aucune ne peut être partagée en deux pour équilibrer les points.
Nora reçoit A et C, Camille reçoit B. Dans notre contrôle appelé « sans envie », une personne accepte son lot si elle lui donne au moins autant de points qu'au lot de l'autre. Nora compare sept à quatre et accepte. Camille compare quatre à sept et refuse. Le partage possède bien deux lots, et toutes les cartes ont une destination. Ce contrôle supplémentaire n'est pourtant pas rempli pour Camille. Nora retire donc la mention « partage sans envie pour les deux » de cette première proposition au lieu d'additionner les onze points et de les annoncer comme une satisfaction commune.
Nora propose un contrôle plus limité : pour chaque personne, il suffit de pouvoir retirer un objet au choix du lot de l'autre dans la comparaison et de trouver alors un lot comparé qui ne vaut pas davantage que le sien. Camille retire mentalement A, de valeur six, du lot A-C. C seul vaut un, inférieur aux quatre de B. Elle accepte donc cette comparaison. Nora, qui acceptait déjà sept face à quatre, peut retirer B du lot comparé et rester devant zéro. La proposition passe ce nouveau contrôle pour les deux personnes.
Les lots effectivement remis restent pourtant A-C pour Nora et B pour Camille. A n'est pas retiré de Nora, abandonné sur la table ou partagé après la vérification. Le retrait appartient au calcul que la nouvelle règle autorise, pas à la remise des objets. Camille préfère encore sept à quatre lorsqu'elle regarde les lots entiers. Nora inscrit donc « accepté après retrait d'un objet choisi dans la comparaison » plutôt que « l'envie a disparu des lots remis ». Une condition plus faible vient d'être satisfaite ; la condition initiale n'a pas changé de résultat.
Un objet choisi ne signifie pas n'importe quel objet
Camille demande ensuite que sa comparaison réussisse après le retrait de n'importe quelle carte du lot de Nora, pas seulement d'une carte bien choisie. Retirer A lui laisse C, de valeur un, et le contrôle réussit toujours. Retirer C lui laisse A, de valeur six, supérieur à ses quatre points. Ce deuxième retrait suffit à refuser la proposition sous la nouvelle demande. Nora conserve les deux opérations avec leurs sorties : choisir la carte six avait permis de passer le contrôle précédent, mais ne répondait pas à une vérification portant sur chaque carte retirable.
Nora essaie alors une autre attribution : A pour elle, B et C pour Camille. Les lots valent six et cinq. Camille préfère encore six à ses cinq, de sorte que le partage entier n'est pas sans envie. Cependant, retirer l'unique A du lot de Nora laisse zéro dans la comparaison et convient à Camille. Pour Nora, retirer B du lot B-C laisse C, de valeur un ; retirer C laisse B, de valeur quatre. Les deux résultats sont inférieurs à ses six points. Cette proposition passe donc le contrôle de retrait quelconque pour les deux personnes.
Camille choisit cette seconde attribution parce qu'elle tient au contrôle renforcé. Nora conserve A comme lot d'une carte, puis B-C comme lot de deux, avec leurs six et cinq points. Elle ne présente pas ce choix comme une égalité du nombre de cartes ou des points : ni l'une ni l'autre n'est obtenue. Dans cette branche, une seule carte du lot comparé explique encore la préférence de Camille pour ce lot entier. La vérification renforcée accepte cette situation précise, plutôt que de transformer le retrait de cette carte dans un calcul en une carte reçue par Camille.
Le nouveau partage ne peut d'ailleurs pas rendre les points égaux avec ces trois cartes entières et ces mêmes valeurs. L'ensemble vaut onze. Si les deux lots valaient autant et contenaient toutes les cartes, chacun vaudrait cinq et demi. Or chaque lot reçoit une somme entière de six, quatre et un. Nora peut modifier sa première attribution, mais elle ne peut pas obtenir deux lots à cinq et demi par une simple permutation des cartes. Camille conserve donc une envie sur les lots entiers comme une limite de ce petit cas, sans en faire une propriété de toutes les collections indivisibles.
Chercher des lots proches ne change pas la nature des cartes
Camille choisit un autre critère pour les mêmes cartes : minimiser la différence absolue de points entre les deux lots. Nora examine les sommes possibles d'un lot. Elles sont zéro, un, quatre, cinq, six, sept, dix et onze. L'autre lot reçoit toujours onze moins cette somme. Les différences possibles sont donc onze, neuf, trois, un, un, trois, neuf et onze. Le minimum est un, atteint par A face à B-C, dans l'un ou l'autre sens d'attribution. Le partage A-C face à B donne au contraire une différence de trois.
Ce calcul permet à Nora de retirer « seul partage le plus équilibré » de sa fiche. Il y a deux attributions au même écart minimum : elle peut recevoir A et Camille B-C, ou recevoir B-C et Camille A. La règle de différence seule ne désigne pas laquelle. Nora et Camille ajoutent leur choix : Nora garde A. Leur résultat reste six et cinq, avec un écart de un. Elles ne donnent pas à ce choix supplémentaire la fonction d'une preuve mathématique de meilleure attribution ; le calcul avait déjà fourni deux réponses équivalentes pour son critère.
Camille peut aussi préparer elle-même les deux lots avant de laisser Nora choisir celui qu'elle préfère. Si elle veut garantir le meilleur minimum pour son propre lot, elle compare la plus petite valeur de chaque partition. Les partitions zéro-onze et un-dix lui garantissent zéro et un ; quatre-sept garantit quatre ; cinq-six garantit cinq. Elle prépare donc A d'un côté, B-C de l'autre. Nora choisit A, qu'elle évalue à six ; Camille reçoit B-C et ses cinq. Le critère de Camille a porté sur le plus petit lot qu'elle pourrait recevoir, tandis que le choix effectivement fait par Nora désigne lequel reste.
Nora ne pourrait pas transformer cette garantie de cinq en une garantie de six pour Camille sous le même accord. Pour que les deux lots préparés valent au moins six, ils demanderaient ensemble douze points, alors que toutes les cartes en donnent onze. Camille conserve donc cinq comme meilleur minimum de la préparation des deux lots. Elle n'est pas promise à un lot qu'elle préférerait à celui de Nora ; le choix de Nora lui laisse ici le plus petit. Le contrôle de partage et la garantie de préparation sont deux questions remplies sur la même attribution, avec des résultats différents.
Une comparaison tolérante peut accepter deux mauvais lots
Une nouvelle branche donne seulement deux cartes, A et B. Nora attribue neuf points à A et un à B ; Camille attribue un à A et neuf à B. Le projet actuel remet B à Nora et A à Camille. Chacune donne donc un point à son propre lot et neuf à l'autre. Avoir distribué une carte entière à chacune n'a pas satisfait leur comparaison sur les lots entiers. Nora garde les deux évaluations personnelles dans le relevé ; elle ne regarde pas A avec ses neuf points pour déclarer que Camille aurait reçu neuf selon sa propre grille.
Cette mauvaise attribution passe pourtant les deux contrôles de retrait précédents. Pour Nora, retirer l'unique A du lot de Camille laisse zéro ; son point est alors suffisant. Pour Camille, retirer l'unique B du lot de Nora laisse également zéro. Le retrait choisi et le retrait quelconque coïncident ici, puisque le lot de l'autre n'a qu'une carte. Nora retire donc une autre promesse : « le contrôle renforcé exclut les partages que les deux voudraient corriger ». Les deux personnes viennent précisément d'accepter ce contrôle tout en préférant leur carte actuellement chez l'autre.
Nora propose un échange réel cette fois : elle reçoit A et Camille reçoit B. Ses points passent de un à neuf ; ceux de Camille passent également de un à neuf, d'après la grille de Camille. Les deux personnes gagnent, et aucune ne perd. Nous appelons amélioration commune un changement qui ne fait baisser aucune évaluation personnelle et en fait monter au moins une. L'échange remplit une condition encore plus forte dans ce cas : les deux montent strictement. Camille accepte le nouvel état, puis garde l'ancienne attribution comme comparaison qui avait passé les contrôles de retrait sans être à l'abri d'une telle amélioration.
Cet échange ne dépend pas d'une égalité de leurs nombres de points entre elles. Pour vérifier le gain de Nora, nous avons comparé neuf à un dans sa seule grille ; pour celui de Camille, neuf à un dans la sienne. Si tous les points de Nora étaient multipliés par cent, ses valeurs passeraient de cent à neuf cents dans cet échange, tandis que Camille conserverait un puis neuf. Chacune gagnerait encore. Nora peut donc vérifier cette amélioration commune sans décider qu'un point de l'une représente une quantité comparable à un point de l'autre dans une somme globale.
Choisir à tour de rôle peut assurer un contrôle précis
Nous donnons maintenant cinq cartes A à E. Les points de Nora sont huit, sept, quatre, trois et un, dans cet ordre de noms. Ceux de Camille sont sept, huit, un, quatre et trois. Elles choisissent à tour de rôle une carte encore libre, Nora d'abord, chacune prenant celle à laquelle elle donne le plus de points parmi les cartes présentes. En cas d'égalité, la première lettre passe avant la suivante. Les valeurs sont données avant les choix et s'ajoutent dans chaque lot ; aucune carte déjà choisie n'est reprise pendant cette procédure.
Nora choisit A, de valeur huit pour elle. Camille choisit B, de valeur huit pour elle. Nora prend ensuite C, qu'elle évalue à quatre parmi C, D et E ; Camille prend D, de valeur quatre parmi D et E. Nora reçoit enfin E, seul objet libre. Nora possède donc A-C-E, de valeur treize pour elle ; Camille possède B-D, de valeur douze pour elle. La présence de trois cartes chez Nora et de deux chez Camille décrit les choix accomplis, mais ne suffit pas à établir la comparaison de leurs lots avec ces valeurs différentes.
Nora donne dix points au lot B-D : sept pour B et trois pour D. Ses treize points dépassent donc ceux qu'elle donne au lot de Camille. Camille donne onze au lot A-C-E : sept pour A, un pour C et trois pour E. Ses douze points dépassent ces onze. Cette réalisation est sans envie sur les lots entiers pour chacune, même si leurs deux propres totaux treize et douze ne sont pas égaux. Nora ne compare pas treize et douze pour produire ce verdict : elle compare treize à dix pour elle, puis douze à onze pour Camille.
La procédure peut toutefois produire seulement le contrôle de retrait choisi dans d'autres collections. Nora reprend les trois cartes de valeurs communes six, quatre, un. En choisissant d'abord, elle prend A ; Camille prend B ; Nora reçoit C. On retrouve A-C face à B, qui passait le retrait de A mais échouait après le retrait de C. Nora conserve donc le choix à tour de rôle sans lui attribuer automatiquement le contrôle du retrait quelconque. Les cinq cartes avaient donné une réalisation plus favorable, tandis que les trois montrent la limite de la promesse attachée à la méthode elle-même.
Le premier choix joue un rôle dans la garantie
Avec deux personnes et des points additifs positifs, Nora peut justifier un contrôle de retrait choisi pour toute réalisation de cette alternance. Lorsqu'elle choisit en premier à chaque paire de tours, la carte prise ensuite par Camille était encore disponible. Nora attribue à son propre choix au moins autant de points qu'à cette carte, puisque c'était son meilleur choix libre. En additionnant ces comparaisons paire par paire, elle évalue son lot au moins aussi haut que celui de Camille. S'il reste une carte à la fin pour Nora, sa valeur positive ne peut pas faire baisser son total.
Pour Camille, Nora met à part la toute première carte qu'elle a choisie. Après ce premier choix, Camille choisit sa première carte avant le deuxième choix de Nora. Elle pouvait donc prendre cette future deuxième carte de Nora et attribue à sa propre carte au moins autant de points. Son deuxième choix précède de même le troisième de Nora, lorsqu'il existe. Les cartes ultérieures du lot de Nora peuvent ainsi être comparées à des choix de Camille qui les précédaient. En additionnant avec la grille de Camille, son lot vaut au moins le lot de Nora privé de cette première carte.
La garantie désigne donc un retrait possible pour la comparaison de Camille : celui de la première carte de Nora. Elle ne garantit pas le résultat après tous les autres retraits. Dans les valeurs six, quatre, un, cette carte est A, précisément celle dont le retrait laissait seulement C. Retirer le dernier C aurait laissé A et échoué. Nora garde ce lien entre les tours et le contrôle au lieu de choisir rétrospectivement une règle portant sur n'importe quelle carte. La preuve utilise l'ordre des possibilités au moment des choix, pas seulement le nombre final de cartes dans chaque lot.
Camille prend le premier tour dans une réalisation séparée sur ces trois cartes. Elle choisit A, Nora choisit B, Camille reçoit C. Le partage A-C face à B est inversé entre les personnes, et la personne qui pourrait préférer le lot de l'autre est maintenant Nora. La même justification lui permet de retirer la première carte de Camille dans la comparaison. Les deux partages passent donc la garantie de retrait choisi, mais ils ne donnent pas les mêmes objets ni les mêmes préférences sur les lots entiers. Choisir qui commence reste une décision de la préparation, et non un détail effacé par le fait que les deux résultats ont reçu le même verdict limité.
Un avantage donné aux paires peut fermer la garantie
Nous préparons une autre alternance à cinq cartes, en changeant cette fois la règle des valeurs de lot. Nora donne huit à A, deux à B, sept à C, un à D et six à E ; ses points restent additifs. Les valeurs isolées de Camille sont quatre, cinq, trois, quatre et deux pour A à E. Mais Camille ajoute cent points à tout lot qui contient au moins deux cartes parmi A, C et E. Ce supplément est ajouté une seule fois, même si les trois cartes se trouvent ensemble. Il représente une règle créée sur des groupes, pas une préférence réelle observée chez une personne.
Les choix de cartes isolées restent A pour Nora, B pour Camille, C pour Nora, D pour Camille, puis E pour Nora. Au moment de choisir D, Camille possède B : ajouter D lui donne neuf, ajouter E seulement sept, sans supplément dans les deux cas. Elle choisit donc D même si elle compare les lots qu'elle obtiendrait, pas seulement les valeurs isolées. Son lot B-D vaut neuf. Le lot A-C-E de Nora vaut cent neuf dans la grille de Camille. Retirer A lui laisse C-E, de valeur cent cinq ; retirer C lui laisse A-E, de valeur cent six ; retirer E lui laisse A-C, de valeur cent sept. Aucun retrait unique ne suffit cette fois à faire accepter la comparaison.
Nora retrouve pourtant les comparaisons isolées qui avaient servi à sa preuve : les cinq de B dépassent les trois de C, les quatre de D dépassent les deux de E. Leur addition donne neuf contre cinq pour le groupe C-E, mais cette addition n'est plus la valeur que Camille donne à ce groupe : les cent points supplémentaires manquent. Nora retire donc la garantie de retrait choisi dans cette nouvelle règle, tout en conservant sa preuve pour les points additifs des branches antérieures. L'échec ne vient ni d'un tour sauté ni d'une carte déjà reprise. Il vient du changement explicite de la relation entre valeurs isolées et valeur du lot comparé.
Additionner les points des personnes ajoute une convention
Une dernière branche conserve deux cartes A et B, mais leur donne les valeurs neuf et un pour chacune. Nora compare deux propositions complètes : A pour elle et B pour Camille, ou B pour elle et A pour Camille. Dans la première, leurs propres évaluations sont neuf et un ; dans la seconde, un et neuf. Leur somme vaut dix dans les deux cas si l'on additionne directement les nombres donnés. Pourtant, passer d'une proposition à l'autre fait gagner l'une et perdre l'autre. Aucune des deux n'est une amélioration commune de sa concurrente.
Camille change seulement l'unité des points de Nora, qui deviennent neuf cents pour A et cent pour B. Ses préférences entre les deux cartes, ses comparaisons de lots et les contrôles de retrait gardent les mêmes réponses : multiplier tous ses propres points par cent ne change pas leur ordre. Les sommes des deux personnes deviennent pourtant neuf cent un pour A chez Nora, et cent neuf pour B chez Nora. Un choix par somme globale trancherait désormais en faveur de la première proposition. Il ne résulte donc pas seulement des préférences individuelles conservées ; il dépend d'une convention sur la comparaison de leurs unités.
Nora retire la consigne qui appelait ce résultat « le choix imposé par les deux préférences ». Si les participantes acceptent une pondération commune, elles peuvent en faire un critère supplémentaire de leur jeu, avec les unités correspondantes. Dans notre branche, aucun tel accord n'est ajouté : elles gardent les deux propositions et demandent seulement les contrôles individuels déjà remplis. Le partage de cartes conserve ainsi les lots, les points propres à chacune et le sens du retrait utilisé pour comparer, sans transformer un verdict tolérant ou une somme commode en une définition générale d'un partage juste.