Nora prépare deux piles de jetons sur une feuille. Camille peut enlever autant de jetons qu’elle veut d’une seule pile, ou enlever le même nombre strictement positif des deux piles en un seul tour. Aucun jeton n’est ajouté. Les joueuses alternent et celle qui ne peut plus jouer perd. Nous allons choisir des premiers coups, puis examiner la preuve qui permet de répondre aux coups suivants. Les piles, quantités et échanges sont créés ; ils ne décrivent aucune partie observée.
Le jeu est une variante classique à deux piles avec retrait couplé, connue comme le jeu de Wythoff. Ce nom ne fournit pas à lui seul les coups de notre dossier. Nous donnerons les positions et la raison des réponses choisies. Les jetons ne sont ni aliments ni mises d’argent. Aucun jeu commercial, matériel ou comportement de personne réelle n’est essayé. La règle conserve le dernier coup gagnant tout au long de cette préparation.
Notice P1 du Met : catégories Drawings, Ornament & Architecture.
Notice P2 du Met : catégorie Drawings.
Notice P3 du Met : catégorie Drawings.
Les notices sont citées pour leurs catégories textuelles ; aucune image, composition ou méthode d’artiste n’est adaptée aux coups créés.
Deux piles égales ne sont plus une position à laisser
Camille part de deux jetons et quatre. Elle voudrait réduire quatre à deux, comme dans un jeu où l’on touche une seule pile par tour pour annuler le XOR des tailles. Nora reçoit alors deux et deux. Le menu de notre jeu lui permet d’enlever deux de chaque pile simultanément et de laisser zéro, zéro. Camille n’a plus de coup. Elle retire donc cette proposition de son premier choix. L’ancien calcul répondait à un autre menu : il n’interdisait pas une mauvaise addition, il avait surtout besoin de l’interdiction de modifier deux piles ensemble.
Camille réduit plutôt la pile de quatre à un en prenant trois jetons. Il reste deux dans la première pile et un dans la seconde. Nora examine ce petit état. Vider la pile de un donne zéro et deux, où Camille vide deux. Réduire deux à un donne un et un, où Camille prend un de chaque côté. Vider deux donne zéro et un, encore vidable. Enfin, enlever un des deux piles simultanément donne zéro et un après rangement des tailles, également gagnant pour Camille. Nora ne possède ainsi aucun coup qui garde pour elle la maîtrise du dernier.
Camille remet ce retrait de trois, avec la pile deux conservée et l’autre devenue un. Nous écrirons parfois la position comme un, deux en mettant la plus petite taille d’abord ; cela ne raconte aucun échange matériel des piles. La proposition deux, deux appartenait au même départ, mais la réponse couplée l’avait rendue perdante pour Camille. Son choix de trois n’a pas seulement retiré davantage de jetons : il a transmis une autre classe de position, que l’examen des réponses légales vient de remplir.
Des paires séparées par des écarts précis
Nora appelle froide une position perdante pour la personne qui doit y jouer, si les deux suivent les meilleurs coups disponibles. Elle note d’abord zéro, zéro, puis un, deux ; trois, cinq ; quatre, sept ; six, dix ; huit, treize. Les écarts des cinq dernières paires sont un, deux, trois, quatre et cinq. Les deux coordonnées positives de ces paires n’ont pas encore répété un même nombre. Il faut toutefois une raison générale avant d’annoncer que toutes les autres positions ont une réponse vers cette liste ; une continuation visible de quelques termes ne serait pas suffisante.
Nous définissons phi comme un plus la racine carrée de cinq, le tout divisé par deux. Il est irrationnel et vérifie phi au carré égal à phi plus un. Pour un entier n positif, la petite coordonnée a n est la partie entière de n fois phi ; la grande b n vaut a n plus n. Comme phi au carré vaut phi plus un, b n est également la partie entière de n fois phi au carré. Pour n un, deux, trois, quatre et cinq, ces formules donnent effectivement les cinq paires notées. Nora conserve zéro, zéro à part, comme la fin où aucun retrait n’est disponible.
Pourquoi les deux suites positives couvrent-elles chaque entier une seule fois ? Pour un entier m, le nombre de a n ne dépassant pas m est la partie entière de m plus un divisé par phi. Le nombre de b n ne dépassant pas m est la partie entière de m plus un divisé par phi au carré. Les deux quotients sont irrationnels, et leur somme vaut m plus un, car les inverses de phi et de phi au carré ont somme un. Leurs parties entières ont donc somme m. Entre m moins un et m, ce total augmente exactement de un : chaque entier positif apparaît précisément une fois parmi les deux suites, sans trou et sans doublon.
Chaque suite augmente strictement. Deux positions froides différentes ne partagent donc aucune coordonnée positive, ni une coordonnée positive d’une suite avec celle de l’autre. Un retrait d’une seule pile garde l’autre taille intacte ; il ne peut conduire d’une paire froide à une autre. Le retrait couplé garde l’écart des tailles. Or la paire d’indice n possède exactement l’écart n, et deux indices distincts ont des écarts distincts. Aucun retrait positif ne rejoint ainsi une autre paire de la liste en changeant les deux piles. Nora a contrôlé les deux sortes de coups, au lieu de transporter la compensation des colonnes binaires de l’ancien menu.
Trouver une réponse quand la petite taille dépasse son repère
Nora reçoit quatre, six. L’écart vaut deux ; la paire froide de cet écart est trois, cinq. La petite taille quatre est supérieure à trois d’une unité. Camille enlève donc une unité de chaque pile et transmet trois, cinq. Elle a retiré deux jetons par un seul coup autorisé. Nora ne remplace pas ce geste par deux tours successifs sur les deux piles : l’adversaire pourrait jouer entre eux et ce ne serait pas le coup que le menu a permis ici.
Le même choix s’établit pour des tailles x et y rangées avec x inférieur ou égal à y. On calcule l’écart d égal à y moins x. Si x dépasse a d, retirer x moins a d de chaque pile donne a d puis a d plus d, soit b d. La quantité est positive et ne dépasse pas la petite pile, puisque a d est non négatif. Le coup est donc disponible. Camille n’a pas seulement désigné une paire froide distante : elle a donné la soustraction commune qui l’atteint en conservant l’écart de la position reçue.
Sur cinq, huit, l’écart trois désigne quatre, sept. Camille retire un de chaque côté et transmet cette paire. Les deux états de départ, quatre, six et cinq, huit, ont utilisé la même quantité un, mais ils n’ont pas rejoint la même paire. Nora garde leurs écarts deux et trois auprès des deux résultats. Elle ne cherche pas à laisser toujours un, deux parce que c’était sa première position froide : depuis cinq, huit, enlever le même nombre ne pourrait pas changer l’écart trois en un.
Une petite taille sous son repère exige un autre coup
Revenons à deux, quatre. L’écart vaut deux et a deux vaut trois. La petite taille deux est donc inférieure au repère trois ; le retrait diagonal précédent demanderait d’ajouter un aux deux piles. Nora le refuse. Dans la partition des entiers positifs, deux est b un, dont l’autre coordonnée est a un égal à un. Camille peut garder la pile deux et réduire la pile quatre à un. C’est exactement le retrait de trois choisi au début. L’indice provenant de la coordonnée reçue, un, n’est pas ici l’écart initial deux.
La preuve traite les deux façons dont une taille positive x peut apparaître dans la partition. Si x est un a n et reste inférieur à a d, l’augmentation stricte des a donne n inférieur à d. Le partenaire b n vaut x plus n, donc est inférieur à y égal à x plus d. Réduire seulement y à b n rejoint la paire froide n. Si x est au contraire un b n, son partenaire a n est plus petit que x et donc que y ; réduire y à a n rejoint la paire après avoir rangé ses tailles. Les deux coups diminuent effectivement une pile, sans déplacer de jetons vers l’autre.
Si x vaut précisément a d, la position x,y est déjà a d,b d et demeure froide. Si x vaut zéro et y est positif, Camille peut vider y et laisser zéro, zéro. Ces cas complètent ceux de x au-dessus et au-dessous du repère. Nora peut donc annoncer deux propriétés de la liste : aucun coup n’en relie deux positions, et toute position hors de la liste possède un coup qui y conduit. Avec la diminution du total à chaque tour et la fin zéro, zéro, ces propriétés déterminent les positions perdantes. Le raisonnement n’a pas ajouté un mode de jeu où le dernier perdrait.
Nora examine ensuite une position où plusieurs gestes rejoignent la même paire. Elle reçoit sept, dix. L’écart est trois, dont a trois vaut quatre, donc la réponse diagonale enlèverait trois pour rejoindre quatre, sept. Mais sept est aussi b trois : elle pourrait garder sept et réduire dix à quatre, même cible sans retrait diagonal. Dans cet exemple, la petite taille dépasse son repère et plusieurs gestes restent possibles. Nora ne transforme pas la preuve d’existence de la réponse diagonale en affirmation que ce serait l’unique geste gagnant pour chaque départ.
Choisir parmi les réponses gagnantes n’est pas choisir le plus court jeu
Depuis cinq, huit, Camille connaît deux réponses froides : quatre, sept par retrait commun de un, et trois, cinq en réduisant la pile huit à trois, tout en conservant la pile cinq. Le premier enlève deux jetons au total, le second cinq. Nora demande cette fois de retirer le moins de jetons au premier geste tout en donnant une position froide. Camille retient le retrait couplé de un. Elle joint les deux quantités effectivement disponibles et ne compte pas la quantité un deux fois comme deux coups successifs.
Ces deux réponses sont les seules qui conduisent à une position froide depuis ce départ. Un retrait commun garde l’écart trois et ne peut rejoindre que quatre, sept. Un retrait d’une seule pile garde cinq ou huit. Cinq apparaît dans la paire trois, cinq, accessible en abaissant huit à trois. Huit appartient à huit, treize ; rejoindre treize en conservant huit demanderait d’augmenter cinq et est interdit. La partition des coordonnées a ainsi fermé le choix immédiat. Nora peut signer le minimum deux parmi les gestes qui transmettent une position froide, sans chercher tous les coûts de la partie future.
Une autre convention ajoute quatre points au coût de tout geste couplé ; un geste simple ne reçoit aucun supplément. Le point de base reste le nombre total de jetons retirés, et les points ne sont ni argent ni fatigue réelle. Le retrait commun coûterait maintenant deux plus quatre, soit six. Le retrait simple de cinq coûte cinq. Camille choisit donc ce dernier et remet trois, cinq. Nora conserve cette sélection sous le nouveau barème, sans changer les positions froides : le supplément influence son choix parmi des gestes gagnants, mais il n’ajoute ni n’interdit une transition du jeu.
Le minimum cinq de ce barème ne devient pas une promesse sur le total des points payés jusqu’à la fin. Nora n’a pas stipulé comment elle minimiserait ces coûts futurs face aux choix adverses ; elle a demandé seulement le premier geste. Les deux positions transmises appartiennent au repère gagnant pour Camille, mais les suites de tailles et de coûts diffèrent ensuite. Elle retire donc un titre annonçant « la partie la moins chère » et remet « le premier geste le moins coûteux parmi les réponses froides ». Ce contrôle général demeure hors du développement utile du nouveau calcul de positions.
Une approximation du repère peut annoncer un mauvais gagnant
Camille voudrait remplacer phi par un virgule six pour préparer une liste rapide. À l’indice treize, cette valeur donnerait vingt, puis trente-trois en ajoutant treize. Le vrai a treize vaut vingt et un, donc la vraie paire de cet écart est vingt et un, trente-quatre. Nora refuse de classer vingt, trente-trois comme froide. La petite taille vingt reste sous a treize, et vingt est b huit, dont le partenaire a huit vaut douze. Camille peut réduire trente-trois à douze et transmettre douze, vingt. La prétendue position perdante possédait donc un retrait gagnant réel.
Le calcul exact du plancher peut éviter cette approximation dans notre catalogue fini. Pour un entier n, a n est la partie entière de n plus racine carrée de cinq n au carré, le tout divisé par deux. On peut prendre d’abord la racine carrée entière, puis diviser la somme entière par deux en gardant son quotient entier. À n treize, cinq n au carré vaut huit cent quarante-cinq ; sa racine entière vaut vingt-neuf. Treize plus vingt-neuf vaut quarante-deux, dont la moitié est vingt et un. Nora conserve ces entiers sur la fiche treize, au lieu de remplacer le nombre trouvé par celui de la liste arrondie.
Ce contrôle a une portée limitée et vérifiable. Il calcule les planchers nécessaires aux paires, sans prétendre qu’un petit écart décimal serait inoffensif à tous les indices. Les paires un, deux ou trois, cinq étaient correctement données par certains arrondis ; cela ne rendait pas correcte vingt, trente-trois. Nora garde cette dernière feuille comme témoin de l’échec et la paire exacte vingt et un, trente-quatre comme repère d’écart treize. Une présentation de la liste ne doit pas faire changer la réponse que ses mouvements légaux imposent.
Nora remet finalement le départ cinq, huit avec le retrait simple vers trois, cinq sous le barème comportant un supplément couplé. Les autres branches gardent leurs coups distincts, notamment deux, quatre vers deux, un et quatre, six vers trois, cinq. Le dossier conserve la règle commune de retrait sur deux piles, les repères exacts et les critères qui départagent des premiers coups disponibles, sans convertir une quantité retirée en preuve d’une partie matérielle observée.
Les catégories des notices citées ne fournissent ni les tailles ni les règles du jeu ; elles demeurent les seules relations documentaires retenues.
Limiter le geste commun change la liste des positions froides
Une dernière commande autorise toujours le retrait libre d’une seule pile, mais limite le geste couplé à un seul jeton de chacune. Deux de chaque côté n’est plus un coup possible. Les autres conditions, alternance et absence de coup perdante, restent inchangées. Nora ne confond pas cette limite avec le barème précédent : le supplément de quatre points conservait tous les gestes, tandis que la nouvelle permission en retire effectivement. Elle demande des réponses pour cette règle avant toute partie, sans changer silencieusement un menu au milieu de la réalisation conservée.
La paire trois, trois ne permet plus de prendre les six en un geste. Elle appartient maintenant aux positions froides, comme zéro, zéro et six, six. La nouvelle liste complète réunit les paires trois k, trois k et les paires trois k plus un, trois k plus deux, pour les entiers k non négatifs. Les premiers termes sont zéro, zéro ; un, deux ; trois, trois ; quatre, cinq ; six, six ; sept, huit. Chaque entier positif a un seul partenaire dans cette liste, lui-même s’il est multiple de trois. Nora peut donc refuser un retrait simple reliant deux de ces paires : la taille conservée imposerait précisément son ancien partenaire, et aucun retrait positif ne laisserait la même paire. Le seul retrait couplé donne, depuis un multiple de trois répété, deux tailles de reste deux, ou depuis les restes un, deux, une paire de restes zéro, un. Aucun de ces résultats ne figure dans la liste froide.
Pour rejoindre la nouvelle liste depuis une autre paire x,y rangée, Nora regarde le reste de x modulo trois. S’il vaut zéro et que y dépasse x, elle réduit y à x. S’il vaut un, son partenaire froid est x plus un : avec y plus grand, elle le réduit à ce partenaire, sauf si la paire y était déjà ; avec y égal à x, elle prend un dans chaque pile et atteint deux multiples de trois égaux. S’il vaut deux, elle réduit y à x moins un, obtenant les restes un, deux dans l’ordre. Ce retrait est positif, même quand les deux tailles reçues sont égales. Ces cas donnent une réponse depuis toute paire hors de la liste. La nouvelle classification est donc accompagnée de gestes disponibles sous ce menu précis ; elle ne reprend pas les planchers de phi en espérant que leur premier petit terme commun, un, deux, suffirait à les certifier tous.
Camille reçoit trois, cinq, froide sous la permission couplée libre, mais gagnante sous cette limite. Elle retire deux seulement de la pile cinq et laisse trois, trois. Nora joue ensuite en réduisant une pile trois à un, donnant un, trois. Camille garde un et abaisse trois à deux, retrouvant la paire froide un, deux. Nora choisit le seul geste commun de un et donne zéro, un ; Camille vide le reste et laisse zéro, zéro. Tous ces retraits appartiennent au nouveau menu. La séquence remplit une victoire de Camille depuis trois, cinq, sans annoncer que Nora aurait commis une erreur sous la première permission. Trois, trois y aurait été vidable en un coup et ne constituait pas son repère perdant. Le dossier conserve ainsi les deux statuts opposés des mêmes tailles auprès de la règle qui les a effectivement produits.