Nora prépare une activité sur deux places libres de la table. Quatre cartes demandent des avances différentes avant de pouvoir être retournées. Elle veut connaître le moment où les quatre seront terminées, plutôt que réduire l'attente moyenne d'une personne ou choisir qui commence. Paul trace une ligne par place. Une première répartition paraît équilibrée ; une autre finit pourtant plus tôt en changeant de place une seule carte. Le changement devient moins séduisant lorsqu'il consomme lui-même du temps.
Les cartes de cette page sont fictives. Une unité de travail est une quantité inscrite, et une unité de temps appartient au calendrier construit. Aucun temps de montage d'un jouet réel n'est mesuré. Au départ, les deux postes avancent chacun d'une unité de travail par unité de temps. Une carte peut être suspendue en conservant son avance, puis reprise ailleurs. Elle n'avance jamais sur les deux postes simultanément. Les quatre cartes sont disponibles dès zéro ; aucune n'attend la fin d'une autre.
Les sources situent seulement la catégorie des jeux de construction. Quantités, vitesses, interruptions et transferts sont définis ici ; aucun procédé, bénéfice ou temps de fabrication des marques n'est repris.
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La meilleure répartition de cartes entières prend huit unités
La carte D demande cinq unités de travail, et A, B, C en demandent trois chacune. L'ensemble représente quatorze unités. Deux postes identiques ne peuvent fournir que deux unités de travail par unité de temps : sept est donc une limite inférieure pour la fin commune. La plus longue carte en demande cinq, ce qui n'élève pas cette limite. Pour l'instant, ce calcul ne livre aucun calendrier ; il donne seulement un moment avant lequel les quatre cartes ne peuvent pas être achevées.
Paul souhaite confier chaque carte à un poste et l'y laisser jusqu'à sa fin. Les charges possibles d'un poste sont zéro, trois, cinq, six, huit, neuf, onze ou quatorze. Cette liste vient des sous-ensembles de cinq, trois, trois et trois ; sept n'y apparaît pas. Le poste recevant D peut la garder seule et travailler cinq unités, mais l'autre reçoit alors les trois petites cartes et en travaille neuf. Lui ajouter une petite carte donne huit, tandis que les deux restantes donnent six. Paul choisit donc cette seconde répartition : D puis A sur le premier, B puis C sur le second.
Le calendrier retenu termine à huit : D de zéro à cinq, A de cinq à huit ; B de zéro à trois, C de trois à six. L'autre poste reste ensuite libre de six à huit. Ce vide ne se remplit pas en intervertissant B et C, puisqu'elles totalisent toujours six. La liste des charges montre que toute fin strictement inférieure à huit obligerait les deux charges entières à être au plus sept ; aucune paire complémentaire de la liste ne le permet. Huit est ainsi la meilleure fin possible pour cette règle de cartes entières, même si une partie de la table attend.
Nora autorise ensuite l'interruption d'une carte, tout en exigeant qu'elle reste sur son poste d'origine. Paul suspend A, la reprend plus tard et déplace son intervalle sur la même ligne. Cela ne retire aucune de ses trois unités au premier poste. Chaque carte appartient encore entièrement à une des deux charges de la liste ; les arrêts introduisent seulement des espaces dans cette charge. Le meilleur moment reste huit. Nora efface cette tentative et conserve la feuille entière comme référence : interrompre et changer de poste sont deux permissions différentes, dont seule la seconde peut modifier la répartition du travail entre les lignes.
Un transfert ferme le trou sans doubler une carte
Nora prépare une autre feuille. Le premier poste fait D de zéro à cinq, puis deux unités de A de cinq à sept. Le second commence par une unité de A de zéro à un, poursuit B de un à quatre, puis C de quatre à sept. A reçoit donc une unité tôt sur le second poste et deux unités tard sur le premier. Entre un et cinq, elle reste suspendue. Les quatre cartes sont terminées à sept, les deux lignes sont occupées jusqu'à cette fin, et aucun instant ne voit deux avances de A ensemble. La limite des quatorze unités partagées en deux est atteinte.
Paul découpe pour comprendre une bande de travail portant, dans cet ordre, D, A, B, C. Il remplit une première ligne longue de sept : les cinq unités de D, puis les deux premières unités dessinées de A. Le morceau restant de A ouvre la seconde ligne ; B et C la remplissent ensuite. Cette manière de poser les étiquettes produit exactement le calendrier de Nora. Pourtant, la partie de A dessinée en second est exécutée avant celle dessinée en premier. L'ordre spatial des morceaux dans la bande ne sert donc pas d'ordre chronologique de leur exécution. Nora numérote la progression de A sur la feuille finale, plutôt que recopier les numéros de sa bande.
A commence ainsi par son unité située de zéro à un ; sa reprise de cinq à sept produit ensuite ses unités restantes. Le transfert est possible parce que le modèle demande une avance conservée, sans sous-étape nommée qui devrait obligatoirement rester sur une place. Si Paul avait attaché une consigne de début à la partie tardive en la considérant déjà faite, sa feuille serait fausse. Nora dessine une flèche de la première exécution vers la reprise et donne à cette flèche un temps d'attente de quatre. Elle garde les mêmes intervalles, mais remet les instructions de progression dans le sens où elles seront accomplies.
Il serait également faux de laisser A travailler de zéro à trois sur le second poste tout en la reprenant de deux à quatre sur le premier. Les trois premières unités et les deux suivantes ne suffiraient pas à rendre ce double usage permis. Une unité de travail ne peut être obtenue par deux avances simultanées d'une même carte dans cette activité. Nora compare les deux morceaux réellement retenus, zéro à un et cinq à sept : leur séparation est positive. Elle refuse la feuille qui chevauche et conserve la feuille construite par la bande, dont le morceau précoce se termine avant le début du morceau tardif.
Pourquoi la coupe d'une bande fonctionne sur des postes identiques
Paul veut savoir si la bonne séparation est due à ces quatre longueurs particulières. Il appelle T la longueur d'une ligne et p celle d'une carte coupée entre deux lignes. Le morceau en fin de première ligne a une longueur a ; celui qui ouvre la suivante a une longueur b, avec a plus b égal à p. Le premier occupe le temps de T moins a jusqu'à T ; le second, le temps de zéro jusqu'à b. Pour qu'ils ne se chevauchent pas, il faut b inférieur ou égal à T moins a. Cela revient exactement à demander p inférieur ou égal à T. Paul peut donc contrôler la permission à partir de la longueur de la carte entière, sans inventer un ordre entre les deux postes.
Dans la feuille de Nora, T vaut sept, a vaut deux et b vaut un. Le morceau précoce finit à un ; le morceau tardif commence à cinq. La condition générale un au plus cinq explique cette séparation. Elle aurait aussi autorisé une jonction sans intervalle vide si la carte avait exactement la longueur de la ligne. Paul indique ce contrôle sur la coupe de A et distingue deux égalités : les deux morceaux totalisent trois unités de travail, tandis que leurs heures ne se recouvrent pas. La première égalité vérifie la quantité ; la seconde protège l'exécution. Aucune ne remplace l'autre.
Pour plusieurs postes identiques, Nora choisit T au moins égal à la longueur de chaque carte et à la somme du travail divisée par le nombre de postes. Elle pose les bandes successivement dans des lignes de capacité T, sans modifier leurs longueurs. Le travail total tient alors dans les lignes disponibles. Comme aucune carte n'est plus longue qu'une ligne, elle ne traverse jamais plus d'une séparation entre deux lignes. Chaque carte coupée satisfait le calcul précédent. Nora obtient de cette façon un calendrier achevé à T, avec éventuellement une fin de dernière ligne laissée vide. La preuve porte sur ces trois propriétés remplies, pas sur une préférence pour une carte courte ou longue.
Paul voudrait améliorer la feuille en mettant A d'abord sur la bande. A tiendrait entière dans la première ligne, et une autre carte pourrait être coupée plus loin. Le calcul de non-chevauchement reste le même pour celle qui traverse la séparation, tant que les permissions restent celles de la feuille initiale. Nora ne promet donc pas de conserver le nom de la carte déplacée dans toutes les présentations. Son résultat garanti est la fin à T. Pour remettre le calendrier à quelqu'un, elle doit encore donner les deux morceaux effectifs de chaque carte coupée, avec leurs heures ; l'ordre abstrait de la bande ne dispense pas de cette remise.
Un transfert qui prend du temps change le meilleur calendrier
Nora ajoute maintenant une règle précise. Lorsqu'une carte change de poste, une unité de temps du poste d'arrivée est nécessaire avant d'y reprendre le travail. Cette unité ne fait avancer aucune carte. Elle a lieu après la première exécution de la carte transférée. Paul ne peut donc pas la ranger avant zéro ni la confondre avec l'attente de la carte. Le modèle conserve toutes les permissions initiales, mais une migration inscrit désormais une case occupée supplémentaire sur une ligne. Il faut reconstruire un calendrier, plutôt qu'ajouter verbalement un petit coût à la fin annoncée de sept.
Toute feuille comportant au moins un transfert occupe les postes pendant au moins quinze unités cumulées : quatorze de travail et une de préparation du transfert. Sa fin commune ne peut donc être avant sept et demi. Une feuille sans transfert, elle, reste soumise à la répartition entière optimale de huit, même si elle interrompt des cartes sur place. Les deux familles de feuilles ont ainsi des limites différentes. Nora cherche une feuille avec un seul transfert qui atteigne sept et demi ; en la trouvant, elle pourra comparer un résultat réalisé à huit, au lieu de préférer le transfert à partir d'un coût seulement estimé.
Elle donne D au premier poste de zéro à cinq. A avance d'abord sur le second de zéro à un et demi, puis y cède la place à B jusqu'à quatre et demi, et à C jusqu'à sept et demi. Le premier poste prépare le transfert de A de cinq à six ; A y reçoit ensuite son unité et demie restante, de six à sept et demi. La préparation vient bien après la fin de son premier morceau. Chaque petite carte reçoit trois unités, D en reçoit cinq et la préparation en reçoit une. Les quinze unités de poste sont occupées, sans travail simultané de A. La nouvelle limite est atteinte : sept et demi est optimal avec ces règles.
Paul essaie plutôt de conserver la coupe ancienne, une unité de A tôt puis deux tard. Il pose D de zéro à cinq, la préparation de cinq à six, et les deux unités restantes de A de six à huit. L'autre ligne finit à sept. Le transfert permis est correct, mais cette coupe particulière termine à huit et n'améliore plus la répartition entière. Nora remplace les morceaux un et deux par un et demi, un et demi. Le gain vient de la modification réelle de leur partage ; inscrire le coût dans une marge sans toucher aux morceaux aurait masqué la perte de la première feuille.
La préparation du transfert n'est pas une troisième partie productive de A. Sur la carte, Nora inscrit seulement deux avances, un et demi plus un et demi. Sur le poste d'arrivée, elle garde une case différente pour la préparation. Ce double relevé empêche Paul d'annoncer quatre unités obtenues pour A ou de retrancher une unité à une autre carte afin de faire tenir sa ligne. La feuille livre à la fois l'état des quatre cartes et l'occupation des postes. Nora conserve le total productif de quatorze, et le total occupé de quinze, puisqu'ils répondent à deux questions différentes dans le calendrier corrigé.
Une variante facturerait trois unités par transfert. Toute feuille transférant au moins une carte occuperait alors au moins dix-sept unités de poste, et finirait au plus tôt à huit et demi. La feuille sans transfert de huit devient préférable. Nora la reprend sans modifier les longueurs des cartes. Cette variante ne change ni la preuve de partage ni la permission de migration ; elle change seulement le coût retenu. Elle sert à retirer une recommandation automatique de transfert, pas à découvrir une seconde construction.
Deux vitesses exigent de convertir le travail en heures
Une autre branche donne au premier poste deux unités de travail par unité de temps, au second une seule. Les cartes restent cinq, trois, trois, trois. La somme des vitesses vaut trois ; la limite tirée du travail total est quatorze tiers. Une carte de cinq peut finir sur le poste rapide en deux et demi, ce qui n'élève pas cette limite. Paul ne peut plus dessiner une unité de travail comme une unité de temps sur les deux lignes. Il trace deux échelles : un morceau de travail de trois dure un et demi sur la première, et trois sur la seconde.
Nora place D sur le poste rapide de zéro à deux et demi, puis A jusqu'à quatre. B y reçoit ensuite quatre tiers de travail pendant deux tiers de temps, de quatre à quatorze tiers. Sur le poste lent, B commence par cinq tiers de travail, de zéro à cinq tiers ; C prend ensuite trois unités, jusqu'à quatorze tiers. Les deux morceaux de B totalisent trois et ne se chevauchent pas, car cinq tiers est inférieur à quatre. Le rapide fournit vingt-huit tiers de travail et le lent quatorze tiers, soit quatorze ensemble. La limite de quatorze tiers devient une fin réalisée.
Si les cartes restent chacune sur un seul poste, la meilleure fin est cinq. Nora met alors A, B, C sur le rapide : leurs neuf unités prennent quatre et demi. D seule sur le lent prend cinq. Pour vérifier que cela ne cache pas une meilleure partition, Paul reprend les mêmes charges possibles. Si s est la charge rapide, la fin est le plus grand de s divisé par deux et de quatorze moins s. Une fin inférieure à cinq demanderait à la fois s inférieur à dix et s supérieur à neuf. La liste ne contient aucune charge dans cet intervalle ouvert. La comparaison entre cinq et quatorze tiers porte donc encore sur deux règles remplies, après conversion de leurs charges.
Copier la bande peut fabriquer un chevauchement
Paul garde le poste rapide de vitesse deux et le lent de vitesse un, mais prend maintenant deux cartes : D de sept unités de travail et E de cinq. Les douze unités peuvent, en quantité totale, être fournies en quatre unités de temps. Il trace une bande de travail et remplit d'abord les huit unités que le rapide peut traiter avant quatre : les sept de D, puis une de E. Les quatre unités restantes de E occupent le lent. Tous les volumes semblent répartis. Le rapide ferait D de zéro à trois et demi, puis E de trois et demi à quatre ; le lent ferait E de zéro à quatre.
E serait alors exécutée deux fois en même temps de trois et demi à quatre. Le dessin tient dans les deux lignes et totalise exactement cinq unités de E ; il échoue pourtant à la permission qui interdit de doubler une carte. Paul avait appliqué à des bandes de travail de capacités huit et quatre la coupe prouvée pour des lignes de même capacité et de même vitesse. Le morceau tardif est ici une seule unité de travail, mais sa durée n'est qu'une demie. Le morceau précoce de quatre unités occupe quatre heures ; il atteint précisément la fin de la feuille et empiète sur l'autre.
Nora change la répartition des morceaux au lieu de corriger le chevauchement par une note. Le rapide fait six unités de D de zéro à trois, puis deux unités de E de trois à quatre. Le lent fait trois unités de E de zéro à trois, puis une unité de D de trois à quatre. D reçoit six plus une, E trois plus deux. À trois, les cartes échangent de poste ; avant trois, D avance sur le rapide et E sur le lent, et après trois leurs places sont inversées. Aucune carte n'avance ensemble sur les deux. Les douze unités sont terminées à quatre, ce qui atteint la limite totale sans reprendre la coupe fautive.
Le contrôle d'une carte coupée ne s'écrit plus simplement avec sa longueur comparée à T. Si le morceau tardif de travail a est sur le poste rapide, il commence à T moins a divisé par deux. Si le morceau précoce de travail b est sur le lent, il finit à b. Il faut donc b inférieur ou égal à T moins a divisé par deux. Pour E dans la feuille fautive, b vaut quatre, a vaut un : quatre n'est pas inférieur ou égal à trois et demi. Dans la feuille corrigée, b vaut trois et a vaut deux : les deux côtés valent trois. L'égalité autorise la jonction au même instant, sans autoriser le chevauchement précédent.
Pour D, c'est l'autre sens de transfert qui intervient. Son morceau rapide de six finit à trois ; son morceau lent de une commence à trois. Paul ne vérifie pas cette carte avec la formule de E, dont le premier morceau était lent. Il écrit les deux heures de D et constate leur jonction. Nora lui remet ainsi deux contrôles orientés, un par carte, plutôt qu'une condition unique copiée à partir de la plus petite pièce. Le volume total donne encore une limite commune ; la possibilité d'atteindre cette limite dépend aussi de l'arrangement horaire des morceaux sur leurs postes respectifs.
Nora ferme la feuille avec les calendriers réellement construits. Elle garde séparément la règle de cartes entières, celle des transferts gratuits, celle d'une préparation payante et celle des deux vitesses. Chacune possède son occupation complète et son état final des cartes. Pour l'activité suivante, elle commencera par choisir la règle que les participants peuvent effectivement suivre, puis vérifiera le calendrier correspondant. La différence entre une carte terminée et un poste occupé restera visible sur les deux relevés.