Nora prépare un jeu sur papier pour la table du café. Deux options, A et B, donnent accès à des sacs de jetons rouges ou blancs. Le rouge signifie gagner un point dans ce jeu ; il ne représente ni une qualité de boisson ni un résultat observé auprès de personnes. Les quantités sont créées. Camille veut choisir l'option qui donne le plus de chances de rouge, mais doit d'abord préciser comment le sac et le jeton seront choisis.
Chaque option possède un groupe H et un groupe L. Dans A, H contient neuf rouges sur dix jetons et L deux rouges sur dix. Dans B, H contient quatre-vingts rouges sur cent jetons et L un rouge sur dix. Les jetons d'un même sac sont tirés uniformément lorsque ce sac est choisi. H et L sont seulement des noms de groupes, sans personne, adresse ou propriété alimentaire. Le jeu ne leur donne aucune valeur indépendante de leur composition stipulée.
Les trois pages consultées identifient seulement des cafés. Aucun taux ni résultat de produit n'est adopté ; sacs, couleurs et règles de tirage sont créés pour ce jeu.
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Une meilleure fraction dans chaque groupe peut perdre dans le sac réuni
Camille compare d'abord les groupes de même nom. Dans H, A donne neuf dixièmes de rouges contre huit dixièmes pour B. Dans L, A donne deux dixièmes contre un dixième. A possède donc la plus grande fraction de rouges dans les deux comparaisons. Nora garde ces deux résultats, sans remplacer les quatre sacs par des sacs de même taille : les cent jetons de B–H restent une donnée du premier protocole.
Ce protocole réunit les sacs H et L de l'option choisie, puis tire uniformément parmi tous ses jetons. A réunit onze rouges sur vingt, soit onze vingtièmes. B réunit quatre-vingt-un rouges sur cent dix. Ce dernier taux dépasse le premier de quarante et un sur deux cent vingt. Nora choisit B pour cette commande. Les deux succès de A par groupe ne sont pas des erreurs de calcul ; ils concernaient deux distributions conditionnelles, tandis que le sac réuni ne choisit pas ces deux groupes dans les mêmes proportions selon l'option.
Dans A, la probabilité de tirer un jeton provenant de H vaut un demi, puisque dix de ses vingt jetons appartiennent à H. Dans B, elle vaut dix onzièmes, puisque cent de ses cent dix jetons appartiennent à H. B reçoit donc beaucoup plus souvent un jeton du groupe où les fractions de rouge sont élevées pour les deux options. En recomposant son taux, Camille trouve huit dixièmes multipliés par dix onzièmes, plus un dixième multiplié par un onzième : quatre-vingt-un sur cent dix. Le total a pondéré les groupes avec leurs tailles réelles, pas avec un poids commun aux deux options.
Nora refuse la proposition de moyenner simplement huit dixièmes et un dixième pour décrire ce tirage du sac B réuni. Cette moyenne donnerait neuf vingtièmes, mais elle affecterait la moitié des tirages à L alors que dix jetons sur cent dix seulement y appartiennent. Elle pourrait être correcte sous un autre protocole qui choisirait d'abord H ou L à chances égales. La feuille du premier jeu garde donc B, son taux quatre-vingt-un sur cent dix et les tailles qui l'autorisent. Changer les poids après avoir choisi le sac serait changer l'expérience annoncée.
Un choix de groupe extérieur rend la comparaison commune
Nora prépare précisément ce second protocole. Une règle extérieure choisit d'abord H ou L, à chances égales, quelle que soit l'option. On tire ensuite uniformément dans le sac correspondant de A ou B. Les sacs ne sont pas réunis avant ce tirage. Le nombre cent de B–H n'augmente plus la chance de choisir H ; il détermine seulement la fraction de rouge une fois H choisi.
Sous cette règle, A donne la moitié de neuf dixièmes plus la moitié de deux dixièmes, soit onze vingtièmes. B donne la moitié de huit dixièmes plus la moitié d'un dixième, soit neuf vingtièmes. Nora choisit désormais A. Le taux de A n'a pas changé parce que ses deux sacs avaient déjà la même taille ; celui de B a changé, parce que son grand sac H ne détermine plus le poids du groupe. Nora remet donc A avec le choix extérieur de groupe, plutôt que déclarer B erroné dans la première feuille. Le jeu d'un sac réuni et celui d'un groupe choisi séparément répondent à deux demandes réellement différentes.
Ce résultat ne dépend pas de l'égalité des deux poids, dès lors que les deux options reçoivent les mêmes poids. Appelons w la probabilité commune de H. Le taux de A vaut un cinquième plus sept dixièmes de w ; celui de B vaut un dixième plus sept dixièmes de w. Leur différence est toujours un dixième. Pour tout w compris entre zéro et un, A conserve donc son avantage sous un même choix de groupe. Nora ne promet pas pour autant que l'ancien tirage des sacs réunis aurait un seul w : il utilisait un demi pour A et dix onzièmes pour B.
Un taux repondéré ne crée pas de nouveaux jetons observés
Camille souhaite une comparaison utilisant la composition de l'ensemble des deux options comme référence. Cet ensemble possède cent dix jetons H et vingt jetons L ; il fixe donc w à onze treizièmes. Nora accepte cette référence avant de choisir l'option. Ce poids est utilisé pour A et B séparément, au lieu de conserver pour chacune sa proportion ancienne de H. C'est une règle de comparaison explicite, pas une information nouvelle sur les couleurs.
Avec ce poids commun, le taux de A devient cent trois sur cent trente ; celui de B quatre-vingt-dix sur cent trente. Leur différence reste treize sur cent trente, soit un dixième. Nora retient A pour cette troisième commande. Elle ne prépare pourtant pas un nouveau sac A contenant cent trois rouges réellement présents : A possède toujours ses onze rouges dans vingt jetons. Les fractions expriment les chances d'un tirage à deux étapes avec la composition de référence, et non un inventaire récupéré dans l'ancien sac. Camille garde donc une colonne « taux sous poids commun » distincte des quantités de rouges et de jetons initialement données.
L'ensemble réuni des deux options possède quatre-vingt-douze rouges sur cent trente. Ce nombre ne remplace aucun des deux taux repondérés. Il mélange à la fois les groupes et les options dans leurs proportions présentes, tandis que la comparaison précédente avait appliqué une même répartition H–L à chaque option. Nora refuse ainsi la proposition de donner quatre-vingt-douze sur cent trente comme « taux corrigé de A ». Le dénominateur commun cent trente ne rend pas les trois numérateurs interchangeables : chacun provient d'une opération précisément différente sur les sacs.
Corriger les poids d'un sac existant demande de traiter les jetons rares
Pour retrouver le protocole H–L moitié-moitié en partant des jetons du sac B réuni, Camille attribue un poids onze vingtièmes à chaque jeton H et onze demis à chaque jeton L. Les cent H pèsent alors cinquante-cinq, comme les dix L. Ces poids n'ont pas été copiés des probabilités de rouge : ils corrigent la présence inégale des groupes. Les rouges pèsent quarante-quatre dans H et onze demis dans L ; leur total quarante-neuf demis, divisé par le poids total cent dix, redonne neuf vingtièmes.
Le poids onze demis dépasse un, mais ce n'est pas une probabilité de gagner attachée au jeton. C'est un poids de sélection relatif. Nora peut le rendre concret en remplaçant chaque H par onze copies et chaque L par cent dix copies, puis en tirant uniformément parmi ces copies créées. Il y a mille cent copies de chaque groupe et neuf cent quatre-vingt-dix rouges sur deux mille deux cents copies, encore neuf vingtièmes. La construction a délibérément modifié le sac ; elle n'annonce pas que l'ancien sac B avait changé de composition pendant sa consultation. Les copies donnent un protocole de jeu équivalent aux poids, sans transformer un poids supérieur à un en chance supérieure à cent pour cent.
Si Camille supprimait au contraire tous les L avant de repondérer, aucun choix de poids sur les seuls H restants ne pourrait produire un tirage L. La distribution visée moitié-moitié ne serait plus atteignable depuis ce stock filtré. Nora conserve cette impossibilité auprès du plan : des poids peuvent changer la fréquence relative de jetons encore disponibles, mais ne recréent pas un groupe dont il ne reste aucun jeton. Pour poursuivre le jeu commun, elle doit garder les L d'origine ou recevoir un autre sac L explicitement donné. Elle ne remplace pas cette réception manquante par un poids immense attaché aux H.
Une composition inconnue n'est pas une fraction rouge égale à zéro
Une branche indépendante donne une information incomplète sur B. H reste connu à huit dixièmes de rouge, mais le sac L est fermé et sa fraction rouge u est inconnue, entre zéro et un. A conserve ses deux sacs connus. Nora reçoit un protocole commun qui choisit H avec probabilité un quart et L avec probabilité trois quarts. Les anciennes couleurs de B–L ne sont pas reconduites comme renseignements disponibles dans cette branche.
Le taux de A vaut neuf dixièmes multipliés par un quart, plus deux dixièmes multipliés par trois quarts : trois huitièmes. Celui de B vaut un cinquième plus trois quarts de u. La comparaison change de sens lorsque u traverse sept trentièmes. En dessous, A donne le taux le plus grand ; au-dessus, B le donne ; à cette fraction, leurs taux sont égaux. Nora ne peut donc annoncer une domination de A dans toute cette nouvelle famille de sacs L inconnus. Elle conserve le seuil et la plage de u au lieu d'inscrire zéro dans la case vide, ce qui aurait choisi arbitrairement l'un des sacs possibles.
Le frère demande alors de choisir l'option qui protège le meilleur taux minimal parmi toutes les compositions permises de B–L. A conserve trois huitièmes dans chaque état. B descend à un cinquième lorsque u vaut zéro. Nora choisit A sous ce critère du minimum garanti. Elle n'ajoute pas que A gagne dans chaque état : un sac L entièrement rouge ferait monter B à dix-neuf vingtièmes, au-dessus de A. Le choix prudent porte sur le pire cas de chaque option, pas sur une comparaison favorable à A pour chaque sac. La feuille remet le choix et son critère avec deux exemples qui en empêchent la confusion.
Une information supplémentaire borne finalement u à un cinquième au maximum. Le taux de B est alors au plus un cinquième plus trois vingtièmes, soit sept vingtièmes. A donne toujours trois huitièmes, qui dépasse cette borne de un quarantième. Nora peut cette fois conserver A comme meilleur choix dans chaque état encore autorisé. Cette conclusion nouvelle vient de la borne effectivement reçue sur le sac L ; elle ne remplace pas le premier intervalle zéro à un dans son ancienne feuille. Le seuil sept trentièmes permet de vérifier exactement pourquoi un cinquième suffit à fermer la comparaison.
Doubler un rapport de chances ne double pas la probabilité
Nora prépare ensuite une table distincte, avec d'autres fractions de rouge. Elle définit le rapport rouge–blanc comme la fraction rouge divisée par la fraction blanche. Il ne s'agit pas d'une nouvelle couleur ni d'un coût de jeton. Les quatre fractions de cette seconde table sont données indépendamment des neuf, deux, quatre-vingts et un rouges du premier jeu.
Dans L, B donne un cinquième de rouge et quatre cinquièmes de blanc ; son rapport rouge–blanc est un quart. A donne un tiers de rouge et deux tiers de blanc ; son rapport est un demi. Le rapport de A est donc deux fois celui de B. Dans H, B donne trois cinquièmes de rouge et deux cinquièmes de blanc : rapport trois demis. A donne trois quarts de rouge et un quart de blanc : rapport trois. Le même multiplicateur deux se retrouve dans H, alors que les différences de probabilités ne sont pas identiques dans les deux groupes.
Camille avait proposé de doubler les trois cinquièmes de B–H pour obtenir la fraction rouge de A–H. Elle aurait obtenu six cinquièmes, impossible pour un tirage. Nora repart du rapport : si une fraction p possède le rapport p/(1−p), le rapport doublé donne la fraction 2p/(1+p). Avec p égal à trois cinquièmes, elle retrouve trois quarts. Avec p égal à un cinquième, elle retrouve un tiers. La transformation a gardé ensemble les parts rouge et blanche : augmenter leur rapport ne revient pas à multiplier uniquement la part rouge en laissant sa part complémentaire inchangée.
Le rapport commun aux groupes ne se conserve pas forcément après réunion
Dans cette seconde table, Nora impose de nouveau le choix de H ou L à chances égales pour les deux options. A donne alors la moitié d'un tiers plus la moitié de trois quarts, soit treize vingt-quatrièmes. B donne la moitié d'un cinquième plus la moitié de trois cinquièmes, soit deux cinquièmes. Leurs rapports rouge–blanc sont respectivement treize onzièmes et deux tiers. Le rapport entre ces deux rapports vaut trente-neuf sur vingt-deux, et non deux. Camille conserve les deux multiplicateurs conditionnels égaux à deux, mais refuse de les recopier comme multiplicateur du tirage mélangé.
Cette différence ne vient pas d'une présence inégale de H selon l'option : leurs poids étaient identiques. Elle vient de l'opération qui transforme une probabilité en rapport à sa part complémentaire. Moyenner les probabilités puis former le rapport n'est pas moyenner les rapports des groupes. Nora ne cherche donc pas à « réparer les poids » d'une comparaison où ils étaient déjà communs. A conserve néanmoins la plus grande probabilité de rouge après réunion. Un changement du multiplicateur numérique et un renversement du classement ne sont pas la même propriété.
Elle contrôle ce phénomène pour une probabilité commune w de H. La fraction rouge de A vaut (4+5w)/12, celle de B (1+2w)/5. Leur différence est (8+w)/60, toujours positive. Le rapport des rapports rouge–blanc vaut (4+5w)(4−2w), divisé par (8−5w)(1+2w). Les deux facteurs du dénominateur restent positifs lorsque w est entre zéro et un. Deux fois ce dénominateur moins le numérateur vaut 10w(1−w). Pour tout mélange comportant effectivement les deux groupes, cette quantité est positive : le rapport mélangé est strictement inférieur à deux. Aux deux extrémités, lorsque seul H ou seul L est choisi, il retrouve deux.
Nora peut donc remettre une conclusion qui ne dépend pas d'un unique arrondi à la moitié. Dans cette seconde table, la comparaison commune favorise toujours A, et le multiplicateur conditionnel deux ne devient le multiplicateur mélangé deux que lorsque le choix de groupe ne mélange plus les deux groupes. Elle conserve l'expression et les limites de w sur sa fiche. La première table pouvait renverser le classement sous deux poids différents ; la seconde a des poids communs et conserve le classement, tout en changeant le rapport utilisé pour le décrire. Les deux mécanismes restent séparés dans le relevé.
Les taux gardent leurs sacs et leur règle de tirage
Pour le sac réuni initial, Nora remet B ; pour le groupe choisi selon des poids communs, A. Pour le sac L inconnu, elle transmet le seuil et le critère effectivement choisi ; pour la seconde table, elle distingue fractions de rouge et rapports rouge–blanc. Les jetons et leurs compositions appartiennent à ces jeux créés. Une fraction n'est pas remise seule comme une propriété générale d'une option : elle conserve le groupe, le mélange, les quantités et la règle qui l'ont produite.
Des fractions séparées ne disent pas quels gains arrivent ensemble
Nora ouvre un jeu de cartes appariées pour le groupe H de la première table. Chaque carte donne un résultat pour A sur une face et pour B sur l'autre. On tire une carte uniformément et peut lire ses deux résultats. Elle veut conserver neuf gains de A et huit gains de B sur dix cartes, puis vérifier une nouvelle promesse : aucun gain de B ne doit correspondre à un échec de A. Les fractions séparées sont données, mais l'appariement de leurs résultats ne l'est pas encore.
Camille construit d'abord huit cartes gagnantes sur les deux faces, une gagnante seulement pour A et une perdante sur les deux. A gagne neuf fois sur dix, B huit, et chaque gain de B possède également un gain de A. Nora peut accepter la promesse sur cette construction réellement donnée. Camille remet ensuite une autre construction : sept cartes gagnantes sur les deux faces, deux gagnantes seulement pour A et une gagnante seulement pour B. Les fractions de A et de B restent neuf dixièmes et huit dixièmes. Pourtant, la dernière carte fait gagner B et perdre A. Nora refuse la même promesse pour ce second paquet, même si elle conserve A comme option donnant la plus grande chance marginale de gagner. Le choix de l'option pour son taux et la garantie sur une carte appariée sont ainsi deux contrôles distincts. Les deux paquets gardent leurs dix cartes ; ils ne décrivent pas des lectures différentes d'un paquet unique retrouvé.
Camille peut borner exactement ce qui manque à l'information séparée. Si c cartes gagnent des deux côtés, l'union des cartes qui gagnent pour A ou B compte neuf plus huit moins c cartes. Elle ne peut dépasser les dix présentes : c vaut donc au moins sept. Il ne peut dépasser huit, puisqu'il ne peut y avoir plus de gains communs que de gains de B. Les seuls nombres entiers possibles sont ainsi sept et huit, tous deux atteints par les constructions précédentes. Le nombre de cartes où B gagne et A perd vaut huit moins c : un ou zéro. Nora ne remplit donc pas cette case par zéro au seul motif que neuf dixièmes dépasse huit dixièmes. Pour promettre l'absence de ce type de perte, elle conserve le paquet à huit gains communs, avec sa répartition complète des deux faces. Si seul le relevé des deux fractions lui était remis, cette promesse resterait ouverte.