Pour une préparation entièrement créée, Nora inscrit deux séries de points sur une ligne de temps. Elle veut remettre à Paul un instant où les deux signaux seraient présents, puis la règle qui permet de retrouver les suivants. Paul multiplie les nombres six et huit et propose d'attendre quarante-huit unités. Nora conserve les périodes, mais reprend aussi les commencements : un instant commun dépend de ces deux informations. La ligne compte des unités entières, sans les convertir en heures de calendrier ni attribuer une durée au signal ponctuel.
Le premier signal apparaît aux instants deux, huit, quatorze et les suivants espacés de six. Le second apparaît en quatre, douze, vingt et les suivants espacés de huit. Ces données définissent toute leur répétition à partir de zéro. Un signal occupe seulement son instant nommé ; il ne reste pas actif entre deux points. Une proposition doit donc appartenir simultanément aux deux séries. Nous cherchons des instants positifs ou nuls ; une écriture avec des nombres négatifs pourra servir au calcul, sans autoriser une remise avant le commencement de la ligne.
Les sources attestent seulement des catégories de montres et horloges. Les cycles, phases et instants sont définis ici ; aucun mécanisme, réglage ou résultat de synchronisation des marques n’est repris.
Mondaine : horloges.
Dugena : montres.
CITIZEN : montres.
Les périodes ne disent pas à elles seules si un rendez-vous existe
Dans la première série, un instant t laisse le reste deux après division par six. Dans la seconde, il laisse quatre après division par huit. Nora teste vingt : vingt moins deux est trois fois six ; vingt moins quatre est deux fois huit. Elle accepte cet instant comme rendez-vous. Quarante-huit ne convient pas : son reste après division par six est zéro, pas deux, et son reste après division par huit est également zéro, pas quatre. Paul retire donc quarante-huit comme premier instant commun, sans retirer les deux périodes de la feuille.
Une autre branche modifie seulement le premier commencement : un, sept, treize et les suivants espacés de six. Tous ces instants sont impairs. Les instants quatre, douze, vingt de l'autre signal sont pairs. Aucune rencontre n'existe, même après une attente sans limite. Nora refuse de choisir une valeur plus grande pour faire réussir la commande. Le produit quarante-huit n'a pas créé un rendez-vous entre ces deux séries. Elle conserve cette impossibilité avec sa raison, différente de la première branche où le rendez-vous vingt existait effectivement.
La différence des commencements permet de lire cette obstruction. Un instant commun aurait les deux écritures a plus m fois un entier et b plus n fois un entier. Leur différence b moins a devrait donc être une combinaison entière des périodes m et n. Tout diviseur commun des périodes divise cette différence. Avec six et huit, leur plus grand diviseur commun vaut deux ; deux doit donc diviser b moins a. Quatre moins un échoue à ce contrôle, tandis que quatre moins deux le passe. Nora garde ce critère avant de lancer une recherche dans une longue liste de points.
Ce contrôle n'est pas seulement une façon d'écarter les différences impaires de ce cas. Le plus grand diviseur commun des deux périodes est lui-même une combinaison entière de celles-ci. L'algorithme des divisions successives permet de retrouver ses coefficients en remontant les restes. Pour six et huit, huit moins six donne deux. Dès que la différence de commencements est multiple de deux, multiplier cette identité par le multiple demandé fournit une solution entière à leur équation de rencontre. Nora peut ensuite déplacer cette solution d'une période commune pour la ramener dans la partie positive de sa ligne.
Diviser avant d’inverser conserve les solutions
Depuis les commencements deux et quatre, Nora écrit t égal à deux plus six k. La seconde série exige que six k laisse le reste deux après division par huit. Elle divise les trois nombres par leur diviseur commun deux : trois k doit laisser le reste un après division par quatre. Le nombre trois possède l'inverse trois dans ce dernier calcul, puisque trois fois trois laisse un après division par quatre. k laisse donc trois. Nora prend k égal à trois et retrouve t égal à vingt, puis garde les autres k obtenus en ajoutant quatre.
Paul avait cherché un inverse de six après division par huit. Aucun n'existe : six fois un entier reste pair et ne peut laisser le reste un. Nora ne déclare pas pour autant la rencontre impossible. L'équation demandait le reste deux, divisible par le même facteur que les périodes. La division transforme cette demande en une équation où les nombres trois et quatre n'ont plus de diviseur commun supérieur à un. Elle permet effectivement l'inverse recherché, sans supprimer des solutions ni ajouter des instants impairs à la série initiale.
Les valeurs k égal à trois, sept, onze donnent vingt, quarante-quatre, soixante-huit. Leur différence vaut vingt-quatre. Nora ne remet pas seulement le premier exemple ; elle garde toute la classe vingt plus vingt-quatre fois un entier. Toute cette classe convient aux deux séries, puisque vingt-quatre est divisible par six et huit. Réciproquement, deux solutions quelconques ont une différence divisible par les deux périodes. Elle doit être divisible par leur plus petit multiple commun, vingt-quatre. La classe trouvée contient donc tous les rendez-vous, pas seulement quelques points obtenus par essai.
Le produit donne parfois deux représentants d’un même cycle
Le produit six fois huit vaut quarante-huit, deux fois la période commune vingt-quatre. Dans la plage allant de zéro inclus à quarante-huit exclu, Nora trouve deux rendez-vous, vingt et quarante-quatre. Paul les présente comme deux solutions sans relation. Nora conserve les deux instants, mais les rattache à la même classe de rendez-vous espacés de vingt-quatre. Une liste de représentants modulo quarante-huit pourrait les montrer deux fois, alors qu'un représentant modulo vingt-quatre suffit à nommer la répétition entière. Le changement de liste ne crée pas une seconde famille de rencontres.
Elle vérifie pourquoi vingt-quatre est la plus petite répétition positive commune. Un nombre divisible par six s'écrit six h. Pour être aussi divisible par huit, trois h doit être divisible par quatre après division par deux. Trois et quatre étant premiers entre eux, h doit être multiple de quatre. Le premier choix positif est donc vingt-quatre. La preuve utilise les périodes, pas seulement l'écart constaté entre deux rendez-vous. Paul ne peut conclure qu'une différence plus petite conviendrait parce qu'elle tient entre deux instants où l'un des signaux est présent seul.
Une demande porte ensuite sur le premier rendez-vous à partir de cent. Les instants de la classe sont vingt, quarante-quatre, soixante-huit, quatre-vingt-douze et cent seize. Nora remet cent seize. Elle ne choisit pas quatre-vingt-douze, déjà passé selon la borne donnée, ni cent quarante, premier de la progression après cent seize. Cette remise ne change ni la période ni les phases. Elle filtre les solutions précédentes par une nouvelle borne, plutôt que de faire repartir les deux signaux de zéro à l'instant cent.
Une autre feuille autorise seulement la plage fermée de zéro à dix-neuf. Elle ne contient aucun rendez-vous de la classe vingt plus vingt-quatre fois un entier positif ou nul. Nora marque cette demande comme impossible dans sa plage, puis garde vingt comme rendez-vous hors de la plage. Elle distingue ainsi deux refus : les phases un et quatre rendaient toute rencontre impossible ; les phases deux et quatre ont une rencontre, mais trop tard pour la limite dix-neuf. Déplacer silencieusement la limite à vingt ferait réussir une autre demande et ne fermerait pas la première.
Un troisième signal peut espacer davantage les rencontres
Nora ajoute un signal de période neuf et de commencement cinq. Les rendez-vous déjà communs aux deux premiers sont vingt plus vingt-quatre k. Pour rejoindre la troisième série, vingt-quatre k doit laisser le reste cinq moins vingt, soit moins quinze, après division par neuf. Cela équivaut au reste trois. Six k doit donc laisser trois après division par neuf. Nora divise par trois et obtient deux k laissant un après division par trois, d'où k laissant deux. Le premier k positif ou nul de cette forme est deux : le premier rendez-vous triple est soixante-huit.
En augmentant k de trois, Nora augmente t de soixante-douze. Elle remet donc soixante-huit plus soixante-douze fois un entier. Le rendez-vous vingt des deux premières séries ne rejoint pas le signal de commencement cinq et période neuf : il y laisse le reste deux. La troisième condition a retiré certains anciens rendez-vous sans modifier leurs succès passés auprès des deux premiers signaux. Paul conserve vingt sur la feuille de deux séries, mais le retire de la remise triple. La nouvelle période est le plus petit multiple commun de six, huit et neuf.
Il tente de contrôler les trois séries deux par deux avant de les réunir. Deux et quatre sont compatibles pour les périodes six et huit. Deux et cinq diffèrent de trois, divisible par le diviseur commun trois des périodes six et neuf. Huit et neuf sont premiers entre eux, donc leurs phases quatre et cinq ne rencontrent aucune obstruction de diviseur. Les trois contrôles passent. Nora accepte ici leur conclusion collective, puis la remplit par soixante-huit. Elle ne transpose pas ce résultat à toute collection de contraintes : il repose sur la forme arithmétique précise de ces séries.
Dans cette famille, les contrôles par paires suffisent vraiment
Pour comprendre cette permission collective, Nora décompose les périodes en puissances de nombres premiers. Six apporte une puissance de deux et une de trois ; huit apporte deux au cube ; neuf apporte trois au carré. Pour chaque nombre premier, elle conserve la contrainte qui impose la puissance la plus élevée. Les autres contraintes portant sur ce même premier doivent donner le même reste lorsqu'on réduit à leur puissance plus petite. C'est précisément ce que le contrôle par leur diviseur commun garantit. Une contrainte plus faible ne peut donc contredire la forte une fois toutes les paires compatibles.
Dans le cas présent, il suffit de retenir t laissant quatre après division par huit et cinq après division par neuf. Huit et neuf sont premiers entre eux : l'algorithme des divisions fournit leur inverse et permet de réunir ces deux conditions. Nora trouve soixante-huit, qui laisse bien quatre puis cinq. Les réductions imposées par la première série de période six donnent également son reste deux : quatre réduit modulo deux vaut zéro, et cinq réduit modulo trois vaut deux. Une seule classe modulo soixante-douze remplit donc toutes les puissances requises, puis toutes les séries d'origine.
Le même raisonnement se poursuit pour n'importe quelle liste finie de périodes entières positives. Choisir, pour chaque premier, une contrainte de puissance maximale fixe un reste cohérent ; les puissances de premiers différents sont premières entre elles et se réunissent successivement par les inverses. Nora nomme la portée de ce contrôle avant de l'utiliser. Il ne dit pas que trois bandes quelconques ou trois préférences compatibles deux par deux possèdent toujours une intersection commune. Il garantit une intersection dans cette famille de restes, lorsque les contrôles par chaque diviseur commun sont effectivement satisfaits.
Un commencement incertain change la permission de choisir un instant
Une préparation séparée garde les périodes six et huit, mais ajoute le même décalage entier e aux deux commencements, avec e égal à zéro, un ou deux. Ce décalage est fixé pour toute la préparation, sans chance donnée aux trois valeurs. Nora demande ce qu'elle peut remettre avant de savoir laquelle a été retenue. Les trois premières rencontres deviennent vingt, vingt et un, vingt-deux. Chacune se répète ensuite au bout de vingt-quatre unités. La différence des deux phases reste deux, donc la permission de rencontre ne disparaît dans aucune des trois branches.
Paul choisit vingt pour que le rendez-vous soit certain malgré ce décalage inconnu. Nora refuse. Vingt convient à e nul ; pour e égal à un, le premier signal exige un reste trois après division par six, alors que vingt laisse deux. Il échoue déjà à cette série. Aucun instant fixe ne peut rejoindre les trois branches, puisque celles-ci imposent trois restes différents modulo six. Nora garde donc une fin de préparation possible dans chaque branche sans promettre le même instant dans toutes. Le mot commun doit préciser s'il réunit les deux signaux ou les trois états d'information possibles.
Si la consigne autorise à connaître e avant de choisir, Nora peut remettre vingt plus e, donc vingt, vingt et un ou vingt-deux. Toutes les branches ont alors un rendez-vous dans la plage fermée de zéro à vingt-deux. Une demande avec fin de plage vingt et un échoue pour e égal à deux, dont la première rencontre est vingt-deux. Nora choisit vingt-deux comme première limite commune garantissant l'existence d'un rendez-vous adapté après réception du décalage. Cette garantie porte sur la limite et une règle de choix, pas sur un instant unique imprimé d'avance.
Deux décalages libres ne reproduisent pas un décalage commun
Nora examine ensuite deux décalages séparés, chacun entre zéro et deux. Le premier commencement vaut deux plus e premier, le second quatre plus e second. Les neuf couples sont permis sans relation supplémentaire. La compatibilité exige que leur différence, deux plus e second moins e premier, soit paire. Les deux décalages doivent donc posséder la même parité. Les quatre couples formés avec zéro ou deux des deux côtés passent, ainsi que le couple un, un. Les quatre autres échouent à toute rencontre, et pas seulement à une limite de temps trop courte.
Le couple deux, zéro donne deux commencements égaux à quatre. Il possède une rencontre en quatre, suivie de vingt-huit. C'est une rencontre bien plus tôt que celles de vingt à vingt-deux des décalages communs. Nora accepte quatre si sa demande porte sur le premier instant possible parmi tous les couples permis. Elle refuse de l'annoncer comme rencontre garantie sous l'incertitude : le couple zéro, un imposerait au premier signal des instants pairs et au second des instants impairs. Le premier résultat possible ne promet pas un résultat dans chacun des états admissibles.
Paul propose de conserver seulement les cinq couples compatibles pour garantir finalement une rencontre. Nora lui demande si cette sélection fait partie de la permission reçue. La feuille actuelle autorisait les neuf couples et n'avait éliminé aucun état. Retirer les quatre impossibles modifierait donc la demande plutôt que la résoudre. Dans une feuille différente qui les exclut explicitement, elle pourrait chercher une limite commune aux cinq premières rencontres : quatre, quatorze, vingt, vingt et un, vingt-deux. La limite vingt-deux conviendrait, mais la règle de sélection aurait dû être changée avant la garantie. Nora conserve les neuf états dans le verdict initial.
Deux observations ne donnent pas automatiquement la période annoncée
Une dernière fiche ne fournit plus six comme période du premier signal. Elle donne un commencement deux, un espacement entier positif constant inconnu et deux observations positives en vingt et quarante-quatre. L'espacement doit diviser vingt moins deux, soit dix-huit, et quarante-quatre moins deux, soit quarante-deux. Il doit donc diviser leur plus grand diviseur commun six. Nora conserve les quatre périodes possibles un, deux, trois et six. Toutes peuvent produire ces deux observations depuis le commencement donné, même si elles produiraient d'autres instants entre elles.
Paul propose vingt-quatre comme période, différence entre les deux observations. Nora la refuse : depuis deux, aucun nombre entier de périodes vingt-quatre n'atteindrait vingt. La différence entre deux observations successives dans un relevé n'est pas forcément la distance entre deux signaux successifs. La fiche n'avait pas attesté que rien ne s'était produit entre vingt et quarante-quatre. Nora garde ce qui est donné, deux présences avec un commencement, et les quatre espacements compatibles, sans ajouter une absence d'événements pour choisir l'un d'eux.
Une information nouvelle atteste l'absence de signal en quatre. Avec les périodes un ou deux depuis deux, quatre serait présent ; ces deux possibilités quittent la liste. Les périodes trois et six restent compatibles, car leur premier signal après deux serait cinq ou huit. L'absence en cinq est ensuite donnée séparément. Elle exclut la période trois et conserve six. Nora peut désormais remettre six comme période unique dans cette famille d'espacements constants entiers. Elle ne présente pas les absences comme déduites des deux observations initiales : elles ont été effectivement ajoutées aux informations de la fiche.
Cette reconstruction n'autorise pas encore à renommer le relevé initial en mesure d'une période certaine. Si les absences quatre et cinq manquent, les quatre valeurs demeurent. Si la famille admettait des espacements changeants, le raisonnement par les diviseurs ne suffirait plus à dresser toutes les suites possibles. Nora conserve la famille donnée et ses observations dans le contrôle inverse. La remise qui utilisait six comme donnée et celle qui le retrouvait grâce à deux absences restent deux préparations distinctes, chacune avec la raison qui permet de garder ce nombre.
Les points de la feuille restent attachés à leurs périodes, leurs phases et aux états d'information autorisés. Nora remet vingt plus vingt-quatre fois un entier pour les deux signaux initiaux, soixante-huit plus soixante-douze fois un entier pour la commande triple, puis les permissions de choix adaptées aux décalages. Une absence de solution dans une plage n'est pas une incompatibilité de phases ; un premier instant possible n'est pas un instant garanti pour tous les états. La remise garde ces distinctions avec les contraintes réellement reçues, sans multiplier les périodes ni inventer les observations qui auraient facilité le rendez-vous.
Des fenêtres actives donnent plusieurs classes et une autre demande de rencontre
Une branche nouvelle change expressément la durée des signaux de papier. Le premier reste actif à son instant initial puis à l'instant entier suivant : ses restes autorisés après division par six sont deux et trois. Le second reste actif trois instants entiers, avec les restes quatre, cinq et six après division par huit. Les autres instants restent inactifs. Nora ne donne pas ces durées aux signaux ponctuels des feuilles précédentes ; elle définit une autre préparation, dans laquelle une rencontre peut occuper plusieurs instants consécutifs.
Elle cherche désormais la réunion de plusieurs systèmes de restes. Avec le reste deux du premier signal, les restes quatre et six du second passent le contrôle de parité et donnent respectivement vingt et quatorze modulo vingt-quatre. Le reste cinq échoue. Avec le reste trois du premier, seul cinq passe, et donne vingt et un ; quatre et six échouent. Nora remet donc trois classes de rencontre, quatorze, vingt et vingt et un modulo vingt-quatre, au lieu de la seule classe vingt. Dans la première plage de vingt-quatre unités, quatorze est le premier instant commun actif. Il n'était pas un rendez-vous des deux signaux ponctuels : le second y était entre ses instants initiaux douze et vingt. La durée ajoutée lui permet maintenant d'y rester actif, tandis que le premier commence précisément une fenêtre en quatorze.
Paul demande ensuite deux instants entiers consécutifs pendant lesquels les deux signaux seront actifs, toujours dans cette préparation nouvelle. Quatorze seul ne remplit pas la demande : en quinze, le premier est encore actif, mais le second laisse sept après division par huit et ne l'est plus. La paire vingt et vingt et un convient au contraire. Le premier laisse deux puis trois après division par six ; le second laisse quatre puis cinq après division par huit. Vingt-deux échoue pour le premier, donc cette rencontre ne se prolonge pas sur un troisième instant. Nora remet vingt comme commencement du premier bloc de deux instants communs, et garde quatorze comme première rencontre isolée. Les trois classes déjà contrôlées permettent de vérifier qu'aucune paire plus précoce ne convient ; choisir simplement le premier point d'intersection aurait répondu à une demande plus faible que celle des deux instants successifs.