Nora prépare un jeu de signes après un dîner inventé. La feuille reçoit A ou B à chaque passage, et le jeu s'arrête lorsque deux signes déterminés se suivent. Simon propose d'attendre AA ; Nora préfère comparer avec AB avant de choisir. Chaque couple pris seul possède la même chance, mais les couples successifs peuvent partager un signe. Leur préparation doit donc préciser où une tentative commence, ce qui reste d'une tentative incomplète et ce que le nombre moyen de passages permet réellement d'annoncer.
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Ces pages ont été lues pour leurs catégories. Aucun produit, tirage ou mécanisme commercial n'est essayé ou adapté ; les signes et les probabilités sont stipulés ici.
Chaque signe reçoit une chance d'une moitié, indépendamment de tous les précédents. Il n'existe ni paquet qui s'épuise ni boîte cachée dont l'identité relierait plusieurs passages. Le jeu ne décrit aucun geste physique garantissant ce hasard. Notre temps sera le nombre de signes reçus, sans conversion en minutes. Nous examinons un arrêt obligatoire au premier motif, pas un choix permettant de garder une carte puis de refuser les suivantes. Les calculs classiques ne sont pas revendiqués comme une invention.
Un couple isolé ne décrit pas les tentatives qui se recouvrent
Pour les deux premiers passages, les quatre couples AA, AB, BA et BB sont équiprobables. Chacun des deux motifs proposés a donc une chance sur quatre d'apparaître. Simon voudrait donner à toute l'attente une moyenne de quatre passages à partir de ce seul nombre. Nora lui demande d'abord ce qu'il a appelé une tentative. Recevoir deux signes prend déjà deux passages. De plus, lorsqu'un troisième arrive, le dernier signe du premier couple peut commencer le couple suivant. Ni la longueur d'une tentative ni son renouvellement n'étaient renseignés par la seule chance d'un couple.
Nous remplissons trois passages. Les huit suites sont AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA et BBB. AA apparaît au moins une fois dans AAA, AAB et BAA : trois suites sur huit. AB apparaît dans AAB, ABA, ABB et BAB : quatre sur huit. Le résultat des deux premiers passages était pourtant identique pour les deux motifs. Nora choisit AB pour la demande « une chance d'au moins une moitié de terminer en trois passages ». Simon retire AA de cette proposition active : sa chance de trois huitièmes n'atteint pas la demande. Les trois signes sont donnés ensemble pour le contrôle, sans les réordonner en faveur de l'un des motifs.
Simon explique la différence sur AAA. Le couple des places un et deux est AA, et celui des places deux et trois l'est aussi. Ces deux apparitions appartiennent à la même suite ; les additionner donnerait deux réussites là où leur question demande seulement si le jeu a déjà terminé. Pour AB, les deux couples voisins ne peuvent être tous deux AB : le signe central devrait être simultanément B comme fin du premier et A comme début du second. Nora conserve donc les listes des suites terminées, plutôt que d'additionner deux fois un quart. Le recouvrement porte sur un résultat déjà commun aux deux fenêtres, pas sur un signe qu'on aurait reçu deux fois.
Dans la réalisation AAB, AA ferme le jeu au deuxième passage, tandis qu'AB le ferme au troisième. Nora prépare ces deux fins dans deux branches comparatives ; elle ne prolonge pas la branche AA jusqu'au troisième pour prétendre que les deux jeux se seraient arrêtés ensemble. Dans ABA, AB ferme au deuxième et AA n'est toujours pas apparu au troisième. Simon peut ainsi noter une fin, puis une absence de fin, sous des données précises. Il ne transforme pas la présence d'un A isolé en réussite du motif AA et ne prête pas un quatrième signe à la branche qui n'en a reçu que trois.
Garder le dernier A change ce qu'il reste à attendre
Pour chercher AA, Nora distingue deux états avant le signe suivant. Dans le premier, aucun A final ne peut commencer le motif : la feuille est vide ou son dernier signe est B. Dans le second, elle finit par A et le jeu n'est pas encore terminé. Elle appelle u le nombre moyen de signes encore nécessaires dans le premier état et v celui du second. Ces deux nombres portent sur la suite à recevoir ; ils ne comptent pas les signes déjà écrits. Un état terminé demanderait zéro nouveau signe et n'appartient plus aux deux états d'attente.
Depuis le premier état, le prochain signe consomme un passage. Un A mène au second état, un B laisse dans le premier, chacun avec une moitié. Nora obtient u égal à un plus la moitié de v plus la moitié de u. Depuis le second, un A termine et un B oblige à revenir au premier. Elle obtient v égal à un plus la moitié de u. La première égalité donne u égal à deux plus v ; la seconde donne alors v égal à quatre et u égal à six. Nora prépare AA avec une moyenne de six passages depuis une feuille vide, puis quatre encore nécessaires lorsque le dernier signe déjà reçu est un A sans fin préalable.
Pour AB, les états portent le même nom mais la transition après A change. Un B termine ; un A laisse un A utilisable comme nouveau début. Nora conserve donc u égal à deux plus v, mais écrit maintenant v égal à un plus la moitié de v. Elle trouve v égal à deux, puis u égal à quatre. Simon retire son ancienne consigne « après deux A sans B, recommencer depuis rien ». Dans AAA, le dernier A reste un début possible pour AB. Le signe B qui vient ensuite termine au quatrième passage ; effacer ce début après chaque A aurait décrit un autre jeu et retardé des fins réellement permises par leur règle.
Nous donnons une branche AA encore ouverte après A, B, B, A. Aucun des trois couples vus n'était AA, et le dernier A reste un début. Nora annonce quatre signes supplémentaires en moyenne, donc huit pour le nombre total conditionnel. Simon avait proposé deux supplémentaires en soustrayant les quatre reçus de la moyenne initiale six. Nora refuse : six n'était ni une réserve fixe de signes ni une échéance dont chaque passage aurait consommé une unité. La branche renseignée finit dans l'état A, dont la moyenne restante est quatre. Elle garde les quatre anciens signes dans la feuille et les quatre supplémentaires dans la prévision, sans réécrire la moyenne initiale comme une promesse faite à cette suite particulière.
Dans une branche AB, la même suite A, B, B, A ne peut pas servir d'état ouvert : le jeu aurait déjà terminé au deuxième passage. Nora choisit plutôt B, B, A, A, sans AB. Son dernier A donne deux signes supplémentaires en moyenne et un total conditionnel de six. Simon ne prend pas les quatre passages reçus dans la branche AA pour compléter ce dossier : les deux règles n'ont pas admis les mêmes histoires encore ouvertes. Le dernier signe suffit à calculer la suite après qu'on a vérifié que le motif n'a pas déjà fermé le jeu. Cette vérification garde un état effectivement atteignable sous chaque consigne.
Effacer un début aux frontières crée un autre jeu
Simon propose de lire seulement les couples des places un-deux, trois-quatre, cinq-six, sans regarder les couples entre deux blocs. Chaque bloc possède une chance sur quatre d'être AA, ou AB selon le motif. Les blocs sont indépendants puisqu'ils utilisent des signes distincts. Le nombre moyen de blocs jusqu'à la première réussite vaut quatre ; leur longueur de deux donne huit signes en moyenne. Nora accepte ce calcul pour cette proposition, mais refuse de donner huit à l'attente continue d'AA, dont la moyenne était six, ou à celle d'AB, dont elle était quatre. La frontière choisie a supprimé de vraies occasions de terminer.
Elle remplit la suppression avec B, A, A, B. Pour AA lu continûment, les places deux et trois ferment au troisième passage. La lecture par blocs voit BA puis AB et n'a pas terminé pour AA. Pour AB, la lecture continue ferme aux places trois et quatre ; la lecture par blocs ferme également sur son second bloc. Nora conserve ces résultats différents pour les deux motifs sous la même suite. Elle ne dit pas que couper les fenêtres en blocs ajoute toujours exactement deux signes à chaque réalisation : le changement des moyennes compare toutes les suites, tandis que cette réalisation montre un retard pour AA et aucune différence pour AB.
Si Nora retient la lecture continue, elle garde le dernier signe du bloc affiché à côté du premier signe du bloc suivant. Simon peut imprimer une séparation visuelle après chaque deuxième case pour la mise en page, mais cette séparation ne devient pas une permission d'oublier le dernier A. Dans BAA, Nora marque la fin AA sur les places deux et trois malgré le saut de ligne entre elles. Simon modifie la fiche de jeu, qui demandait auparavant « recommencer au début de chaque ligne ». La mise en page peut rester divisée ; c'est la consigne d'examen des frontières qui change réellement. Aucun tirage nouveau n'est nécessaire pour restaurer cette fin déjà présente.
Un plafond de quatre ne donne pas la moyenne de l'attente entière
Nora donne maintenant une limite : au plus quatre signes seront reçus. Si le motif n'est pas apparu, le jeu ferme avec la mention « limite atteinte », sans réussite. Pour AA, huit des seize suites de quatre ont une apparition : une moitié. Les huit autres sont ABAB, ABBA, ABBB, BABA, BABB, BBAB, BBBA et BBBB. Pour AB, seules les cinq suites BBBB, BBBA, BBAA, BAAA et AAAA n'en contiennent pas. Sa chance de réussite dans la limite vaut donc onze seizièmes. Nora choisit AB pour une demande d'au moins deux tiers de réussite dans quatre passages, et refuse AA sous cette même demande.
Le nombre de signes effectivement reçus dans cette préparation limitée ne vaut pas toujours quatre. Le jeu se ferme plus tôt si le motif arrive. Pour AA, deux passages sont consommés dans quatre suites sur seize, celles qui commencent AA ; trois dans deux autres, celles qui commencent BAA. Les dix dernières consomment quatre, avec fin par motif ou par limite. La moyenne est donc deux fois quatre seizièmes, plus trois fois deux seizièmes, plus quatre fois dix seizièmes : vingt-sept huitièmes. Nora écrit cette moyenne auprès de la préparation limitée. Elle conserve six auprès de l'attente sans plafond : les deux feuilles ont changé leur permission de continuer, pas seulement leur titre.
Pour AB limité, quatre suites commencent AB et s'arrêtent à deux ; quatre autres ont leur première apparition au troisième passage. Les huit restantes consomment quatre. La moyenne reçue vaut treize quarts. Simon voulait n'inclure dans le calcul que les onze suites ayant réussi, puis annoncer ce résultat comme le temps de toute la préparation. Nora refuse d'écarter les cinq fins par limite. Elles ont consommé leurs quatre signes et appartiennent à la procédure retenue. Sa fiche porte séparément onze seizièmes de réussite et treize quarts de signes reçus en moyenne. Une fin sans motif reste comptée dans le coût de cette préparation, sans être ajoutée aux réussites.
Pour AA sans plafond, une moitié des suites a déjà terminé à quatre passages, alors que la moyenne entière vaut six. Nora peut donc donner quatre comme le plus petit seuil où au moins la moitié a terminé. Elle ne remplace pas six par quatre dans la ligne « moyenne ». Les suites qui prolongent l'attente contribuent à celle-ci même après que le seuil d'une moitié a été atteint. Elle renonce également à annoncer six comme dernier passage possible : une suite de six B ne contient aucun AA et possède encore une chance positive. La feuille choisie transmet un seuil de proportion et une moyenne dans deux lignes, sans transformer l'une en échéance garantie.
Un relevé incomplet ne donne pas le dernier début
Une branche AA ne remet à Simon que la mention « quatre signes reçus, aucun AA ». Les signes eux-mêmes ne lui sont pas montrés. Parmi les huit suites encore possibles déjà listées, ABBA, BABA et BBBA finissent par A ; les cinq autres finissent par B. Chacune possède le même poids dans le modèle, et le relevé ne les départage pas. Simon calcule donc trois huitièmes d'une attente restante de quatre, plus cinq huitièmes d'une attente de six : vingt et un quarts. Nora refuse de lui donner directement quatre, qui aurait supposé le dernier A connu. Elle conserve cette moyenne de cinq et un quart auprès du relevé réduit, tandis que la branche où ABBA est effectivement montré garde quatre supplémentaires. Les quatre passages déjà reçus sont les mêmes en nombre ; c'est leur information disponible qui diffère.
Simon demande ensuite la chance de fermer au prochain passage depuis ce relevé réduit. Il faut à la fois que l'ancien dernier signe soit A et que le nouveau soit A : trois huitièmes fois une moitié, soit trois seizièmes. La moyenne restante n'avait pas répondu à cette question d'un seul passage. Nora remplit aussi le relevé réduit du jeu AB, sans lui transférer ces trois seizièmes. Parmi ses cinq suites ouvertes à quatre passages, quatre finissent par A et seule BBBB finit par B. La chance de finir au prochain B vaut donc deux cinquièmes ; la moyenne supplémentaire vaut quatre cinquièmes de deux plus un cinquième de quatre, soit douze cinquièmes. Simon reçoit ces deux valeurs avec le motif AB et la portée du relevé. Une absence de fin au même quatrième passage n'a pas donné le même mélange de débuts aux deux jeux.
Deux motifs concurrents demandent de suivre plusieurs débuts
Un jeu distinct attend maintenant AAB ou ABA et ferme dès que l'un apparaît ; AAB donne le résultat de Nora, ABA celui de Simon. Les deux motifs de trois signes sont stipulés, et aucun ne termine en même temps que l'autre. Après un début A, deux continuations incomplètes sont possibles : AA et AB. Après AA, un autre A laisse encore AA à la fin de la feuille, tandis qu'un B ferme AAB. Après AB, un A ferme ABA et un B laisse une fin B, sans début actif pour aucun des deux motifs. Nora garde ces transitions avant de comparer leurs chances.
Depuis AA, AAB gagnera avec certitude dans le modèle : des A peuvent prolonger cet état, mais le premier B ferme AAB. La chance de recevoir seulement des A indéfiniment vaut zéro ; cela ne donne pas une limite finie au nombre de signes. Depuis AB, un A donne immédiatement la victoire à ABA, tandis qu'un B renvoie à l'état sans début. Nora appelle p la chance qu'AAB gagne depuis cet état et q celle depuis A. Un B initial laisse le premier état et un A mène au second, donc p égale q. Depuis A, un A mène à AA, gagnant pour AAB, et un B à AB, qui lui donne une moitié de p. Elle obtient q égal à une moitié plus un quart de p, donc p égal à deux tiers.
Simon retire alors le partage d'une moitié à chacun, qu'il avait justifié par la chance identique d'un huitième pour un bloc isolé de trois signes. AAB gagne deux fois sur trois, ABA une fois sur trois dans la course retenue. Nora choisit AAB sous l'objectif de chance de victoire, et garde ABA comme concurrent effectivement possible. Dans la réalisation B, A, B, A, Simon gagne au quatrième passage ; dans B, A, A, B, Nora gagne également au quatrième. Le meilleur choix de chance n'autorise pas à déplacer le troisième signe de la première réalisation pour fabriquer une victoire de Nora. Les deux résultats remplis restent compatibles avec leur course dissymétrique.
La course s'arrête en moyenne après six signes depuis rien. Depuis AA, deux restent nécessaires en moyenne jusqu'au premier B. Depuis AB, un prochain A ferme et un B demande de repartir sans début, d'où un plus la moitié de la moyenne initiale. Depuis A, le prochain signe mène à AA ou AB à chances égales. En reliant ces trois moyennes, Nora trouve quatre encore nécessaires depuis A, quatre depuis AB, deux depuis AA et six depuis rien. Simon peut garder la branche BABA qui s'arrête à quatre ; son nombre réalisé ne devient pas la moyenne de toutes les courses. Le résultat de deux tiers et la moyenne de six portent sur deux questions distinctes du même arrêt.
Attendre seulement AAB prend huit signes en moyenne ; attendre seulement ABA en prend dix. Pour vérifier cette seconde valeur, Nora conserve A lorsqu'un autre A suit le début A ; depuis AB, un A ferme, tandis qu'un B fait perdre le début. Les moyennes restantes valent alors huit depuis A et six depuis AB, avec dix depuis rien. Ces attentes séparées laissent le jeu continuer après l'arrivée du motif concurrent, contrairement à la course. Dans BABA, la course et l'attente d'ABA ferment à quatre, mais l'attente d'AAB reste ouverte. Nora ne donne donc ni huit ni dix comme moyenne de la course, et n'annonce pas que leurs inverses fourniraient directement ses chances de victoire. L'arrêt commun a examiné les débuts actifs et leurs transitions effectives.
Notre préparation retient AB avec une limite de quatre pour le premier jeu, puis AAB contre ABA pour la course séparée. Les fiches donnent le motif, la permission de continuer et ce qui reste d'un début. Les suites remplies montrent des fins et des limites sans transformer le hasard créé en expérience observée. Nora peut ainsi choisir un objectif de chance ou de durée, tout en conservant les signes déjà reçus et la procédure qui leur a donné un effet.