Camille prépare une fiche fictive avec trois signes, chacun zéro ou un. Nora veut passer par les huit états possibles une fois chacun, sans modifier plus d'un signe entre deux états voisins. Elle demandera ensuite de revenir au départ, puis de respecter une arrivée particulière. Les signes ne commandent aucun appareil réel. Les points attribués aux changements sont stipulés pour comparer les traces de cette fiche, sans mesure de temps, d'énergie ou de travail matériel.
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Ces catégories seules ont été lues. Aucune image ni méthode des œuvres ne fournit nos signes, déplacements ou coûts. Les codes de Gray sont classiques et ne sont pas présentés comme une invention de cette fiche.
Ranger les numéros n'obtient pas les changements autorisés
Camille commence par les écritures ordinaires de zéro à sept :000,001,010,011,100,101,110,111. Les huit états sont tous présents une fois. Mais001 vers010 change les deux signes de droite, et011 vers100 change les trois. Nora refuse cette liste pour sa permission d'un changement à la fois. Camille ne transforme pas ce refus en une absence de010 dans les états disponibles : ce numéro était bien inscrit. Le défaut appartient aux passages entre les lignes, dont la conformité doit être contrôlée séparément de l'inventaire.
La liste retenue est000,001,011,010,110,111,101,100. Les changements successifs portent sur le signe de droite, celui du milieu, celui de droite, celui de gauche, celui de droite, celui du milieu et celui de droite. Chacun des sept passages change exactement un signe. Les huit lignes sont distinctes et épuisent les trois choix binaires. Nora reçoit donc une visite complète en sept passages. Une liste de huit états ne demande pas huit passages tant que la première ligne est seulement le départ : les sept liaisons entre les huit lignes sont les gestes effectivement exécutés.
Le second morceau est lu à rebours pour garder sa jonction
Camille construit la liste depuis deux signes. Leurs quatre états peuvent être visités par00,01,11,10. Elle place zéro à gauche de ce morceau pour obtenir000,001,011,010. Pour les états où le signe de gauche vaut un, elle prend le même morceau en ordre inverse :10,11,01,00 deviennent110,111,101,100. La jonction entre010 et110 ne change que le signe de gauche. Nora garde le renversement du second morceau dans la préparation, plutôt que le considérer comme un choix de présentation après que la liste aurait déjà été produite.
Sans ce renversement, le second morceau serait100,101,111,110. La jonction010 vers100 changerait la gauche et le milieu. Les deux morceaux resteraient chacun corrects et leurs huit lignes distinctes, mais leur réunion échouerait sur un passage précis. Nora retire cette préparation pour la visite entière et remet le second morceau à rebours. Elle ne répare pas la jonction en insérant110 entre les deux morceaux tout en conservant le dernier110 : elle aurait alors visité cet état deux fois. La correction choisie modifie l'ordre du morceau, pas le nombre d'états ni la permission de répétition.
La valeur d'un état n'est pas son rang dans la visite
Nora demande le rang de111 dans la liste retenue, avec des rangs qui commencent à zéro. Camille doit répondre cinq, puisque000,001,011,010,110 le précèdent. Lire111 comme le nombre sept répondrait à une autre question. Camille garde ainsi le rang binaire101 et l'état111 sur la même fiche. Les deux portent trois signes, mais ne désignent pas la même quantité. Le rang indique à quel moment l'état est rencontré ; les signes de l'état indiquent les valeurs que Nora doit effectivement remettre après ce moment.
Pour produire l'état depuis le rang i, Camille combine i avec sa version décalée d'une place vers la droite, par XOR : un signe différent donne un, deux signes identiques zéro. Au rang cinq, i vaut101 et sa version décalée010 ; leur combinaison donne111, l'état retrouvé. Au rang quatre,100 combiné avec010 donne110 ; au rang sept,111 combiné avec011 donne100. Camille contrôle ces trois remises dans la liste des huit, sans transformer le décalage en un geste de visite permis. Ce décalage sert à calculer une adresse de la liste, pas à modifier directement un signe de l'état sur la fiche.
Camille doit aussi pouvoir retrouver le rang depuis l'état. Elle part du signe de gauche de l'état, qui est celui du rang. Le signe suivant du rang est le XOR de ce premier signe du rang avec le deuxième signe de l'état ; le dernier est le XOR du deuxième signe du rang avec le dernier de l'état. Pour111, elle obtient un, puis zéro, puis un :101, donc cinq. Pour010, elle obtient zéro,un,un :011, donc trois. Nora reçoit le rang trois auprès de l'état010, au lieu de garder deux issu de la lecture directe de ses signes comme un entier.
Une erreur inverse les deux derniers signes dans cette récupération en commençant depuis la droite. Sur110, ce parcours inverse donnerait010, soit deux, au lieu de100, soit quatre. Nora refuse cette construction : chaque signe de l'état combine deux signes voisins du rang dont celui de gauche est déjà connu dans la reprise correcte. Repartir de la droite n'a pas cette information initiale. Camille conserve la première place connue puis les deux calculs successifs. La bijection se vérifie sur les huit états ; aucune adresse n'a deux états dans cette construction, et aucune lecture inverse ne réclame une quatrième place cachée.
Revenir au départ ajoute un geste et une vérification
La visite retenue finit sur100. Nora ajoute une obligation de retour à000. Ce passage change seulement le signe de gauche, donc il est autorisé. La trace fermée donne maintenant huit passages : les sept entre les états distincts, puis le retour. Le départ apparaît de nouveau seulement pour fermer la trace. Nora ne le compte pas comme un neuvième état possible ni comme une nouvelle visite distincte à inscrire au catalogue. Camille remet la trace ouverte avec sept et la trace fermée avec huit, sous leurs deux demandes respectives.
Une autre liste pourrait satisfaire les sept passages sans posséder ce dernier retour autorisé. Nora veut donc examiner toute la liaison finale, pas seulement annoncer que les codes de la liste sont tous distincts. Même dans la liste ordinaire des numéros,111 vers000 aurait changé trois signes et échoué. La fermeture retenue100 vers000 réussit parce que ces deux lignes ont été construites avec les deux signes de droite identiques. Camille garde ce contrôle de fermeture auprès de la préparation à huit, plutôt que laisser l'image d'un cercle rendre automatiquement voisinables sa première et sa dernière ligne.
Les changements de trois signes n'ont pas le même prix
Nora donne un point pour changer le signe de droite, trois pour le milieu et sept pour la gauche. Chaque passage change toujours un seul signe ; son coût dépend de cette place. Dans le cycle retenu, la droite change quatre fois, le milieu deux et la gauche deux. Le total vaut quatre plus six plus quatorze, soit vingt-quatre. Camille ne calcule pas huit points au motif qu'il y a huit gestes : cette quantité compterait les passages avec un autre tarif uniforme. La fiche de coûts conserve les trois nombres de changements avec leurs trois valeurs stipulées.
Pour justifier ce minimum sur un cycle visitant les huit états, Camille observe que chaque signe doit changer un nombre pair de fois pour retrouver sa valeur initiale. Il doit aussi changer au moins une fois, sinon les états portant l'autre valeur de ce signe ne seraient jamais visités. Chacun change donc au moins deux fois. Sur les huit passages, six sont ainsi obligatoires, deux par place ; les deux changements restants coûtent au moins un chacun. La borne est deux fois un, trois et sept, puis deux points supplémentaires : vingt-quatre. Le cycle déjà rempli atteint cette borne en attribuant les deux passages supplémentaires à la droite, la place la moins chère.
Camille pourrait donner au signe de gauche les quatre changements en échangeant ses rôles avec celui de droite dans toute la construction. Elle aurait encore un cycle complet, mais son coût deviendrait quatre fois sept, plus deux fois trois et deux fois un, soit trente-six. Nora refuse cette réattribution pour son objectif de points. Renommer les places de l'algorithme n'a pas déplacé leurs tarifs physiques stipulés sur la fiche : la gauche coûte toujours sept. Les deux cycles sont conformes à la permission de geste, et leur différence de prix vient précisément des places effectivement touchées quatre fois.
Une commande limite maintenant la droite à deux changements au total sur le cycle. Cette place ne peut plus recevoir les deux passages supplémentaires de la borne précédente. Camille les attribue au milieu, coût trois, et garde deux changements de gauche. Elle construit ce cycle en échangeant partout droite et milieu dans la liste retenue. Les huit états restent tous distincts et chaque passage modifie une place. Les nombres deviennent deux,quatre,deux pour droite,milieu,gauche ; le prix vaut deux plus douze plus quatorze, soit vingt-huit. Nora garde la limite de droite et accepte vingt-huit, sans citer vingt-quatre comme prix d'un cycle qui la respecterait encore.
La borne sous cette limite est également vingt-huit. La droite change exactement deux fois, puisqu'il lui faut revenir et visiter ses deux valeurs. Les deux autres places doivent changer au moins deux fois chacune. Les deux gestes restants ne peuvent plus aller à la droite et coûtent au moins trois chacun. Le cycle transformé réalise ce compte. Camille remet la nouvelle liste et ses effectifs, pas seulement le nouveau prix. La restriction n'a pas supprimé deux passages de la visite ; elle a déplacé leurs places autorisées pour conserver les huit états et la fermeture.
Une arrivée imposée peut demander un autre ordre de visite
Nora revient à une trace ouverte, toujours depuis000, et impose maintenant111 comme dernière ligne. La visite réfléchie initiale atteignait111 avant101 et100. Camille ne peut la couper à111, car les deux derniers états resteraient absents, ni prolonger100 directement par111, car ce passage change deux signes et111 a déjà été visité. Elle doit remettre une autre trace complète. Nora conserve les huit états et la permission d'un changement ; elle change seulement la ligne finale, ce qui a réellement retiré la trace précédente des réponses possibles.
Camille choisit000,001,011,010,110,100,101,111. Les sept changements portent sur droite,milieu,droite,gauche,milieu,droite,milieu. Les trois places ont donc trois,trois,un changements, du moins cher au plus cher. Le coût vaut trois plus neuf plus sept, soit dix-neuf. Les huit lignes sont présentes et la dernière est111. Nora remet cette trace avec son arrivée ; elle ne lui attribue pas dix-sept repris de la visite ouverte initiale. Celle-ci payait quatre, deux et un changements, mais finissait précisément sur100, une autre ligne.
Pour une arrivée111 depuis000, chaque signe doit changer un nombre impair de fois. Sept changements au total se répartiraient donc en cinq,un,un, ou trois,trois,un, dans un ordre. Mais une place ne peut changer cinq fois dans une visite sans répétition des huit états. Il existe seulement quatre liaisons distinctes de cette place, une pour chaque choix des deux autres signes. Employer une cinquième répéterait une liaison et ses états déjà rencontrés. La répartition cinq,un,un est donc exclue. Il reste trois,trois,un ; le plus petit coût attribue le un à la gauche la plus chère, et les deux trois aux autres, donnant dix-neuf. La trace remplie atteint cette borne.
Camille contrôle que la visite ouverte sans arrivée imposée pouvait bien rester à dix-sept. Chaque place doit y changer au moins une fois pour parcourir les deux moitiés de ses états. Une place offre au plus quatre liaisons dans une visite simple. Parmi les sept passages, le prix minimal sous ces limites s'obtient en donnant quatre à la droite, deux au milieu et un à la gauche : quatre plus six plus sept. La trace réfléchie le réalise. Les dix-sept et dix-neuf n'ont donc pas été obtenus par deux estimations de la même remise : la contrainte d'arrivée a changé une parité de changements et déplacé réellement deux passages dans le nouvel ordre.
Le retour et l'arrivée ne peuvent pas être ajoutés séparément à une trace inchangée
Nora voudrait fermer la nouvelle trace après son arrivée111. Le passage direct à000 changerait les trois signes et ne serait pas autorisé. La propriété de visite ouverte jusqu'à111 ne contient donc pas celle de cycle retenue auparavant. Camille refuse de signer une fermeture à un passage supplémentaire pour cette trace. Elle peut revenir par des états déjà visités, si Nora ouvre expressément cette permission après l'arrivée, mais la trace fermée ne serait plus le cycle simple où chaque état apparaît une fois avant le retour initial.
Nora autorise ce retour supplémentaire après la visite entière. Camille suit111 vers110, puis100, puis000. Les signes changés sont droite,milieu,gauche, pour un coût onze. Le total de cette réalisation devient dix-neuf plus onze, soit trente. Les états110 et100 figurent déjà dans la visite ; ils sont répétés seulement dans la phase de retour autorisée. Camille inscrit donc une visite complète ouverte minimale, puis trois gestes de retour, sans annoncer trente comme le minimum de tous les cycles simples. Le cycle à vingt-quatre remplissait une autre demande, où111 n'était pas une arrivée finale avant une phase séparée.
La distance de111 à000 exige au moins un changement de chacun des trois signes, donc au moins trois gestes et onze points pour ce retour. La phase choisie atteint cette borne. Nora garde les deux preuves auprès de la réalisation : dix-neuf pour une visite simple terminant en111, onze pour un retour après cette arrivée lorsque répéter des états est permis. Elle ne confond pas le retour avec une neuvième ligne nouvelle du catalogue. Les trois signes du modèle, leurs places tarifées et les deux phases effectivement exécutées restent visibles sur la même fiche.
Les catégories consultées ne donnent aucun parcours ni tarif. La fiche conserve les états, leur rang, les changements et la permission de retour réellement choisie.
Une lecture mélangée doit garder une borne sur le nombre de passages
Une branche nouvelle définit seulement une lecture abstraite : entre un état avant passage et un état après passage, chacun des trois signes remis au lecteur peut provenir de l'avant ou de l'après, indépendamment des deux autres. Il n'y a aucune mesure d'appareil ni promesse sur une transmission matérielle. Nora demande que toute lecture permise corresponde à l'une des deux lignes réellement occupées, puis Camille vérifiera ce qui reste si deux passages peuvent survenir.
Pour le passage numérique ordinaire011 vers100, les trois places changent. Le lecteur peut recevoir000 en prenant la gauche ancienne et les deux signes de droite nouveaux ; il peut recevoir111 en prenant la gauche nouvelle et les deux signes de droite anciens. Ces lectures ne sont ni011 ni100. En fait les huit états sont disponibles par ces choix indépendants des trois places. Pour le passage retenu dans la visite de Gray,010 vers110, seuls les signes de gauche diffèrent. Les deux autres restent identiques entre avant et après. Les huit choix de provenance produisent donc seulement010 ou110, quatre fois chacun. Nora choisit cette visite pour sa demande abstraite lorsque la lecture est bornée à un passage. L'inversion des rangs remet alors trois ou quatre, les deux moments réellement occupés, plutôt qu'un numéro intermédiaire inventé par le mélange de trois changements.
Camille autorise pourtant deux passages pendant la lecture :010 devient110 puis111, correspondant aux rangs trois,quatre,cinq. Si les signes remis peuvent provenir de n'importe lequel de ces trois états, la gauche peut valoir zéro ou un, la droite zéro ou un, tandis que le milieu reste un. Les quatre résultats sont010,011,110,111. Le011, obtenu avec la gauche du départ et la droite de la fin, a pour rang deux : il n'a pas été occupé parmi ces trois lignes de la lecture. Nora retire donc la garantie précédente sous cette permission élargie. Elle conserve les changements à un seul signe de chaque passage, mais borne effectivement la lecture à un passage si elle veut seulement l'ancien ou le nouveau rang. La propriété de chacun des deux gestes n'a pas donné gratuitement cette garantie sur leur observation commune ; le résultat deux montre exactement ce qui manque à cette extension.