Nora place trois cartes distinctes, A, B et C, sur trois positions numérotées. Elle veut remettre un ordre choisi avec la même chance que les cinq autres. Paul propose de répéter un échange entre deux positions tirées au hasard. Tous les ordres sont accessibles en quelques gestes ; pourtant, la loi après un nombre fixé de gestes ne devient pas celle que Nora demande. Une autre préparation ajoutera des pauses, puis une dernière choisira à l'avance entre un et deux échanges.
Les cartes et les tirages sont entièrement créés. Aucune qualité d'un mélange matériel ou d'un participant n'est mesurée. À chaque échange, les paires de positions un–deux, un–trois et deux–trois sont choisies avec une probabilité un tiers chacune, indépendamment des choix précédents. Échanger la paire retenue change les deux cartes de place. La demande uniforme porte sur les six ordres complets, y compris A B C, pas sur l'égalité des chances de chaque premier geste ni sur une interdiction de garder une carte à sa place.
Les sources situent seulement des catégories de jeux et jouets. Cartes, tirages, pauses et règles d’arrêt sont créés ici ; aucune consigne ou qualité de mélange des marques n’est reprise.
Tender Leaf : jeux et jouets.
Le Toy Van : jouets.
Sarah's Silks : jouets.
Une, deux, puis trois fois : une partie des ordres reste absente
Les six ordres sont A B C, A C B, B A C, B C A, C A B et C B A. Depuis A B C, un échange donne B A C avec un–deux, C B A avec un–trois, ou A C B avec deux–trois. Chacun possède une probabilité un tiers. Les trois autres ont une probabilité zéro. Paul ne peut donc pas annoncer une chance un sixième pour chaque ordre après ce geste, même si chacune des trois paires a été choisie également. Il remet d'abord la distribution de ce premier tour comme un résultat limité.
Après deux échanges, les trois résultats possibles sont A B C, B C A et C A B. Chacun possède une probabilité un tiers. Pour obtenir A B C, le second échange reprend la paire du premier ; les trois suites un–deux puis un–deux, un–trois puis un–trois, deux–trois puis deux–trois y conduisent. Les neuf couples de choix sont équiprobables et chacun des deux autres résultats en possède également trois. Nora constate que les trois ordres du premier tour ont maintenant disparu de la distribution, plutôt que simplement reçu une chance plus petite.
Paul prévoit trois gestes pour éviter un retour trop rapide au commencement. La distribution revient alors à B A C, C B A et A C B, avec une chance un tiers chacun. Il n'a pas ajouté les trois autres à la remise. Nora retire donc le nombre trois de sa promesse de loi uniforme sur six ordres. Elle garde les résultats calculés après deux et après trois dans leurs colonnes propres : les ordres présents ont changé, mais la loi n'a pas gagné les six possibilités au même instant fixé.
Le nombre de gestes conserve une parité
Nora sépare les six ordres en deux groupes. A B C, B C A et C A B demandent un nombre pair d'échanges depuis le départ ; B A C, C B A et A C B un nombre impair. Pour ces trois cartes, échanger n'importe quelle paire fait passer d'un groupe à l'autre. Depuis chaque ordre d'un groupe, les trois paires rejoignent les trois ordres de l'autre, sans répétition. Cette correspondance est vérifiable sur les six lignes : depuis B A C, les paires donnent A B C, C A B et B C A.
À chaque tour, les trois choix uniformes distribuent donc la totalité de la probabilité présente vers les trois ordres du groupe opposé, chacun avec un tiers. Dès le premier tour, ce groupe est uniforme en lui-même. Le tour suivant le remplace par l'autre groupe, également uniforme en lui-même. Nora en déduit le résultat pour tout nombre positif de gestes, pas seulement les trois premiers : un nombre impair garde les trois ordres impairs, un nombre pair les trois ordres pairs. Répéter dix, cent ou davantage d'échanges obligatoires ne remplit jamais les six chances à un même tour fixé.
Une commande pourrait vouloir une seule de ces deux familles d'ordres. Paul aurait alors une réponse correcte après un tour de la bonne parité. Nora ne change pas sa commande présente, qui veut les six. Elle retire la formule « beaucoup d'échanges mélangent nécessairement davantage » de la fiche choisie, sans prétendre que les gestes n'ont rien fait. Ils changent réellement les places, et certains départs ont été oubliés dans leur groupe ; la parité fixée du nombre de gestes maintient une information qui suffit à empêcher la loi demandée.
Une loi peut se conserver sans être atteinte depuis le départ choisi
Paul prépare maintenant une distribution initiale différente : chacun des six ordres est déjà choisi avec une chance un sixième avant tout échange. Pour un ordre final donné, trois ordres de départ peuvent le rejoindre, chacun par une seule des trois paires. Il reçoit donc trois fois un sixième fois un tiers, soit un sixième. La distribution uniforme se conserve après un échange, puis après tous les suivants. Nora accepte ce contrôle, en gardant la condition d'un départ déjà uniforme au lieu de l'attribuer au départ fixe A B C.
La conservation de cette loi n'avait donc pas prouvé que les échanges depuis une feuille fixe s'en rapprocheraient. Après un nombre impair, l'événement « être dans le groupe impair » possède une probabilité un dans la feuille de Paul, contre une moitié dans la loi uniforme. Après un nombre pair positif, le groupe pair donne la même différence. Nora utilise cet événement complet pour montrer un écart d'une moitié qui ne diminue pas. Comparer seulement la possibilité d'atteindre B C A en deux gestes n'aurait pas fermé la question sur la distribution de toutes les remises à ce tour.
Nora distingue ainsi deux contrôles effectifs. Le premier part d'une loi uniforme et montre qu'un échange la conserve ; le second part d'A B C et suit la loi réellement produite par les gestes. Ils emploient les mêmes trois paires et des réponses différentes à leurs conditions de départ. Paul conserve le calcul de trois contributions un dix-huitième pour la première feuille, et la probabilité un du groupe actif pour la seconde. Il ne remplace pas le départ fixe par un premier tirage uniforme non donné afin de rendre sa répétition réussie.
Une pause indépendante brise l’alternance des groupes
Pour une autre préparation, Nora permet un tour sans échange. À chaque tour, une chance une moitié laisse les cartes telles qu'elles sont ; l'autre moitié déclenche le choix indépendant d'une des trois paires. Chaque paire reçoit ainsi une chance un sixième sur le tour complet. Les tours restent indépendants. Le nombre annoncé comptera les tours de cette règle, pauses comprises, plutôt que seulement les échanges effectués. Paul conserve le départ fixe A B C pour comparer cette modification à la première préparation.
Après un tour, A B C possède une chance une moitié, les trois ordres impairs chacun un sixième, et les deux rotations B C A, C A B zéro. La pause a permis de garder un ordre pair au côté des impairs, mais cette première loi n'est pas uniforme. Après deux tours, A B C reçoit un tiers ; B C A et C A B chacun un douzième ; les trois ordres impairs conservent chacun un sixième. Les six ont désormais une chance positive. Nora refuse pourtant d'en déduire leurs chances égales : un tiers et un douzième ne sont pas deux écritures d'un même sixième.
Paul explique la chance un tiers du départ après deux tours. Deux pauses consécutives donnent une chance un quart de garder A B C. Un échange suivi du même échange y revient aussi ; les trois paires répétées possèdent chacune une chance un trente-sixième, soit un douzième ensemble. Un quart plus un douzième donne un tiers. Pour B C A, trois suites de deux paires différentes conduisent à cet ordre, pour un douzième au total. Une pause parmi les deux tours ne suffit pas à produire cette rotation. La feuille conserve donc les histoires de pauses et de gestes qui ont réellement contribué à chaque résultat.
Calculer la loi après un nombre quelconque de tours
Nora note pₖ la chance d'A B C après k tours. Dès le premier tour, les trois ordres impairs possèdent chacun un sixième, et leur probabilité totale est une moitié. Une ligne impaire reçoit au tour suivant une moitié de sa chance précédente en restant sur place, puis un sixième de la somme des trois chances paires qui y arrivent par leurs trois échanges. Lorsque cette somme vaut une moitié, elle reçoit un douzième plus un douzième, soit encore un sixième. La même propriété se conserve à tous les tours suivants, indépendamment du partage entre les trois ordres pairs.
A B C reçoit au tour suivant une moitié de pₖ par la pause, et un sixième de la probabilité impaire totale une moitié par les échanges qui y reviennent. Ainsi pₖ₊₁ vaut pₖ divisé par deux plus un douzième. La valeur un sixième satisfait cette égalité. Si Paul retire un sixième à chaque côté, l'écart de pₖ à un sixième est simplement divisé par deux au tour suivant. Après le premier tour, cet écart vaut un tiers. Nora garde cette récurrence et sa condition initiale, plutôt qu'une progression extrapolée depuis deux nombres approchés.
Pour chaque rotation paire, le même calcul donne une moitié de sa chance précédente plus un douzième. Après le premier tour, cette chance est zéro, donc son écart à un sixième est négatif. Pour k au moins un, les trois formules sont alors : A B C a un sixième plus deux tiers divisés par deux puissance k ; B C A et C A B ont chacun un sixième moins un tiers divisé par deux puissance k ; les trois impairs restent chacun à un sixième. Les deux déficits des rotations compensent exactement l'excès du départ, et la somme des six chances vaut un.
Nora vérifie une conséquence qui compte pour sa remise. Pour tout nombre fini de tours, deux puissance k est un entier positif fini ; l'excès du départ est encore strictement positif. La règle avec pauses rapproche la loi de la distribution uniforme, mais ne l'atteint exactement à aucun tour fini depuis A B C. Elle retire donc une promesse d'égalité exacte après sept tours, même si cette feuille est plus proche de la demande que celle des échanges obligatoires. Le choix d'un nombre de tours doit recevoir une tolérance explicite, ou être remplacé par une autre procédure qui donne réellement l'égalité.
Une tolérance porte sur les probabilités, pas sur l’ordre observé
L'hôte accepte pour une nouvelle commande que la probabilité de n'importe quel ensemble d'ordres diffère de celle de la loi uniforme d'au plus un centième. Nora cherche l'écart le plus grand dans les six chances calculées. A B C est la seule chance trop élevée ; les deux rotations sont les seules trop basses ; les trois autres sont justes. Un ensemble d'ordres ne peut gagner plus que l'excès d'A B C ni perdre plus que la somme des deux déficits. Ces quantités sont égales : deux tiers divisés par deux puissance k. L'ensemble contenant A B C seul atteint l'écart positif maximal.
La somme des valeurs absolues des six différences donne deux fois cet écart, car elle additionne l'excès et les déficits. Nora la divise par deux pour retrouver la borne sur un événement quelconque. Elle ne la compare pas directement à un centième en gardant le double. Ce contrôle lui fournit un certificat sur toutes les sélections possibles d'ordres, y compris les groupes pairs ou impairs et les choix de plusieurs lignes. Il ne concerne pas la fréquence d'un échantillon réellement observé sur la table ; les chances proviennent uniquement de la règle abstraite déjà définie.
Après six tours, la borne vaut un quatre-vingt-seizième, supérieur à un centième. A B C seul a une chance dix-sept quatre-vingt-seizièmes au lieu d'un sixième, et montre effectivement cet écart. Après sept tours, la borne vaut un cent quatre-vingt-douzième, inférieur à un centième. A B C a alors onze soixante-quatrièmes ; chaque rotation a vingt et un cent vingt-huitièmes ; chaque impair conserve un sixième. Nora choisit sept tours, et le plus petit nombre de tours sous cette règle qui satisfait sa tolérance. Elle laisse six comme proposition refusée, avec l'événement précis qui viole la limite.
Paul voudrait regarder seulement si les trois cartes ont toutes quitté leur position de départ dans la réalisation reçue. Nora ne remplace pas sa garantie de loi par ce résultat unique. Une rotation B C A peut apparaître à deux tours malgré une loi encore éloignée ; A B C peut apparaître à sept malgré une loi conforme à la tolérance. Elle garde la règle des sept tours sans choisir leur nombre après avoir vu les cartes. Le certificat porte sur la distribution possible des six ordres avant réalisation, pas sur une permission de recommencer uniquement les résultats qui paraîtraient trop peu changés.
Tirer une fois le nombre d’échanges donne ici une loi exactement uniforme
Nora revient aux échanges obligatoires, sans pause à l'intérieur d'un tour. Elle tire maintenant à l'avance un nombre d'échanges : un avec une chance une moitié, deux avec une chance une moitié. Ce choix est indépendant des paires qui seront tirées et du départ. Si un est retenu, elle effectue un seul échange uniforme ; si deux est retenu, elle effectue deux échanges uniformes indépendants. La remise arrive après le nombre reçu, avec une limite de deux échanges. Nora n'a pas donné deux chances successives de rester sur place : son choix porte une fois sur la durée de toute la procédure.
Dans la branche un, les trois ordres impairs ont chacun une chance un tiers, puis reçoivent le poids une moitié de cette branche : chacun a une chance un sixième de remise finale. Dans la branche deux, les trois ordres pairs ont chacun un tiers et le même poids une moitié : chacun a également un sixième. Les deux groupes sont disjoints et couvrent les six ordres. Nora reçoit donc une loi exactement uniforme après un ou deux échanges, alors qu'aucun nombre fixé d'échanges obligatoires ne la donnait. La limite de deux est respectée dans chacune des branches, sans attente d'une réussite future.
Paul refait ce partage avec des choix élémentaires. Il prépare le nombre un ou deux, puis une première paire parmi trois et une seconde parmi trois, les trois tirages indépendants et uniformes. Il obtient dix-huit histoires de chance un dix-huitième. Dans les neuf histoires où le nombre reçu vaut un, la seconde paire est simplement ignorée ; chacune des trois remises impaires apparaît trois fois. Dans les neuf où le nombre vaut deux, les deux paires sont exécutées ; chacun des trois ordres pairs apparaît également trois fois. Cette enumeration donne les six mêmes chances un sixième sans faire de la paire ignorée un deuxième échange accompli.
La procédure n'exige pas que la feuille commence spécifiquement par A B C. Pour un départ fixé différent, renommer les trois cartes selon leur ordre initial transforme les six remises précédentes en six remises distinctes, sans changer les positions des paires tirées ni leurs chances. La loi finale reste donc uniforme depuis chaque départ. Si le départ lui-même est tiré selon une loi quelconque, indépendante des choix suivants, chacune de ses branches donne encore la même chance un sixième à tout ordre final ; leur somme conserve cette chance. Nora peut oublier quelle feuille fixe avait servi de commencement, grâce à cette procédure particulière et à son indépendance déclarée.
Le nombre moyen d'échanges vaut un et demi, avec un maximum deux. Paul ne met pas cette moyenne à la place de la limite : une branche effectue réellement deux gestes et l'autre un. Il sépare aussi ce compte de celui des tours avec pauses. Sept tours de la règle précédente n'annonçaient pas sept échanges obligatoires ; certaines réalisations restaient en place pendant un tour. Les deux remises gardent leurs unités de compte et leurs promesses propres, approximation uniforme après sept tours d'un côté, égalité exacte après un ou deux échanges de l'autre.
Le choix du nombre doit rester indépendant du premier geste
Paul propose enfin de tirer seulement la première paire, puis décider du nombre d'échanges après l'avoir vue. Si cette paire est un–deux, il s'arrête aussitôt. Si c'est un–trois ou deux–trois, il effectue un second échange uniforme. Depuis A B C, la remise B A C possède alors une chance un tiers, parce qu'elle vient directement de la première paire un–deux. Les deux autres ordres impairs ne sont jamais remis : leurs branches continuent et reviennent dans le groupe pair. Nora ne garde donc pas un sixième auprès de B A C sous cette nouvelle règle.
Les trois ordres pairs possèdent chacun une chance deux neuvièmes. Paul le vérifie sur les neuf couples de paires possibles : les trois dont la première paire est un–deux restent tous sur B A C, puisque la seconde n'est pas exécutée. Parmi les six autres, A B C, B C A et C A B apparaissent chacun deux fois. Les quatre chances non nulles, un tiers et trois fois deux neuvièmes, totalisent un. Nora conserve cette loi comme contre-exemple rempli. Elle ne corrige pas sa somme, qui est juste ; elle retire la promesse d'égalité des six remises, qui ne l'est plus.
Nora choisit la première procédure, où le nombre un ou deux est tiré par une chance indépendante avant les échanges. Elle ne demande pas seulement à Paul de garder une moitié de réalisations courtes après coup : son choix dépendant de la première paire ne décrivait pas cette indépendance. La première procédure avait distribué un poids une moitié aux deux groupes par une décision séparée de leurs résultats ; la seconde avait favorisé une paire particulière en réservant l'arrêt à sa seule branche. Les instructions remises conservent le moment et la règle du choix, pas uniquement le nombre maximal deux qui était commun aux deux préparations.
Les feuilles de cette table gardent leurs lois avant de montrer une réalisation. Des gestes accessibles, une loi qui se conserve, une convergence avec tolérance et un tirage exactement uniforme ne donnent pas la même promesse. Nora a retiré les répétitions qui conservaient une parité, calculé l'erreur de la règle avec pauses et choisi une durée indépendante pour la dernière remise. Ses cartes restent un modèle de papier, sans certification d'un mélange matériel.