Nora reçoit neuf cartes fictives, numérotées de un à neuf. Camille veut les placer dans trois rangées de trois cases, chaque numéro une seule fois. Les trois rangées, les trois colonnes et les deux grandes diagonales doivent avoir le même total. Les numéros ne représentent ni convives ni quantités consommées ; la disposition est un exercice de papier. Camille demandera ensuite de garder certaines cases déjà inscrites, puis changera expressément la permission sur les répétitions.
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Ces catégories seules sont utilisées. Aucune image, disposition ou méthode d'artiste ne fournit les cases ni leurs sommes. Le carré magique normal de trois cases de côté est classique ; les demandes remplies ici ne sont pas présentées comme son invention.
Le total reçu décide de la somme avant de choisir un dessin
Les neuf cartes portent au total quarante-cinq. Les trois rangées répartissent ces mêmes cartes sans omission ni double compte. Si chacune doit donner le même nombre T, leurs trois sommes donnent trois fois T, donc T vaut quinze. Nora retire une proposition où chaque ligne devait atteindre seize tout en gardant les neuf cartes. Il aurait fallu quarante-huit pour ces trois rangées ; choisir un autre ordre des neuf numéros ne peut fournir les trois unités manquantes. La commande de sommes égales n'avait pas autorisé d'ajouter une carte ou de transformer neuf en douze.
Camille essaie les rangées un,cinq,neuf ; six,sept,deux ; huit,trois,quatre. Chacune donne quinze. Les colonnes un,six,huit ; cinq,sept,trois ; neuf,deux,quatre donnent aussi quinze. Nora contrôle pourtant les diagonales : un,sept,quatre donnent douze, et neuf,sept,huit donnent vingt-quatre. Elle refuse ce dessin pour la commande complète en gardant ses six résultats conformes. Les numéros sont tous présents une fois ; le défaut ne vient ni d'une carte répétée ni d'un total de rangée oublié. Les diagonales apportent deux contraintes qui n'étaient pas garanties par les premières coches.
La deuxième proposition possède les rangées huit,un,six ; trois,cinq,sept ; quatre,neuf,deux. Les colonnes donnent huit,trois,quatre ; un,cinq,neuf ; six,sept,deux. Toutes ces sommes valent quinze. Les diagonales huit,cinq,deux et six,cinq,quatre valent également quinze. Camille remet ce dessin avec ses huit contrôles. La première feuille ne devient pas correcte parce que le résultat de la seconde est le même quinze : le sept central de la première appartenait encore aux deux diagonales refusées, tandis que la nouvelle feuille a déplacé les cartes sous une autre disposition.
Le centre peut être fixé sans le choisir par goût
Camille additionne les quatre lignes qui passent par la case centrale : rangée médiane, colonne médiane et deux diagonales. Chaque case extérieure apparaît une fois dans cette réunion, et le centre apparaît quatre fois. La somme vaut donc les quarante-cinq des cartes, plus trois occurrences supplémentaires du centre. Les quatre lignes doivent fournir soixante. Le centre est ainsi cinq. Nora refuse expressément une demande de conserver sept au centre de la première proposition : cette case ne peut rester sous les huit contrôles et les neuf cartes inchangées. Elle ne retire pas seulement les deux chiffres des diagonales pour sauver sa première préférence.
Avec cinq au centre, chacune des quatre lignes traversantes doit recevoir dix de ses deux extrémités. Les couples de cases opposées sont donc un avec neuf, deux avec huit, trois avec sept et quatre avec six, dans un ordre encore à décider. Sur la feuille retenue, huit est opposé à deux, six à quatre, un à neuf et trois à sept. Camille écrit les quatre couples avant de chercher d'autres arrangements. Une carte un mise en haut ne peut ensuite avoir huit en bas sous le prétexte que les deux numéros sont petits : leur somme neuf manquerait une unité à la colonne centrale.
Ces couples et le centre ne suffisent pourtant pas. Nora propose les rangées un,trois,deux ; quatre,cinq,six ; huit,sept,neuf. Tous les couples opposés font dix et les quatre lignes passant par cinq font quinze. Mais la rangée supérieure fait six et celle du bas vingt-quatre ; les colonnes extérieures valent treize et dix-sept. Camille garde ce contre-exemple auprès des couples. Il remplit effectivement leur condition, puis échoue ailleurs. Nora doit encore contrôler les quatre lignes qui évitent le centre ; elle ne donne pas aux quatre paires la garantie de toute la feuille.
Les cartes de coin sont imposées par les lignes disponibles
Camille inventorie les triples de numéros distincts qui font quinze. Il y en a huit : un,cinq,neuf ; un,six,huit ; deux,quatre,neuf ; deux,cinq,huit ; deux,six,sept ; trois,quatre,huit ; trois,cinq,sept ; quatre,cinq,six. Les huit lignes d'un dessin conforme utilisent des triples différents : deux lignes différentes ne possèdent pas les mêmes trois cases, et chaque numéro a une case unique. Elles doivent donc employer exactement les huit triples de cette liste. Nora ne peut garder trois copies du même triple pour remplir trois lignes tout en prétendant que ses cartes ne sont pas répétées.
Dans cette liste, deux,quatre,six,huit participent chacun à trois triples. Un,trois,sept,neuf participent chacun à deux ; cinq participe à quatre. Or un coin appartient à sa rangée, à sa colonne et à une diagonale, trois lignes. Une case de bord qui n'est pas un coin appartient seulement à sa rangée et sa colonne. Le centre appartient aux quatre lignes déjà réunies. Camille doit donc placer les quatre cartes paires dans les coins et les quatre autres cartes extérieures au milieu des bords. Elle refuse un placé dans le coin supérieur gauche sans chercher à le réparer par une rotation : toutes les positions de coin ont le même nombre de lignes.
Nora choisit huit en haut à gauche. Le coin opposé est deux, imposé par leur somme dix. Les deux autres coins doivent être quatre et six ; ils sont également opposés. Si le coin supérieur droit est six, la carte entre huit et six doit être un pour compléter quinze. Au coin inférieur gauche, quatre oblige alors trois entre huit et quatre. Les deux bords opposés sont neuf et sept. Camille reconstruit précisément sa feuille huit,un,six ; trois,cinq,sept ; quatre,neuf,deux. Les choix des bords résultent des coins et des sommes, ils ne sont pas attribués ensuite au hasard parmi les quatre cartes impaires.
Si Nora choisit plutôt quatre en haut à droite, six va en bas à gauche. Le bord supérieur devient trois ; le bord gauche, un. Les opposés donnent sept en bas et neuf à droite. La seconde feuille est huit,trois,quatre ; un,cinq,neuf ; six,sept,deux. Elle passe les huit sommes comme la première. Camille garde ces deux réponses lorsque seule la case supérieure gauche avait été fixée à huit. Elle n'en annonce pas une unique parce qu'elle avait commencé par la première. Le choix encore libre était la place de quatre et six ; les bords changeaient réellement avec lui.
Tourner la feuille change les cases conservées
Sans aucune case fixée, le coin supérieur gauche peut être deux,quatre,six ou huit. Son opposé est alors imposé, et les deux autres coins admettent chacun des deux placements restants. Les bords et le centre se reconstruisent comme ci-dessus. Camille compte donc huit dessins, pas neuf factorielle dessins tous recevables. Ils se retrouvent en tournant ou réfléchissant sa première feuille ; aucun de ces huit gestes ne fixe nécessairement les mêmes adresses. Nora garde leurs coordonnées dans le catalogue pour pouvoir ensuite appliquer une consigne de case conservée.
Une rotation d'un quart de tour dans le sens horaire transforme la première feuille en quatre,trois,huit ; neuf,cinq,un ; deux,sept,six. Toutes les sommes restent quinze. Mais huit n'est plus en haut à gauche : il est en haut à droite. Nora refuse donc cette rotation lorsqu'elle exige de garder l'ancien huit à son adresse. Camille ne répond pas que le numéro huit existe toujours quelque part, car la consigne portait aussi sur sa case. Pour la commande sans adresse conservée, les deux dessins sont valides ; pour celle avec cette adresse, la rotation vient d'être réellement éliminée.
Camille revient aux deux feuilles dont le premier coin vaut huit. Nora ajoute que le bord supérieur doit rester un. La feuille huit,un,six convient ; celle huit,trois,quatre ne convient plus. Les deux inscriptions ensemble fixent donc une réponse unique parmi les huit. Fixer seulement le centre cinq aurait conservé les huit, puisqu'elles le possèdent toutes. Nora choisit de recevoir le coin et le bord plutôt que le seul centre pour une remise où l'orientation doit être retrouvée. Les deux cartes ne sont pas annoncées utiles par leur nombre : Camille a montré exactement quelles candidates chaque inscription conservait.
Une autre consigne voudrait conserver huit dans le premier coin et neuf au bord supérieur. Aucune des deux feuilles restantes ne porte neuf là : leurs bords supérieurs valent un ou trois. Nora refuse la remise sous ces deux inscriptions. Changer la valeur totale quinze ou garder sept au centre ne ferait pas compléter la même commande. Camille peut proposer de corriger l'inscription neuf en un, mais le billet de correction doit mentionner ce changement. Elle ne le présente pas comme une case déduite d'un reçu qui aurait toujours imposé neuf.
Deux paramètres peuvent reconstruire la feuille et tester une nouvelle permission
Camille nomme u le numéro du premier coin moins cinq et v celui du coin supérieur droit moins cinq. Les rangées s'écrivent alors cinq+u, cinq−u−v, cinq+v ; cinq−u+v, cinq, cinq+u−v ; cinq−v, cinq+u+v, cinq−u. Chacune des huit lignes fait quinze quels que soient u et v. Dans sa première feuille, u vaut trois et v un ; dans l'autre feuille à premier coin huit, u vaut trois et v moins un. Camille substitue ces deux couples et retrouve tous les bords déjà calculés, y compris la différence entre un et trois en haut.
La formule ne remplace pas la permission des neuf cartes. Avec u deux et v un, elle donne sept,deux,six ; quatre,cinq,six ; quatre,huit,trois. Les sommes passent, mais quatre et six sont chacun répétés, tandis que un et neuf manquent. Nora refuse ce résultat sous la commande normale. Ce couple ne devient pas admissible parce que la formule était correcte pour les sommes. Pour employer une fois chacune les cartes de un à neuf, les huit écarts hors centre doivent être exactement moins quatre,moins trois,moins deux,moins un,un,deux,trois,quatre. Cela exclut les répétitions constatées dans les valeurs effectivement remises.
Les quatre amplitudes des écarts sont |u|, |v|, |u+v| et |u−v|. Elles doivent être un,deux,trois,quatre dans un ordre. Les couples retenus sont donc ceux où u et v ont les amplitudes trois et un, dans l'un des deux ordres, avec leurs signes libres : huit couples. Camille les confronte aux huit dessins construits par les coins. Une description en deux paramètres n'avait pas donné deux cartes qu'on pourrait choisir indépendamment parmi tout ce qui reste. Elle avait gardé les contraintes de lignes ; le contrôle des amplitudes retrouve maintenant la présence exacte des neuf cartes.
Nora crée ensuite une permission différente : chaque case peut porter un entier de un à neuf, les répétitions sont permises, et le total de chacune des huit lignes demeure quinze. Camille peut alors remettre le dessin de u deux et v un qui avait été refusé. Il contient bien neuf cases et toutes ses valeurs restent dans la plage autorisée, malgré les quatre et six répétés. L'ancienne preuve par les quarante-cinq des cartes uniques ne décrit plus cette sélection de départ, mais la formule garde les huit sommes vérifiables. Camille archive la première décision de refus et précise que sa levée vient de la permission changée, pas d'un recalcul donnant finalement neuf valeurs distinctes.
Des restrictions locales peuvent rendre cette autre commande impossible
Dans la branche où les répétitions sont permises, Nora exige maintenant que le coin supérieur gauche et le coin supérieur droit valent chacun neuf. Cela impose u quatre et v quatre. Le bord supérieur de la formule vaut alors cinq moins quatre moins quatre, soit moins trois. Nora le refuse, car toutes les inscriptions doivent rester entre un et neuf. Elle ne garde pas cette valeur en invoquant seulement les huit sommes égales : celles-ci seraient correctes avec moins trois, mais le domaine des inscriptions est une autre condition présente dans la demande.
Nora retire seulement la fixation du second coin et garde le premier à neuf. Camille prend u quatre et v zéro. Les rangées sont neuf,un,cinq ; un,cinq,neuf ; cinq,neuf,un. Les huit sommes font quinze et chaque case appartient à la plage un à neuf. La répétition des trois valeurs est maintenant permise. Les deux consignes de coin n'étaient donc pas chacune suffisantes pour rendre la commande impossible : leur réunion avait forcé le moins trois. Camille joint la feuille effectivement reconstruite au retrait de la deuxième inscription, au lieu de donner une autorisation vague de recommencer le dessin.
Enfin, Nora demande tous les numéros strictement supérieurs à cinq, tout en gardant quinze sur chaque ligne. Chaque rangée contiendrait alors au moins six,six,six, de somme dix-huit. Camille refuse cette commande avant de choisir u et v. La permission des répétitions ne permet pas de diminuer les valeurs sous la borne reçue. Le dessin constant cinq,cinq,cinq dans chaque rangée passerait les huit sommes, mais violerait lui aussi cette borne stricte. Nora conserve le refus avec son domaine, sans transporter vers lui la candidate constante d'une autre permission.
La dernière remise retient la feuille normale huit,un,six ; trois,cinq,sept ; quatre,neuf,deux lorsque les neuf cartes uniques et les deux adresses fixées sont demandées. La branche répétée garde séparément neuf,un,cinq ; un,cinq,neuf ; cinq,neuf,un. Les catégories consultées ne certifient aucun de ces placements. Les sommes, les adresses et la permission de répétition restent les pièces propres à leurs contrôles de papier.