Nora prépare quatre cartes pour une table de réception inventée. Chaque carte doit recevoir une place autorisée, et chaque place une carte seulement. Camille souhaite ensuite tirer une des listes complètes avec la même chance que chacune des autres. Trouver une liste qui respecte les permissions ne ferme donc pas sa demande. Une procédure peut réussir chaque attribution qu'elle remet et favoriser pourtant certaines listes par la façon dont elle choisit ses premières lignes.
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Ces catégories seules ont été lues. Aucun produit ou procédé réel n'est adapté ; les cartes, permissions, choix et lois sont stipulés pour cette feuille.
Les cartes A, B, C et D sont distinctes, comme les places un, deux, trois et quatre. A peut recevoir un ou deux ; B un, trois ou quatre ; C n'importe laquelle des quatre places ; D trois ou quatre. Toutes les places doivent être utilisées exactement une fois. Ces permissions ne sont ni des goûts, ni des besoins alimentaires, ni un classement des personnes. Les tirages abstraits que nous autorisons seront exacts et indépendants lorsqu'ils sont déclarés tels. Aucun appareil ou participant réel n'est testé. Les méthodes de comptage et de tirage sont classiques, sans invention revendiquée.
Choisir également parmi les places encore libres peut bloquer la fin
Camille propose d'abord de traiter A, puis B, puis C, puis D. À chaque ligne, elle tire uniformément parmi les places encore libres et permises pour cette carte. Si A reçoit un, B possède trois ou quatre, chacun choisi avec probabilité une moitié. Prenons B à trois. C possède alors deux ou quatre. Un choix de C à deux laisse quatre à D et produit la liste un, trois, deux, quatre. Un choix de C à quatre ne laisse que deux, interdit pour D. Nora conserve donc une issue bloquée malgré trois choix individuellement autorisés et sans partage de place.
La liste complète un, trois, deux, quatre possède sous cette procédure une probabilité une moitié fois une moitié fois une moitié, soit un huitième. L'autre liste commençant par A à un, puis B à quatre, C à deux et D à trois possède également un huitième. Lorsque A reçoit deux, B dispose de trois possibilités, un, trois ou quatre, chacune de probabilité un tiers. Par exemple B à trois, C à un et D à quatre produit la liste deux, trois, un, quatre avec probabilité une moitié fois un tiers fois une moitié, soit un douzième. Deux listes valables n'ont donc pas reçu la même chance.
Nora énumère les six listes complètes permises, dans l'ordre de leurs quatre places : 1324, 1423, 2134, 2143, 2314 et 2413. Les deux premières ont chacune la probabilité un huitième dans l'essai local ; les quatre autres chacune un douzième. Leur somme vaut sept douzièmes. Les cinq douzièmes restants correspondent aux fins bloquées, sans septième liste à remettre. Camille retire donc la promesse que quatre choix locaux réussiraient toujours. Le total des chances des listes complètes lui indique exactement la part des essais qui aboutit, avec cette procédure et ces permissions.
Camille veut garder la même procédure, mais recommencer entièrement après chaque blocage avec des tirages indépendants. Parmi les essais finalement réussis, la première liste aura alors pour probabilité un huitième divisé par sept douzièmes, soit trois quatorzièmes. Une liste du second groupe aura un douzième divisé par sept douzièmes, soit un septième. Nora refuse de les annoncer toutes à un sixième. Recommencer élimine les issues bloquées de la remise finale, mais conserve le rapport entre les probabilités des six issues réussies. Le redémarrage ne remplace pas la règle qui avait créé leur différence.
Interdire un choix sans continuation ne suffit pas à rendre les listes équiprobables
Nora propose une réparation différente : avant chaque choix, elle écarte les places qui ne permettraient aucune fin complète. Sous A à un et B à trois, C ne peut plus choisir quatre ; elle reçoit deux, puis D quatre. Aucun blocage ne reste dans cette branche. Avec A à un, les deux choix permis de B, trois et quatre, ont chacun une seule continuation complète. Si A conserve une chance une moitié et B partage sa chance également, chacune des deux listes commençant par un possède désormais une probabilité un quart.
Sous A à deux, B peut encore recevoir un, trois ou quatre, et chacune de ces trois possibilités possède une fin complète. Donner la même chance à ces trois branches produit des effets différents. B à un laisse C et D se partager trois et quatre, donc deux fins. B à trois laisse C à un et D à quatre seulement ; B à quatre laisse C à un et D à trois seulement. Si B est tirée à un tiers puis les fins partagées également, 2134 et 2143 ont chacun un douzième, tandis que 2314 et 2413 ont chacun un sixième. Avec les deux premiers quarts, ces probabilités totalisent bien un.
La nouvelle procédure remet donc toujours une liste complète, mais ses six chances valent un quart, un quart, un douzième, un douzième, un sixième et un sixième. Nora retire la promesse d'uniformité, sans retirer sa réussite de couverture. Toutes les places attribuées restent autorisées et distinctes ; aucune liste n'est fausse en elle-même. Le défaut porte sur leur distribution. Camille accepte ce diagnostic séparé : éliminer les branches impossibles a résolu les échecs de fin, mais choisir également les branches possibles ne leur a pas donné le poids du nombre de fins qu'elles contiennent.
Camille pouvait préférer que chaque premier choix d'A reçoive la même chance. Cette autre demande aurait effectivement gardé une moitié pour un et une moitié pour deux. Elle ne coïncide pas ici avec l'égalité des chances des listes entières : deux listes commencent par un, quatre par deux. Nora demande quel objet doit être tiré uniformément avant de fixer la règle. Camille choisit explicitement les six listes complètes. Elle renonce donc à une égalité de chance entre les deux places d'A lorsque leurs branches ne contiennent pas le même nombre de résultats à distribuer.
Compter les fins depuis la ligne et les places déjà consommées
Nora prépare un nombre pour chaque état de la recherche. L'état indique la prochaine carte à traiter et les places déjà utilisées. Après la dernière carte, une affectation complète vaut une fin. Avant cela, le nombre de fins est la somme des nombres obtenus en choisissant chacune des places encore libres et permises à la prochaine carte. Un choix laissant zéro fin ajoute zéro, sans devenir une place autorisée pour une autre ligne. Nora conserve ces deux informations d'état ensemble : connaître seulement le nombre de cartes déjà traitées ne dirait pas quelles places restent disponibles.
Après A à un, B à trois, les places utilisées sont un et trois. Pour C, choisir deux laisse quatre à D et donne une fin ; choisir quatre laisse deux à D et donne zéro. Cet état possède donc une fin. Après A à un, B à quatre, il possède également une fin, cette fois C à deux et D à trois. La branche A à un totalise deux fins. Nora ne compte pas C à deux deux fois dans un même état sous prétexte que cette place revient dans les deux branches : les places déjà consommées par B diffèrent et donnent deux listes complètes distinctes.
Après A à deux et B à un, C peut recevoir trois ou quatre, chacune laissant une place acceptable à D. Cet état possède deux fins. Après A à deux, B à trois, il reste une fin, C à un puis D à quatre ; après B à quatre, une fin également, C à un puis D à trois. La branche A à deux totalise donc quatre. Depuis le départ vide, la somme deux plus quatre donne six. Camille reçoit ces comptes avec leurs états, pas une multiplication du nombre de permissions de chaque carte : plusieurs permissions désignaient les mêmes places que les lignes antérieures avaient déjà consommées.
Cette préparation peut réutiliser un état rencontré par deux chemins différents. Elle ne réunit toutefois pas leurs probabilités ni leurs listes en une seule occurrence. Le nombre des continuations est identique lorsque la prochaine carte et les places consommées sont identiques ; les débuts différents restent deux débuts de listes différentes. Nora conserve ainsi les comptes pour éviter de refaire une même fin, puis les rattache à chacun des débuts concernés. Ce principe sera utile pour choisir une branche, sans supprimer les résultats qu'elle est censée distribuer à parts égales.
Donner à chaque branche le nombre de résultats qu'elle doit partager
Nora tire maintenant la première place avec une probabilité deux sixièmes pour A à un, quatre sixièmes pour A à deux, soit un tiers et deux tiers. Si A reçoit un, B possède deux branches de poids une fin chacune : trois et quatre reçoivent chacun une moitié. C et D sont ensuite forcées. La liste 1324 reçoit ainsi un tiers fois une moitié, soit un sixième ; 1423 reçoit le même résultat. Le premier choix n'était pas uniforme entre deux places, précisément pour rendre uniformes les résultats complets situés au bout de leurs deux branches inégales.
Si A reçoit deux, B à un doit obtenir deux parts sur quatre, soit une moitié ; B à trois et B à quatre une part sur quatre chacun. Dans la branche B à un, C partage les deux fins entre trois et quatre, chacun avec une moitié. La liste 2134 reçoit donc deux tiers fois une moitié fois une moitié, soit un sixième. La liste 2314 reçoit deux tiers fois un quart, avec C et D forcées, soit également un sixième. Camille retrouve les six chances égales sans demander aux branches possédant deux fins de se contenter du même poids que celles n'en possédant qu'une.
La justification se conserve sur tout le chemin. À chaque choix, Nora multiplie le nombre des fins de l'état suivant divisé par le nombre des fins de l'état présent. Le dénominateur d'un choix devient le numérateur qui sera divisé à l'étape précédente du produit ; les comptes intermédiaires se simplifient. Une liste terminée possède une fin, tandis que le départ en possédait six. La probabilité finale vaut donc un sixième, quelle que soit la suite d'états de cette liste. Nora ne déduit pas cette égalité d'un seul parcours réussi : elle la vérifie par la règle commune à chacun des six.
La réalisation choisie reçoit A à deux, B à trois, C à un, D à quatre. Nora remet 2314 avec les chances deux tiers puis un quart, puis deux décisions forcées. Elle ne compte pas les décisions forcées comme de nouveaux tirages indépendants qui auraient changé ce produit. Leur probabilité conditionnelle vaut un parce qu'une seule continuation possède un compte non nul. Camille garde la liste effectivement tirée et la loi qui aurait également permis les cinq autres. Aucune fréquence de six essais réels n'est annoncée : les chances sont celles du modèle fixé, pas un bilan observé de participants.
Un rang entier peut désigner la liste sans tirer chacune de ses lignes
Camille préfère un seul tirage entier uniforme entre un et six. Nora associe les deux premiers rangs aux listes commençant par A à un, les quatre suivants à celles commençant par A à deux. Le rang reçu est cinq. Il dépasse les deux premières fins, donc A reçoit deux et le rang restant dans cette branche vaut trois. Pour B, les deux premières fins passent par un ; la suivante par trois ; la dernière par quatre. Le rang restant trois choisit donc B à trois, puis les lignes forcées C à un et D à quatre. Nora remet encore 2314.
Le rang n'est pas le numéro de la place qu'une carte recevra. Lorsque Nora retranche deux au rang cinq, elle a retiré deux listes complètes précédentes, pas deux places du stock. Camille conserve cette interprétation dans le parcours inverse : 2314 vient après les deux listes de la branche A à un, puis les deux fins de B à un sous A à deux. Il reçoit donc le rang cinq. Chaque liste possède exactement un rang et chaque rang une liste ; tirer uniformément les six rangs distribue la même chance aux six résultats, sans rendre les places individuelles interchangeables.
Nora garde l'ordre des cartes et l'ordre croissant des places pour cette correspondance de rangs. Si Camille change l'ordre utilisé pour énumérer les branches, un autre rang pourra désigner 2314. La loi uniforme des six résultats peut rester la même, mais le rapprochement entre rang et liste doit être reconstruit. Nora ne conserve donc pas cinq comme identité intrinsèque de cette affectation. Elle remet le rang avec sa règle de parcours, afin qu'une personne refaisant le tirage retrouve les mêmes quatre lignes plutôt qu'une autre liste également permise.
Tirer une permutation entière puis la refuser donne une autre procédure
Une préparation séparée tire uniformément l'une des vingt-quatre permutations des quatre places, sans consulter les permissions pendant le tirage. Elle accepte la permutation seulement si ses quatre lignes sont permises. Exactement six le sont : la chance de réussite d'un essai vaut donc un quart. Chacune des six listes possède une chance un vingt-quatrième avant le contrôle. Après une réussite, la probabilité de chacune devient un vingt-quatrième divisé par un quart, soit un sixième. Le refus d'une permutation entière uniforme ne conserve pas les biais du premier tirage ligne par ligne, dont les listes valables n'avaient pas toutes la même chance initiale.
Camille limite cette procédure à deux essais indépendants. Les deux peuvent échouer, avec une probabilité trois quarts fois trois quarts, soit neuf seizièmes. La chance de remettre une liste dans ce budget vaut sept seizièmes. Nora garde donc une sortie sans liste après les deux refus. Elle ne poursuit pas silencieusement jusqu'à une réussite en présentant le même maximum de deux. Lorsqu'une liste est remise dans ce budget, les six résultats restent équiprobables par symétrie de chaque essai et du choix de la première réussite ; cette propriété conditionnelle ne supprime pas la probabilité réelle de ne rien remettre.
Sans plafond d'essais, le nombre moyen avant réussite vaut quatre dans ce modèle indépendant. Nora peut obtenir ce compte en additionnant les probabilités de devoir encore tenter un essai : un, trois quarts, puis les puissances suivantes de trois quarts. Leur somme vaut quatre. Ce nombre n'est pas une limite de quatre essais pour chaque réalisation. Camille choisit finalement le rang direct lorsqu'elle exige une liste après un seul tirage abstrait disponible. Elle garde la permutation refusée comme autre procédé, dont l'égalité des chances n'entraînait pas la même promesse de nombre d'essais.
Fixer une ligne modifie les comptes avant le prochain tirage
Camille crée enfin une nouvelle demande : B doit recevoir un. Les deux listes permises restantes sont 2134 et 2143. A reçoit nécessairement deux ; C et D se partagent trois et quatre. Nora tire chacune des deux avec une moitié. Elle ne conserve pas un sixième comme probabilité finale de leur remise : ce chiffre appartenait au tirage parmi les six avant que la ligne soit fixée. Dans cette ancienne loi, l'événement B à un avait une chance deux sixièmes, soit un tiers. Conditionner sur cet événement partage maintenant cette chance totale entre ses deux seules réalisations.
Dans une autre demande, B ne doit au contraire jamais recevoir un. Quatre listes restent, 1324, 1423, 2314 et 2413. Deux commencent par A à un, deux par A à deux : le premier tirage pondéré redevient une moitié pour chaque place d'A. Nora recalcule ensuite les continuations, plutôt que garder deux tiers pour A à deux depuis l'ancienne préparation à six listes. Camille reçoit une des quatre listes avec une chance un quart. Ce choix n'attribue pas une préférence nouvelle à B ; il ajoute une interdiction explicite dans les permissions du nouveau tirage.
Demander une égalité différente à chaque carte peut être impossible ensemble
Camille repart des permissions initiales et veut désormais que chaque carte obtienne chacune de ses places permises avec la même chance. A devrait recevoir un avec une moitié, B avec un tiers, C avec un quart ; D ne peut pas le recevoir. Pourtant, dans toute liste complète, exactement une carte reçoit la place un. La somme des probabilités de ces événements doit donc être un : les événements sont disjoints et leur réunion couvre toutes les listes. La demande de Camille imposerait une moitié plus un tiers plus un quart, soit treize douzièmes. Nora refuse cette demande commune. Aucun changement dans l'ordre des tirages ou dans leurs comptes ne fera occuper une place exactement une fois avec une somme de chances supérieure à un.
Pour une autre remise, Camille adopte les chances individuelles réellement issues des six listes uniformes. La place un va à A dans deux listes, à B dans deux, à C dans deux : chacun obtient un tiers pour cette place et D zéro. Leur somme vaut un. A reçoit deux dans les quatre autres listes, soit deux tiers ; cela confirme pourquoi sa chance individuelle n'était pas une moitié. Nora lui remet 2314 comme réalisation possible de cette loi, avec une seule carte en place un, C. Elle conserve les trois tiers comme probabilités d'autres réalisations, sans essayer de faire occuper simultanément cette place par trois cartes pour matérialiser leurs chances sur une seule feuille.
Les cartes demeurent quatre noms dans un exercice de papier. Nora a choisi ce qui devait être uniforme, les permissions et la limite d'essais, puis rempli une remise correspondant à ces choix. Les pages de papeterie ne certifient aucune qualité de tirage matériel. Une liste permise, une procédure qui trouve toujours une liste et une loi donnant la même chance à toutes les listes sont trois résultats distincts. Le dossier garde leurs comptes propres, sans appeler hasard uniforme la simple absence d'une préférence écrite dans chaque petite décision.