Après dîner, Nora prépare un petit jeu où attendre peut aider à choisir, mais aussi faire perdre la carte recherchée. Elle ne prend qu’une carte parmi quatre présentations successives. Une carte refusée ne peut plus être reprise. Elle souhaite comparer deux manières de décider : prendre la première qui améliore ce qu’elle a déjà vu, ou attendre davantage avant d’accepter une amélioration. Nous remplissons le jeu sur papier pour départager ces propositions, sans lui prêter une intuition mesurée auprès de convives.
Les quatre cartes ont des rangs tous différents dans un classement entièrement créé. Nous appelons ces rangs un, deux, trois et quatre pour vérifier les cas ; quatre est le plus haut. Nora ne voit jamais ces numéros. À chaque présentation, elle reçoit seulement le classement relatif des cartes déjà présentées. Elle peut donc reconnaître une amélioration, mais ne connaît ni le rang absolu de la carte présente ni ceux des cartes futures. Les vingt-quatre ordres des quatre rangs sont équiprobables. Ces chances sont une règle du modèle, pas le résultat d’un mélange réel observé.
Gibsons présente des cartes à jouer.
AMIGO présente des jeux de cartes.
Ravensburger présente des jeux de cartes.
Ces pages ont été lues textuellement pour leurs seules catégories. Elles ne fournissent pas notre classement, notre règle de révélation ou le calcul suivant. Aucun jeu commercial n’est décrit et aucune image n’a été examinée. Nos cartes servent à poser une décision finie, sans pari, achat, évaluation de personnes ou comparaison de matériel. L’arrêt optimal est un problème classique ; nous n’en revendiquons pas l’invention.
Un rang connu parmi trois ne donne pas le rang parmi quatre
Nora souhaite d’abord obtenir la plus haute des quatre cartes, et seulement celle-là. Une carte de rang trois serait donc un échec pour ce premier objectif. Lorsqu’elle accepte, le jeu se ferme. Si elle refuse les trois premières, la quatrième lui revient obligatoirement. Nous ne lui donnons ni possibilité de regarder cette dernière avant son tour ni carte supplémentaire pour réparer un mauvais choix. Il faut comparer les décisions depuis les renseignements disponibles à chacune de ces étapes.
Commençons par la troisième présentation, lorsque Nora a refusé les deux premières. Si la troisième est meilleure que les deux autres, elle est la meilleure des trois cartes vues. Les ensembles possibles de trois rangs sont un-deux-trois, un-deux-quatre, un-trois-quatre et deux-trois-quatre. Dans trois de ces quatre ensembles, leur meilleur rang est quatre. Dans le premier seulement, quatre reste à venir. Pour chaque ordre relatif précis annoncé à Nora, ces quatre ensembles donnent chacun un ordre compatible, de même poids. Accepter la troisième amélioration réussit donc dans trois cas sur quatre.
La carte restant à venir est la meilleure dans un cas sur quatre. Nora accepte donc la troisième lorsqu’elle dépasse les deux précédentes : trois quarts est supérieur à un quart. Cette comparaison tient compte du classement des cartes vues, au lieu de répartir arbitrairement la victoire entre la carte présente et la carte cachée. Le fait qu’il reste deux décisions matérielles possibles, accepter ou continuer, ne leur donne pas la même chance de fournir le rang quatre. Nora ferme effectivement la branche sur la carte présente, sans demander un aperçu du quatrième rang pour confirmer son choix.
Si la troisième n’est pas la meilleure des trois vues, l’accepter ne peut pas gagner selon l’objectif initial. Une carte déjà refusée la dépasse ; elle ne peut donc pas être la plus haute des quatre. Continuer laisse encore un cas gagnant sur les quatre ensembles compatibles : celui où la quatrième est de rang quatre. Nora continue alors, même si la troisième a amélioré la deuxième. Elle corrige une fiche qui disait « prendre toute amélioration sur la carte précédente ». Dans l’ordre relatif où la première dépasse la troisième et la troisième dépasse la deuxième, cette amélioration locale ne constitue pas un nouveau meilleur rang parmi les cartes vues.
Nous choisissons pour cette dernière situation l’ordre complet trois-un-deux-quatre, uniquement pour notre vérification. Après trois présentations, Nora sait que la première est la meilleure et la deuxième la moins haute des trois. Elle ne sait pas que ces cartes portent les rangs trois, un et deux. Sa règle refuse la troisième, qui n’est pas un meilleur rang parmi les cartes vues, puis reçoit la quatrième. Le résultat final est quatre. Le choix aurait été le même dans l’ordre compatible quatre-un-deux-trois, avec un résultat perdant : l’information reçue après trois cartes ne distinguait pas encore ces deux ordres complets.
Revenir à la deuxième décision avec une poursuite déjà définie
À la deuxième présentation, Nora doit maintenant comparer l’acceptation avec cette conduite précise pour la suite. Nous supposons d’abord que la deuxième carte dépasse la première. Les deux rangs vus forment l’une de six paires : un-deux, un-trois, un-quatre, deux-trois, deux-quatre ou trois-quatre. Dans chaque paire, le plus haut est présenté en deuxième position. Les deux rangs encore cachés peuvent ensuite apparaître dans deux ordres. Douze ordres complets restent donc compatibles avec le renseignement reçu.
Dans les trois paires contenant quatre, la deuxième carte est quatre. Accepter gagne dans six des douze ordres, soit une moitié. Nora ne remplace pas cette moitié par trois quarts, qui concernait une carte meilleure que deux autres après trois présentations. La deuxième n’a encore dépassé qu’une carte. La troisième observation qui pourrait renforcer son classement n’est pas disponible lorsque Nora doit décider si elle garde la deuxième. Le calcul d’acceptation porte sur les six paires actuellement possibles, et non sur le meilleur classement qu’elle pourrait découvrir plus tard.
Si elle refuse cette deuxième amélioration, la troisième sera la meilleure des trois vues avec une chance d’un tiers. Nora l’acceptera dans ce cas, avec une chance conditionnelle de victoire de trois quarts. Dans les deux autres cas sur trois, elle refusera la troisième et prendra la quatrième, dont la chance conditionnelle de victoire sera un quart. La poursuite vaut donc un tiers de trois quarts, plus deux tiers d’un quart : cinq douzièmes. Les chances de ces deux situations découlent des insertions possibles du troisième rang dans le classement des deux premières cartes ; chacune des trois places relatives reçoit le même poids.
Nora choisit la deuxième amélioration : une moitié dépasse cinq douzièmes. Attendre ne peut pas être présenté comme une amélioration automatique sous prétexte qu’une troisième carte fournirait davantage d’information. Cette information supplémentaire arrive après le refus irrévocable d’une carte qui pouvait déjà être la meilleure. La poursuite offre une meilleure reconnaissance si la troisième est un nouveau maximum, mais elle ne rend pas disponibles les cartes perdues entre-temps. La comparaison met ces deux effets dans la même valeur de cinq douzièmes, au lieu de compter seulement l’information que l’attente ajouterait.
Si la deuxième est inférieure à la première, son acceptation vaut zéro pour l’objectif du rang quatre. La poursuite retrouve les mêmes trois places relatives possibles pour la troisième et vaut encore cinq douzièmes. Nora refuse donc cette deuxième carte. Elle peut conserver le classement déjà annoncé pour reconnaître ensuite un nouveau maximum ; elle ne remet pas le compteur à zéro en comparant seulement les deux cartes les plus récentes. La règle retenue garde ainsi une frontière constante, le meilleur rang déjà vu, mais des raisons différentes pour l’acceptation et le refus à la deuxième étape.
À la première présentation, accepter gagnerait dans six des vingt-quatre ordres, une chance sur quatre. Refuser donne ensuite deux renseignements de même chance : la deuxième dépasse la première, ou elle lui est inférieure. Avec les décisions que Nora vient de vérifier, la première situation vaut une moitié et la seconde cinq douzièmes. Leur moyenne est onze vingt-quatrièmes. Nora refuse donc la première, puis prend la première carte qui devient la meilleure de toutes celles vues, en conservant la quatrième obligatoire si aucune amélioration n’a été acceptée. Elle a obtenu cette règle en remontant les décisions de la fin vers le début.
Vérifier les victoires par la place du meilleur rang
Nora souhaite contrôler onze vingt-quatrièmes autrement que par cette remontée. Nous partageons les vingt-quatre ordres selon la position du rang quatre. Chaque position en possède six. Si quatre arrive en premier, sa règle le refuse et perd dans les six ordres. S’il arrive en deuxième, il dépasse toujours la première carte ; sa règle le prend et gagne dans les six. Ces douze ordres fixent déjà deux conséquences opposées de la première observation : elle permet une référence, mais elle peut aussi être le meilleur rang qui ne reviendra pas.
Si quatre arrive en troisième, Nora ne l’atteint que si elle n’a pas accepté la deuxième. Cela demande que la première dépasse la deuxième. Parmi les six ordres des trois autres rangs, cette relation se produit trois fois. Sa règle gagne donc dans trois des six ordres de ce groupe. Elle perd dans les trois autres, parce que la deuxième avait constitué une amélioration sur la première et avait été acceptée. Nora n’accuse pas alors sa décision finale d’avoir mal reconnu quatre : la partie était déjà fermée avant cette troisième présentation.
Si quatre arrive en quatrième, Nora doit avoir refusé les deux cartes intermédiaires. La première doit donc dépasser chacune d’elles. Parmi les rangs un, deux et trois placés dans les trois premières positions, cela impose trois en première position ; un et deux peuvent ensuite apparaître dans les deux ordres. Sa règle gagne dans deux des six ordres de ce groupe. Les six victoires en deuxième position, trois en troisième et deux en quatrième donnent onze victoires sur vingt-quatre. Le contrôle conserve les cartes qui provoquent réellement l’arrêt, plutôt que d’attribuer la victoire à toute présence tardive de quatre.
Nous comparons maintenant la proposition d’attendre deux cartes avant d’accepter un nouveau maximum. Si quatre vient en troisième, elle le prend dans les six ordres. S’il vient en quatrième, elle le reçoit seulement lorsque la troisième n’a pas dépassé les deux premières. Parmi les six ordres des rangs un, deux et trois, quatre satisfont cette dernière condition. La proposition gagne donc dix fois sur vingt-quatre. Elle protège mieux contre une acceptation trop tôt lorsque quatre vient en troisième, mais perd toutes les victoires où quatre était deuxième. Nora conserve l’attente d’une seule carte, dont les onze victoires dépassent ces dix.
Nora ne présente toutefois pas cette comparaison entre deux attentes comme la preuve complète du meilleur choix. Une règle aurait pu dépendre de tous les classements reçus, plutôt que d’un nombre de cartes refusées au départ. La remontée précédente a examiné précisément les décisions possibles après chaque classement pertinent : accepter ou refuser, jusqu’à la quatrième imposée. Les autres ordres des trois cartes vues ne modifient pas la comparaison entre la troisième et la quatrième pour chercher le rang quatre. C’est cette comparaison exhaustive des décisions conditionnelles qui justifie la règle, tandis que le décompte par position en contrôle la valeur.
Chercher l’un des deux meilleurs change une décision intermédiaire
Une autre fiche accepte comme victoire le rang trois aussi bien que le rang quatre. Les vingt-quatre ordres et les renseignements restent identiques. À la troisième présentation, une carte meilleure que les deux précédentes est nécessairement de rang trois ou quatre. L’accepter gagne maintenant avec certitude. Prendre la quatrième ne réussit que dans deux des quatre ensembles de trois rangs compatibles, soit une moitié. Nora conserve l’acceptation du nouveau maximum à cette étape, mais avec une valeur différente, que la première fiche ne pouvait pas lui donner.
Lorsque la troisième est la moins haute des trois vues, elle peut seulement être de rang un ou deux et son acceptation perd. Nora continue : la quatrième atteint l’un des deux meilleurs rangs avec une chance sur deux. Lorsque la troisième est au milieu du classement vu, elle est de rang trois dans deux des quatre ensembles compatibles, et de rang deux dans les deux autres. L’accepter vaut alors une moitié, exactement comme continuer. Nora peut donc accepter cette carte intermédiaire sans dégrader sa chance selon le nouvel objectif. La première fiche l’aurait obligatoirement refusée pour chercher quatre seul.
Nous remplissons cette possibilité avec l’ordre complet quatre-un-trois-deux. Le renseignement reçu indique que la première dépasse la troisième, qui dépasse la deuxième. Nora accepte la troisième avec la nouvelle fiche et reçoit trois, une victoire. Dans l’ordre compatible trois-un-deux-quatre, la même décision donnerait deux et perdrait. Prendre la quatrième aurait inversé ces deux résultats, sans départager leurs chances avant sa révélation. Le choix au milieu laisse donc réellement deux issues de chaque côté, plutôt qu’une carte dont Nora connaîtrait déjà le rang trois.
Nora choisit d’accepter ce rang intermédiaire à la troisième présentation lorsqu’elle le rencontre. Ce choix entre deux valeurs égales lui permet de fermer le jeu un passage plus tôt, sans nouvelle promesse sur l’identité de la carte. À la deuxième présentation, une amélioration sur la première atteint trois ou quatre pour cinq des six paires possibles, soit cinq sixièmes. La poursuite optimale vaut deux tiers : la troisième pourra être maximum, milieu ou minimum, avec des valeurs respectives d’un, d’une moitié et d’une moitié. Nora garde donc la deuxième amélioration et refuse une deuxième carte inférieure, dont la chance de victoire immédiate n’est qu’un sixième.
Refuser la première vaut maintenant la moyenne de cinq sixièmes et deux tiers, soit trois quarts ; l’accepter vaudrait une moitié. La nouvelle fiche conserve donc le refus initial. Elle donne pourtant à Nora une permission supplémentaire de fermer à la troisième carte du milieu. Deux objectifs peuvent produire le même début de conduite et diverger à un classement plus tardif. Nora conserve la permission de cette deuxième fiche seulement auprès de la recherche des deux meilleurs rangs. Elle ne l’ajoute pas au jeu qui demandait exclusivement quatre en annonçant que son début ressemblait au nouveau jeu.
Une pénalité de refus peut renverser le choix initial
Revenons à la recherche du rang quatre seul. Nous créons un barème différent : une victoire rapporte un point, un échec zéro, et chaque refus retire une quantité fixée de points. Cette quantité est une pénalité de notre feuille, sans argent, durée réelle mesurée ni fatigue attribuée à Nora. Elle cherche désormais la plus grande moyenne de points après déduction. Nous comparons des pénalités assez petites pour que refuser à la troisième carte inférieure reste préférable à l’accepter ; la comparaison initiale ne peut pas ignorer les refus nécessaires pour parvenir jusque-là.
La règle sans pénalité s’arrête sur la deuxième carte dans douze ordres, sur la troisième dans quatre, et sur la quatrième dans huit. Elle a donc effectué un refus dans la moitié des parties, deux dans un sixième, trois dans un tiers. Son nombre moyen de refus vaut onze sixièmes. Avec une pénalité c par refus, sa moyenne devient onze vingt-quatrièmes moins onze sixièmes de c. Prendre la première conserve une moyenne d’un quart et ne paie aucun refus. Nora compare ces deux valeurs plutôt que de retirer c une seule fois à toute la stratégie, ce qui aurait ignoré ses arrêts plus tardifs.
Cette comparaison atteint l’égalité pour c égal à cinq quarante-quatrièmes. Pour vérifier que les décisions intermédiaires restent valables près de cette frontière, Nora reprend la troisième présentation. Un maximum vu donne trois quarts à l’acceptation et un quart moins c à la poursuite ; elle l’accepte. Une troisième carte inférieure donne zéro à l’acceptation et un quart moins c à la poursuite ; elle continue tant que c est inférieur à un quart. Les pénalités d’un douzième et d’un huitième que nous allons employer satisfont toutes deux cette condition. Le dernier refus conserve donc son sens dans les deux feuilles comparées.
À la deuxième présentation, continuer donne cinq douzièmes avant la pénalité. Il faudra refuser la deuxième, puis aussi la troisième dans deux cas sur trois. La charge supplémentaire moyenne est donc cinq tiers de c. Une deuxième amélioration garde sa valeur d’une moitié à l’acceptation, supérieure à cinq douzièmes moins cinq tiers de c. Une deuxième carte inférieure garde zéro, inférieur à cette poursuite pour nos deux pénalités. Les mêmes décisions intermédiaires demeurent ainsi les meilleures. La frontière cinq quarante-quatrièmes compare bien prendre la première avec une suite optimalement conduite ; elle ne repose pas sur une ancienne règle devenue inadéquate après le changement de score.
Avec c égal à un douzième, continuer après la première donne onze trente-sixièmes, davantage qu’un quart. Nora garde le refus initial. Avec c égal à un huitième, la valeur tombe à onze quarante-huitièmes, moins qu’un quart : elle prend alors la première. Nous stipulons pour cette seconde feuille l’ordre complet deux-quatre-un-trois. La première carte acceptée est deux, donc le résultat réalisé perd. Nora ne remplace pas son choix par quatre après avoir vu notre contrôle complet. Le barème lui faisait préférer une moyenne d’un quart à onze quarante-huitièmes avant les révélations suivantes, sans lui promettre la victoire de cette réalisation.
À la valeur frontière de cinq quarante-quatrièmes, prendre la première et poursuivre donnent exactement la même moyenne d’un quart. Nora retient alors l’acceptation immédiate, puisque les deux satisfont le critère de points et que cette fiche choisit, parmi les égalités, l’arrêt le plus tôt. Ce choix ne transforme pas les résultats des deux conduites en résultats identiques. L’une ne refuse aucune carte et gagne six fois sur vingt-quatre ; l’autre refuse en moyenne onze sixièmes de cartes et gagne onze fois. L’égalité concerne leurs points moyens après la pénalité précise, pas leurs nombres de victoires ou de passages.
Nora conserve finalement trois fiches : chercher quatre sans pénalité, chercher trois ou quatre, et chercher quatre avec la pénalité d’un huitième. Chacune indique ce qu’elle peut savoir à chaque présentation et l’action retenue depuis ce renseignement. Les fournisseurs consultés n’attestent aucun de ces résultats. Les rangs complets restent notre instrument de vérification, distinct de ce que Nora reçoit pour choisir. Une décision peut ainsi être justifiée par les cas disponibles sans être réécrite après la dernière carte ni annoncée comme la promesse d’un gain dans une partie réelle.