Nora prépare huit gestes sur une feuille de service. S signifie sortir un objet de la réserve ; R signifie rendre un objet déjà sorti. Quatre sorties et quatre retours doivent être inscrits. Camille sait que les comptes finaux s’équilibrent, mais Nora demande aussi qu’aucun retour ne précède la sortie de l’objet qu’il rend possible. Nous ne suivons pas ici des noms d’objets distincts : la feuille indique combien demeurent dehors après chaque geste, sans préciser lequel doit être rendu d’abord.
Les objets et les gestes sont entièrement construits. Nous n’examinons ni matériel, ni durée, ni nettoyage, ni capacité d’un service réel. Le nombre dehors vaut zéro au départ, augmente de un pour S, diminue de un pour R. Une suite admise le garde non négatif et finit à zéro. Le comptage de ces chemins est classique. Notre sélection et nos tirages sont des conventions explicites sur papier, sans relevé de probabilités observées.
Notice P1 du Met : catégorie Drawings.
Notice P2 du Met : catégorie Drawings.
Notice P3 du Met : catégorie Drawings.
Les notices sont citées pour leurs catégories textuelles ; aucune image, composition ou méthode d’artiste n’est reprise dans les gestes créés.
Le compte final ne garantit pas les étapes
Camille propose SRRSSSRR. La suite contient bien quatre S et quatre R, mais ses nombres successifs dehors commencent par un, zéro, moins un. Le troisième geste voudrait rendre ce qui n’est pas sorti. Nora refuse cette feuille, même si les sorties suivantes rétablissent un total final nul. Elle conserve la position précise du premier défaut et ne décale pas le retour vers la fin sans l’autorisation d’une nouvelle suite. L’égalité finale des nombres de lettres ne certifie donc pas la réalisation de ces huit gestes dans leur ordre donné.
Elle remet plutôt SSRSRSRR. Les nombres dehors sont un, deux, un, deux, un, deux, un, zéro. Chaque retour trouve au moins un objet sorti et le dernier ferme la préparation. Nora garde cet ordre. Le relevé ne prétend pas que le deuxième objet sorti revient avant le premier : aucune règle de nom ou d’empilement n’a été donnée. Le contrôle porte sur la possibilité d’un retour, pas sur une origine particulière. Cette distinction reste une mise en place ; notre décision principale va compter et choisir les suites, sans reprendre une méthode de retour à des notes nommées.
Pour compter toutes les feuilles équilibrées, Camille choisit les quatre places de S parmi huit. Il existe soixante-dix choix. Nora refuse de les appeler tous réalisables : la première feuille fautive appartient précisément à ce groupe. Elle veut retirer celles qui passent sous zéro, sans éliminer deux fois une feuille qui descendrait sous zéro à plusieurs étapes. La position du premier passage à moins un lui fournit une frontière déterminée sur chaque feuille fautive. Les baisses ultérieures n’ouvrent pas des retraits supplémentaires de la même feuille.
Sur la feuille SRRSSSRR, le premier passage à moins un finit au troisième geste, après SRR. Nora échange S et R dans ce seul début : SRR devient RSS, donnant RSSSSSRR. La feuille transformée compte cinq S et trois R. Chaque feuille équilibrée fautive possède ainsi un début avec un retour de plus que de sorties ; l’échange y donne une sortie de plus, tandis que la suite conservée ne change pas. Camille ne retourne pas les huit signes entiers, opération qui garderait quatre de chaque et perdrait le repère utilisé pour le retrait.
Dans le sens inverse, une feuille comportant cinq S et trois R finit à deux et atteint nécessairement un pour la première fois. Nora échange ses signes jusqu’à cette première arrivée à un. Le début obtenu finit à moins un ; avant sa fin, il n’était jamais passé sous zéro. La feuille reconstituée possède quatre S et quatre R et son premier défaut est exactement celui qu’il faut reprendre pour retrouver la transformation. Cette remise inverse certifie que deux anciennes feuilles ne sont pas fusionnées et qu’aucune feuille de cinq sorties n’est laissée sans origine fautive.
Il existe cinquante-six feuilles avec cinq places de S parmi huit. Elles correspondent donc aux cinquante-six fautives, chacune une seule fois. Nora garde soixante-dix moins cinquante-six, soit quatorze suites possibles. SSRSRSRR n’était qu’une réalisation ; ce calcul a borné la liste complète. Elle refuse désormais un catalogue de quinze suites différentes respectant toutes les prémisses. Il ne suffit pas de montrer que chacune finit à zéro : le premier passage sous zéro est le contrôle qui a séparé la liste admise du catalogue brut.
Deux objets dehors ne permettent pas toutes les quatorze suites
Nora reçoit une limite supplémentaire : jamais plus de deux objets dehors. Camille propose SSSSRRRR, qui fait sortir les quatre avant de les rendre. Ses niveaux un, deux, trois, quatre restent positifs mais dépassent deux dès le troisième geste. Nora retire cette proposition de la branche active. SSRSRSRR conserve au contraire le plafond deux, sans commencer tous les retours immédiatement. La nouvelle condition ne se confond ni avec l’équilibre final ni avec l’ancienne interdiction de niveaux négatifs : elle ferme maintenant le haut du domaine autorisé.
Nora découpe chaque suite qui respecte ce plafond aux moments où le nombre dehors revient à zéro. Entre deux de ces moments, la première sortie atteint un, et le dernier retour ramène de un à zéro. Au milieu, le niveau ne peut redescendre à zéro, sinon le morceau aurait déjà fini ; il ne peut monter au-dessus de deux. Il alterne donc nécessairement une sortie vers deux puis un retour vers un. Un morceau contenant trois sorties prend exactement la forme SSR SRR, c’est-à-dire SSRSRR sans espace. Nora ne conserve pas plusieurs ordres internes pour ce même nombre de sorties.
Il suffit ainsi d’indiquer combien de sorties appartient à chaque morceau, nombres positifs dont la somme vaut quatre. Le découpage un, trois donne SR suivi de SSRSRR, soit SRSSRSRR. Deux, deux donne SSRR suivi de SSRR. Quatre donne SSRSRSRR sans retour intermédiaire à zéro. Chaque découpage produit une suite autorisée, et les retours à zéro permettent de le retrouver. Camille ne compte pas deux fois SSRRSSRR en annonçant des frontières qui ne seraient pas des retours effectifs : les frontières des morceaux sont déterminées par la feuille reçue.
Entre quatre sorties rangées dans leur ordre, il existe trois intervalles où l’on peut décider de finir un morceau ou de continuer celui-ci. Les trois décisions indépendantes donnent huit découpages. Nora conserve donc huit suites sous le plafond deux. Elle en choisit la feuille SRSSRSRR : le premier objet revient complètement, puis trois nouvelles sorties s’organisent dans le second morceau sans que plus de deux soient dehors. La destinataire demandait explicitement un retour complet après la première sortie ; cette sélection le réalise, alors que la feuille sans frontière intermédiaire ne répondrait pas à sa demande.
Garder un objet dehors jusqu’à la fin choisit un autre sous-ensemble
Dans une branche distincte, Nora interdit maintenant tout retour complet à zéro avant le dernier geste. La préparation doit conserver au moins un objet dehors entre le premier et le dernier. Camille reprend SRSSRSRR ; Nora la retire, car son deuxième geste revient déjà à zéro. Cela ne rend pas la feuille impossible dans la branche précédente. Sa frontière après un objet est précisément ce que la nouvelle règle interdit. Nora ne supprime pas le deuxième R du relevé pour affirmer qu’elle aurait choisi dès l’origine une suite sans frontière.
Une suite répondant à cette demande commence par S et termine par R. En retirant ces deux signes, puis en considérant le nombre dehors diminué de un, Nora obtient une suite de trois sorties et trois retours qui ne passe pas sous zéro. Réciproquement, encadrer une telle suite par S puis R la garde strictement au-dessus de zéro jusqu’à la fin. Le même retrait par premier défaut donne vingt feuilles équilibrées de longueur six, quinze fautives, donc cinq autorisées. Nora sait ainsi que cinq des quatorze préparations initiales gardent un objet dehors jusqu’au dernier geste.
Elle remet SSSRSRRR dans cette branche. Ses niveaux un, deux, trois, deux, trois, deux, un, zéro ne ferment jamais toute la préparation avant la fin. Cette feuille ne respecte pourtant pas le plafond deux de l’autre commande. Nora refuse de lui attribuer les deux garanties en recopiant une limite auprès d’un résultat qui n’y répond pas. Si la destinataire demande simultanément plafond deux et absence de retour complet intermédiaire, le découpage étudié auparavant doit avoir un seul morceau de quatre sorties. L’ordre intérieur de ce morceau était déterminé : SSRSRSRR est la seule suite commune aux deux exigences.
Nora choisit finalement cette dernière feuille sous les deux limites. Elle retire les quatre autres suites sans frontière du catalogue actif, sans les appeler fautives sous leurs propres prémisses. Le nombre un désigne ici une intersection de deux sélections, pas un facteur obtenu en multipliant cinq sur quatorze par huit sur quatorze. Les deux propriétés ne sont pas annoncées indépendantes. La remise conserve les huit suites à faible hauteur, les cinq sans fermeture intermédiaire et l’unique suite qu’elles partagent, chacune avec la condition qui la justifie.
Un choix équitable à chaque geste peut favoriser des feuilles entières
Nora revient aux quatorze suites initiales, sans plafond deux et avec les retours intermédiaires autorisés. Elle veut donner à chacune la même chance dans une convention de tirage. Camille propose de choisir S ou R par moitié chaque fois que les deux sont possibles, et de faire le seul geste autorisé sinon. S est interdit lorsque quatre sorties ont déjà été faites ; R est interdit lorsque le nombre dehors vaut zéro. Cette règle produit toujours une feuille admise. Nora vérifie pourtant si elle donne bien une chance égale à chacune des quatorze, comme sa demande le stipule.
Pour SSSSRRRR, le premier S est forcé. Les trois S suivants doivent gagner trois choix successifs à deux issues, puis les quatre retours sont forcés, car toutes les sorties sont déjà réalisées. La chance de cette feuille vaut un huitième. Pour SSRSRSRR, les choix des gestes deux, trois, quatre, cinq et six sont chacun à deux issues ; le premier S et les deux derniers R sont forcés. Sa chance vaut un trente-deuxième. Nora conserve les deux parcours avec leur nombre de décisions réelles. Les huit lettres de chaque feuille ne fournissaient pas huit choix à deux issues.
Camille retire donc « toutes les feuilles ont une chance sur quatorze » de sa règle moitié-moitié. La première de ces deux suites y serait quatre fois plus fréquente que la seconde. La correction ne consiste pas à interdire SSSSRRRR : cette feuille est encore autorisée dans la branche actuelle. Nora veut changer les chances de construction pour la garder sans la favoriser. Elle compte alors les fins possibles depuis chaque début, plutôt que les seuls gestes immédiatement permis. Un début avec beaucoup de fins ne reçoit pas le même poids qu’un autre simplement parce qu’ils offrent tous deux une prochaine action.
Après le premier S, neuf fins commencent par un autre S, cinq par R. Nora attribue donc neuf sur quatorze à S et cinq sur quatorze à R à cette étape. Après SS, quatre fins commencent par S, cinq par R, pour un total neuf. Elle utilise quatre neuvièmes et cinq neuvièmes dans ce début-là. Elle ne recopie pas neuf quatorzièmes à toutes les positions : les ensembles de fins ont changé. Les branches interdites reçoivent zéro, et une branche qui serait seule reçoit un. Ce sont les nombres de feuilles complètes encore accessibles qui dirigent chaque partage.
Dans un parcours terminé, ces fractions se simplifient successivement. Le nombre de fins après le geste choisi apparaît au numérateur d’un choix puis au dénominateur du suivant ; la dernière feuille complète possède une seule fin. Le produit donne un sur quatorze pour chaque feuille, y compris celles dont les longueurs de choix forcés diffèrent. Nora peut aussi réaliser cette convention en tirant un numéro parmi quatorze également possibles, puis en répartissant les numéros en blocs selon les fins. Elle n’a pas besoin de tirer de nouveaux numéros indépendants pour donner à la feuille une chance différente après chaque préfixe.
Camille reçoit dans notre scène créée le numéro treize. Les neuf premiers numéros commencent par SS ; les cinq derniers par SR. Treize entre donc dans le second groupe, à sa quatrième place. Les cinq fins après SR, dans l’ordre S avant R, sont SSSRRR, SSRSRR, SSRRSR, SRSSRR et SRSRSR. La quatrième est SRSSRR. Nora remet SR suivi de SRSSRR, soit SRSRSSRR. Ses niveaux un, zéro, un, zéro, un, deux, un, zéro sont admis. Le numéro treize était stipulé pour remplir la remise ; il n’est pas un tirage effectivement réalisé avec un appareil ni une fréquence expérimentale.
Tourner une feuille bouclée ne donne pas toujours une origine unique
Une nouvelle proposition donne les huit gestes en cercle, avec quatre S et quatre R. Nora doit choisir une coupure marquée pour les lire en ligne depuis un état initial zéro. Une coupure représente l’un des huit emplacements, même lorsque plusieurs produisent la même suite de lettres. Camille affirme d’abord que toute origine convient puisque le bilan du cercle est nul. Nora refuse : choisir une origine juste avant un R ferait descendre immédiatement sous zéro. Elle conserve les emplacements comme objets à contrôler, avant de les confondre avec les suites imprimées qu’ils produisent.
Sur le cercle SSSRRRSR, les niveaux de la lecture commençant avant le premier S reviennent à zéro après les gestes six et huit. Parmi les huit coupures, seules celles avant les positions un et sept donnent une lecture qui ne descend pas sous zéro. Elles produisent respectivement SSSRRRSR et SRSSSRRR. Nora remet la seconde lorsque la demande veut un retour complet dès le deuxième geste ; la première ne le fait qu’au sixième. La correction a choisi une origine sur les mêmes gestes, pas ajouté des sorties ou remplacé un retour par une action différente.
Pour trouver ces origines sans supposer la réponse, Nora calcule les niveaux cumulés autour d’une lecture du cercle et choisit un emplacement où ce cumul est minimal. Après cette coupure, aucune différence de cumul ne devient négative ; au passage de la fin au début, le total nul du cercle conserve cette propriété. Dans le premier cercle, le minimum zéro appartient aux deux coupures décrites. Nora ne dit pas que le procédé aurait produit une origine unique : il garantit la possibilité d’une lecture, et le relevé des minima dit combien d’emplacements la donnent dans ce cercle précis.
Le cercle alterné SRSRSRSR possède quatre emplacements minimaux. Les quatre lectures admises y donnent pourtant la même chaîne de lettres, parce que le motif SR se répète. Camille retire le compte « quatre préparations différentes » et garde quatre coupures marquées pour une même préparation imprimée. Sur SSRSRSRR, seul le départ avant le premier S est minimal, donc une seule des huit coupures convient. Tirer une coupure au hasard et n’accepter que les lectures admises ne présente ainsi ni la même proportion de réussite sur les trois cercles, ni automatiquement un tirage uniforme des quatorze feuilles du premier catalogue.
La dernière remise conserve SRSRSSRR sous la convention uniforme des quatorze suites, et SSRSRSRR sous la commande plafond deux sans fermeture intermédiaire. Les deux ne sont pas les deux résultats d’un même tirage. Le dossier joint les niveaux, les ensembles de fins et les coupures marquées aux demandes qui les emploient, sans changer rétroactivement les gestes déjà stipulés.
Les catégories des notices citées ne fournissent ni ces suites ni leurs probabilités ; elles demeurent les seules relations documentaires retenues.
Une sortie promise avant le choix restreint les fins utilisables
Une dernière branche repart des quatre sorties et quatre retours, sans plafond deux. Nora a pris une promesse supplémentaire avant de choisir la feuille : le quatrième geste doit être S. Cette place est fixée, pas seulement le nombre final de sorties. Les autres places restent à choisir et les niveaux ne doivent jamais devenir négatifs. Nora souhaite encore une sélection uniforme, mais seulement parmi les feuilles qui réalisent la promesse. Nous ne présentons cette condition ni comme une disponibilité matérielle observée ni comme une modification reçue après les premiers gestes.
Camille réutilise les poids neuf quatorzièmes pour un deuxième S et cinq quatorzièmes pour R. Nora recompte les fins qui conservent le quatrième S : quatre commencent par SS, trois par SR, pour sept feuilles au total. Elle remplace les deux poids par quatre septièmes et trois septièmes. La branche SS n’a pas conservé neuf fins auxquelles on pourrait simplement joindre une promesse ; cinq de ses anciennes fins plaçaient un retour au quatrième geste. Après SS, un troisième S n’admet plus que SSSSRRRR, car le quatrième doit encore sortir le dernier objet. Un troisième R admet trois fins, SSRSSRRR, SSRSRSRR et SSRSRRSR. Le partage suivant devient donc un quart contre trois quarts. Nora conserve les anciennes valeurs dans la feuille sans promesse, mais les retire de cette sélection contrainte avant d’en tirer un résultat.
Camille reçoit maintenant le numéro cinq parmi sept également possibles. Les quatre premières places désignent les fins SS, les trois autres les fins SR ; cinq entre dans la première de ces trois dernières. Après SR, le troisième geste est nécessairement S, puisque le nombre dehors est zéro, puis la promesse fixe également S au quatrième. Les trois feuilles restantes sont SRSSSRRR, SRSSRSRR et SRSSRRSR. La première, choisie ici, sort encore un objet au cinquième geste puis accomplit les trois retours. Nora remet SRSSSRRR avec ses niveaux un, zéro, un, deux, trois, deux, un, zéro. Le quatrième geste S est réalisé dans cette feuille, et non ajouté dans sa légende. Elle ne lui attribue pas le plafond deux retiré de la branche ; cette décision a conservé la promesse de place, quatre sorties, quatre retours et la possibilité de chaque retour.
Une proposition différente conserve les anciens poids et, lorsqu’elle obtient SSSR en début, change le quatrième R en S pour réparer la promesse. Nora refuse de compter cette réparation comme le même tirage. Dans SSSRSRRR, elle produirait alors SSSSSRRR, soit cinq sorties et trois retours, qui finit à deux. Pour obtenir une feuille admissible, il faudrait également transformer un autre S en R ; ce deuxième changement pourrait diriger plusieurs feuilles anciennes vers une même nouvelle et modifier leurs chances. Nora choisit plutôt les sept fins autorisées avant la sélection. Le numéro cinq est ainsi associé à une seule des sept feuilles, sans réparation ultérieure de ses signes. La condition future agit sur les branches qui étaient accessibles avant le quatrième geste, et pas uniquement sur une vérification effectuée lorsqu’on atteint cette place.