Nora reçoit une fiche portant le reste huit après division par vingt-trois. La préparation a commencé à un et a multiplié le reste courant par cinq à chaque étape, en gardant seulement le nouveau reste. Le nombre d'étapes a disparu. Nous cherchons un entier entre zéro inclus et vingt-deux exclu, puis nous ouvrirons d'autres plages et d'autres permissions de multiplication. La fiche est fictive ; elle ne décrit aucun mot de passe, aucun système de sécurité ni une mesure de temps de calcul.
Les références suivantes fournissent seulement leurs catégories textuelles. Aucune image n'est examinée et aucun procédé artistique ne fixe les calculs de cette fiche.
P1 — https://www.metmuseum.org/art/collection/search/338250 : Drawings.
P2 — https://www.metmuseum.org/art/collection/search/338270 : Drawings.
P3 — https://www.metmuseum.org/art/collection/search/338280 : Prints.
Nous écrivons la commande comme cinq puissance x laissant huit modulo vingt-trois. x est désormais inconnu, alors que la base, le module et le reste final sont donnés. Calculer rapidement une puissance pour un exposant déjà connu ne résout pas cette commande à lui seul. On peut certes essayer tous les exposants autorisés et comparer leurs restes ; nous allons aussi remplir une recherche qui sépare chaque exposant en deux morceaux. Les calculs restent entiers et exacts, sans logarithme réel ni approximation d'une grande puissance.
Une rencontre entre deux relevés
Nora prépare d'abord cinq petites puissances, pour les exposants zéro à quatre : elles donnent les restes 1, 5, 2, 10 et 4. Elle conserve auprès de chaque reste l'exposant qui l'a produit. Elle calcule ensuite cinq puissance cinq, qui donne vingt. Pour retirer un bloc de cinq répétitions du reste reçu, il faut multiplier par l'inverse de vingt modulo vingt-trois. Cet inverse vaut quinze, car vingt fois quinze vaut trois cents, soit treize fois vingt-trois plus un. Le relevé qui part de huit et applique ce retrait donne huit, puis cinq, puis six, vingt et un, seize.
Le deuxième reste de ce dernier relevé est cinq. Il rencontre la petite puissance d'exposant un. Nora a retiré un bloc de cinq répétitions et retrouve encore une répétition : le nombre cherché est donc cinq plus un, six. Elle vérifie ensuite la commande reçue par une puissance directe : cinq au cube laisse dix, son carré laisse cent, donc huit après division par vingt-trois. Cette vérification relie la rencontre au reste final, plutôt que de prendre l'égalité de deux cases comme un certificat suffisant sous n'importe quelle convention de blocs. Le résultat proposé appartient aussi à la plage demandée.
La rencontre a une raison algébrique précise. Tout exposant entre zéro et vingt et un s'écrit cinq i plus j, où j est entre zéro et quatre. i est alors entre zéro et quatre, mais le dernier bloc ne contient que les exposants vingt et vingt et un. Si cinq puissance x vaut huit, retirer i blocs par l'inverse de cinq puissance cinq laisse cinq puissance j. Nora cherche donc le même reste sur les deux relevés. Réciproquement, une rencontre entre le retrait numéro i et la petite puissance numéro j donne bien la puissance d'exposant cinq i plus j, parce que l'inverse employé peut être annulé par la multiplication correspondante.
Cette explication couvre toutes les possibilités autorisées, pas seulement l'exposant six trouvé tôt. Chaque x de la plage possède son quotient i et son reste j dans la division par cinq ; la recherche examine donc son emplacement possible. Elle ne suppose pas que les cinq derniers restes du relevé de retrait soient tous distincts dans n'importe quel problème. Si plusieurs petits exposants donnaient le même reste, il faudrait garder chacun de leurs indices, ou justifier pourquoi on ne cherche qu'un représentant. Ici les cinq petits restes sont distincts, et la période entière de cinq modulo vingt-trois sera contrôlée séparément avant d'annoncer l'unicité.
La taille cinq équilibre les deux relevés pour cette plage de vingt-deux exposants : cinq petits exposants et cinq retraits couvrent au moins vingt-deux places. Nora ne lui attribue pas un record universel de nombre de multiplications. Produire le facteur de retrait, chercher dans une table ou vérifier une puissance ont aussi leurs opérations. Le contrôle rempli porte sur la couverture de la plage et le résultat retrouvé. Les deux relevés réorganisent une recherche finie ; ils ne promettent pas que toute base ou tout module permettront les mêmes inverses, ni que le nombre cinq devra servir de longueur de bloc pour une autre commande.
Le mauvais sens du pas donne une fausse remise
Paul prépare le second relevé avec vingt, le facteur direct, au lieu de quinze, son inverse. Depuis huit, il obtient 8, 22, 3, 14, 4. Au quatrième pas, le reste quatre rencontre la petite puissance d'exposant quatre. Paul annonce alors cinq fois quatre plus quatre, soit vingt-quatre. Sa vérification directe le refuse : cinq puissance vingt-quatre laisse deux, pas huit. Le fait que les deux cases portaient quatre était exact, mais le sens du déplacement était incompatible avec la formule qui additionnait les blocs retirés. Paul conserve ce relevé comme préparation refusée, sans changer le reste huit reçu pour rendre sa rencontre favorable.
On peut lire ce que ce relevé direct avait réellement trouvé. Après quatre blocs ajoutés, huit multiplié par cinq puissance vingt vaut cinq puissance quatre. Cela donne une relation où l'exposant recherché est congru à quatre moins vingt, et non quatre plus vingt. La différence vaut moins seize ; ramenée à la période vingt-deux, elle donne six. Le relevé erroné peut donc contenir une information utile, mais il ne produit pas la remise positive vingt-quatre annoncée par Paul. Nora garde la préparation par retraits pour sa commande ; elle inscrit séparément la relation signée qui expliquerait les pas directs. Elle ne mélange pas les deux formules au milieu de la recherche.
Une seconde branche montre pourquoi vérifier la puissance seule ne remplace pas le contrôle de plage. Si le reste reçu est deux, le relevé correct par retraits rencontre immédiatement la petite puissance d'exposant deux. Il peut aussi rencontrer, au retrait numéro quatre, la petite puissance numéro quatre et proposer vingt-quatre. Les deux exposants donnent effectivement le reste deux. Pourtant vingt-quatre ne fait pas partie de la plage zéro à vingt et un. Nora conserve deux et retire vingt-quatre de cette remise. Les trois cases supplémentaires couvertes par cinq blocs de cinq ne deviennent pas automatiquement des exposants autorisés ; le dernier bloc doit être filtré par la borne reçue.
Une période fixe la portée de l’unicité
Nora vérifie que cinq a une période vingt-deux. Sa puissance onze laisse vingt-deux, soit moins un, et sa puissance deux laisse deux, pas un. La puissance vingt-deux vaut un. Toute période plus petite divisant vingt-deux devrait donc être un, deux ou onze, et ces trois possibilités sont exclues. L'affirmation sur les diviseurs vient du retour à un : diviser vingt-deux par la période laisserait un reste qui serait encore un exposant de retour, contradictoire avec la minimalité de cette période si ce reste était positif. La plage de vingt-deux exposants contient ainsi une seule occurrence de chaque puissance de la base.
Pour la fiche huit, six est donc l'unique exposant de zéro à vingt et un. Si la commande recevait tous les exposants entiers positifs ou nuls, elle ne pourrait plus annoncer un unique nombre : six, vingt-huit, cinquante et les suivants donnent tous le même reste, espacés de vingt-deux. Nora écrit alors la classe six plus vingt-deux fois un entier positif ou nul. La différence entre ces remises n'est pas une erreur de recherche ; la donnée de plage a disparu dans la seconde commande. La fiche finale ne permet pas de déterminer combien de périodes complètes ont été exécutées avant son arrivée.
La commande suivante demande précisément un nombre entre vingt-cinq et trente inclus. Nora ne parcourt pas les blocs depuis zéro en oubliant cette nouvelle borne. Elle pose x égal à vingt-cinq plus y, avec y entre zéro et cinq. Comme cinq puissance vingt-cinq laisse dix et que l'inverse de dix vaut sept, le nouveau reste à chercher pour y est huit fois sept, soit dix. Elle choisit des blocs de trois pour les six possibilités de y. Les petites puissances sont 1, 5, 2 ; le retrait d'un bloc multiplie par sept, inverse de cinq puissance trois qui laisse dix.
Depuis le reste transformé dix, le premier retrait donne un. Il rencontre la petite puissance zéro : y vaut trois fois un plus zéro, trois, puis x vaut vingt-huit. Nora vérifie vingt-huit dans la fiche originale, où la puissance laisse huit. Elle n'annonce pas trois comme nombre d'étapes de la préparation reçue ; trois compte les répétitions au-delà de la borne vingt-cinq. Cette branche a réellement changé le reste sur lequel la recherche opère et la longueur des blocs, tout en conservant une conversion explicite vers l'exposant demandé. Si la plage avait été seulement huit à quinze, aucun membre de la classe six modulo vingt-deux n'y entrerait.
Une base peut n’atteindre qu’une partie des restes
Paul remplace maintenant cinq par quatre, tout en gardant le module vingt-trois. Nora dresse les puissances d'exposants zéro à dix : 1, 4, 16, 18, 3, 12, 2, 8, 9, 13, 6. Le produit suivant revient à un ; ces onze restes sont distincts. La base a donc une période onze, et non vingt-deux. La fiche huit admet l'exposant sept dans la plage zéro à dix. Dans une plage de vingt-deux exposants, elle en admet deux, sept et dix-huit. Nora retire une annonce d'unicité qui avait conservé la taille de plage de la base cinq sans refaire le contrôle de période pour la base quatre.
La fiche cinq ne possède en revanche aucun exposant pour cette base quatre. Cinq n'est pas dans les onze restes du relevé, et toute puissance suivante recommence ce cycle. Nora peut refuser la commande sans chercher une égalité dans des blocs supplémentaires. Elle vérifie aussi le défaut par la puissance onze de la cible : cinq puissance onze laisse vingt-deux, alors que toute puissance de quatre, élevée à onze, laisserait un. Ce contrôle est une impossibilité dans le sous-groupe parcouru par quatre ; il ne dit pas que cinq serait un reste interdit modulo vingt-trois en général. La première base de notre cahier l'atteignait dès sa première répétition.
La comparaison de deux tables de blocs n'exige pas que la base atteigne tous les restes non nuls. Elle exige que le reste reçu appartienne au parcours et que les exposants examinés couvrent la commande. Pour quatre, Nora peut employer des blocs de quatre sur une plage de onze exposants, conserver les petits indices et refuser les candidats hors plage. La période onze permet ensuite de traduire une solution en classe d'exposants. Elle ne force pas un représentant unique dans une plage plus longue. Paul retire donc sa procédure qui comptait toutes les rencontres comme de nouvelles solutions sans regarder leurs différences de onze ; plusieurs rencontres peuvent désigner la même classe, mais plusieurs représentants peuvent aussi être effectivement demandés.
Nora garde deux preuves différentes auprès des deux fiches. Pour huit, le calcul quatre puissance sept laissant huit fournit une solution et le relevé de période onze organise toutes les autres. Pour cinq, la liste complète des onze restes ou le défaut de la puissance onze prouve l'absence de solution. Une recherche dont les tables n'auraient pas été terminées pourrait seulement dire qu'elle n'a encore rien trouvé ; elle ne posséderait pas cette impossibilité. Le cahier indique donc la portion exhaustive utilisée dans le refus, plutôt que de donner la même mention « introuvable » à une table incomplète et à un reste effectivement extérieur au parcours entier.
Quand le retrait inverse n’existe plus
La dernière préparation multiplie par six et garde les restes modulo vingt-quatre. Six n'a pas d'inverse : tous ses produits sont divisibles par six et ne peuvent laisser un. Nora ne peut donc pas fabriquer le facteur de retrait comme pour les deux bases précédentes. Elle garde les premières puissances, qui donnent 1, 6, 12, 0, puis toujours 0. Le zéro final n'identifie pas un nombre unique de répétitions : trois, quatre, cinq et tous les exposants suivants le donnent. Le reste douze, au contraire, apparaît seulement à l'exposant deux. Ce parcours possède un début puis une queue constante ; l'ensemble des exposants donnant zéro ne forme pas la classe périodique complète que donnait huit dans le groupe précédent.
Pour comprendre douze sans tenter un inverse inexistant, Nora traite d'abord x égal à zéro, qui donnerait un et ne convient pas. Pour x au moins un, elle écrit six fois six puissance x moins un congru à douze modulo vingt-quatre. Cette congruence équivaut à six puissance x moins un congru à deux modulo quatre : elle divise simultanément le coefficient, le reste demandé et le module par leur facteur six. Modulo quatre, les puissances successives de six donnent 1, 2, 0, 0 et les suivants nuls. Le reste deux impose donc x moins un égal à un, soit x égal à deux. Le résultat rejoint la trace directe sous le module original.
Paul avait divisé seulement le coefficient six en conservant vingt-quatre comme module, ce qui transformait la commande en six puissance x moins un congru à deux modulo vingt-quatre. L'exposant x égal à deux ferait alors apparaître six à gauche, pas deux : cette transformation rejetterait une solution correcte de la commande reçue. Nora conserve le module quatre issu de la division entière de la divisibilité. En effet, vingt-quatre divise six fois une différence exactement quand quatre divise cette différence. Elle ne prétend pas annuler un facteur inversible ; le facteur n'est précisément pas inversible sous le module original. La justification de la division remplace donc le retrait qui avait échoué.
Pour la cible zéro, la même séparation commence encore par refuser x nul. Avec x au moins un, six puissance x moins un doit être nul modulo quatre. Cette condition commence à l'exposant réduit deux et demeure vraie ensuite, ce qui donne tous les x au moins trois. Nora remet cette borne et la queue entière plutôt qu'une classe d'exposants modulo un qui aurait également admis zéro, un et deux. Pour la cible six, le relevé initial donne seulement x égal à un ; pour la cible un, seulement x égal à zéro. Ainsi, le changement de base et de module a modifié la forme même des ensembles de solutions, et pas seulement le prix ou la longueur d'une table de recherche.
Les notices restent des références de catégorie ; aucune image ou méthode artistique ne fournit cette recherche. Nora remet chaque exposant avec sa plage, sa base et la raison qui permet ou interdit les retraits, sans transformer un reste final en nombre de répétitions universel.