Nora compose une feuille circulaire avec six places, trois portant un zéro et trois portant un un. Les signes désignent deux sortes de repères créés pour l'exercice ; ils ne représentent ni une mesure alimentaire ni des places occupées par des personnes observées. Sur une feuille numérotée de zéro à cinq, elle lirait les six signes depuis la place zéro dans le sens choisi. Sur une feuille sans origine, elle veut parfois reconnaître le même arrangement malgré un autre départ de lecture.
Trois permissions seront distinguées. La première autorise toutes les rotations, mais garde le sens de lecture. La deuxième autorise aussi le retournement. La troisième conserve une marque qui n'autorise que les déplacements de deux places. Un changement de permission peut réunir ou séparer des arrangements, sans changer le nombre de zéros et de uns. Il faut annoncer cette permission avant de choisir combien de propositions différentes seront remises.
Notice P1 du Met : catégorie Drawings.
Notice P2 du Met : catégorie Drawings.
Notice P3 du Met : catégorie Prints.
Ces notices fournissent des catégories textuelles seulement. Aucune image ou méthode d'artiste n'est appliquée aux repères.
Un catalogue sans origine demande un autre compte
Nora commence avec une origine numérotée. Elle choisit les trois places de un parmi six, ce qui donne vingt suites. Dans cette liste, 000111 et 001110 sont distinctes : le premier un n'est pas à la même place. Mais si toutes les rotations sont autorisées, lire 000111 à partir de son deuxième zéro donne justement 001110. Les deux feuilles numérotées représentent alors le même arrangement circulaire. Nora ne les remet pas comme deux variantes à une destinataire qui a précisément renoncé à distinguer les origines.
Pour contrôler le menu, elle prend chaque suite et écrit ses six lectures obtenues par rotation. Elle choisit comme étiquette la plus petite de ces lectures, en comparant les chiffres de gauche à droite avec zéro avant un. Les étiquettes obtenues sont 000111, 001011, 001101 et 010101. Une nouvelle lecture doit rejoindre l'une de ces quatre listes. L'étiquette est seulement une manière de conserver un représentant ; le zéro initial n'est pas réintroduit comme une place physiquement privilégiée dans la permission actuelle.
Les trois premières listes contiennent six suites différentes chacune. La quatrième ne contient que 010101 et 101010, car un déplacement de deux places laisse le motif alterné inchangé. Leur total est donc six plus six plus six plus deux, soit vingt. Diviser vingt par six aurait donné un résultat non entier parce que les classes n'ont pas toutes six lectures distinctes. Ce défaut des coupures périodiques a déjà été traité dans un autre dossier ; il ne constitue pas à lui seul la nouvelle méthode de comptage employée ici.
Nora souhaite maintenant obtenir le nombre de classes sans constituer d'abord toutes leurs listes. Pour cela, elle ne compte pas les lectures différentes d'une seule feuille. Elle compte des couples composés d'une suite numérotée et d'une rotation qui laisse cette suite exactement inchangée. La rotation de zéro place est un choix parmi les six rotations : elle fixe toutes les suites. Un couple précise aussi la rotation utilisée ; deux rotations qui fixent la même suite donnent donc deux couples, et non une seule preuve de répétition.
Elle regarde ce compte à l'intérieur d'une classe. Pour 000111, les six suites différentes ne sont fixées que par la rotation de zéro place. La classe fournit six couples. Pour 010101, chacune des deux suites est fixée par les rotations de zéro, deux et quatre places ; cette classe fournit aussi six couples. Le produit « nombre de suites différentes de la classe » par « nombre de rotations qui fixent une suite » vaut six dans les deux cas. Nora peut donc chercher le nombre total de couples et le diviser par six, sans diviser directement le nombre de suites.
La raison de ce produit ne tient pas seulement aux deux exemples. Partant d'une suite, les rotations qui produisent une même lecture se regroupent par autant de choix que les rotations qui fixent la suite initiale. Si un déplacement donne cette lecture, le composer avec un déplacement qui fixait la suite la donne encore. Inversement, deux déplacements qui donnent la même lecture diffèrent par un déplacement qui la fixe. Les six rotations se répartissent ainsi en groupes de même taille, un pour chaque lecture distincte. C'est ce regroupement qui garantit six couples par classe.
Nora recompte alors par rotation plutôt que par classe. Le déplacement nul fixe les vingt suites. Un déplacement d'une place impose que chaque signe égale le suivant, donc que les six signes soient tous identiques : aucune suite ne possède alors trois uns. Le déplacement de cinq places impose la même chose en parcourant le cercle dans l'autre sens. Ces deux rotations ne fixent aucune suite de notre liste. Nora ne leur attribue pas deux suites constantes, puisque celles-ci ne satisfont pas le compte de trois uns.
Un déplacement de deux places relie entre elles les positions zéro, deux, quatre, et entre elles les positions un, trois, cinq. Chaque trio doit porter un signe commun. Pour obtenir trois uns, un seul des deux trios peut porter un un, l'autre un zéro. Cela fournit deux suites fixées. Le déplacement de quatre places parcourt ces mêmes deux trios dans l'autre ordre et en fixe deux également. Le déplacement de trois places relie au contraire trois paires de positions ; des uns placés par paires donneraient un total pair, jamais trois. Il ne fixe donc aucune suite admissible.
Les comptes de suites fixées, pour les déplacements de zéro à cinq places, sont vingt, zéro, deux, zéro, deux, zéro. Leur somme vaut vingt-quatre couples. Chaque classe en fournit six, donc il existe quatre classes. Nora retrouve son catalogue sans supposer que toutes les classes possèdent le même nombre de feuilles numérotées. Elle conserve la différence entre les deux façons de compter : vingt désignait les suites avec origine, vingt-quatre les couples avec une rotation fixante, et quatre les arrangements lorsque toute origine est oubliée.
Une lecture inversée peut appartenir à une autre classe
La destinataire garde d'abord le sens choisi autour de la feuille. Nora examine 001011. Lorsqu'elle inverse l'ordre des six signes, elle obtient 110100. La plus petite rotation de cette nouvelle suite est 001101, et non 001011. Le retournement réunit donc les deuxième et troisième classes du catalogue précédent si cette opération est autorisée. Si elle est interdite, les deux propositions doivent rester séparées. Nora ne les fusionne pas sous prétexte qu'elles emploient toutes deux trois zéros et trois uns.
Elle compare les lectures pour vérifier cette décision sans dépendre de leurs seules étiquettes. Les rotations de 001011 sont 001011, 010110, 101100, 011001, 110010 et 100101. Aucune ne vaut 001101. Les rotations de la lecture inversée comprennent au contraire 001101. La nouvelle remise ne serait donc pas obtenue en tournant la feuille dans son plan. Nora peut annoncer exactement l'opération supplémentaire nécessaire, sans prétendre avoir changé un des six signes ou déplacé seulement une paire de repères.
Les classes de 000111 et 010101 se comportent autrement. L'inverse de 000111 est 111000, qui appartient déjà à sa liste de rotations. L'inverse de 010101 est 101010, également déjà présent dans sa classe. Autoriser le retournement ne réunit donc pas ces deux classes entre elles et n'ajoute pas de nouvelle lecture à chacune. Le catalogue avec retournement comporte trois classes : celle du groupe continu 000111, celle qui réunit 001011 et 001101, et celle du motif alterné. Nora remet trois propositions plutôt que quatre seulement après avoir obtenu cette permission.
Pour ne pas réduire le retournement au seul représentant choisi, Nora examine les six opérations qui inversent le sens tout en choisissant une autre origine. Avec des positions numérotées de zéro à cinq, l'opération de numéro k lit à la place i le signe qui était à la place k moins i, en revenant dans les six positions. Les six valeurs de k donnent six retournements. Elles s'ajoutent aux six rotations. Un retournement combiné à une rotation reste dans ce menu de douze opérations ; Nora ne doit pas réintroduire une treizième permission en déplaçant de nouveau l'origine.
Trois de ces retournements passent par deux places opposées, qui restent chacune à leur position. Les quatre autres places se regroupent en deux paires échangées. Pour qu'une suite soit inchangée, les deux signes de chaque paire doivent être identiques. Comme le nombre de uns est trois, une seule des deux places fixes doit porter un un, et une seule des deux paires doit porter deux uns. Il existe deux choix pour la place fixe et deux pour la paire, donc quatre suites fixées par chacun de ces retournements.
Les trois autres retournements ne possèdent aucune place fixe : ils échangent les six positions en trois paires. Une suite inchangée aurait alors un nombre pair de uns. Comme notre liste en exige trois, le compte vaut zéro pour chacun. Nora garde cette distinction entre les deux dispositions des places échangées. Employer quatre pour les six retournements donnerait vingt-quatre couples supplémentaires et un mauvais catalogue. Les places fixes ne sont pas un détail du dessin : elles rendent possible le compte impair demandé.
Les six retournements fournissent ainsi douze couples fixants, quatre plus zéro plus quatre plus zéro plus quatre plus zéro. Ajoutés aux vingt-quatre couples des rotations, ils donnent trente-six. Le même regroupement des opérations par lecture donne maintenant douze couples par classe du menu élargi. Trente-six divisé par douze donne trois classes. La vérification rejoint la fusion explicite des deux lectures inverses. Nora n'a pas divisé quatre par deux : deux anciennes classes étaient déjà égales à leur propre inverse et ne formaient pas des couples distincts à réunir.
Cette méthode précise aussi pourquoi il faut compter toutes les opérations autorisées, même celles qui fixent une suite. Dans la classe alternée, plusieurs rotations et plusieurs retournements donnent encore la même lecture. Les ignorer en disant qu'ils « ne changent rien » détruirait le nombre de couples par classe utilisé dans le calcul. Nora conserve chaque opération comme une possibilité nommée dans le contrôle, puis ne compte qu'une fois chaque proposition circulaire dans le résultat. Les objets comptés aux deux étapes ne sont pas interchangeables.
Un relevé sans ordre perd la différence entre les deux sens
La destinataire n'a plus la feuille entière devant elle. Elle reçoit seulement les distances, comptées en places, entre deux uns successifs autour du cercle. Dans 001011, les uns sont aux positions deux, quatre et cinq. Le relevé dans le sens conservé donne deux places, puis une, puis trois pour revenir au premier un. Une autre origine parmi les uns donne une, trois, deux ou trois, deux, une. Nora conserve ces trois lectures d'un même relevé, sans ajouter celles qui proviendraient du sens opposé.
Pour 001101, les uns sont aux positions deux, trois et cinq ; les distances successives sont une, deux, trois. Les autres origines donnent deux, trois, une et trois, une, deux. Aucun de ces trois relevés ne figure dans la première liste. Le contrôle par distances successives distingue donc les deux propositions même quand l'origine parmi les uns est oubliée. Il n'a pas besoin de recevoir les positions absolues de chaque signe, mais il doit encore recevoir l'ordre des trois distances dans un sens conservé.
Camille voudrait simplifier la remise en ne gardant que « une, deux et trois places », rangées par taille. Nora refuse cette simplification pour la commande sans retournement. Les deux listes précédentes donnent exactement ce même relevé trié. Rien dans les trois nombres ainsi transmis ne permet de choisir entre 001011 et 001101. Leur conserver une étiquette différente ne restaurerait pas l'ordre retiré. Si le retournement devient permis, ce relevé peut au contraire représenter leur classe commune ; Nora indique explicitement ce changement de demande plutôt que d'attribuer au relevé une précision qu'il n'a plus.
Les deux autres propositions ne présentent pas cette ambiguïté dans notre menu : 000111 donne les distances une, une, quatre, et 010101 les distances deux, deux, deux. Nora peut donc remettre trois relevés triés distincts pour le catalogue retournable. Pour distinguer les quatre classes sans retournement, elle doit conserver l'ordre cyclique au moins pour le relevé une, deux, trois. Elle livre alors deux entrées séparées, « deux, une, trois » et « une, deux, trois », lues dans le sens annoncé. Cette restitution conserve la différence demandée sans inventer une place zéro absolue qui n'était plus disponible.
Une marque conservée n'autorise pas toutes les rotations
Une nouvelle commande conserve deux sortes de places en alternance sur la feuille : les positions paires d'une part, les positions impaires de l'autre. Nora peut déplacer l'origine de deux ou quatre places, mais pas d'une seule. Elle ne veut pas fixer un départ particulier parmi les trois positions paires ; elle veut seulement préserver leur distinction avec les positions impaires. Le menu contient donc les rotations de zéro, deux et quatre places. Les signes sont toujours trois zéros et trois uns, et le retournement est ici retiré de la permission.
La suite 000111 a pour lectures autorisées 000111, 011100 et 110001. La rotation d'une seule place, 001110, n'appartient pas à cette liste. Elle ouvre l'autre classe, avec 001110, 111000 et 100011. Les six lectures que la première commande réunissait sont désormais partagées en deux propositions. Nora conserve réellement les deux premières étiquettes et les trois lectures de chacune. Elle ne les confond pas parce qu'elle pourrait effacer la marque : son effacement serait précisément une permission différente, absente de la commande actuelle.
Chacune des trois anciennes classes non alternées se sépare de cette façon en deux classes de trois lectures. L'ancienne classe alternée se sépare autrement. 010101 reste inchangée par les déplacements de deux et quatre places ; ses trois lectures autorisées donnent la même suite. 101010 reste elle aussi inchangée, mais aucune rotation autorisée ne la transforme en 010101. Il y a donc deux classes d'une seule lecture. Nora obtient six classes de trois lectures et deux classes d'une lecture, qui couvrent bien les vingt suites numérotées.
Elle retrouve le compte sans avoir à dresser ce partage pour chaque étiquette. Les rotations autorisées de zéro, deux et quatre places fixent respectivement vingt, deux et deux suites. La somme des couples vaut vingt-quatre. Chaque classe fournit trois couples, puisqu'il existe trois opérations dans la permission actuelle. Le résultat est huit classes. Nora n'a pas multiplié quatre par trois, ni demandé que chaque classe contienne trois lectures différentes. Le motif alterné conserve plusieurs opérations fixantes, ce qui est précisément pris en compte dans les vingt-quatre couples.
Elle teste une remise que Camille voudrait simplifier. Dans 010101, les trois uns occupent les positions impaires ; dans 101010, ils occupent les positions paires. La nouvelle marque rend cette différence persistante. Si la destinataire demande un un sur chaque place de la seconde sorte, seule la première de ces deux propositions répond à la commande. Le bilan « trois uns en tout » ne suffit pas. Nora remet 010101 et retire 101010 de cette sélection précise, sans la déclarer inadmissible dans l'ensemble des huit classes.
Inversement, lorsqu'elle revient à la commande sans cette marque, la rotation d'une place est de nouveau possible et les deux suites alternées redeviennent une seule proposition. Nora ne doit alors pas conserver deux fiches de catalogue en arguant de leur ancienne distinction. Le retour à l'autre permission impose de réunir ce qui ne diffère que par une rotation désormais autorisée. Elle garde les deux inventaires séparés avec leurs règles : quatre classes sans marque et sans retournement, huit avec la distinction des places, trois si toutes les rotations et les retournements sont admis.
La permission doit rester fermée lorsque deux gestes se suivent
Camille propose enfin d'identifier deux feuilles seulement si une rotation d'une place suffit à passer de l'une à l'autre. Nora refuse d'en faire une règle de classement complète. 000111 est ainsi lié à 001110, et 001110 à 011100, mais deux places séparent la première de la troisième. Dire que ces deux relations rendent les feuilles équivalentes tout en interdisant leur conséquence ne définit pas les groupes du catalogue. Il faudrait préciser soit un nombre maximal de gestes réellement effectués, soit toutes les compositions autorisées, avant d'appliquer la méthode des couples.
Nora livre le catalogue adapté à la permission retenue, avec ses représentants et le compte des opérations qui les fixent. La version sans marque garde le sens de lecture et distingue 001011 de 001101 ; la version retournable les réunit. La version à places alternées distingue les deux origines du motif alterné. Aucun signe n'a été changé pour ajuster le résultat à un nombre annoncé. Les notices citées restent des références de catégorie et ne fournissent aucune de ces permissions ou méthodes de classement.