Une feuille de préparation peut contenir des conditions qui se répondent. Cocher une case déclenche alors d'autres engagements, parfois jusqu'à rendre le premier choix impossible. Cela ne veut pas nécessairement dire que toute la feuille est inutilisable. Dans l'exemple qui suit, Nora prépare trois décisions fictives pour un service à la maison. Elle veut distinguer une possibilité interdite, une combinaison unique et un ensemble de consignes impossible à remplir.
Les catégories de papeterie situent la feuille écrite. Les trois catalogues consultés ne fournissent ni conditions, ni calcul, ni procédure logique pour cet exemple.
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Trois décisions, trois premières consignes
Dans ce modèle, A signifie « installer une table dehors », B « sortir les deux plateaux » et C « préparer les étiquettes ». Chaque décision vaut oui ou non, sans état intermédiaire. Nora pose trois consignes : si A, alors B ; si B, alors C ; si C, alors non-A. Ces obligations sont inventées pour la feuille. Aucune règle pratique de cuisine ou d'accueil n'est déduite de leur formulation. Un triplet comme 011 indique non-A, B et C, dans cet ordre.
La première tentative de Nora est de cocher A. Elle doit aussitôt cocher B, puis C. La troisième consigne lui demande alors de laisser A décochée. Son premier trait ne peut donc rester sur la feuille : A et non-A ne peuvent être retenus ensemble. Elle efface seulement cette décision et cherche ce qui reste possible. Avec les trois cases vides, aucune obligation ne réclame de nouveau trait. Avec C seule, la troisième consigne exige seulement que A reste vide, ce qui est déjà le cas. Avec B et C, les deux dernières conditions sont également respectées. Elle conserve ainsi trois feuilles possibles : 000, 001 et 011.
Ces trois feuilles permettent une décision précise sur la préparation. La table extérieure sera absente dans tous les cas, alors que les étiquettes peuvent être présentes ou absentes. Nora ne transforme pas cette absence de choix pour A en interdiction générale de préparer le service. Elle peut retenir 001 si elle veut seulement les étiquettes, ou 011 si elle veut aussi les plateaux. Elle garde 000 comme possibilité formellement admise, même si ce n'est pas son option préférée. La feuille des conditions et sa préférence restent deux documents différents : la première autorise trois états, la seconde choisit entre ces états sans modifier ce que les consignes impliquent.
La dernière flèche C vers non-A ne dit pas que non-A impose C. Nora le vérifie avant d'ajouter des cases : 000 satisfait les trois consignes, bien que C y soit absente. De même, B ne demande pas A ; 011 est une preuve remplie du contraire. Si elle dessinait la flèche B vers A par simple symétrie de la première relation, elle perdrait précisément la préparation avec plateaux et étiquettes qu'elle souhaite retenir. Elle écrit donc le nom de la conséquence au bout de chaque flèche et refuse de compléter les flèches inverses. L'ordre des deux extrémités change ici le contenu de la feuille, pas seulement sa présentation.
Nora envisage ensuite de retirer les plateaux, donc de fixer non-B. Si elle gardait A cochée, la première consigne serait violée. Le retrait de B impose ainsi le retrait de A : c'est non-B vers non-A, et non pas B vers A. Elle rencontre la même situation en refusant les étiquettes. Non-C oblige à retirer B, puis A ; il ne reste que 000. À l'inverse, retirer A n'oblige pas à retirer B : la feuille 011 demeure valable. Sur son brouillon, elle dessine les conséquences des refus en regard de celles des accords. Cela lui évite d'annoncer un service sans étiquettes tout en conservant les plateaux sous une consigne qui les lie.
Pour la troisième consigne, le refus de non-A est A. Si elle insiste sur A, elle doit refuser C ; on retrouve la flèche A vers non-C. Mais les deux premières consignes donnaient déjà A vers B vers C. Nora peut désormais montrer le conflit sans attendre que toute la feuille soit dessinée : le choix extérieur appelle deux états opposés pour les étiquettes. Ce second chemin n'ajoute pas une nouvelle interdiction arbitraire ; il rend visible la conséquence de la consigne déjà écrite. Elle garde les deux trajets dans la marge pour expliquer pourquoi le problème porte sur A. Elle ne les utilise pas pour retirer C des feuilles où A est absente.
Une obligation supplémentaire rend le choix unique
Nora ajoute une quatrième consigne : au moins l'une des décisions A ou B doit être prise. Il s'agit du « ou » inclusif : l'une, l'autre ou les deux satisferaient cette seule ligne. Cette nouvelle consigne élimine 000 et 001, où A et B sont toutes deux absentes. Parmi les trois feuilles précédentes, seule 011 reste donc possible. Le service aura les plateaux et les étiquettes, sans table extérieure. Nora ne choisit pas cette préparation en préférant intuitivement B à A. Elle part de l'interdiction de A déjà démontrée, puis remplit l'obligation supplémentaire par B, dont la conséquence C est à son tour obligatoire.
Sur une nouvelle copie, elle traduit cette quatrième ligne de deux façons : non-A impose B, et non-B impose A. Ces deux flèches sont nécessaires pour conserver son sens. Avec les premières consignes, non-A, B et C forment maintenant un groupe dont chaque proposition conduit aux deux autres : non-A vers B vers C vers non-A. Le groupe opposé contient A, non-B et non-C, également reliés dans les deux sens par des chemins. Nora entoure les trois noms de chaque groupe au lieu d'écrire plusieurs fois les mêmes conséquences. Ce sont des propositions, et non trois décisions supplémentaires : non-A désigne toujours la même case A laissée vide.
Une flèche part du groupe contenant A vers celui contenant B : A impose B. Il n'existe pas de trajet inverse entre les deux groupes. Nora teste alors deux attributions complètes. Rendre vraies les propositions du groupe A, non-B, non-C demanderait B tout en le refusant. Ce choix échoue. Rendre vraies non-A, B, C et fausses leurs opposées donne au contraire 011, la feuille déjà obtenue par filtrage. L'attribution des deux groupes n'est donc pas une permutation libre des étiquettes « oui » et « non ». La flèche entre eux impose que la vérité du premier entraîne celle du second ; les oppositions entre propositions interdisent de rendre les deux groupes vrais ensemble.
Ce contrôle donne à Nora une manière de corriger un dessin séduisant mais faux. Elle avait placé le groupe A en haut de sa page et pensait lui attribuer oui parce qu'il venait en premier dans sa lecture. Elle remplace ce critère graphique par le trajet réel A vers B. La position sur le papier ne décide rien ; c'est l'obligation qui fait échouer l'attribution. Elle peut déplacer les deux cercles côte à côte et retrouver la même feuille 011. Elle laisse donc dans son dossier la préparation explicite avec cases cochées et non une légende disant seulement « premier groupe vrai ». La personne qui reprend la feuille pourra vérifier les quatre consignes sans connaître son ordre de dessin.
Dans un graphe de conséquences, un groupe de propositions reliées réciproquement est une composante fortement connexe. Cette notion et le regroupement des cycles sont des outils classiques. Pour des consignes qui sont toutes des disjonctions d'au plus deux propositions, on représente chaque ligne par ses deux implications. La satisfiabilité se contrôle alors en cherchant si une décision et sa négation appartiennent au même groupe. Le dessin n'est pas ici un logiciel testé, et sa taille ne mesure aucune performance réelle.
Refuser les étiquettes n'est plus une option
Une cinquième ligne arrive : C doit être non. Nora la traite comme une obligation unique, équivalente à « non-C ou non-C », et ajoute la conséquence C vers non-C. Ce nouveau passage relie le groupe non-A, B, C au groupe A, non-B, non-C. Comme il existait déjà un trajet dans l'autre sens, les six propositions se retrouvent dans un même groupe. L'impossibilité ne vient pas du fait qu'il y a davantage de flèches. Elle vient de ce que A et non-A, entre autres, se réclament désormais mutuellement. Chaque état possible pour cette décision conduit à son opposé. Nora ne peut plus choisir une autre feuille parmi les trois premières : les cinq lignes ensemble n'en admettent aucune.
Elle vérifie ce résultat sans les cercles. La nouvelle ligne impose non-C ; la deuxième impose alors non-B, et la première non-A. Mais la quatrième exige A ou B. Elle demanderait donc de cocher au moins l'une des deux cases que le refus des étiquettes vient d'obliger à laisser vides. Si Nora essaie A pour satisfaire la quatrième ligne, elle revient à C par A vers B vers C, en conflit avec non-C. Si elle essaie B, elle atteint C immédiatement. Cette explication conserve la différence entre un choix simplement indisponible et une préparation entière impossible : auparavant A échouait, maintenant chacun des moyens de satisfaire la nouvelle obligation échoue.
Pour obtenir une explication courte à transmettre, Nora retire provisoirement la troisième consigne C vers non-A. Les quatre autres restent impossibles ensemble : non-C entraîne encore non-B puis non-A, face à l'obligation A ou B. La troisième ligne ne fait donc pas partie du petit ensemble nécessaire à ce refus. Nora ne l'efface pas du cahier initial et ne prétend pas qu'elle n'a aucun effet dans toutes les situations. Elle conserve le cahier complet, puis joint une copie où seules les lignes 1, 2, 4 et 5 sont surlignées. Cette copie explique le conflit présent avec quatre lignes plutôt que cinq, sans confondre un diagnostic réduit et une autorisation de changer les règles.
Elle contrôle aussi que chacune des quatre lignes surlignées est nécessaire à ce diagnostic. Sans la première, 100 fonctionne : A satisfait la quatrième, B et C restent absentes. Sans la deuxième, 010 fonctionne : B satisfait la quatrième sans demander C. Sans la quatrième, 000 fonctionne, puisque rien ne demande A ou B. Sans la cinquième, 011 fonctionne, comme avant le refus des étiquettes. La troisième consigne peut rester présente dans ces quatre essais, et chacun la respecte. Nora inscrit les quatre feuilles à côté des quatre suppressions. Elle dispose ainsi de réparations effectivement remplies, et pas seulement d'une annonce que « toute ligne compte ».
Ces réparations n'ont pas la même conséquence sur le service. Retirer la première permet la table extérieure sans plateaux ; retirer la deuxième permet les plateaux sans étiquettes. Retirer la quatrième permet de ne prendre aucune des trois décisions, tandis que retirer la cinquième rétablit les plateaux avec étiquettes. Nora choisit de discuter le refus des étiquettes, car elle veut maintenir les deux obligations de préparation et au moins un équipement. Elle ne remplace pas cette décision par la suppression de la première ligne au motif que le nombre de corrections serait identique. Dans les deux cas une seule ligne disparaîtrait, mais les cases qu'elle pourrait remplir ensuite seraient différentes.
Nora reprend aussi une copie où la deuxième consigne avait été représentée par la seule flèche B vers C. La flèche non-C vers non-B manquait, sans que la phrase « si B, alors C » ait été retirée. Sur ce dessin incomplet des cinq consignes, non-A, B et C restent reliées réciproquement, tandis que A, non-B et non-C se retrouvent dans trois groupes séparés. Aucune décision n'y partage un groupe avec sa négation. Le contrôle par les groupes annoncerait donc à tort une possibilité. Pourtant, aucune des huit feuilles à trois cases ne satisfait les cinq phrases. Nora retrouve ainsi un défaut de transcription, et non une permission supplémentaire qui aurait été cachée dans les règles.
Elle corrige cette copie en restaurant non-C vers non-B, puis suit le trajet C vers non-C vers non-B vers A vers B vers C. Il rejoint les propositions du groupe précédent et rétablit le conflit. Elle laisse les cinq phrases inchangées, car aucune n'a été révisée pendant cette réparation. Sur la feuille envoyée, les deux flèches issues de la deuxième consigne portent désormais son même numéro ; retirer l'une seule serait une copie incomplète, tandis que retirer la consigne demanderait de retirer les deux. Cette distinction change ce qu'elle remet à la personne chargée du service : le refus reste établi, sans faire passer une omission du dessin pour l'autorisation d'utiliser les plateaux sans étiquettes.
Nora garde séparées la preuve d'incompatibilité et la décision de réviser une consigne. Un petit ensemble impossible n'accorde pas, à lui seul, le droit de retirer chacune de ses lignes. Il identifie les choix à discuter. Une ligne peut répondre à une obligation extérieure à cette feuille, et une autre à une préférence révisable. Aucun de ces motifs n'a été établi par le calcul. Le modèle montre les feuilles permises après chaque retrait ; il ne classe pas les personnes ou les raisons qui ont produit les cinq consignes.
Une vraie règle à trois choix résiste à la traduction
Sur une autre feuille, indépendante des cinq lignes précédentes, Nora veut seulement demander qu'au moins l'une des trois décisions A, B ou C soit prise. La feuille 100 doit être autorisée, tout comme 010 et 001. Pour ne conserver que des lignes à deux propositions, elle propose d'abord trois exigences : A ou B, B ou C, A ou C. Elle teste 100 avant de recopier ce montage. La deuxième ligne y est fausse, puisque B et C valent non. La traduction a donc supprimé une préparation qui devait être autorisée. Elle ne décrit plus « au moins une décision » mais « au moins deux décisions » ; Nora retire ce montage plutôt que d'annoncer qu'il est une présentation équivalente.
Le témoin 100 a une conséquence concrète sur cette autre préparation. La personne qui veut seulement installer la table extérieure ne devrait avoir ni plateaux ni étiquettes à ajouter sous cette nouvelle règle. Les trois lignes binaires lui imposeraient pourtant une seconde décision. Nora conserve sur la feuille une ligne avec trois propositions et indique que son procédé de contrôle binaire ne s'y applique pas tel quel. Elle préfère un domaine de vérification limité à un document qui changerait silencieusement la demande. Elle ne réintroduit pas les anciennes consignes de la première préparation : leur interdiction de A aurait masqué ce témoin et donné l'impression trompeuse que la traduction ne perdait rien.
Pour vérifier que le problème dépasse ce premier montage, Nora compare les trois feuilles autorisées 100, 010 et 001. À chaque position, la valeur majoritaire est non : leur majorité position par position est donc 000, interdite par la demande « au moins une ». Or des feuilles qui satisfont un même ensemble de lignes binaires ne peuvent produire de cette façon une majorité qui viole cet ensemble. Si une ligne à deux propositions était fausse dans la majorité, sa première proposition serait fausse dans au moins deux feuilles, et sa seconde aussi. Parmi trois feuilles, ces deux ensembles se rencontreraient nécessairement ; l'une des feuilles aurait déjà les deux propositions fausses, contrairement à sa validité.
Cette propriété ferme aussi une échappatoire que Nora envisageait : ajouter des cases de travail qu'elle effacerait après contrôle. Supposons que chaque préparation autorisée puisse être complétée par ces cases pour respecter un ensemble binaire. Elle prendrait une complétion de 100, une de 010 et une de 001. Leur majorité sur toutes les cases respecterait encore cet ensemble, mais les trois cases visibles y seraient 000. Ce serait une complétion valide d'une préparation interdite. Ajouter des cases auxiliaires ne peut donc pas fournir une représentation binaire exacte de cette demande par simple existence d'une complétion. Cette conclusion porte sur cette permission précise, et non sur toutes les façons possibles de programmer une vérification.
La fermeture par majorité des solutions binaires est une propriété générale utilisée ici pour délimiter le modèle. Sa démonstration n'est pas une procédure nouvelle d'organisation du service. Les clauses à trois propositions et les autres formes de contraintes demandent une représentation ou une méthode adaptée ; aucune promesse d'extension automatique du graphe précédent n'est donnée.
Nora prépare finalement deux supports distincts. Le premier contient les cinq consignes liées, leur refus et les quatre révisions testées ; la discussion peut y porter sur le retour des étiquettes. Le second conserve la vraie demande à trois choix, avec 100 comme essai qui doit rester permis. Elle n'envoie pas à la personne chargée de remplir ce second support les trois paires A ou B, B ou C, A ou C. Elle retire également le brouillon qui mêlait les consignes des deux préparations. Ce rangement n'ajoute aucune solution, mais il évite qu'une feuille où A était déjà interdit serve à certifier abusivement une traduction pour laquelle A seul doit être possible.
Les catalogues ont servi à nommer la papeterie. Aucune méthode de leurs commerçants n'est appliquée aux cases.