Camille prépare une suite de repères pour une fiche fictive. À chaque étape, trois cases portent chacune zéro ou un. Nora doit retrouver la case précédente, choisir les lectures à conserver et distinguer deux corrections possibles d'une erreur. Aucun signal, appareil ou service réel n'est observé. Nous stipulons une récurrence sur des signes ; sa répétition ne sera pas présentée comme une source de décisions aléatoires.
Les cases actuelles sont nommées a, b et c, dans cet ordre. L'étape suivante conserve b en première place, c en deuxième et écrit a xor b en troisième. Xor donne zéro pour deux signes égaux et un pour deux signes différents. Le calcul équivaut ici à additionner les bits en gardant le reste modulo deux. Cette règle classique de récurrence linéaire est entièrement déclarée pour la fiche, sans promesse concernant un équipement ou une protection de données.
Notice P1 du Met : catégorie Drawings.
Notice P2 du Met : catégorie Drawings.
Notice P3 du Met : catégorie Drawings.
Les notices fournissent ces catégories textuelles. Ni leurs images ni des méthodes d'artistes ne sont appliquées à la récurrence.
La dernière case n'est pas une information jetée
Camille reçoit l'état suivant 101 et veut retrouver son origine. Les deux premières cases, un et zéro, étaient les anciennes b et c. La dernière, un, valait l'ancien a xor b. Comme b vaut un, a doit valoir zéro : zéro xor un donne un. L'origine est donc 010. Nora vérifie en repartant de 010 : conserver un, zéro et calculer zéro xor un donne bien 101. Elle ne choisit pas arbitrairement le bit perdu en première place sous prétexte que le décalage semble l'avoir supprimé.
Plus généralement, si l'état reçu est u, v, w, les deux anciennes dernières cases sont u et v. La première était w xor u, puisque reprendre xor avec le même bit annule son ajout : a xor b xor b vaut a. L'origine complète est donc w xor u, u, v. Cette formule produit une origine pour chacun des huit états possibles, puis le retour par la règle retrouve exactement l'état reçu. Deux états différents ne peuvent ainsi se réunir après un pas, même lorsque leur première case imprimée est identique.
Camille prépare effectivement les huit origines possibles sur une feuille séparée. Le résultat de la règle est toujours l'un des huit états, et l'inverse vient de montrer qu'aucun résultat n'est obtenu deux fois. Il s'agit donc d'une permutation des états. Nora n'en déduit pas encore que cette permutation forme un seul grand circuit. Une règle inversible peut conserver plusieurs circuits disjoints. Elle veut connaître celui de sa remise avant d'annoncer quand la préparation retrouvera son point de départ.
À partir de 001, les états successifs sont 001, 010, 101, 011, 111, 110 et 100, puis de nouveau 001. Nora vérifie notamment 111 vers 110, car un xor un donne zéro, et 100 vers 001, car un xor zéro donne un. Les sept états avant le retour sont différents. Ils sont précisément les sept états non nuls des trois cases. Nora sait donc que chacun de ces sept départs parcourt le même circuit, simplement depuis un autre endroit.
L'état 000 manque dans ce circuit pour une raison contrôlable : sa prochaine ligne reste 000. Il forme un circuit à lui seul. L'inverse de 000 est également 000, donc aucun état non nul ne peut y entrer par une application correcte de la règle. Camille retire la proposition « après suffisamment d'étapes, la suite passera aussi par zéro ». Avec cette règle et un départ 001, la remise reste sur les sept états nommés ; ajouter 000 demanderait une autre permission, pas davantage d'attente.
La case lue suit une relation qui permet de prévoir la suite
Nora imprime seulement la première case de chaque état. Depuis 001, les sept sorties avant répétition sont zéro, zéro, un, zéro, un, un, un. Si elle appelle s de t la sortie à l'étape t, les trois cases de l'état sont les sorties aux étapes t, t plus un et t plus deux : le décalage les fait passer successivement en première position. La nouvelle troisième case impose donc s de t plus trois égal à s de t xor s de t plus un. Cette relation relie des sorties précises, pas simplement le nombre de uns dans un bloc.
Pour la fiche reçue zéro, zéro, un, Nora retrouve successivement zéro, un, un et un comme quatre sorties suivantes. Le premier zéro vient de zéro xor zéro ; le un suivant vient de zéro xor un ; puis un xor zéro donne un et zéro xor un donne encore un. Elle remet la suite complète 0010111 et reprend ensuite les trois premiers signes selon le circuit déjà vérifié. Le résultat est déterminé par les trois premières sorties et par la règle connue ; aucun tirage supplémentaire n'a été introduit pour choisir les signes suivants.
Deux premières sorties zéro, zéro n'auraient pas suffi. Elles sont compatibles avec 000, qui reste toujours nul, et avec 001, qui commence par les deux mêmes zéros puis produit le circuit de sept. Nora demande donc la troisième sortie pour cette remise. Camille donne un ; Nora sélectionne l'état 001 et retire 000 de cette branche. Le troisième signe était une information sur l'origine réelle stipulée. Il ne modifie pas la règle pour obliger une origine choisie auparavant à fournir la réponse souhaitée.
La liste de sept sorties possède quatre uns et trois zéros, mais cette fréquence ne rend pas les sorties indépendantes. Nora peut les prévoir après trois signes successifs. Elle garde ici seulement ce rappel de périmètre, sans lui attribuer un apport de tirage nouveau : une autre fiche traite déjà des bits équilibrés indépendants et de leur recyclage. La récurrence présente produit une suite déterministe. Son catalogue d'états et sa période ne certifient ni l'équité d'un objet physique ni une imprévisibilité des lectures.
Garder une lecture sur deux peut encore permettre une reconstruction
Camille réduit le relevé et ne conserve que les sorties aux étapes zéro, deux et quatre. Pour une origine a, b, c, ces trois nombres sont a, c et b xor c. En effet, les deux premières sorties du relevé sont des anciennes cases, tandis que la sortie quatre suit la relation s quatre égal à s un xor s deux. Nora peut donc retrouver a directement, c directement et b en ajoutant par xor la deuxième lecture conservée à la troisième. Les trous dans le relevé ne font pas perdre une case dans cette sélection précise.
Camille remet zéro, un, un pour ces trois étapes. Nora lit a zéro, c un et b égal à un xor un, soit zéro. Elle reconstruit 001, puis vérifie les sorties manquantes : à l'étape un, zéro ; à l'étape trois, zéro. Les trois valeurs reçues ne sont pas traitées comme trois sorties successives 011. Cette dernière origine aurait donné une autre suite. Nora conserve les numéros zéro, deux, quatre dans la fiche de reconstruction, car la même chaîne de trois chiffres n'a pas le même sens selon les étapes qui la portent.
La sélection zéro, trois, six fonctionne également, mais avec une autre formule. Les trois lectures sont a, a xor b et a xor c. La deuxième permet b en reprenant xor avec la première ; la troisième permet c de la même façon. Pour 001, Camille remet zéro, zéro, un à ces étapes. Nora trouve a zéro, b zéro et c un. Elle ne recopie pas la formule du relevé zéro, deux, quatre : à cette autre sélection, la deuxième valeur n'était pas directement c et la troisième n'était pas b xor c.
La reconstruction par ces deux menus est vérifiée pour les huit origines, pas seulement pour 001. Chacun des huit triples d'origine donne un triple de lectures différent ; les formules précédentes en fournissent l'inverse. Nora peut donc utiliser l'un ou l'autre menu lorsque trois relevés espacés sont imposés. Elle remet le premier avec ses étapes si la destinataire veut connaître séparément l'ancienne troisième case dès la deuxième lecture. Cette préférence porte sur l'information remise, et non sur une réduction annoncée du nombre de cases nécessaires.
Lire aux étapes zéro, sept et quatorze donne un résultat très différent : la règle revient à l'état initial après sept pas, même pour 000. Les trois sorties sont donc toutes a. Le relevé zéro, zéro, zéro laisse les quatre origines 000, 001, 010 et 011. Nora montre que 000 donnerait encore zéro à l'étape deux, tandis que 001 y donnerait un. Elle peut demander cette lecture pour séparer ces deux candidates, mais ne présente pas les trois lectures espacées de sept comme une reconstruction complète. Ce rappel de sous-observation reste borné à ce menu.
Ajouter une case au calcul peut raccourcir le circuit
Camille propose maintenant de garder le même décalage, mais de calculer la nouvelle dernière case par a xor b xor c. Nora donne un autre nom à cette règle. Depuis 001, elle produit 001, 011, 110, 100 et revient à 001 après quatre pas. La règle précédente passait de 001 à 010 ; les deux préparations diffèrent dès leur première transformation. Nora ne joint donc pas l'ancien certificat de sept états au nouveau calcul parce qu'il utilise une case de plus.
L'autre règle possède aussi le circuit 010, 101, 010, de longueur deux. Les états 000 et 111 sont chacun fixes. Ces quatre circuits couvrent les huit états : quatre dans le premier, deux dans le deuxième, puis les deux états fixes. La nouvelle règle demeure inversible : depuis u, v, w, son origine vaut w xor u xor v, u, v. Nora peut donc retrouver chaque étape précédente, mais elle ne peut pas visiter les sept états non nuls depuis une seule origine. Inversibilité et longueur du circuit restent deux résultats distincts.
La destinataire demande toujours une période de sept états depuis un départ non nul. Nora retire la règle à trois termes de cette commande et remet la première, avec 001 comme origine. Si la commande demandait au contraire un retour au départ après quatre transformations, la seconde règle et l'origine 001 réaliseraient cette autre demande. Nora garde les deux circuits effectivement remplis avec leurs règles. Elle n'intercale pas trois états de la première règle dans le second circuit pour lui attribuer la longueur annoncée auparavant.
Une constante déplace l'état isolé sans agrandir le nombre de cases
Une autre modification conserve les deux premiers termes a xor b et leur ajoute un par xor. La nouvelle dernière case vaut un xor a xor b. Depuis 000, Nora obtient successivement 000, 001, 011, 110, 101, 010, 100, puis retrouve 000. L'origine toute nulle appartient cette fois au circuit de sept. L'état 111 est au contraire fixe, puisque un xor un xor un vaut un. La modification a déplacé l'état isolé ; elle n'a pas réuni les huit états en un seul circuit.
Nora explique ce déplacement par une opération complète sur les trois cases : remplacer chaque bit par son contraire. Elle transforme une origine, applique l'ancienne règle, puis transforme encore les trois résultats par leurs contraires. Les deux premières cases obtenues sont b et c, puisque deux changements s'annulent. La dernière est un xor a xor b, car les deux changements sur a et b se compensent dans leur xor mais le changement final demeure. Ce procédé reproduit exactement la règle avec constante, au lieu de ne changer qu'une case après coup.
Il transporte aussi les circuits. L'ancien état isolé 000 devient 111 par le changement des trois signes. Les sept états de l'ancien circuit deviennent les sept autres états, avec la même longueur et l'ordre transporté par la transformation. Nora retrouve ainsi le circuit de sept depuis 000 sans l'attribuer à une découverte de période par essais incomplets. Elle conserve la formule de changement avec le certificat : si Camille inversait seulement a et pas les trois cases, les deux premières sorties calculées ne seraient plus celles de la nouvelle règle.
Dans cette branche, la destinataire autorise explicitement un départ 000 et refuse un état fixé dès le départ. Nora remet la règle avec constante et la liste de sept états qui commence en 000. Sous la règle initiale, cette même demande était impossible sans changer le départ ou le calcul, puisque 000 y était fixe. Elle ne propose pas 111 comme autre départ équivalent dans la nouvelle branche : il est précisément l'état qui s'y immobilise. La correction choisit donc la règle et l'origine ensemble, avec l'ancien refus toujours rattaché à la règle initiale.
Une erreur de case et une erreur d'impression n'ont pas la même suite
Camille repart de la première règle et de 001. Avant une transformation, elle change la deuxième case de zéro à un ; l'état devient 011. La préparation suit ensuite 011, 111, 110, 100, 001, 010, 101, puis revient à 011. Elle n'a pas disparu : elle rejoint un autre départ du même circuit. Par rapport à la fiche non modifiée, chaque état correspond au point situé trois étapes plus loin. Nora conserve cette avance de trois, sans annoncer qu'après sept pas les deux fiches se seraient rejointes au même moment.
Leur différence case par case est encore un triple de bits, calculé par xor. La règle initiale est linéaire : transformer la différence donne la différence des transformations, parce que les deux sommes de bits peuvent être regroupées. L'écart initial 010 suit donc son propre circuit non nul. Il ne peut devenir 000, dont l'unique origine était 000. Cette preuve explique pourquoi attendre ne corrige pas l'erreur d'état. Pour retrouver la fiche d'origine, Nora doit disposer d'une information extérieure sur elle, telle que l'ancien état enregistré, et autoriser une remise à cet état.
Une erreur d'impression ouvre un autre problème. L'état réel reste 001 et sa suite continue correctement, mais la deuxième sortie imprimée est changée de zéro à un. Les trois premières sorties visibles deviennent 011. Si Nora les traite toutes comme exactes, elle reconstruit l'origine 011 et prédit une quatrième sortie un, puisque zéro xor un vaut un. La quatrième sortie réellement donnée par 001 est zéro. Nora constate cette incompatibilité entre l'impression et la récurrence connue. Elle ne l'assimile pas au changement d'état précédent, qui produisait une suite différente mais cohérente avec la règle.
Camille fournit enfin le relevé original conservé avant l'erreur, qui attestait 001 comme état de départ dans l'exercice. Nora rétablit le deuxième signe imprimé à zéro et vérifie la quatrième sortie zéro. Elle ne prétend pas qu'une seule contradiction aurait localisé sans ambiguïté n'importe quelle erreur inconnue : ici, la case imprimée changée et l'origine conservée sont explicitement renseignées. La remise réparée contient 0010111 sur les sept sorties, tandis que la branche d'état modifié conserve son autre phase tant qu'aucune remise à l'origine n'est autorisée.
Nora livre les règles, les inverses et les étapes des relevés avec la fiche choisie. Le catalogue n'annonce aucun essai d'appareil, hasard physique ou protection cryptographique. Les catégories des notices restent les seules relations documentaires ; aucune image ou méthode artistique ne fournit ces transformations.