Pour un jeu de réception entièrement inventé, Nora prépare trois cases, A, B et C, sur une feuille. Un signe reçu remplit sa catégorie si elle était vide ; s'il appartient à une catégorie déjà présente, il ne remplit aucune case nouvelle. Le jeu s'arrête dès que les trois cases sont remplies. Simon voudrait annoncer trois passages, parce qu'il n'y a que trois catégories. Nora doit préciser comment les signes arrivent et quelles décisions peuvent vraiment rapprocher cet arrêt.
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Ces catalogues attestent des catégories seulement. Aucun produit, hasard ou mécanisme commercial n'est essayé ou adapté. Les signes, leurs probabilités et les compositions sont stipulés ici.
Notre premier jeu produit A, B ou C avec une chance d'un tiers chacun, indépendamment des passages précédents. On note les catégories déjà reçues et on s'arrête obligatoirement à leur première réunion. L'ordre n'est pas une condition : C, A, B termine aussi bien qu'A, B, C. Le temps compte les signes reçus, sans minute réelle ni participant observé. Une autre branche annoncera un paquet fini dont les cartes ne reviennent pas après leur tirage.
Trois passages suffisent parfois, sans suffire à chaque suite
Au troisième passage, une collection complète contient exactement un A, un B et un C. Parmi les vingt-sept suites équiprobables, six réalisent ces trois signes : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB et CBA. La chance de terminer en trois passages vaut donc six vingt-septièmes, soit deux neuvièmes. Nora refuse la garantie trois et conserve cette proportion. Simon avait compté AAB comme trois cases remplies parce que trois signes étaient présents ; elle retire cette suite des collections complètes. Les deux A constituent deux passages, mais une seule catégorie. Ce relevé garde à la fois les occurrences et les catégories qui ont réellement été ajoutées.
Pour quatre passages, Nora préfère compter les collections encore incomplètes plutôt que dresser une longue liste de réussites. Éviter A laisse deux choix à chaque passage : B ou C, soit seize suites. Éviter B et éviter C en donnent également seize chacune. Simon additionne ces trois listes et annonce quarante-huit suites incomplètes sur quatre-vingt-une. Nora vérifie leurs intersections : BBBB, par exemple, évite à la fois A et C. Elle ne constitue pas deux échecs différents. Les suites constantes AAAA, BBBB et CCCC ont chacune été comptées deux fois dans cette somme, et doivent chacune être retirées une fois.
Il reste donc quarante-cinq suites incomplètes et trente-six complètes sur quatre-vingt-une. La chance de terminer au plus tard au quatrième passage vaut quatre neuvièmes. Nora peut retrouver cette correction par les paires de catégories absentes : éviter A et B impose CCCC, éviter A et C impose BBBB, éviter B et C impose AAAA. Pour quatre passages, aucune suite n'évite les trois catégories à la fois. La correction retire ces trois intersections de la somme des trois listes. Elle ne retire pas toutes les suites avec une répétition : ABAC répète A mais contient bien A, B et C, et appartient donc aux réussites.
À cinq passages, les trois listes d'une catégorie absente ont chacune trente-deux suites. Leurs trois intersections contiennent encore une suite constante chacune. Les quatre-vingt-treize échecs sont retirés des deux cent quarante-trois suites, laissant cent cinquante réussites, soit cinquante quatre-vingt-unièmes. L'hôte demande une chance d'au moins une moitié de finir avant l'arrêt du jeu. Nora choisit cinq passages : quatre neuvièmes à quatre restait en dessous, cinquante quatre-vingt-unièmes à cinq est au-dessus. Comme une collection déjà complète le reste aux passages suivants, toutes les limites antérieures à quatre échouent aussi. Cinq est donc la première limite entière qui remplit cette demande, sans promettre que chaque suite aura terminé à cinq.
Les catégories restantes déterminent le prochain gain
Pour comparer la durée moyenne de la collection, Nora sépare trois étapes. Le premier signe donne nécessairement une catégorie nouvelle et prend un passage. Une fois une catégorie présente, deux des trois signes possibles sont nouveaux ; attendre une nouvelle catégorie demande en moyenne trois demis de passage. Une fois deux catégories présentes, seul le troisième signe est nouveau, et l'attente moyenne restante vaut trois. Les trois étapes donnent un plus trois demis plus trois, soit onze demis. Nora ne multiplie pas trois catégories par une attente de trois identique à chaque étape : la chance de nouveauté a changé après chaque catégorie obtenue.
Simon compare onze demis à la limite cinq choisie pour la chance d'une moitié et propose de corriger l'un des deux nombres. Nora conserve les deux demandes séparées. La moyenne onze demis inclut les suites qui continuent après cinq ; la chance cinquante quatre-vingt-unièmes décrit seulement la réussite avant cette limite. Une suite contenant uniquement A pendant dix passages reste possible dans la règle, et la collection n'y est pas complète. Nora ne transforme donc pas onze demis en dernier passage autorisé. La feuille conserve la limite de proportion et la moyenne dans leurs deux colonnes, plutôt que d'appeler leur différence une erreur de calcul.
Une catégorie rare ne se compense pas par les doubles d'une autre
Une autre règle donne maintenant une chance d'une moitié à A, d'un tiers à B et d'un sixième à C, toujours avec des passages indépendants. Nora ne reprend pas la chance de nouveauté « deux tiers puis un tiers » en regardant seulement le nombre de cases remplies. Si A est présente seule, la prochaine catégorie nouvelle pèse un demi, somme d'un tiers et d'un sixième. Si C est présente seule, une nouveauté pèse cinq sixièmes. Les deux feuilles ont une case remplie, mais des attentes différentes. Nora conserve donc quelles catégories sont présentes, pas seulement combien, avant de préparer la suite de cette règle inégale.
Pour une limite de n passages, l'absence d'A a la chance d'une moitié à la puissance n. L'absence de B a celle de deux tiers à la puissance n, et l'absence de C celle de cinq sixièmes à la puissance n. Les intersections correspondent aux suites qui ne portent qu'une catégorie : seulement C pèse un sixième à la puissance n, seulement B un tiers à la puissance n, seulement A une moitié à la puissance n. Nora retire les intersections de la somme des absences. Elle voit même deux termes d'une moitié s'annuler dans cette règle particulière, absence d'A et suite seulement A. Ce sont deux événements différents de même poids, pas une permission d'effacer la catégorie A des collections demandées.
La moyenne jusqu'aux trois catégories se calcule également en additionnant, pour chaque nombre de passages déjà faits, la chance que la collection soit encore incomplète. Les trois absences fournissent les séries de sommes deux, trois et six ; leurs intersections retirent six cinquièmes, trois demis et deux. Une correction d'une unité est nécessaire au départ, où aucune catégorie n'est présente : les trois absences et leurs trois intersections donneraient zéro sans cette correction, alors que le jeu n'a pas fini avant son premier passage. Nora obtient ainsi onze moins quarante-sept dixièmes plus un, soit soixante-treize dixièmes. Elle remplace onze demis par cette moyenne pour la nouvelle règle, sans prétendre avoir changé le temps de l'ancien jeu équiprobable.
Simon voudrait annoncer que C sera forcément la dernière catégorie, puisqu'elle est la moins probable. Nora prépare les possibilités de dernière nouveauté. La chance que C soit obtenue après A et B vaut sept douzièmes ; celle que B soit la dernière vaut quatre quinzièmes, et celle que A soit la dernière trois vingtièmes. Ces trois valeurs totalisent un. Nora accepte que C soit la dernière dans plus d'une moitié des parties, mais retire le mot forcément. Une suite C, B, A termine par la catégorie la plus fréquente et possède une chance positive. Le poids faible de C explique un avantage de probabilité, sans choisir la dernière catégorie de chaque réalisation.
Elle justifie le sept douzièmes sans désigner une suite finale particulière. Parmi toutes les arrivées, la chance que C précède A dans leur première apparition vaut son poids un sixième divisé par deux tiers, somme des poids A et C : un quart. La chance qu'elle précède B vaut un tiers. Les soustraire de un retire les cas où C n'arrive pas après les deux, mais retire deux fois le cas où C est la toute première catégorie. Celui-ci pèse un sixième. Nora rétablit donc ce sixième et trouve un moins un quart moins un tiers plus un sixième, soit sept douzièmes. Les apparitions répétées qui précèdent une nouveauté restent permises ; elles ne sont pas prises pour de nouveaux rangs de catégories.
Donner directement une catégorie change la préparation moyenne
L'hôte autorise un signe donné avant le premier tirage, dans la règle inégale. Nora peut recevoir directement A, B ou C, puis continuer les passages ordinaires jusqu'aux deux autres catégories. Ce don remplit une case ; il ne modifie pas leurs probabilités ultérieures. En donnant C, l'attente moyenne pour réunir A et B vaut deux plus trois moins six cinquièmes, soit dix-neuf cinquièmes. Donner A laisserait B et C, pour une moyenne trois plus six moins deux, soit sept. Donner B laisserait A et C, pour deux plus six moins trois demis, soit treize demis. Nora choisit C si le seul critère est le nombre moyen de tirages supplémentaires.
Simon proposait le signe A parce qu'il serait facile à retrouver lors du jeu. Nora retire cette motivation pour le don voulu : donner un signe fréquent enlève justement une attente courte, tandis que la case C continue à retenir la collection. Elle remet C avec les deux catégories encore attendues. Le calcul dix-neuf cinquièmes ne compte pas le don comme un tirage ordinaire réussi ; il décrit seulement les passages après la case déjà remplie. La remise initiale vide gardait soixante-treize dixièmes de tirages en moyenne. Les deux fiches commencent dans des états différents, et la réduction de trois et demi est attachée à ce signe effectivement fourni avant le jeu.
Nous ajoutons un coût créé pour comparer ces choix : chaque tirage compte un point, le don de C deux points, et l'hôte veut la plus petite dépense moyenne totale. Sans don, il attend soixante-treize dixièmes de points. Avec C, il paie deux plus dix-neuf cinquièmes, soit vingt-neuf cinquièmes. Nora retient ce don à cinq et quatre cinquièmes, inférieur à sept et trois dixièmes. Dans une autre proposition, le don de C coûte quatre : son total devient trente-neuf cinquièmes, au-dessus du jeu sans don. Nora le refuse alors malgré la baisse du nombre de tirages. Elle ne déduit pas les quatre points de la moyenne ancienne comme si acheter C retirait quatre tirages déterminés de chaque partie.
La différence entre les deux attentes fixe une frontière de trois et demi pour le coût du don de C, lorsqu'elle le compare au jeu sans aucun don. Au-dessous, Nora le retient ; au-dessus, elle conserve le départ vide ; à égalité, les dépenses moyennes coïncident. Une autre offre fournit A gratuitement. Son total moyen sept améliore légèrement le départ vide. Si C coûte trois, son total trente-quatre cinquièmes, soit six et quatre cinquièmes, bat encore ce A gratuit ; s'il coûte quatre, A gratuit gagne contre trente-neuf cinquièmes. Nora compare donc les offres complètes disponibles. Elle ne réutilise pas le seuil trois et demi contre le départ vide comme s'il garantissait le meilleur choix lorsqu'une nouvelle offre gratuite a rejoint la feuille.
Un paquet qui s'épuise donne d'autres collections
Une branche nouvelle contient six cartes distinctes : trois portent A, deux B et une C. Elles sont tirées dans un ordre uniformément choisi parmi tous les ordres des six identités, et ne reviennent pas dans le paquet. Chaque catégorie doit encore être vue au moins une fois. Les cartes sont créées pour l'exercice, sans contrôle de mélange réel. Le premier signe possède les mêmes chances une moitié, un tiers et un sixième que dans le jeu inégal avec remise. Nora refuse pourtant d'en conclure que la durée de la collection aurait encore la moyenne soixante-treize dixièmes : le paquet restant change après chaque carte reçue.
Après trois tirages, toute collection complète prend exactement une carte dans chaque catégorie. Les cartes étant distinctes, il y a trois choix pour A, deux pour B et un pour C, soit six sous-ensembles favorables. Il y a vingt sous-ensembles de trois identités parmi les six. La chance de finir en trois vaut donc trois dixièmes. Nora ne traite pas A, B et C comme trois identités équiprobables seulement : choisir l'une des trois cartes A n'est pas le même sous-ensemble que choisir une autre A. Dans la règle avec remise aux poids inégaux, les six ordres ABC ont ensemble une chance d'un sixième, car chaque ordre pèse un demi fois un tiers fois un sixième. La même composition initiale n'a pas donné la même chance de collection à trois.
Pour quatre cartes sans remise, une réussite doit contenir l'unique C, puis trois cartes choisies parmi les cinq A ou B. Ces choix sont dix. Un seul échoue à réunir B : prendre les trois A avec C. Aucun choix de trois parmi les deux B ne peut manquer A. Neuf sous-ensembles sur les quinze sous-ensembles de quatre sont donc complets, soit trois cinquièmes. Nora choisit une limite de quatre pour la demande d'une chance d'au moins une moitié, avec ce paquet précis. Trois dixièmes à trois n'y suffisait pas. Elle retire la limite cinq de la première règle équiprobable comme résultat applicable par défaut à ce paquet, sans dire qu'elle était fausse dans son jeu indépendant d'origine.
À cinq cartes, seuls les choix qui laissent C dans le paquet demeurent incomplets. Il en existe un parmi les six possibilités de carte laissée de côté, donc la chance d'avoir terminé vaut cinq sixièmes. À six cartes, la collection est complète dans tous les ordres : chaque catégorie possède au moins une carte et toutes ont été reçues. Nora peut désormais annoncer six comme borne certaine dans le modèle, tandis qu'aucune borne finie n'avait supprimé la possibilité de n'avoir toujours pas C dans les passages avec remise. Cette garantie vient du stock conservé puis épuisé, pas d'une meilleure valeur moyenne choisie dans les fiches précédentes.
La moyenne sans remise se retrouve en additionnant les chances de n'avoir pas fini avant chaque passage. Les trois premiers termes, pour zéro, une et deux cartes reçues, valent un. Après trois, l'inachèvement pèse sept dixièmes ; après quatre, deux cinquièmes ; après cinq, un sixième. Leur somme vaut trois plus dix-neuf quinzièmes, soit soixante-quatre quinzièmes. Nora transmet cette moyenne avec les chances trois dixièmes, trois cinquièmes et cinq sixièmes, puis la borne six. Elle ne raconte pas le résultat comme une partie arrêtée à quatre et une fraction de carte. Le nombre de cartes effectivement reçues reste entier dans chaque ordre, et la fraction appartient à la moyenne de ces ordres.
Répartir les six cartes peut accélérer la collection
L'hôte autorise maintenant à changer les lettres de ses six cartes avant de choisir leur ordre. Les trois catégories doivent toutes rester présentes, et le critère est la plus petite moyenne de cartes nécessaires sans remise. Nora compare les trois répartitions possibles à permutation des catégories près : quatre, une, une ; trois, deux, une ; deux, deux, deux. Elle ne remet pas ces changements après avoir vu une partie du paquet. La composition doit être inscrite avant le tirage, puis rester conservée dans les possibilités comparées. Le total six et la présence des trois catégories sont les mêmes dans chaque proposition.
Avec deux cartes de chaque catégorie, la chance de terminer après trois cartes vaut huit sur vingt, soit deux cinquièmes : deux choix dans chacune des trois catégories. Après quatre, les quinze sous-ensembles possibles manquent une catégorie dans trois cas, un pour chaque catégorie absente, puisque les quatre cartes des deux autres sont alors toutes présentes. Douze sur quinze réussissent, soit quatre cinquièmes. Après cinq, aucune catégorie ne peut manquer, car laisser les deux cartes d'une catégorie de côté demanderait deux cartes non tirées, alors qu'il n'en reste qu'une. Nora obtient une moyenne de trois plus trois cinquièmes plus un cinquième, soit dix-neuf cinquièmes, et une borne certaine cinq.
La proposition quatre, une, une possède quatre sous-ensembles complets parmi vingt à trois cartes, six parmi quinze à quatre et quatre parmi six à cinq. Ses chances sont donc un cinquième, deux cinquièmes et deux tiers, puis un à six. La moyenne vaut trois plus quatre cinquièmes plus trois cinquièmes plus un tiers, soit soixante et onze quinzièmes. Les deux cartes uniques y obligent plus souvent à prolonger l'attente ; multiplier la catégorie qui possède déjà quatre copies ne fournit pas les copies manquantes des autres. Nora retire cette composition du choix moyen, même si elle conserve toutes les catégories au départ.
Nora retient finalement deux, deux, deux, avec dix-neuf cinquièmes, inférieur à soixante-quatre quinzièmes puis soixante et onze quinzièmes. Les trois partitions de six en trois quantités positives couvrent toutes les compositions possibles à renommage près. Renommer la catégorie qui possède quatre copies ne change pas l'événement « avoir toutes les catégories ». La comparaison donne donc ici le minimum moyen sur les compositions autorisées, pas seulement la meilleure de trois propositions arbitraires. La décision remplace effectivement une carte A par une C dans le paquet initial trois, deux, une ; elle ne fait pas apparaître cette nouvelle C au cours du tirage d'un ancien paquet.
La remise finale garde les règles de passage et leur question : trois catégories sans ordre imposé, probabilités indépendantes ou cartes épuisables, don initial éventuellement payant, composition choisie avant réception. Nora indique les catégories présentes, les absences encore possibles et les coûts effectivement ajoutés. Un double peut compter dans le nombre de passages sans compter comme une nouveauté ; une carte retirée peut changer le stock sans changer le nombre de catégories déjà reçues. La remise décrit ainsi une partie et sa règle, sans convertir ses probabilités en faits déjà accomplis.