Après dîner, Nora prépare sur papier l'affectation de trois fiches à trois places pour une activité fictive. Chacun des deux côtés possède un ordre de choix. Une liste complète peut respecter toutes les capacités et laisser pourtant une fiche et une place préférer mutuellement leur association. Camille veut examiner cette objection précise, sans la confondre avec une somme de points ou la promesse que chacun aurait reçu son premier choix.
Les catégories des catalogues nomment les stylos représentés. Les préférences et les règles de proposition ne proviennent pas des commerçants.
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Les deux côtés ne possèdent pas le même classement
Les fiches sont A, B et C ; les places X, Y et Z. Une fiche reçoit au plus une place, une place au plus une fiche. Chaque classement est strict et donné pour ce modèle. A préfère X, puis Y, puis Z. B préfère Y, puis X, puis Z. C préfère X, puis Y, puis Z. Sur l'autre côté, X préfère B, puis A, puis C ; Y préfère A, puis B, puis C ; Z préfère A, puis B, puis C. Aucune préférence réelle d'un invité, propriété d'un produit ou quantité de satisfaction n'est mesurée.
Dans la première commande, toutes les associations sont acceptables. Une paire non retenue bloque une liste si la fiche préfère sa nouvelle place à celle qu'elle reçoit et si la place préfère également cette fiche à celle qu'elle reçoit. Les deux comparaisons doivent être strictes et favorables ensemble. Une liste stable est une liste sans cette paire. Le mot n'annonce ni durée, ni sécurité d'une activité réelle ; il désigne ce test sur les classements fournis. Dans les branches permettant une liste partielle, chaque côté préfère tout partenaire acceptable à l'absence de partenaire.
Camille examine A-X, B-Z, C-Y. Chaque fiche a une place distincte et chaque place une fiche. B préfère cependant Y à Z, et Y préfère B à C, qu'elle reçoit actuellement. B-Y bloque donc cette liste. Corriger le seul chiffre « trois associations » ne ferait pas disparaître l'objection : la liste était déjà complète. Camille peut déplacer B vers Y, mais C devra recevoir une autre place. Elle inscrit d'abord le couple qui demande le changement, au lieu d'appeler toute place occupée définitivement indisponible ou de confondre un échange souhaité des deux côtés avec une préférence isolée de B.
Nora propose A-Y, B-X, C-Z. A préfère X à Y, mais X reçoit B et classe B avant A. A-X ne bloque donc pas cette seconde liste. B préfère Y à X, mais Y reçoit A et classe A avant B. B-Y ne bloque pas non plus. C préférerait X ou Y à Z ; chacune reçoit une fiche qu'elle classe avant C. Toutes les demandes de changement préférées par une fiche rencontrent ainsi un refus de l'autre côté. Camille accepte cette liste comme stable, tout en laissant visibles les premières préférences non obtenues par A, B et C. Le test a fermé des objections conjointes, pas donné une première place à tout le monde.
Les fiches qui proposent remplissent une première réponse
Camille lance maintenant des propositions depuis les fiches. Une fiche sans accord provisoire propose à sa place préférée qui ne l'a pas encore refusée. Une place garde provisoirement la fiche qu'elle préfère parmi celles qui se sont proposées et refuse les autres. Une proposition déjà refusée n'est pas répétée. Un accord provisoire peut être remplacé si une fiche mieux classée arrive. Ces règles décrivent une acceptation différée classique, sans appareil ni processus réel testé. L'accord devient la réponse remise seulement lorsque les propositions possibles de cette préparation ont été traitées.
A propose à X, qui la garde. B propose à Y, qui la garde également. C propose à X, mais X classe A avant C et refuse C. C propose alors à Y, qui préfère B à C et la refuse aussi. C propose finalement à Z, encore libre, et Z la garde. La réponse est A-X, B-Y, C-Z. Camille garde les deux refus dans le dossier de C : ils expliquent pourquoi elle a poursuivi jusqu'à Z. Elle n'écrit pas que C avait Z comme première préférence ni qu'elle aurait renoncé volontairement à ses deux choix précédents. Les classements et les décisions de cette préparation restent différents.
Cette réponse est également stable. A et B ont leur première place et ne préfèrent aucun échange. C préfère X ou Y à Z, mais X reçoit A qu'elle classe avant C, et Y reçoit B qu'elle classe avant C. Camille compare alors cette liste à A-Y, B-X, C-Z, déjà validée. Les trois classements des fiches sont les mêmes dans les deux essais : A et B préfèrent la première liste, C reçoit Z dans les deux. Le choix de la préparation a donc sélectionné une réponse parmi plusieurs listes stables. Nora conserve les deux au lieu de conclure que la présence de classements stricts rendait forcément la réponse unique.
Pour fermer cette comparaison, Camille examine les six permutations complètes. Si C reçoit X, A et B doivent recevoir Y et Z dans un ordre ou l'autre. Dans A-Y, B-Z, C-X, A-X bloque la liste puisque X préfère A à C. Dans A-Z, B-Y, C-X, le même couple A-X la bloque. Si C reçoit Y, A et B occupent X et Z. A-X, B-Z, C-Y est bloquée par B-Y, comme déjà vérifié. A-Z, B-X, C-Y est bloquée par A-Y, car A préfère Y à Z et Y préfère A à C. C doit donc recevoir Z dans toute liste stable de ces données, laissant exactement les deux possibilités déjà validées pour A et B.
La règle classique garantit la stabilité lorsque les classements stricts et les acceptations sont traités comme prévu : une fiche ne peut préférer à son résultat qu'une place qui l'a déjà refusée, et cette place ne remplace ensuite son accord que par une fiche mieux classée. Ce raisonnement général explique pourquoi un tel refus ferme une paire bloquante. Il ne remplace pas ici les contrôles remplis sur les six listes, et aucun crédit de décision supplémentaire n'est donné à la seule description de l'algorithme.
Inverser le côté proposant peut changer la réponse stable
Nora inverse le rôle des deux côtés, sans inverser leurs classements. Les places proposent désormais aux fiches ; chaque fiche garde provisoirement la place qu'elle préfère parmi ses propositions. X propose à B, son premier choix, et B la garde. Y propose à A, son premier choix, et A la garde. Z propose à A, qui préfère Y à Z et la refuse. Z propose ensuite à B, qui préfère X à Z et la refuse aussi, puis à C, qui la garde. Le résultat est A-Y, B-X, C-Z, la seconde liste stable. Camille conserve cette trace plutôt que de changer les préférences pour expliquer la différence.
Dans ce résultat, X reçoit B et Y reçoit A, leurs premières fiches. Dans la préparation où les fiches proposaient, X recevait A et Y B, leurs deuxièmes choix. A et B font le trajet inverse : elles avaient X et Y, leurs premiers choix, et reçoivent maintenant Y et X, leurs deuxièmes. Z et C restent associées dans les deux réponses et obtiennent chacune son troisième choix. Camille peut donc nommer précisément les avantages qui ont changé. Elle n'annonce pas un progrès pour tous les participants, ni une plus grande somme de satisfaction, puisque les données donnent des ordres et aucune valeur à additionner.
Avec ces six listes contrôlées, la première réponse est la meilleure liste stable pour chaque fiche, tandis que la seconde est la meilleure liste stable pour chaque place. Cette comparaison porte bien sur les listes stables : une place pourrait figurer dans une association qu'elle apprécie dans une autre permutation qui serait bloquée ailleurs. Camille ne choisit pas indépendamment la meilleure case de chaque ligne. Dans ces données, les meilleures réponses stables du même côté sont réalisables ensemble, et les deux traces montrent comment. Elle inscrit le côté proposant auprès de la liste remise, parce que le seul mot « stable » ne départageait pas les deux possibilités.
Nora voudrait annoncer que choisir les fiches comme côté proposant est plus juste. Camille retire ce jugement du certificat. Elle peut annoncer que A et B y reçoivent leurs premières places, ou que X et Y les perdent relativement à la préparation inverse ; ces comparaisons sont effectivement vérifiées. Les classements ne donnent aucune règle pour décider quel côté doit être privilégié. Camille retient la première réponse pour sa commande présente, mais conserve l'autre comme réponse à une commande où les places auraient été désignées comme côté proposant. Elle ne transforme pas le sens du calcul en préférence morale fournie par les données.
Un accord provisoire n'est pas une occupation irrévocable
Pour examiner une autre trace, Nora conserve les classements véritables mais commence par C. C propose à X, qui la garde provisoirement. A propose ensuite à X ; X préfère A à C et remplace C. B propose à Y et est gardée. C, désormais sans accord, poursuit vers Y, où elle est refusée, puis vers Z. La réponse finale est encore A-X, B-Y, C-Z. L'accord de C avec X a donc existé dans cette préparation, sans être la place qu'elle recevra à la fin. Camille garde le remplacement explicite : une proposition acceptée provisoirement n'a pas créé de droit irrévocable sous ces règles.
Si Nora figeait C-X dès la première acceptation, A poursuivrait jusqu'à Y et B jusqu'à Z sous cette nouvelle pratique. La liste A-Y, B-Z, C-X serait complète, mais A-X la bloquerait : A préfère X à Y et X préfère A à C. Camille retrouve le témoin déjà fermé dans l'examen des six listes. Ce défaut ne vient pas d'une nouvelle préférence arrivée pendant la préparation. Il vient d'une permission de remplacement retirée alors qu'elle faisait partie de la règle. Elle rétablit donc le caractère provisoire de l'accord initial, au lieu de présenter ce gel comme un autre ordre d'exécution de la même méthode.
La finitude vient de propositions qui ne sont pas répétées auprès du même destinataire sous ces classements finis. Elle ne donne aucun délai réel avant accord entre personnes. Les états provisoires décrivent des associations de la préparation ; ils ne représentent ici ni remise matérielle à reprendre ni signature engageante. Une autre procédure rendant les acceptations irrévocables demanderait une autre garantie, et ne doit pas emprunter celle de cette règle de remplacement.
Une autre déclaration peut améliorer un résultat pourtant stable
Camille reprend le sens où les fiches proposent. X classe véritablement B, puis A, puis C, mais déclare cette fois B, puis C, puis A. Les autres classements restent inchangés. A propose à X et est d'abord gardée ; B propose à Y et est gardée. Lorsque C propose à X, la déclaration modifiée place C avant A. X remplace donc A par C. A poursuit vers Y, qui la préfère à B et remplace B. B propose ensuite à X, qui place toujours B avant C et remplace C. C poursuit vers Y, y est refusée, puis reçoit Z. La réponse devient A-Y, B-X, C-Z.
X reçoit désormais B, sa véritable première fiche, au lieu d'A, sa véritable deuxième, dans la réponse obtenue avec sa déclaration initiale. La déclaration avait déplacé seulement A sous C ; elle n'avait pas changé le premier choix B. Ce déplacement a pourtant ouvert la chaîne de remplacements qui fait venir B depuis Y. Camille conserve chaque étape, sans raconter que B aurait directement préféré X à Y : B préfère toujours Y et ne la quitte qu'après son remplacement par A. Le changement de déclaration du destinataire a modifié les propositions que la préparation traite ensuite, et pas seulement la comparaison de deux candidats déjà présents chez lui au début.
La nouvelle réponse est stable même sous les classements véritables. A voudrait X, mais X reçoit B qu'elle préfère à A ; B voudrait Y, mais Y reçoit A qu'elle préfère à B ; C est encore écartée d'X et d'Y par leurs fiches mieux classées. Le test de stabilité ne révèle donc pas, à lui seul, la déclaration qui a changé. Camille retire de son dossier la promesse « une réponse stable prouve que les préférences ont été annoncées fidèlement ». Elle dispose d'un cas où X améliore son résultat par une autre déclaration et où la réponse finale passe encore le contrôle sur ses préférences véritables. Aucun comportement réel d'un invité n'est prédit par ce cas.
Nora décide alors de conserver les classements fournis avec leurs versions, plutôt que seulement la liste finale. La réponse A-Y, B-X, C-Z pouvait provenir de propositions lancées depuis les places avec les déclarations véritables, ou depuis les fiches avec la déclaration modifiée d'X. Les deux traces ont le même résultat et des causes différentes. Camille garde le côté proposant et la déclaration effectivement utilisée dans chacune. Elle ne peut reconstruire cette origine en observant les seuls trois couples remis. Ce contrôle est distinct de la stabilité : il permet de vérifier quelle commande et quelles entrées ont réellement servi à la préparation.
La possibilité d'une déclaration profitable a été remplie ici pour X, sans fournir une stratégie universelle à chaque côté ou chaque profil. Les vérifications finies de classements ne constituent ni enquête sur les comportements ni garantie d'honnêteté. La méthode d'affectation, le contrôle des paires et la conservation des entrées répondent à des questions différentes ; aucun nom de propriété ne remplace les données nécessaires à chacune.
Une liste acceptable complète peut ne laisser aucune liste stable complète
Une branche indépendante revient aux classements véritables, mais C refuse maintenant Z, et Z refuse C. C ne considère donc plus que X puis Y comme acceptables ; Z ne considère qu'A puis B. Les autres listes sont inchangées. Un partenaire acceptable reste préféré à l'absence de partenaire. Nora demande d'abord une association acceptable distincte pour chacune des trois fiches. A-Y, B-Z, C-X satisfait cette demande : toutes ces associations sont encore autorisées et les trois places sont différentes. La liste de possibilités n'est donc pas trop pauvre pour une couverture complète.
Camille demande ensuite la stabilité sous ces mêmes acceptations et classements. Dans A-Y, B-Z, C-X, A-X bloque encore : A préfère X à Y, et X préfère A à C. La réalisation complète précédente ne suffit donc pas à répondre à cette demande renforcée. Elle n'est pas corrigée par une pièce ou une place supplémentaire ; les trois places existaient déjà. Camille doit vérifier si une autre liste complète fermerait les objections réciproques, plutôt que conserver le certificat de couverture comme si les classements n'avaient pas été ajoutés au contrôle.
En laissant les fiches proposer, A est gardée par X, B par Y, et C est refusée par X puis Y. C n'a maintenant aucune proposition acceptable vers Z ; elle reste donc sans place et Z reste libre. La réponse partielle A-X, B-Y ne possède pas de paire bloquante. A et B ont leurs premières places. C accepterait X ou Y, mais chacune préfère sa fiche présente à C. Z accepterait A ou B, mais aucune ne préfère Z à sa place actuelle. Camille remet cette réponse avec son nom manquant, et non comme une liste complète déguisée par la mention de Z libre.
Le sens inverse des propositions donne A-Y, B-X, avec C toujours sans place. X propose à B, Y à A ; Z essaie A puis B et est refusée par les deux. Les deux réponses partielles sont stables, et les préférences opposées d'A, B, X et Y restent celles déjà vérifiées. Camille conserve cette absence commune de C sans affirmer que C ne pouvait être affectée dans aucune liste acceptable : la liste A-Y, B-Z, C-X l'avait bel et bien affectée. Ce sont les deux exigences réunies, acceptabilité et stabilité, qui empêchent ici de lui conserver une place avec les trois associations complètes.
Les quatre listes complètes encore acceptables ferment ce refus. Lorsque C reçoit X, les deux listes possibles sont A-Y, B-Z, C-X et A-Z, B-Y, C-X ; A-X bloque chacune. Lorsque C reçoit Y, les deux listes possibles sont A-X, B-Z, C-Y et A-Z, B-X, C-Y. B-Y bloque la première et A-Y bloque la seconde. C ne peut recevoir Z, donc aucune autre permutation complète n'est acceptable. Camille a ainsi fourni pour chaque liste complète un couple qui la refuse, au lieu de déduire l'impossibilité du seul fait que sa première exécution avait laissé C sans place.
Conserver la demande à laquelle la réponse correspond
Si Nora maintient la couverture complète et accepte une paire bloquante, elle peut retenir A-Y, B-Z, C-X. Si elle maintient la stabilité, les deux réponses partielles validées sont disponibles. Camille ne promet pas une réponse qui réunirait les trois places couvertes de la première et l'absence de paire bloquante de la seconde : les quatre essais complets l'interdisent dans ces données. Elle prépare donc deux fiches avec leurs objectifs. L'une nomme aussi A-X comme objection restante ; l'autre nomme C sans place et Z libre. La décision de changer l'objectif ne transforme pas une ancienne liste complète instable en réponse stable.
La fiche finale retenue conserve A-X, B-Y et C sans place pour la branche à acceptations incomplètes, avec le contrôle des deux côtés. Pour la branche où toutes les associations étaient acceptables, Nora garde A-X, B-Y, C-Z, le sens des propositions et les classements véritables. Les déclarations modifiées restent dans une autre version, avec leur trace. Aucun total de points, durée ou qualité personnelle n'a été attribué aux rangs. Les supports montrent ce que les listes remises peuvent certifier, et les demandes qu'elles ne peuvent pas réunir sous les mêmes données.
Les catalogues n'apportent aucune préférence ni méthode d'affectation. Le cas et ses déclarations sont stipulés, sans comportement réel d'invités mesuré.
Une égalité change la paire que la demande permet de refuser
Une autre branche conserve toutes les associations acceptables et revient aux classements véritables, sauf celui d'Y : A et B y sont désormais à égalité, devant C. Dans cette branche, le premier contrôle refuse seulement une paire où chacun préfère strictement l'autre à son partenaire. Un second contrôle, plus exigeant, refuse aussi une paire où chacun préfère l'autre ou lui est indifférent, pourvu qu'au moins l'un préfère strictement. Les égalités ne sont pas départagées arbitrairement pour prétendre que ces deux contrôles décriraient la même demande.
Nora reprend A-Y, B-X, C-Z. B préfère Y à X, mais Y est indifférente entre B et A, qu'elle reçoit. B-Y n'est donc pas une paire où les deux préférences sont strictes. La liste reste recevable au premier contrôle. Elle échoue pourtant au second, qui admet précisément l'indifférence d'Y avec la préférence stricte de B. Camille retient alors A-X, B-Y, C-Z pour ce second contrôle : A et B y ont leurs premières places, tandis que C est rejetée par les deux places qu'elle préférerait. Les six permutations vérifiées ne donnent aucune autre liste passant ce contrôle. La réponse n'a pas changé parce qu'un nombre de rang aurait été artificiellement ajouté à Y. Camille a conservé son égalité et modifié la condition qui suffit à former une objection. Elle remet cette condition avec la liste choisie, au lieu du seul mot « stable » devenu ambigu entre les deux demandes.
Pour une dernière branche, A et B sont toutes deux indifférentes entre X et Y, avant Z, tandis que X et Y sont toutes deux indifférentes entre A et B, avant C. Les autres classements restent inchangés. A-X, B-Y, C-Z et A-Y, B-X, C-Z passent les deux contrôles précédents : aucun couple non retenu entre ces quatre noms ne contient une préférence stricte. Nora demande pourtant de refuser également les paires où les deux côtés sont indifférents. A-Y devient alors une objection à la première liste, et A-X à la seconde. Les quatre autres permutations sont déjà refusées par une paire où une fiche préfère quitter Z et où X ou Y préfère cette fiche à C. Aucune liste complète ne satisfait donc cette dernière demande. Camille ne répare pas ce refus en imposant un départage caché. Elle peut conserver les égalités et l'une des deux listes sous un contrôle moins exigeant, ou laisser la demande renforcée sans réponse complète, mais ne certifie pas l'une avec le critère de l'autre.